TUGAS III

FISIKA STATISTIK

Turunan Besaran-Besaran Termodinamik untuk Boson dan Fermion

Oleh:

SUWARNI

S911308005

ILMU FISIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2014

A. Turunan Besaran Termodinamik untuk Boson

Boson merupakan suatu sistem yang momentum sudutnya merupakan

kelipatan bilangan bulat dari h / 2 dan juga tidak memenuhi larangan Pauli.

Berdasarkan pandangan mekanika statistik perbedaan mendasar antara sistem

boson dan sistim klasik adalah bahwa dua buah boson identik dan tidak dapat

dibedakan. Dalam sistem klasik, pertukaran dua sistem akan menghasilkan

susunan yang berbeda, sedangkan dalam sistem boson tidak. Perbedaan tersebut

menyebabkan adanya hasil yang berbeda dalam perhitungan distribusi energi

dengan peluang terbesar dalam sistem.

Metode perhitungan distribusi energi dengan peluang terbesar dalam

sebuah assembly untuk partikel identik seperti halnya boson sama dengan yang

telah dilakukan untuk assembly klasik. Konfigurasi assembly tetap ditandai

dengan pita energi i, mengandung gi keadaan dengan selang energi antara dan

d , mengandung mi sistem. Pembatasan tetap dilakukan pada jumlah sistem

yang ditempatkan mi dalam kaitannya dengan energi total E dan jumlah total

sistem N melalui hubungan:

∑ ∑ (1)

Misalkan terdapat gi keadaan dari pita i. Sejumlah mi sistem dapat

disusun atau disebar diatara gi keadaan. Jika pengisian dimulai dari kiri, pada sisi

paling kiri ditempatkan sebuah sistem, maka pada sisi selanjutnya terdapat

keadaan. Banyaknya cara memilih sistem adalah . Dan

banyaknya cara menempatkan mi sistem diantara keadaan setelah

keadaan pertama adalah [ ] . Jadi banyaknya cara menempatkan mi

sistem diantara gi keadaan adalah:

[ ] (2)

Yang perlu diingat adalah bahwa sistem tak terbedakan, sehingga

banyaknya susunan yang berbeda 𝝮 dari sistem dengan jumlah pita i adalah :

[ ]

[ ]

(3)

Dengan menggunakan pendekatan sterling, kita dapat menghitung entropi,

energi bebas, dan potensial kimia.

Entropinya (S):

∑ [ ] (4)

∑[

]

S ∑ [ ] (5)

Energi Bebas (F):

F = E – TS

F = ∑i [ ] (6)

Potensial Kimia :

= [ ] (7)

Sehingga:

[

]

(

)

(8)

Di sebut bentuk umum Bose Einstein untuk asembly Boson.

Atau:

∑ (

) (9)

Dimana:

∑ dan ∑

Jadi:

∑ (

) (10)

Kemudian:

(11)

(12)

(13)

Di sebut bentuk umum Bose Einstein untuk asembly Boson.

Dimana

Dan

(14)

, z adalah fungsi partisi.

Kemudian kita mendapatkan bahwa,

dimana adalah potensial

kimia. Dua sistem pada kesetimbangan termodinamika memiliki temperatur yang

sama T. Sistem kimia (jumlah partikel) mempunyai yang sama pada

kesetimbangan.

B. Turunan Besaran Termodinamik untuk Fermion

Fermion merupakan suatu sistem yang momentum sudutnya merupakan

kelipatan bilangan bulat-setengah. Karena fermion memenuhi larangan Pauli,

maka setiap keadaan paling banyak diisi oleh satu sistem saja. Misalkan suatu

assembly tertutup dan mengandung sejumlah N fermion yang tak saling

berinteraksi, dengan energi total E .

Tiap pita mengandung sejumlah sg keadaan dengan energi yang berada

dalam interval s dan s sd . Konfigurasi assembly ditandai oleh nilai sn yang

menyatakan jumlah sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai s . Karena

assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total haruslah

memenuhi syarat:

s

s

n N s s

s

n E (1)

Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan

menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat dibedakan)

dan oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka jumlah yang dapat

ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika sejumlah sn

sistem telah ditempatkan dalam sg keadaan, maka terdapat s sg n dari sg

keadaan yang masih kosong. Maka banyaknya cara mengisi adalah:

ss

s s s

g !w

n ! g n !

(2)

Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan mengalikan

masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni:

s

s s s s

g !W

n ! g n !

(3)

Oleh karena sg dan sn cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan

Stirling:

s

s s s s

g !logW log

n ! g n !

(4)

= s s s s s s s sg log g n log n g n log g n

Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah:

s s

s s

logWdn 0

n

(5)

Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga s

manapun:

s

s

logW0

n

(6)

s s

s s

g nlogWlog

n n

s ss

s

g nlog 0

n

ss

s

gexp 1

n

Nilai sn yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang terbesar:

s

s

s

gn

exp 1

(7)

Disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion.

Dari persamaan (7) diperoleh:

∑

(8)

Dan

∑

(9)

Maka distribusi Fermi-Dirac untuk fermion adalah:

(10)

Tanda positif dan negatif pada persamaan antara Boson (-) dan Fermion

(+) inilah yang menyebabkan perbedaan antara kedua distribusi ini. Di mana

bahwa dalam distribusi Fermi-Dirac terbukti bahwa peluang elektron menempati

suatu keadaan adalah antara 0 dan 1, karena dibatasi oleh pembagi +1.

REFERENSI

Huan, Alfred. Statistichal Mechanics

Sistem Makro dan Mikro, Universitas Sumatera Utara

www://http:statistic-bose-Einstein

www://http:statistic-fermi-dirac