tugas 3 makalah

BAB I

PENDAHULUAN

Mulanya, elektromagnetisme dan optik dikaitkan dan dijelaskan dengan teori

gelombang berdasarkan persamaan Maxwell. Sejak dulu, eksperimen tentang pergerakan

gelombang selalu melibatkan medium untuk perambatan gelombang, sehingga para fisikawan

berasumsi bahwa cahaya membutuhkan medium untuk merambat. Berdasarkan hal tersebut,

timbul asumsi tentang keberadaan ether di semesta sebagai medium perambatan cahaya yang

kerapatannya dan interaksinya dengan bahan diabaian.

Hipotesis keberadaan ether membuat fenomena elektromagnetik berbeda dari fenomena

fisika lainnya. Untuk waktu yang lama diketahui bahwa hukum mekanik yang digunakan

adalah sama dalam sistem koordinat yang bergerak relatif satu dengan lainnya. Hukum

mekanik invarian dalam transformasi galileo. Untuk memperjelas perbedaan antara mekanika

klasik dan elektromagnetik, tinjau secara eksplisit persamaan relativitas galileo untuk

masing-masing. Untuk dua kerangka acuan K dan K’ dengan koordinat (x, y, z, t) dan (x’, y’,

z’, t’), bergerak dengan kecepatan relatif v, koordinat ruang dan waktu pada dua kerangka

berdasarkan relativitas Galileo memiliki hubungan sebagai berikut:

x '=x−v t

t '=t(1.1)

Pada mekanika klasik, persamaan gerak dalam kerangka acuan K’ ditunjukkan

persamaan (2), dan dengan hubungan relativitas Galileo, persamaan gerak tersebut dapat

bertransformasi menjadi persamaan gerak Newton dalam kerangka acuan K, yang

ditunjukkan persamaan (3), yang ternyata hasilnya invarian.

mi

d v 'i

dt '=−∇ 'i∑

j

V ij (|x 'i−x ' j|) (1.2)

mi

d v i

dt '=−∇i∑

j

V ij (|xi−x j|) (1.3)

Pada elektromagnetik, persamaan gelombang dalam kerangka acuan K’ ditunjukkan

persamaan (4).

(∑i

∂2

∂ x ' i2−

1c2

∂2

∂ t '2 )ψ=0 (1.4)

Dan dengan menggunakan transformasi Galileo, persamaan gelombang dalam koordinat

kerangka acuan K menghasilkan persamaan (5).

Utami Widyaiswari (1406506162)

(∇2− 1c2

∂2

∂ t2 −2c2 v .∇ ∂

∂t− 1

c2 v .∇ v .∇)ψ=0 (1.5)

Persamaan (5) menunjukkan bahwa persamaan gelombang tidak invarian jika dikerjakan

transformasi Galileo. Untuk gelombang suara, kondisi invarian tidak dipenuhi jika dilakukan

transformasi Galileo karena ada angin yang mengganggu (menghamburkan) suara yang

dihasilkan.

Pada eletromagnetik, medium berupa ether ditinjau sebagai medium untuk perambatan

tanpa memberikan manifestasi atau fungsi lainnya. Einstein memikirkan kemungkinan yang

menyebabkan perbedaan hasil relativitas Galileo pada kasus mekanika klasik dan

elektromagnetik, diantaranya:

1. Persamaan Maxwell tidak benar. Teori elektromagnetik yang benar seharusnya

invarian dalam transformasi Galileo.

2. Relativitas Galileo dapat diterapkan pada mekanika klasik, tapi elektromagnetisme

mempunyai kerangka acuan istimewa, dimana ether dalam keadaan diam.

3. Ada prinsip relativitas lain selain relativitas Galileo yang berlaku untuk mekanika

klasik dan elektromagnetik. Artinya, hukum mekanika memerlukan suatu

modifikasi.

Kemungkinan pertama dirasa tidak mungkin, melihat keberhasilan persamaan Maxwell

dalam menggambarkan peristiwa kelistrikan dan kemagnetan. Kemungkinan kedua juga tidak

mungkin, karena hasil eksperimen berikutnya menunjukkan bahwa ether tidak ada. Sehingga

kemungkinan ketiga adalah yang paling mungkin dan yang menjadi dasar dari teori relativitas

khusus yang dikemukakan Einstein.


BAB II

RELATIVITAS ELEKTRODINAMIKA DAN PENGARUH MEDAN

ELEKTROMAGNETIK PADA PARTIKEL BERMUATAN

Hasil percobaan Michelson-Morley menunjukkan bahwa ether tidak ada. Jika ether

tidak ada, artinya tidak ada kerangka acuan universal di alam semesta. Hal ini menjadi dasar

bagi Einstein untuk mengemukakan teori relativitas yang baru.

2.1. Teori Relativitas Khusus

Teori relativitas khusus didasarkan pada dua postulat yang diajukan oleh Einstein.

Postulat pertama menyatakan bahwa semua hukum fisika (kecuali hukum gravitasi)

dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama berlaku untuk semua sistem yang

inersia. Postulat kedua menyatakan bahwa kecepatan cahaya di ruang hampa besarnya

sama, tidak bergantung pada gerak sumber cahaya relatif terhadap pengamat atau

gerak pengamat relatif terhadap sumber.

Teori relativitas khusus yang dikemukakan Einstein mengakibatkan adanya

dilatasi waktu dan kontraksi panjang, juga berdampak pada munculnya tinjauan

terhadap massa relativistik yang berbeda dari massa diamnya dan menyebabkan

muncul istilah momentm relativistik, energi relativistik, hingga muncul persamaan

yang menyatakan kesetaraan massa dan energi.

Karena transformasi Galileo yang telah ada sebelumnya tidak taat terhadap

postulat Einstein, diperlukan sebuah persamaan transformasi baru yang dapat

meramalkan berbagai efek relativistik dan mampu memberikan hasil yang sama

dengan transformasi Galileo jika laju relatif antara dua kerangka acuan rendah, karena

transformasi Galileo berlaku untuk sistem dengan laju rendah. Transformasi yang

memenuhi persyaratan tersebut adalah transformasi Lorentz.

a. Transformasi Lorentz

Tinjau dua buah sistem inersia tiga dimensi ∑ dan ∑’. Keduanya bergerak dalam

garis lurus relatif antara yang satu dengan yang lainnya, sehingga ∑’ dikatakan

bergerak dengan kecepatan konstan v sepanjang sumbu x sistem ∑. Koordinat

waktu dan ruang untuk kedua sistem adalah t dan (x, y, z) serta t’ dan (x’, y’, z’).

Saat t = t’ = 0, pusat O dan O’ serta sumbu x dan x’ dari kedua sistem inersia

berhimpit, dan saat t posisi relatif keduanya digambarkan pada Gambar 2.1.


Gambar 2.1. Sistem ∑’ bergerak sepanjang sumbu x sistem ∑

Sesuai dengan kesepakatan, dikenal dua besaran

β= vc

(2.1)

γ= 1

√1−β2 (2.2)

Dimana v=|v|.

Seperti yang ditunjukkan Einstein, kedua postulat relativitas khusus menghendaki

koordinat khusus dan waktu yang diukur oleh pengamat di ∑ dan ∑’,

dihubungkan oleh persamaan transformasi berikut:

c t'=γ (ct−xβ ) (2.3)

x '=γ ( x−vt ) (2.4)

y '= y (2.5)

z '=z (2.6)

Selisih antara kuadrat persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh:

(2.7)

Karena koordinat y dan z tidak terpengaruh oleh gerak sistem inersia ∑’ sepanjang

sumbu x sistem ∑, maka (2.7) dapat digeneralisasi menjadi

(2.8)

Artinya, jika gelombang cahaya dipancarkan dari pusat O dan O’ yang berhimpit

saat t = t’ = 0, gelombang cahaya akan sampai pada pengamat di ∑ pada (x, y, z)

saat t, dan pada pengamat di ∑’ pada (x’, y’, z’) saat t’ sedemikian rupa sehingga


kedua pengamat menyimpulkan bahwa kelajuan cahaya pada ruang hampa adalah

sama, yaitu c.

b. Ruang Lorentz

Definisikan empat bilangan riil, yang dilambangkan dengan indeks atas = 0, 1,

2, 3, dimana komponen ke-0 adalah ct (c adalah kelajuan cahaya, dan t adalah

waktu), dan komponen lainnya adalah komponen posisi vektor x.

xμ=( x0 , x1 , x2 , x3 )= (ct , x , y , z )≡(ct , x ) (2.9)

Agar xμ merepresentasikan besaran fisis yang dapat diamati, xμ harus

bertransformasi sebagai komponen pembentuk vektor empat dimensi dari posisi

dalam vektor ruang empat dimensi yang real dan linier. Digunakan ruang

Riemannian sebagai ruang 4-D, sebuah ruang matrik dimana jarak dan produk

skalar didefinisikan. Dalam ruang ini, didefinisikan juga tensor matrik yang

disebut gv.

1. Vektor Posisi dalam bentuk Kontravarian dan Kovarian

4-vektor posisi yang didefinisikan pada persamaan (2.9) adalah vektor dalam

bentuk komponen kontravarian. Bentuk kovarian yang merupakan pasangan

vektor posisi tersebut adalah xμ=gμv x μ.

2. Scalar Product

Skalar produk dari xμ didefinisikan sebagai:

gμv xv x μ=xμ xμ (2.10)

Skalar produk tersebut berperan sebagai jarak yang invarian.

3. Tensor Matrik

Dalam ruang Riemannian 4-D, tensor marik gμv dapat dibuat dalam bentuk:

gμv=ημv={ 1−10

jika μ=v=0jika μ=v=i= j=1,2,3

jika μ≠ v(2.11)

Dalam representasi matrik:

(2.12)

Dalam representasi matrik, penurunan indeks dari xμ menjadi:


(2.13)

Dalam notasi empat-tensor, daapt ditulis:

(2.14)

Sehingga skalar produk dari xμ diperoleh:

xμ xμ= (ct , x )⋅ ( ct ,−x )=c2t 2−x2− y2−z2 (2.15)

Persamaan (2.15) menunjukkan bahwa transformasi Lorentz invarian.

Sehingga dapat dikatakan bahwa ruang 4-D yang digunakan adalah ruang

Lorentz yang dinotasikan sebagai L4. Hubungan antara tensor kontravarian,

kovarian, dan tensor campuran ditunjukkan oleh persamaan berikut:

(2.16)

Versi 4D dari delta Kronecker, δ vμ, memenuhi:

(2.17)

Dalam representasi matrik:

(2.18)

4. Elemen Garis yang Invarian dan Proper Time

Selisih jarak yang sangat kecil, ds, antara dua titik xμ dan xμ+d xμ dalam L4

dapat dihitung dari bentuk kuadrat diferensial.

(2.19)

Akar kuadrat dari persamaan (2.19) menunjukkan elemen garis yang invarian.


(2.20)

Dimana

dτ=dt /γ (2.21)

dτ mengukur waktu saat tidak ada perubahan spasial, dengan mengambil

waktu yang relatif tetap terhadap kerangka acuan, dτ disebut sebagai proper

time. Proper time dari benda yang bergerak selalu lebih kecil dari rentang

waktu yang bersesuain dalam sistem yang diam. Dapat dikatakan bahwa

waktu yang ditinjau benda yang bergerak lebih lambat dari yang ditinjau

pengamat diam. Inilah yang dikenal dengan dilatasi waktu, sebagai salah satu

dampak dari teori relativitas khusus.

Dengan meninjau transformasi Lorentz yang ditunjukkan persamaan (2.8) dan

bandingkan dengan persamaan (2.19), diperoleh bahwa

(2.22)

adalah invarian, tetap tidak berubah, selama dilakukan transformasi Lorentz.

Interval yang ditunjukkan ds pada sistem inersia memiliki arti fisis yang

berbeda-beda dan ditunjukkan sebagai berikut:

ds adalah time-like interval jika: (2.23)

ds adalah space-like interval jika: (2.24)

ds adalah light-like interval jika:(2.25)

Hal tersebut dapat digambarkan sebagai light cone, dan ditunjukkan pada

Gambar 2.2.


Gambar 2.2. World line of a system and the light cone. Light cone

menunjukkan light-like interval.

5. Medan Vektor Empat

Medan vektor empat kontravarian dalam L4 secara umum dinotasikan sebagai

aμ=(a0 , a), medan vetor empat kovarian diperoleh:

(2.26)

Skalar produk antara medan vektor empat kovarian dan medan vektor empat

kontravarian bμ ( xκ ) adalah:

(2.27)

Persamaan (2.27) merupakan medan skalar, besaran skalar invarian α ( xκ ) yang

bergantung ruang dan waktu, digambarkan sebagai xκ=(ct , x , y , z ).

6. Matrik Transformasi Lorentz

Transformasi Lorentz koordinat dari sistem ∑ ke sistem ∑’ dapat dituliskan

sebagai:

(2.28)

Dengan Λ vμ adalah matrik transformasi Lorentz yang direpresentasikan sebagai

berikut:

(2.29)

2.2. Mekanika Klasik Kovarian


Sifat invarian dari definisi proper time dan diferensial jarak ds dalam L4 dapat

digunakan dalam mendefinisikan kecepatan dalam 4D.

(2.30)

Jika persamaan (2.30) dikalikan dengan besaran skalar invarian m0, massa diam, akan

menghasilkan momentum dalam 4D.

(2.31)

Sehingga dapat dituliskan p=m v=γ m0 v , dimana:

(2.32)

Dengan mengalikan komponen ke-0 dari momentum 4D dengan besaran skalar

invarian c, diperoleh:

(2.33)

Karena persamaan (2.33) memiliki dimensi energi, dan c p0 diinterpretasikan sebagai

energi total, maka:

(2.34)

Perkalian skalar dari vektor c pμ akan menghasilkan:

(2.35)

Karena invarian, persamaan (2.35) berlaku pada semua kerangka acuan inersia,

khususnya pada kerangka dimana p = 0. Sehingga diperoleh rumusan kesetaraan

massa dan energi.


E=m0 c2 (2.36)

2.3. Elektrodinamika Klasik Kovarian

Tinjau rapat muatan sistem inersia dalam keadaan diam sebagai ρ0. Maka vektor

empat (dalam bentuk komponen kontravarian) yang merepresentasikan arus

didefinisikan sebagai:

(2.37)

Dengan

ρ=γ ρ0 (2.38)

Bentuk kontravarian dari operator del 4D adalah ∂μ=∂ /∂ x μ=( 1

c∂

∂ t,−∇), dan bentuk

kovariannya adalah ∂μ=∂ /∂ x μ=( 1c

∂∂ t

,∇). Hasil perkalian skalar antara operator del

dalam bentuk kontravarian dan kovarian akan menghasilkan operator d’Alembert

sebagai berikut:

(2.39)

Karena operator tersebut memiliki sifat four-scalar, maka operator d’Alembert

bersifat invarian, sehingga persamaan gelombang homogen memenuhi persamaan

□2 f (t , x )=0 yang merupakan kovarian Lorentz.

a. Potensial 4-D

Definisikan potensial 4D sebagai:

(2.40)

Dimana ϕ adalah potensial skalar dan A adalah potensial vektor, dengan

□2 ϕ=ρ /ε0 dan □2 A=μ0⋅ J, sehingga persamaan gelombang tidak homogen

dinyatakan sebagai:

(2.41)

Dari persamaan di atas, persamaan elektrodinamika secara kovarian dapat

diturunkan. Untuk persamaan kontinuitas, diperoleh:

∂ ρ∂t

+∇ . J=0 (2.42)


Persamaan untuk kondisi Lorentz gauge dapat dituliskan:

1

c2

∂ ϕ∂ t

+∇ . A=0 (2.43)

Transformasi gauge dalam bentuk kovarian adalah:

ϕ '=ϕ−∂ Γ∂ t

A '=A+∇ Γ } (2.44)

Jika kontraksi Lorentz hanya dala satu dimensi, maka elemen volume ruang 3D

menjadi:

(2.45)

Dimana d V 0 menunjukkan elemen volume saat sistem dalam keadaan diam,

sehingga persamaan (2.38) menjadi:

ρdV = ρ0 d V 0 (2.46)

Dari persamaan (2.46) terlihat bahwa muatan dalam volume tertentu kekal.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa muatan listrik adalah sebuah konstanta

universal.

b. Potensial Lienard-Wiechert

Potensial pada kerangka yang diam dinyatakan sebagai:

(2.47)

Dimana |x−x '|0 adalah jarak dari titik sumber dan titik medan dihitung dalam

sistem yang diam.

Posisi relatif 4D antara titik sumber dan titik medan didefinisikan sebagai:

(2.48)

Lakukan perkalian skalar sehingga diperoleh:

(2.49)

Pada ruang hampa, medan dari muatan q’ pada x ' μ merambat ke xμ dengan

kecepatan cahaya c, sehingga:

(2.50)

Substitusi persamaan (2.50) ke (2.49), maka diperoleh:


(2.51)

Dan persamaan (2.48) dapat dituliskan sebagai:

(2.52)

Pada kerangka diam berlaku:

(2.53)

(2.54)

(2.55)

Sehingga diperoleh persamaan

(2.56)

Pada kondisi Rμ Rμ=0 dan sistem dalam keadaan diam, solusi yang diperoleh

sama dengan solusi pada persamaan (2.47).

Berdasarkan persamaan (2.30) dan (2.48) pada kerangka yang bergerak berlaku:

(2.57)

Dengan menggeneralisasi persamaan (2.1):

(2.58)

Dan

(2.59)

Maka persamaan (2.57) dapat ditulis:

(2.60)

Dan

(2.61)

Sehingga solusi (2.56) dapat ditulis menjadi:


(2.62)

Dapat disimpulkan bahwa untuk muatan volume yang terlokalisasi dan bergerak

relatif terhadap pengamat dengan kecepatan v, potensial skalar dan vektornya

dapat dituliskan dalam persamaan (2.63) dan (2.64) yang dikenal sebagai potensial

Lienar-Wiechert.

(2.63)

(2.64)

c. Tensor Medan Elektromagnetik

Cross product dari dua vektor akan menghasilkan besaran vektor baru yang tegak

lurus kedua vektor yang di-cross-kan.

(2.65)

komponen ke-k vektor c dapat dinyatakan sebagai:

(2.66)

dengan kata lain, vektor semu c = a x b dapat dianggap sebagai tensor antisimetrik

rank dua. Begitu pula untuk operasi curl yang bekerja pada vektor polar, sehingga

persamaan Maxwell:

(2.67)

dapat dinyatakan dalam notasi tensor sebagai berikut:

(2.68)

Karena medan dapat diturunkan dari potensial elektromagnetik seperti berikut:

(2.69)

(2.70)

maka komponennya dapat dinyatakan sebagai:

(2.71)

(2.72)


Untuk menyatakan medan listrik dan medan magnet dalam bentuk tensor dimana

komponennya adalah fungsi dari potensial 4D dalam bentuk kovarian.

(2.73)

Sehingga tensor 4D dapat didefinisikan sebagai:

(2.74)

Tensor antisimetrik 4D rank dua dalam persamaan di atas dikenal sebagai tensor

medan elektomagnetik atau tensor Faraday. Dalam representasi matrik, tensor

medan kontravarian dapat ditulis sebagai berikut.

(2.75)

Terlihat bahwa tensor medan adalah hasil operasi curl empat dimensi dari vektor

potensial Aμ.

Tensor medan dalam bentuk kovarian dinyatakan dengan:

(2.76)

Dan dalam representasi matrik dapat ditulis sebagai berikut.

(2.77)

Dua persamaan Maxwell dengan sumber dapat dituliskan sebagai berikut:

∂μ Fμv=∂μ (∂μ Av−∂v Aμ )=□ Av−∂v (∂μ Aμ )=μ0 j v (2.78)

Jika v = 0, yang bersesuaian dengan kolom pertama pada representasi matrik

tensor medan elektromagnetik dalam bentuk kontravarian, diperoleh:

(2.79)

Dengan ε 0 μ0=1/c2, maka:

∇⋅ E= ρε 0

(2.80)


Yang dikenal sebagai persamaan Maxwell untuk medan listrik dengan sumber.

Untuk v = 1, yang bersesuaian dengan kolom kedua pada representasi matrik

tensor medan elektromagnetik dalam bentuk kontravarian, diperoleh:

(2.81)

Yang dapat ditulis sebagai berikut:

(2.82)

(2.83)

Cara yang sama berlaku untuk v = 2, 3. Sehingga persamaan (2.82) dapat

dinyatakan dalam bentuk vektor tiga dimensi sebagai berikut:

(2.84)

Yang dikenal sebagai persamaan Maxwell untuk medan magnet dengan sumber.

Dengan bantuan tensor semu antisimetrik rank 4,

ϵ μvκλ={ 10

−1

jika μ , v , κ , λ adalah permutasi genapdari 0,1,2,3jika sedikitnya dua dari μ , v ,κ , λ nilainya sama

jika μ , v , κ , λ adalah permutasi ganjil dari 0,1,2,3(2.85)

yang dapat dipandang sebagai generalisasi tensor Levi-Civita, didapatkan

pasangan tensor elektromagnetik:

(2.86)

dengan sifat

(2.87)

Dalam representasi matrik, dual tensor medan dapat dinyatakan sebagai:

(2.88)

Bentuk kovarian dari persamaan Maxwell untuk medan berikut


(2.89)

dapat ditulis sebagai berikut:

(2.90)

yang berkorespondensi dengan persamaan (2.91)

(2.91)

yang disebut identitas Jacobi. Sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan

(2.78) dan (2.91) merupakan persamaan Maxwell dalam formalisme empat

dimensi.

2.4. Pengaruh Medan Elektromagnetik pada Partikel Bermuatan

a. Persamaan Gerak Kovarian

Persamaan gerak yang benar untuk partikel bermuatan dalam medan

elektromagnetik dapat diturunkan dari fungsi 4 dimensi L4 dengan sifat yang

mirip dengan fungsi Lagrangian untuk 3D kemudian diterapkan prinsip variasi.

Fungsi tipe Hamilton dalam 4D dapat dicari dan diselesaikan dengan persamaan

yang sesuai untuk memperoleh formulasi kovarian dari elektrodinamika klasik.

1. Formalisme Lagrangian

Definisikan gerak umum 4D

(2.92)

Dimana dτ adalah proper time, dan L4 berperan sebagai generalisasi

Lagangian 3D yang umum. Diperoleh prinsip variasi:

(2.93)

dengan ujung tetap τ0 dan τ1 harus dipenuhi.

Formulasi Lagrangian dapat dicari dari selisih antara energi kinetik dan energi

potensial. Sebuah partikel bebas hanya mempunyai energi kinetik. Jika massa

partikel adalah m0, maka energi kinetik dalam 3D adalah m0v2/2. Sehingga

dalam 4D, Lagrangian untuk partikel bebas dapat dinyatakan sebagai:


(2.94)

Dengan pendekatan analitik mekanik untuk kasus 3D, persamaan umum

Lagrangian untuk menyatakan interaksi partikel dengan medan

elektromagnetik dengan menggunakan potensial 4D adalah:

(2.95)

yang disebut sebagai Lagrangian 4D.

Substitusi (2.95) ke (2.93) maka akan diperoleh:

(2.96)

Dengan kecepatan 4D adalah uμ=d xμ/dτ , maka perbedaan uμ adalah turunan

terhadap τ.

(2.97)

Sehingga persamaan (2.96) menjadi:

(2.98)

(2.99)

(2.100)

Dengan d Av /dτ dinyatakan sebagai:

(2.101)

Maka

(2.102)

Berdasarkan prinsip variaso, persamaan (2.102) harus sama dengan nol,

sedangkan nilai δ x v nilainya tidak nol dan berada di antara titik-titik ujung


yang tetap. Artinya, persamaan yang ada di dalam [ ] harus sama dengan nol,

sehingga diperoleh persamaan gerak untuk partikel bermuatan yang berada

dalam medan elektromagnetik sebagai berikut.

(2.103)

Persamaan (2.103) dapat dinyatakan dalam tensor medan elektromagnetik dan

menjadi

(2.104)

Persamaan (2.104) merupakan persamaan untuk mencari persamaan gerak

kovarian untuk partikel dalam medan elektromagnetik. Persamaan tersebut

sering disebut sebagai persamaan Minkowski.

2. Formalisme Hamiltonian

Definisikan Hamiltonian untuk 4D:

(2.105)

Persamaan diferensial partial dari persamaan Hamiltonian 4D:

(2.106)

(2.107)

Substitusi persamaan (2.95) ke persamaan (2.105), sehingga diperoleh

(2.108)

Dengan momentum 4D canonically conjugate

(2.109)

Substitusi persamaan (2.109) ke persamaan (2.108), maka didapat persamaan

(2.110)

Karena perkalian skalar kecepatan 4D dengan dirinya sendiri uμuμ=c2,

persamaan (2.110) menghasilkan besaran skalar invarian yang besarnya:

(2.111)

Dari persamaan (2.109), didapatkan hubungan aljabar:


(2.112)

Jika persamaan (2.112) disubstitusi ke persamaan (2.110) untuk

mengeliminasi uμ, maka akan diperoleh:

(2.113)

Hamiltonian 4D akan menghasilkan persamaan gerak kovarian yang benar

dengan mensubstitusi persamaan (2.113) ke persamaan Hamilton 4D (2.107)

dan menggunakan hubungan (2.112).

(2.114)

Dengan aljabar, akan diperoleh:

(2.114)

Dari persamaan (2.40) dan momentum 4D pμ=( p0 , p ), diperoleh skalar produk

berikut.

(2.115)

Substitusi persamaan (2.115) ke (2.113) dan nilai H4 pada persamaan (2.111),

akan diperoleh persamaan (2.116).

(2.116

)


(2.117

)

Yang menghasilkan dua kemungkinan solusi.

(2.118)

Dengan mengalikan persamaan (2.118) dengan c, maka diperoleh fungsi

Hamilton 3D untuk partikel yang bergerak dalam potensial skalar dan vektor

yang diasosiasikan sebagai medan listrik dan medan medan magnet.

(2.119)

Fungsi Lagrange dan Hamilton memiliki hubungan satu sama lain.

(2.120)

Dengan menggunakan persamaan (2.119) dan (2.120), diperoleh fungsi umum

Lagrange 3D.

(2.121)

Jika

(2.122)

Dimana mv adalah besaran momentum, persamaan (2.121) dapat dinyatakan

sebagai persamaan kovarian Lagrangian yang telah memenuhi keadaan

relativistik untuk partikel bermuatan yang berada dalam potensial skalar dan

vektor yang diasosiasikan sebagai medan listrik dan medan magnet.

(2.123)

b. Teori Medan Kovarian

1. Formalisme Lagrange-Hamilton untuk Medan Elektromagnetik dan Interaksi

dalam Medan Elektromagnetik

Lagrangian total sistem yang ditinjau adalah:


(2.124)

Dimana bagian mekanika berkaitan dengan gerak partikel (energi kinetik).

(2.125)

Suku kedua menggambarkan interaksi antara partikel bermuatan dan medan

elektromagnetik eksternal.

(2.126)

Dan suku ketiga adalah suku yang menggambarkan perbedaan rapat energi

magnet dan listrik.

(2.127)

Sehingga rapat Lagrangian total dapat dinyatakan sebagai berikut.

(2.128)

Bagian elektromagnetik pada persamaan (2.128) berada pada suku kedua dan

ketiga rapat Lagrangian total.

(2.129)

Persamaan Lagrangian bagian elektromagnetik dapat diturunkan untuk

mendapatkan persamaan Maxwell.

(2.130)

(2.131)

Dengan


(2.132)

Dan dengan cara yang sama

(2.133)

Sehingga diperoleh

(2.134)

Dari persamaan (2.130) dan (2.134), diperoleh:

(2.135)

(2.136)

Persamaan (2.136) di atas menyatakan persamaan Maxwell dengan sumber

seperti yang ditunjukkan persamaan (2.78).


BAB III KESIMPULAN

Elektromagnetisme merupakan dasar dari munculnya teori relativitas khusus. Teori relativitas khusus muncul dari kemungkinan yang diajukan Einstein ketika diketahui bahwa relativitas Galileo tidak invarian pada kasus elektromagnetik. Teori relativitas khusus memiliki dua postulat, yaitu:

1. Semua hukum fisika (kecuali hukum gravitasi) dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama berlaku untuk semua sistem yang inersia

2. Kecepatan cahaya di ruang hampa besarnya sama, tidak bergantung pada gerak sumber cahaya relatif terhadap pengamat atau gerak pengamat relatif terhadap sumber

Dengan meninjau bentuk tensor dari potensial dan medan, diperoleh persamaan Maxwell dalam formalisme empat dimensi sebagai berikut:

∂μ Fμv=μ0 jv dan ∂κ Fμv+∂μ Fvκ+∂v Fκμ=0

Partikel bermuatan yang berada dalam medan elektromagnetik akan mengalami pergerakan. Persamaan Lagrangian untuk partikel bermuatan yang bergerak dalam medan elektromagnetik, dengan koreksi relativitas dinyatakan oleh persamaan berikut.

Persamaan Maxwell dengan sumber dapat diturunkan dari bagian elektromagnetik persamaan rapat Lagrangian total.


DAFTAR PUSTAKA

Beiser, Arthur. (1990). Konsep Fisika Modern, Edisi Keempat, Alih Bahasa: The

Houw Liong. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Jackson, John David. (1999). Classical Electrodynamics, 3rd edition, [PDF]. John

Wiley & Sons, Inc.

Thide, Bo. (2012). Electromagnetic Field Theory, Second Edition, Draft Version.

Tersedia: http://www.plasma.uu.se/CED/Book.

Vanderlinde, Jack. (2004). Classical Electromagnetic Theory, Second Edition.

Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.


tugas 3 makalah

Documents