15.1 Fungsi dengan Dua Peubah atau LebihGrafik ketika kita menyebut grafik (graph) dari fungsi ƒ dengan dua peubah yang dimaksud adalah grafik dari persaman z= ƒ(x, y). Grafik ini normalnya merupakan sebuah permukaan, dan karena terhadap masing-masing(x, y)di mana daerah asal hanya berhubungan dengan 1 nilai z, maka setiap garis yang tegak lurus terhadap bidang xy hanya memotong permukaan di suatu titik.

CONTOH

Sketsalah garfik dari ƒ 22 49363

1, yxyx

Penyelesaian

Misalkan z=

22 49363

1yx Dan perhatikan bahwa z≥0. jika kita

menguadratkan kedua ruas dan menyederhanakannya, kita akan memperoleh persaman .

36949 222 zyx

Kurva Ketinggian mensketsa permukaan yang berkaitan dengan grafik dari fungsi z= ƒ(x, y) denagn dua peubah sering kali sangat sulit. Para pembuat peta telah menyediakan cara yang lebih sederhana untuk menggambar permukaan, yang disebut peta kontur. Setiap bidang horizontal z=c memotong permukaan di dalam sebuah kurva. Proyeksi kurva ini pada bidang xy disebut kurva ketinggian (level curve), dan sekumpulan kurva-kurva seperti ini disebut plot kontur (contour plot)natau peta peta kontur ( conour map).

CONTOH

Gambarlah peta-peta kontur dari permukaan yang berhububgan dengan

2222 49363

1xydanzyyz

Penylasaianya

Kurva-kurva ketinggian dari 22 4936

3

1yyz

Yang berhubungan dengan z =0;1;1,5;1,75;2 ditunjukan pada gambar 12. kurva-kurva tersebut berbentuk elips. Demikian pada Gambar 13, kita dapat menunjukkan kurva-kurva ketinggian dariz= 22 xy untuk z=-5,-4,-3,..., 2, 3, 4. kurva-kurva ini berbentuk hiperbola.

Fungsi dengan Tiga Peubah atau Lebih Beberapa kuantitas kadang-kadang ditentukan denagn tiga peubah atau lebih. Sebagai contoh, suhu udara pada setiap auditorium yang besar dapat bergantung pada lokasi (x, y, z) sehingga menghasilakn fungsi T(x, y, z). Kecepatan fluida dapat bergantung pada lokasi (x, y, z) dan waktu t, sehingga menghasilkan fungsi V(x, y, z, t). Contoh lain, nilai ujian pada sebuah kelas yang terdiri dari 50 bergantung pada nilai ujian

5021 ,...,, xxx Sehingga fungsi yang dihasikan adalah

5021 ,...,, xxx A( )

CONTOH

Tentukan daerah asal masing-masing fungsi berikut:

1

1z y, x,w,ƒ

2222

zyxwb

1z y, x,ƒ 222 zyxa

(a) Untuk menghindari akar negatif, tiga titik berurutan (x, y, z) memenuhi 0zyx 222 Jadi, daerah asal untuk ƒterdirih dari seluruh titik(x, y, z) yang berada diluar bola satuan

(b) Empat titik berurutan (w, x, y, z) harus memenuhi

222 zyx

01zyxw 2222 harus menghindari akar-akar negatif dan pembagian dengan bilangan 0.

15.2 TURUNAN PARSIALAndaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y. Jika y ditahan agar konstan, misalnya y = yo, maka f(x,yo) menjadi fungsi satu peubah x. Turunannya di x = xo disebut turunan parsial terhadap x di (xo,yo) dan dinyatakan sebagai fx (xo,yo). Jadi,

Demikian pula, turunan parsial f terhadap y di (xo,yo) dinyatakan oleh fx (xo,yo) dan di tuliskan sebagai :

TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISISPandang permukaan yang persamaannya z = f(x,y). Bidang y = yo memotong permukaan ini pada kurva bidang QPR (Gambar 1) dan nilai dari fx (xo,yo) adalah kemiringan garis singgung pada kurva ini di P(xo,yo),f(xo,yo)). Serupa dengan itu, bidng x = xo memotong permukaan pada kurva bidang LPM (Gambar 2) dan fy(xo,yo) adalah kemiringan garis singgung pada lengkungan ini di titik P

TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI

Secara umum, karena turunan pAarsial pada fungdi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f :

PEUBAH LEBIH DARI DUA

Andaikan f suatu fungsi tiga peubah x,y dan z. Turunan parsial f terhadap x di (x,y,z) dinyatakan oleh fx(x,y,z) atau df(x,y,z)/dx dan didefenisikan oleh :

15.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

Dapat dilihat pada gambar 1 dan 2

KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK

KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN