APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

PERCOBAAN MEKANIKA FLUIDA

Makalah ini Dibuat untuk Memenuhi Tugas Akhir Mata Kuliah Persamaan Differensial

Disusun oleh:

Denisefrian Noor (0706275504)

Fajar Steven (0706275580)

Jevon Raditya (0706275656)

Pramesti Andiani (0706275744)

Widya Larastika (0706275826)

Program Studi Teknik Lingkungan

Departemen Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Indonesia

Depok 2009

KATA PENGANTAR

Pertama kami panjatkan puji syukur yang sebesar-besarnya kepada Tuhan Yang Maha

Esa, karena hanya dengan rahmatNya-lah makalah ini dapat terselesaikan dengan sebaik dan

semaksimal mungkin oleh kami.

Dalam makalah yang cukup singkat ini kami akan membahas tentang Aplikasi

Persamaan Deferensial Parsial, dimana kami mengambil contoh kasus untuk Percobaan

Mekanika Fluida.

Dengan Makalah ini semoga para pembaca dapat lebih memahami tentang Persamaan

Deferensial Parsial dan Aplikasinya.

Akhir kata kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua

pihak yang telah membantu penyelesaian makalah ini. Kami juga mengucapkan permohonan

maaf apabila terdapat kekurangan dan kesalahan yang tidak kami sadari dalam penulisan

makalah ini.

Depok, Mei 2009

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Banyak masalah aliran fluida yang tidak dapat diselesaikan secara matematik

karena rumitnya sifat persamaan yang tercakup dank arena batas-batas daerah aliran.

Masalah lainnya dapat diselesaikan hanya setelah penyederhanaan tertentu telah

dilakukan. Oleh karena itu, untuk membuktikan penyelesaian tersebut perlu melakukan

percobaan-percobaan. Tingkah laku fluida yang sesungguhnya pada sistem hanya dapat

diketahui dengan pasti setelah pengamatan diadakan di dalam sistem sewaktu sedang

dioperasikan. Masalah tersebut mungkin ditenui pada perencanaan, konstruksi, dan

pengoperasian bendungan, pelabuhan, pesawat terbang, kapal laut, hanya dijelaskan

sebagian. Stabilitas dari bangunan-bangunan ini dan daya gunanya tergantung dari sifat

aliran pada dan di sekeliling bangunan. Dengan adanya analisa matematik yang setepat-

tepatnya dan dapat diandalkan, perencana akan menemukan teknik model test, suatu

alat paling berguna. Ukuran model yang pantas dari bangunan tersebut dibuat dan

dicoba di bawah keadaan pengoperasian yang dapat diawasi dan hasilnya diharapkan

untuk memperkirakan apa yang akan terjadi pada bangunan yang sesungguhnya.

Penggunaan penyelidikan dengan model untuk keadaan bentuk asli (atau

lapangan) mengasumsikan bahwa apabila sifat tertentu kecepatan, debit, gaya, waktu,

temperatur, dan lain-lain) diketahui untuk model, maka perkalian dengan faktor yang

sesuai akan memberikan sifat yang sama dengan bentuk asli. Dengan kata lain,

percobaan yang sempurna dari sifat-sifat model dan bentuk asli (secara kualitas dan

kuantitas) dapat dicapai dengan menggunakan satu atau lebih fackor tetap pada salah

satu sistem. Faktor tersebut diperoleh dari hokum perbandingan spesifik. Teori model

mencoba membuktikan hukum perbandingan ini.

I.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan materi yang akan disajikan, penulis merumuskan masalah

“Bagaimana persamaan diferensial parsial diterapkan dalam percobaan mekanika fluida

khususnyamengenai kehilangan energi tekan?”

I.3 Tujuan

Penulisan daripada makalah ini bertujuan untuk:

Mempelajari penggunaan persamaan diferensial, khususnya persamaan

diferensial parsial untuk pemecahan permasalahan sehari-hari

Menyelidiki bagaimana timbulnya beberapa hukum perbandingan dan

kegunaannya yang relatif dalam kasus tertentu dari aliran fluida.

I.4 Metode Penulisan

Penulisan makalah ini menggunakan metode penulisan studi pustaka, dimana

permasalahan yang ada merupakan hasil daripada studi literatur dan juga studi dari

internet.

BAB II

TEORI DASAR

II.1 Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya

terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu

hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi

dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel

yang dimaksud. Persamaan diferensial parsial digunakan untuk melakukan formulasi

dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui,

yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas,

elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam

proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu.

Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika

yang mirip satu sama lain.

Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah

fisik dan geometris bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah

bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana

yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan

mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika

lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan persamaan

differensial parsial. Sesungguhnya, kisaran penerapan persamaan diferensial parsial

sangatlah besar dibandingkan dengan kisaran penerapan persamaan diferensial biasa.

Peubah-peubah bebas dapat berupa waktu dan satu atau lebih koordinat di dalam ruang.

Suatu persamaan akan diturunkan sebagai model dari sistem fisik dan mengupas cara-

cara untuk memecahkan masalah nilai awal dan masalah nilai batas, dengan kata lain

metode untuk memperoleh solusi bagi persamaan yang berkaitan dengan masalah fisik

yang dihadapi.

Formulasi matematik kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan

teknologi dapat dipresentasikan dalam bentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan

tersebut merupakan laju perubahan terhadap dua atau lebih variabel bebas yang

biasanya adalah waktu dan jarak (ruang).

II.2 Kesamaan Dinamis

Persamaan dasar diferensial parsial yang menentukan aliran fluida tak dapat

dimampatkan dengan viskositas tetap yang sesuai adalah persamaan Navier-Stokes.

Derivasi dari persamaan tersebut merupakan teori yang mendasari pertimbangan model.

Pada sistem koordinatcartesian, hokum gerak Newton kedua yang digunakan pada

massa satuan elemen fluida, yang mempunyai komponen-komponen kecepatan u, v, dan

w dalam arah berturut-turut x, y, dan z, memberikan persamaan Navier-Stokes dalam

tiga arah utama.

(2.1)

(2.2a)

(2.2b)

Faktor yang tedapat di sebelah kiri dari persamaan ini adalah percepatan atau

faktor inersia yang harus mengimbangi jumlah-jumlah gaya-gaya luar yang bekerja

pada elemen fluida, seperti yang diberikan di sebelah kanan. Percepatan dari partikel

fluida timbul dari dua sumber, perubahan setempat dari kecepatan karena sifat tak tetap

dari aliran dan kenyataan bahwa kecepatan dari partikel fluida berubah sewaktu

bergerak dari suatu lokasi ke lokasi yang lain dengan kecepatan yang berbeda. Dalam

istilah matematika, jumlah derivasi dari u karena ini adalah fungsi dari kedua waktu dan

jarak adalah

atau

Percepatan

setempat

Percepatan Gaya gravitasi (badan)

Gaya tekan

Gaya lekat

Jumlah

Percepatan

Percepatan

setempat

Percepatan

aliran

Gaya-gaya yang bekerja pada partikel fluida yang komponennya dalam berbagai

arah ditunjukkan di sebelah kanan persamaan (2.1) dan (2.2) adalah gravitasi

berdasarkan atas letak dari partikel fluida dengan jarak tegak h di atas titik duga

sementara, tekanan dan gaya-gaya geser atau lekat. Gravitasi menimbulkan gaya badan

sedangkan tekanan dan geseran menimbulkan berturut-turut gaya permukaan tegak

lurus dan miring. Gaya-gaya ini dijelaskan untuk partikel yang terdapat pada cairan

yang sedang mengalir di atas kemiringan yang curam pada saluran terbuka.

Konsep dasar dari kesamaan hidrodinamis adalah persyaratan bahwa dua sistem

dengan bentuk batas-batas yang sama mempunyai susunan aliran yang sama (keasaman

gerak) pada waktu yang ditentukan. Hal ini menyatakan secara tidak langsung bahwa

segibanyak dari gaya-gaya harus menjadi sama apabila suatu faktor tetap digunakan

dengan tepat pada salah satu dari gaya-gaya tersebut. Ini adalah kesamaan dinamik.

Kesamaan gerak pada dua sistem yang bentuknya sama tidak mungkin dicapai kecuali

kalau gaya-gaya yang diterapkan diatur sama. Keadaan ini dapat pula disimpulkan dari

kenyataan bahwa persamaan Navier-Stokes dapat digunakan dalam kedua sistem di

mana fluida adalah tak dapat dimampatkan, mempunyai viskositas tetap dan tegangan

permukaan tidaklah penting. Sehingga, dengan menetapkan keadaan batas adalah sama,

penyelesaian dari persamaan tersebut apabila terpengaruh, akan sama secara kualitatif.

Perbedaan jumlah hanya timbul melalui perbedaan dalam pengaturan jumlah jumlah

dari elemen-elemen fisik yang tercakup. Latihan tersebut adalah untuk menentukan

gabungan dari jumlah fisik yang akan dijalankan terhadap berbagai elemen gaya luar

dari persamaan diferensial parsial (2.1) dan (2.2) untuk membuat gaya inersia sama dan

dengan demikian menemukan suatu penyelesaian yang unik untuk semua kesamaan

sistem yang diatur dari bentuk yang sama.

Dengan memilih suatu jumlah bentuk yang tetap L (panjang) jumlah kinematik

tetap Vo (kecepatan) dan jumlah dinamik tetap o (berat jenis), kita dapat merumuskan

parameter-parameter tanpa dimensi seperti berikut:

(2.3) x’ = x/L, y’ = y/L, z’ = z/L, h’ = h/L

u’ = u/Vo, v’ = v/Vo, w’ = w/Vo,

p’ = p/o.Vo2, t’ = t/(L/Vo) ’ = /o

Dengan mensubsitusikan (2.3) ke dalam (2.1)

(2.4)

Dengan menghilangkan faktor tetap dari dalam kurang pendiferensiasian dari

persamaan (2.4) dan membagi keseluruhannya dengan Vo2/L

(2.5)

Persamaan gerak tersebut sekarang diubah menjadi suatu bentuk tanpa dimensi

(dimensionless form). Susunan yang sama dapat diperoleh dari (2.21) dan (2.2b) dan

kesimpulan yang dibuat di bawah ini adalah sama. Dari persamaan (2.5), diperlukan

kesamaan dinamik antara bentuk asli (akhiran p) dan model (akhiran m) bahwa

partikel-partikel fluida pada kedua sistem mepunyai kecepatan yang relative sama,

dinyatakan oleh sebelah kiri dari persamaan tersebut. Hal ini memerlukan bahwa relatif

dari persamaan yang di sebelah kanan secara identik harus sama, yaitu kedua gerak

fluida yang di bawah pertimbangan dapat menjadi sama hanya apabila penyelesaian

tersebut adalah identik, diuraikan dari segi masing-masing faktor tak tetap tanpa

dimensi. Hal ini membutuhkan bahwa untuk keduanya

Umumnya perbedaan temperatur fluida tidak menimbulkan perubahan berat

jenis yang berarti pada fluida tak dapat dimampatkan pada o = atau ’ = 1. Untuk

memenuhi tanda-tanda tersebut

(2.6)

Dari pengembangan di atas, faktor Vo2/gL, dikenal sebagai bilangan Froude F,

menunjukkan arti dari gaya-gaya gravitasi relatif terhadap gaya-gaya inersia. Bilangan

Reynolds, R = o Vo L/ menunjukkan arti dari gaya-gaya lekat (gesekan relative

terhadap gaya-gaya inersia.

Dengan demikian menetapkan bilangan Froude dan bilangan Reynolds adalah

sama pada setiap sistem yang sama bentuknya dari suatu aliran tak dapat dimampatkan

(kecuali gaya-gaya luar selain dari gravitasi, tekanan dan geser) dan dengan

menetapkan keadaan batas adalah sama, susunan aliran tersebut akan identik.

Penyelesaian persamaan (2.5) dan (2.2), disempurnakan dengan cara yang sama

(ditambah persamaan kesinambungan dan keadaannya) akan universal untuk semua

sistem yang demikian, dan hal ini hanya membutuhkan faktor-faltor bilangan tetap yang

dirumuskan pada persamaan (2.3) untuk memperoleh nilai kuantitatif untuk ukuran-

ukuran yang berbeda dan keadaan pengoperasian pada semua anggota dari sistem. Oleh

karena itu, penyajian tanpa dimensi dari data percobaan adalah suatu alat yang berguna

dalam korelasi dan penggunaan data percobaan pada teknik hidrolik dan cabang-cabang

teknik yang lain.

II.3 Arti Fisik dari Hukum Model

Pengembangan tersebut di atas telah menunjukkan dengan jelas bahwa untuk

mencapai kesamaan dinamik dalam dua sistem fluida yang bentuknya sama dengan

berat jenis dan viskositas yang tetap, bilangan Froude dan Reynolds harus mempunyai

nilai yang sama dalam kedua sistem apabila gravitasi dan gesekan adalah hanya gaya-

gaya luar yag bekerja. Dengan menunjukkan perbandingan (model ke bentuk asli) dari

setiap jumlah yang diinginkan dengan akhiran r, kesamaan dinamik memerlukan

bahwa:

Secara bersamaan dimana υ = /

Dari hukkum Froude,

Dan dari hukum Reynolds, vr = υr/Lr

Sehingga untuk kedua criteria vr = Lr3/2

Ambil sebagai contoh, suatu model dari sepanjang sungai (atau dari suatu

bendungan) yang akan dibangun dengan skala 1 : 25. Untuk memenuhi kesamaan

dinamik yang sempurna, persyaratan Froude dan Reynolds membutuhkan perbandingan

viskositas kinematik dari fluida model dengan bentuk asli adalah 1 : 25Tabel

3.1mencantumkan beberapa daftar dari fluida alam yang viskositasnya rendah. Tidak

diketahui fluida memenuhi keadaan tersebut. Oleh karena itu, perlu untuk mencari

pencapaian kesamaan dinamik melalui cara lain. Pendekatan yang paling logis adalah

mencari kesamaan sesuai dengan gaya yang lebih dominan (gesekan atau gravitasi), dan

memeriksa pengaruh yang lain melalui beberapa cara yang lain. Pertimbangan menurut

teori dan hipotesa yang menuntun pendekatan ini, akan dibahas dalam subpasal berikut

ini; gaya-gaya lain akan pula dipertimbangkan.

II.4 Model Reynolds

Tekanan pada suatu objek yang terletak pada fluida yang sdang mengalir dapat

dianggap mempunyai 2 komponen.. Bagian satu, tekanan hidrostatik ρs, yaitu tekanan

yang akan dialami oleh objek apabila fluida tidak sedang mengalir, dan yang lain

tekanan dinamik ρd adalah bertambahnya tekanan yang ditimbulkan sebagai akibat dari

gangguan aliran. Sehingga

ρ = ρs + ρd

Bayangkan suatu partikel P di dalam lapangan aliran dari suatu ruang fluida tak

terbatas. Jika partikel tersebut pada jarak tegak h di atas titik duga sementara (Gambar

2.1) tekanan hidrostatik pada P adalah g(H – h), dimana H adalah ketinggian fluida di

atas titik duga sementara yang sama. Untuk keadaan aliran dimana perbedaan dari

Gambar 2.1

permukaan fluida tidak ada atau tidak penting, H akan menjadi bilangan tetap. Oleh

karena itu, jumlah tekanan dapat ditunjukkan dengan:

P= bilangan tetap-gh+pd

Misalnya, dengan mensubstiusikan (2.8) ke dalam persamaan gerak (2.1), menghasilkan

(2.9)

Persamaan 2.9 adalah terpisah sepenuhnya dari faktor gravitasi. Oleh karena itu

persamaan yang disempurnakannya tidak akan mengandung bilangan Froude. Sehingga

kesamaan dinamik untuk objek yang terbenam pada aliran tak dapat dimampatkan

didalam mana perbedaan fluida (misalnya gelombang-gelombang gravitasi) tidak

dihasilkan, hanya diperoleh dengan model sesuai dengan standar Reynolds. Sama

halnya dapat dibenarkan untuk aliran tak dapat dimampatkan dimana fluida secara

keseluruhannya terdapat di dalam batas-batas tetap dan tidak ada permukaan yang –

bebas (kena atmosfer). Contoh-contoh dari penelitian aliran di mana hokum Reynolds

adalah penting, adalah kehilangan gesek kulit (pipa), seretan lekat (viscous drag) pada

objek-objek yang terbenam, tahanan terhadap objek yang bergerak melalui badan aliran

yang besar (misalnya kapal selam), pelumasan, aliran melalui mulut pipa dan lubang,

aliran pada media yang porus, dan lain-lain. Pada contoh-contoh ini gaya lekat

mempengaruhi gaya gravitasi. Beberapa dari contoh-contoh ini memerlukan

pertimbangan dari keadaaan dinamik yang lain seperti tegangan permukaan (surface

tension)

Untuk

(H-h)H

h

P

Titik Duga

Permukaan Fluida

Perbandingan Kecepatan

Perbandingan Waktu

Perbandingan debit

Perbandingan Gaya

Perbandingan Tekanan

Kesulitan praktis yang pokok dengan model Reynold adalah bahwa kecepatan

yang lebih tinggi secara nyata diperlukan dalam model daripada dalam bentuk asli. Ini

dapat dilihat dari kenyataan bahwa pada banyak model perbandingan viskositas adalah

kira-kira satu, dan oleh karena itu, perbandingan kecepatan adalah kira-kira berbanding

terbalik dengan perbandingan linear. Dalam hal ini secara teknik dan ekonomi tidak

praktis untuk memperoleh kecepatan model untuk menghasilkan dinamik yang benar.

Pengembangan diatas menuju ke pembuktian standar Reynolds telah mengasumsikan

keadaan fluida Newtonian.

Contoh soal

Kehilangan tinggi tekan yang melewati suatu katup pintu, biasanya diuraikan dari segi

koefisien kehilangan CL, yang dirumuskan sebagai kehilangan tinggi tekan hL = CL

(v2/2g) di mana v adalah kecepatan rat-rat pada pipa yang dipertimbangkan. Kolom 2

dan 3 dari tabel di bawah ini memberikan hasil percobaan dari serangkaian percobaan

pada 20 cm katup pintu di dalam jalur pipa 20 cm dengan menggunakan air pada 24OC.

Pada semua percobaan piringan katup adalah 7 cm dari dudukan.

Tentukan kehilangan tinggi tekan yang diharapkan apabila besarnya aliran adalah

28.31/detik pada jalur pipa yang sama dengan katup dan bukaan yang sama, apabila air

94OC mengalir melaluinya.

Penyelesaian

Kolom 5 dan 6 menunjukkan perbedaan koefisien kehilangan tinggi tekan dengan

bilangan Reynold berdasarkan kecepatan yang dipertimbangkan pada pipa dan ukuran

bukaan katup. Pada suatu bilangan Reynolds yang tinggi, CL adalah tetap dan terpisah

dari bilangan Reynolds. Perbedaan tersebut sama dengan f terhadap R untuk pipa. Pada

daerah turbulen penuh pusaran terbentuk penuh dan perpindahan momentum semata-

mata ditentukan oleh viskositas.

Apabila aliran adalah 28,31/det (240C, υ = 0,32 x 10-6 m2 (det)

R = 19,2 x 104, sehingga CL= 3,0.

BAB IV

KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan dalam makalah ini, dapat disimpulkan bahwa persamaan

diferensial parsial dapat digunakan dalam aplikasi percobaan mekanika fluida khusunya

dalam perhitungan kehilangan tinggi tekan.

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA

J.M.K. Dake. 1983. Hidrolika Teknik Edisi Kedua. Jakarta: Erlangga.

Munson, Bruce R. Donald F. Young, Theodore H. Okishi. 2004. Mekanika Fluida Edisi

IV. Jakarta:Erlangga.