transformasi - yayahruqoyah.weebly.comyayahruqoyah.weebly.com/uploads/3/1/7/2/31726783/mtk7.pdf ·...
TRANSCRIPT
Transformasi
239Matematika
PENDAHULUAN
Modul ini adalah modul ke-7 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul inimembahas tentang transformasi.
Modul ini terdiri dari 2 kegiatan belajar. Pada kegiatan belajar 1 akan dibahasmengenai translasi dan refleksi. Terakhir, pada kegiatan belajar 2 akan dibahasmengenai rotasi dan dilatasi.
Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat memahami konsepmacam-macam transformasi yang terdiri dari refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.
Secara khusus setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat:1. membedakan suatu transformasi dengan transformasi lainnya2. menentukan bayangan dari benda yang ditranslasikan3. menentukan bayangan dari benda yang direfleksikan4. menentukan bayangan dari benda yang dirotasikan5. menentukan bayangan dari benda yang didilatasikan6. menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan translasi, refleksi, rotasi,
dan dilatasi
PETUNJUK BELAJAR1. Bacalah dengan cermat pendahuluan modul ini sehingga Anda memahami tujuan
dan bagaimana mempelajari modul ini.2. Bacalah uraian materi dalam modul ini, tandailah kata-kata penting yang
merupakan kunci. Pahami setiap konsep dalam uraian materi dengan mempelajaricontoh-contohnya.
3. Jika mengalami kesulitan dalam mempelajari modul ini, diskusikanlah denganteman-teman Anda atau dengan tutor.
4. Pelajari sumber-sumber lain yang relevan untuk memperluas wawasan.5. Kerjakan soal-soal latihan dalam modul ini tanpa melihat petunjuk jawaban latihan
terlebih dahulu. Apabila mengalami kesulitan, barulah Anda melihat petunjukjawaban latihan.
6. Kerjakan soal-soal tes formatif dan periksa tingkat kemampuan Anda denganmencocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif. Ulangilahpengerjaan tes formatif ini sampai Anda benar-benar dapat mengerjakan semuasoal-soal tes formatif ini dengan benar.
Selamat Belajar, Semoga Sukses!
TRANSFORMASI / // // /7
MODUL
Transformasi
240 Matematika
TRANSLASI DAN REFLEKSIA. TRANSLASI
(1) Pengertian Translasi
Pada gambar 7.1, tampak bahwa ABC digeser sepanjang garis lurus dengan arahdan jarak tertentu sedemikian hingga menjadi A’B’C’. Pada pergeseran tersebut,
A’B’C’ merupakan bayangan dari ABC. Pergeseran yang memindahkan ABCmenjadi A’B’C’ dapat diwakili oleh ruas garis-ruas garis berarah
AA' atau
BB'
atau CC' .Perhatikan gambar 7.1, tampak bahwa AA’ = BB’ = CC’ sehingga A’B’C’
kongruen (sama bentuk dan ukuran) dengan ABC. Pergeseran seperti ini, yangmemindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri sepanjang garis lurus denganarah dan jarak tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semuladinamakan translasi.
A
B
C
A’
B’
C’
Gambar 7.1
(2) Notasi dengan Pasangan BilanganSuatu translasi dapat dinyatakan dengan menggunakan suatu pasangan
bilangan
ba
, dengan a mewakili pergeseran arah horisontal dan b mewakili
pergeseran arah vertikal.
Pada gambar 7.2, tampak bahwa ruas garis berarah AA'memperlihatkan sebuahtranslasi yang memindahkan titik A ke titik A’. Pergeseran titik A ke titik A’ dilakukandengan cara menggeser 5 satuan ke kanan dilanjutkan 3 satuan ke atas. Translasi
AA' tersebut dinyatakan dalam bentuk
35
, atau secara singkat ditulis: AA'=
35
.
Transformasi
241Matematika
A’
A5
3
Gambar 7.2
(3) Menentukan Bayangan Titik oleh Translasi TertentuPada gambar 7.3 tampak sebuah titik P(x,y) yang ditranslasikan oleh
T =
ba
sehingga bayangannya adalah P’(x’,y’).
a
b
P(x,y)
P’(x’,y’)
ba
T
O
Y
X
Gambar 7.3Kemudian kita cari hubungan antara x, y, x’, y’, a, dan b, hasilnya adalah
sebagai berikut.x’ = x + ay’ = y + b
Sehingga titik P(x,y) berturut-turut diganti oleh x + a dan y + b. Oleh karenaitu, koordinat titik P’(x’,y’) menjadi P’(x + a,y + b).
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:
Pada tranlasi T =
ba
, bayangan titik P(x,y) adalah P’(x + a,y + b).
Agar Anda lebih jelas mengenai menentukan bayangan titik oleh tranlasitertentu, berikut diberikan contoh.
Transformasi
242 Matematika
Contoh 1:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) oleh translasi
T =
32-
.
Penyelesaian:
· Bayangan P(-2,3) oleh translasi T =
32-
adalah P(-2+(-2),3+3) = P’(-4,6).
· Bayangan Q(3,3) oleh translasi T =
32-
adalah P(3+(-2),3+3) = Q’(1,6).
· Bayangan R(3,6) oleh translasi T =
32-
adalah P(3+(-2),6+3) = R’(1,9).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) oleh translasi T =
32-
adalah titik-titik P’(-4,6), Q’(1,6), dan R’(1,9).
B. REFLEKSI
(1) Pengertian RefleksiPada gambar 7.5, tampak bahwa ABC dicerminkan terhadap garis g sehingga
menjadi A’B’C’. Garis g dinamakan sumbu simetri atau garis invarian (tetap).Perhatikan gambar 7.5. Titik-titik A, B, dan C pada ABC dicerminkan menjadi
titik-titik A’, B’, dan C’ dengan arah tegak lurus terhadap garis g, dengan AF = FA’,BE = EB’ dan CD = DC’, sehingga diperoleh bayangannya A’B’C’ yang kongruen(sama bentuk dan ukuran) dengan ABC. Pencerminan seperti ini, yang memindahkansemua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, sertabayangannya kongruen dengan bangun semula dinamakan refleksi.
A
B
C
A’
B’
C’g
E
F
D
Gambar 7.5
(2) Refleksi terhadap Sumbu XPada gambar 7.6 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,-4).
Transformasi
243Matematika
A (4,2)
B (-2,4)
X
Y
O
C (-4,-2)
D (2,-4)
Gambar 7.6
Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2),dan D (2,-4) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu X, sehingga diperolehhasil sebagai berikut.
A (4,2)
B (-2,4)
X
Y
O
C (-4,-2)
D (2,-4)
2)(4,'A
)4(2,'D
)4(-2,'B
(-4,2)'C
Gambar 7.7
Bayangan dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,-4) pada refleksi(pencerminan) terhadap sumbu X adalah A’(4,-2), B’(-2,-4), C’(-4,2), dan D’(2,4). Darihasil tersebut diperoleh bahwa koordinat x dari titik yang dicerminkan terhadapsumbu X sama dengan koordinat x dari bayangannnya, sedangkan koordinat y darititik yang dicerminkan terhadap sumbu X sama dengan negatif dari koordinat y daribayangannnya.
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada refleksi terhadap sumbu X, bayangan titik P(a,b) adalah P’(a,-b).
Agar Anda lebih jelas mengenai refleksi terhadap sumbu X, berikut diberikancontoh.
Transformasi
244 Matematika
Contoh 2:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap sumbu X.
Penyelesaian:· Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah P’(-2,-3).· Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah Q’(3,-3).· Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah R’(3,-6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap sumbu X adalah titik-titik P’(-2,-3), Q’(3,-3), dan R’(3,-6).
(3) Refleksi terhadap Sumbu YPada gambar 7.8 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2).
A (2,4)
B (-4,2)
X
Y
O
C (-2,-4)
D (4,-2)
Gambar 7.8
Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4),dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu Y, sehingga diperoleh hasilsebagai berikut.
A (2,4)
B (-4,2)
X
Y
O
C (-2,-4)
D (4,-2)
(-2,4)'A
(4,2)'B
(-4,-2)'D
(2,-4)'C
Gambar 7.9
Transformasi
245Matematika
Bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2) pada refleksi(pencerminan) terhadap sumbu Y adalah A’(-2,4), B’(-4,2), C’(-2,-4), dan D’(-4,-2).Dari hasil tersebut diperoleh bahwa koordinat y dari titik yang dicerminkan terhadapsumbu Y sama dengan koordinat y dari bayangannnya, sedangkan koordinat x darititik yang dicerminkan terhadap sumbu Y sama dengan negatif dari koordinat x daribayangannnya.
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada refleksi terhadap sumbu Y, bayangan titik P(a,b) adalah P’(-a,b).
Agar Anda lebih jelas mengenai refleksi terhadap sumbu Y, berikut diberikancontoh.
Contoh 3:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap sumbu Y.
Penyelesaian:· Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah P’(2,3).· Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah Q’(-3,3).· Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah R’(-3,6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap sumbu Y adalah titik-titik P’(2, 3), Q’(-3,3), dan R’(-3,6).
(4) Refleksi terhadap Garis y = xPada gambar 7.10 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5), dan D (4,-2).
A (2,5)
B (-4,2)
X
Y
O
C (-2,-5)
D (4,-2)
y = x
Gambar 7.10
Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5),dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap garis y = x, sehingga diperolehhasil sebagai berikut.
Transformasi
246 Matematika
A (2,5)
B (-4,2)
X
Y
O
C (-2,-5)
D (4,-2)
y = x
A’(5,2)
D’(-2,4)
B’(2,-4)
C’(-2,-5)
Gambar 7.11
Bayangan dari titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5), dan D (4,-2) pada refleksi(pencerminan) terhadap terhadap garis y = x adalah A’(5,2), B’(2,-4), C’(-2,—5), danD’(-2,4). Dari hasil tersebut diperoleh bahwa koordinat x pada suatu titik yangdicerminkan menjadi koordinat y pada bayangannya, sedangkan koordinat y padasuatu titik yang dicerminkan menjadi koordinat x pada bayangannya.
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada refleksi terhadap garis y = x, bayangan titik P(a,b) adalah P’(b,a).
Agar Anda lebih jelas mengenai refleksi terhadap garis y = x, berikut diberikancontoh.
Contoh 4:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap garis y = x.
Penyelesaian:· Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah P’(3,-2).· Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah Q’(3,3).· Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah R’(6,3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap garis y = x adalah titik-titik P’(3, -2), Q’(3,3), dan R’(6,3).
(5) Refleksi terhadap Garis y = -xPada gambar 7.12 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3).
Transformasi
247Matematika
A (-1,4)
B (-4,3)
X
Y
O
C (1,-4)
D (4,3)
y = -x
Gambar 7.12Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4),
dan D (4,3) pada refleksi (pencerminan) terhadap garis y = -x, sehingga diperolehhasil sebagai berikut.
A (-1,4)
B (-4,3)
X
Y
O
C (1,-4)
D (4,3)y = -x
A’(-4,1)
D’(-3,-4)
B’(3,4)
C’(4,-1)
Gambar 7.13
Bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3) pada refleksi(pencerminan) terhadap terhadap garis y = x adalah A’(-4,1), B’(3,4), C’(4,-1), danD’(-3,-4). Dari hasil tersebut diperoleh bahwa koordinat x pada suatu titik yangdicerminkan menjadi negatif dari koordinat y pada bayangannya, sedangkankoordinat y pada suatu titik yang dicerminkan menjadi negatif dari koordinat xpada bayangannya.
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada refleksi terhadap garis y = -x, bayangan titik P(a,b) adalah P’(-b,-a).
Agar Anda lebih jelas mengenai refleksi terhadap garis y = -x, berikut diberikancontoh.
Transformasi
248 Matematika
Contoh 5:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap garis y = -x.
Penyelesaian:· Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = -x adalah P’(-3,2).· Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah Q’(-3,-3).· Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah R’(-6,-3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap garis y = x adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,-3), dan R’(-6,-3).
(6) Refleksi terhadap Garis x = kPada gambar 7.14 tampak sebuah titik P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan)
terhadap garis x = k sehingga bayangannya adalah P’(a’,b’).
X
Y
O
P(a,b)
x = k
P’(a’,b’)
a
k
Q
Gambar 7.14Kemudian kita cari hubungan antara a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagai
berikut.
a’ = a + PP’ a’ = a + PP’ a’ = a + 2PQ a’ = a + 2(k – a) a’ = a + 2k – 2a a’ = 2k – a
Selanjutnya, dari gambar 7.14 tampak jelas bahwa b’ = b, sehingga titik P(a,b)berturut-turut diganti oleh 2k–a dan b. Oleh karena itu, koordinat titik P’(a’,b’)menjadi P’(2k–a,b).
Transformasi
249Matematika
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada refleksi terhadap garis x = k, bayangan titik P(a,b) adalah P’(2k-a,b).
Agar Anda lebih jelas mengenai refleksi terhadap garis x = k, berikut diberikancontoh.
Contoh 6:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap garis x = 5.
Penyelesaian:· Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis x = 5 adalah
P’(2(5)-(-2),3) = P’(12,3).· Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis x = 5 adalah
Q’(2(5)-3,3) = Q’(7,3).· Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis x = 5 adalah
R’(2(5)-3,6) = R’(7,6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap garis x = 5 adalah titik-titik P’(12,3), Q’(7,3), dan R’(7,6).
(7) Refleksi terhadap Garis y = kPada gambar 7.15 terlihat sebuah titik P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan)
terhadap garis y = k sehingga bayangannya adalah P’(a’,b’).
X
Y
O
P(a,b)
y = k
P’(a’,b’)
b
k
Q
Gambar 7.15
Kemudian kita cari hubungan antara a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagaiberikut.b’ = b + PP’ b’ = b + PP’
b’ = b + 2PQ b’ = b + 2(k – b) b’ = b + 2k – 2b b’ = 2k – b
Transformasi
250 Matematika
Selanjutnya, dari gambar 7.15 tampak jelas bahwa a’ = a, sehingga titik P(a,b)berturut-turut diganti oleh a dan 2k-b. Oleh karena itu, koordinat titik P’(a’,b’)menjadi P’(a,2k-b).
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada refleksi terhadap garis y = k, bayangan titik P(a,b) adalah P’(a,2k-b).
Agar Anda lebih jelas mengenai refleksi terhadap garis y = k, berikut diberikancontoh.
Contoh 7:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap garis y = 3.
Penyelesaian:· Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah
P’(-2,2(4)-3) = P’(-2,5).· Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah
Q’(3,2(4)-3) = Q’(3,5).· Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah
R’(3,2(4)-6) = R’(3,2).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkanterhadap garis y = 4 adalah titik-titik P’(-2,5), Q’(3,5), dan R’(3,2).
Petunjuk: Jawablah pertanyaan dengan singkat dan tepat!Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihanberikut!1. Tentukan pasangan bilangan yang memindahkan titik V(2,3) ke titik W(5,6).
2. Titik U(1,2) ditranslasikan oleh T1 =
32
dilanjutkan oleh translasi TT2 =
14-
.
Tentukan bayangan titik tersebut.3. Bayangan titik T(-3,2) pada pencerminan terhadap garis x = k adalah T’(5,2).
Tentukan nilai k.4. Titik Z(4,2) di cerminkan terhadap garis y = x dan bayangannya dicerminkan lagi
terhadap sumbu Y. Tentukan bayangan terakhir dari titik Z.
5. Carilah bayangan titik H(-3,5) yang ditranslasilan oleh T =
3-2
dan bayangannya
dicerminkan terhadap garis x = -4. Tentukan bayangan titik tersebut.
Transformasi
251Matematika
Petunjuk Jawaban LatihanPeriksa secara seksama jawaban Anda, kemudian cocokkanlah jawaban Anda
dengan kunci jawaban berikut:
1. Bayangan V(2,3) oleh translasi T =
ba
adalah W(2+a,3+b) = W(5,6). Diperoleh:
2 + a = 5 a = 3 dan 3 + b = 6 b = 3.
Jadi, pasangan yang memindahkan titik V(2,3) ke titik W(5,6) adalah
33
.
2. Cara 1:
Bayangan U(1,2) oleh translasi T1 =
32
adalah U’(1+2,2+3) = U’(3,5).
Bayangan U’(3,5) oleh translasi T2 =
14-
adalah U’’(3+(-4),5+1) = U’’(-1,6).
Jadi, bayangan titik tersebut adalah U’’(-1,6).
Cara 2:Translasi T1 dilanjutkan translasi T2 dapat diwakili oleh tanslasi tunggal T2 o T1 =
32
+
14-
=
1 3
(-4) 2=
42-
, sehingga bayangan U(1,2) oleh translasi T2 o T1 =
42-
adalah U’(1 + (-2), 2 + 4)) = U’(-1,6).
Jadi, bayangan titik tersebut adalah U’’(-1,6).3. Pada pencerminan terhadap garis x = k, bayangan titik T(-3,2) adalah T’(2k-(-
3),2) = T’(2k+3,2) = T’(5,2). Diperoleh: 2k + 3 = 5 k = 1.Jadi, nilai k adalah 1.
4. Pada pencerminan terhadap garis y = x, bayangan titik Z(4,2) adalah Z’(2,4).Pada pencerminan terhadap sumbu Y, bayangan titik Z’(2,4) adalah Z’’(-2,4).Jadi, bayangan terakhir dari titik Z(4,2) adalah titik Z’’(-2,4).
5. Bayangan titik H(-3,5) oleh tranlasi T=
3-2
adalah H’(-3+2,5+(-3))=H’(-1,2).
Bayangan titik H’(-1,2) pada pencerminan terhadap garis x = -4 adalah H’’(2(-4)-(-1),2) = H’’(-7,2).Jadi, bayangan titik H(-3,5) adalah H’’(-7,2).
Transformasi
252 Matematika
1. Translasi atau pergeseran adalah pemindahan semua titik pada sebuahbangun geometri sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
2. Suatu translasi dapat dinyatakan dengan menggunakan suatu pasangan
bilangan
ba
, dengan a mewakili pergeseran arah horisontal dan b
mewakili pergeseran arah vertikal.
3. Pada tranlasi T =
ba
, bayangan titik P(x,y) adalah P’(x + a,y + b).
4. Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi yang memindahkansemua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu.
5. Pada refleksi terhadap sumbu X, bayangan titik P(a,b) adalah P’(a,-b).6. Pada refleksi terhadap sumbu Y, bayangan titik P(a,b) adalah P’(-a,b).7. Pada refleksi terhadap garis y = x, bayangan titik P(a,b) adalah P’(b,a).8. Pada refleksi terhadap garis y = -x, bayangan titik P(a,b) adalah
P’(-b,-a).9. Pada refleksi terhadap garis x = k, bayangan titik P(a,b) adalah
P’(2k-a,b).10. Pada refleksi terhadap garis y = k, bayangan titik P(a,b) adalah
P’(a,2k-b).
Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!
1. Bayangan dari titik A(-5,3) oleh translasi T =
62-
adalah ....
A. (-9,7). C. (9,-7).B. (-7,9). D. (7,-9).
2. Titik (-4,7) ditranslasikan oleh
4-5
dilanjutkan oleh
2-3
, maka bayangannya
adalah ....A. (4,1). C. (-1,4).B. (1,4). D. (4,-1).
Transformasi
253Matematika
3. Pasangan bilangan yang memindahkan titik C(-1,4) ke titik D(7,3) adalah ....
A.
8-1
. C.
81-
.
B.
18-
. D.
1-8
.
4. Titik-titik G(-2,5) dan H(7,-3) dicerminkan terhadap garis y = -x, maka bayangannyamasing-masing adalah ....A. (5,-2) dan (-3,7). C. (-5,2) dan (3,-7).B. (-3,7) dan (5,-2). D. (3,-7) dan (-5,2).
5. Bayangan titik J(-8,4) pada pencerminan terhadap garis y = k adalah T’(-8,-6).Nilai k adalah ....A. -1. C. -2.B. 1. D. 2.
6. Jika K(4,-5) berturut-turut dicerminkan terhadap garis x = -2 dan ditranslasikan
oleh
34-
, maka bayangannya adalah ....
A. (-4,2). C. (-4,-2).B. (2,-4). D. (-2,-4).
7. Titik R(x,y) ditranslasikan oleh
54-
ke R’(-7,3). Nilai x dan y masing-masing
adalah ....A. -2 dan 3. C. -3 dan 2.B. -2 dan -3. D. -3 dan -2.
8. Titik P(x,y) di cerminkan terhadap garis y = 1, dilanjutkan dicerminkan terhadapgaris y = 5 diperoleh bayangan P’’(-3,6). Maka koordinat titik P adalah ....A. (-3,2). C. (-3,-2).B. (2,-3). D. (-2,-3).
9. Jika titik L(5,7) dicerminkan terhadap garis y = x dan dilanjutkan terhadap sumbuX, maka bayangannya adalah ....A. (-5,7). C. (5,-7).B. (7,-5). D. (-7,5).
10. Koordinat bayangan titik O(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkandengan pencerminan terhadap sumbu X adalah ...A. (3,-4). C. (-3,4).B. (-4,3). D. (4,-3).
Transformasi
254 Matematika
Cocokkan jawaban Anda dengan menggunakan kunci jawaban Tes Formatif 1yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Andayang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkatpenguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Rumus : Jumlah jawaban Anda yang benarTingkat penguasaan = ______________________________ X 100 % 10Arti tingkat penguasaan yang Anda capai :90 % - 100% = Baik sekali80 % - 89% = Baik70% - 79 % = Cukup
< 70% = Kurang
Apabila tingkat penguasaan Anda telah mencapai 80 % atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan Kegiatan Belajar selanjutnya. Bagus ! Tetapi apabila nilai tingkatpenguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1,terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Transformasi
255Matematika
ROTASI DAN DILATASIA. ROTASI
(1) Pengertian Rotasi
Pada gambar 7.1, tampak bahwa ABC diputar menjadi A’B’C’. Setiap titikpada ABC diputar dalam arah yang sama, dengan besar sudut rotasi q pada
suatu titik O yang meyebabkan kedudukan segitiga berubah. Ukuran-ukuran sisiserta sudut segitiga tetap, sehingga A’B’C’ kongruen (sama bentuk dan ukuran)dengan ABC. Perputaran seperti ini, yang memindahkan semua titik pada bangungeometri yang masing-masing bergerak sepanjang busur lingkaran yang pusatnyaadalah pusat perputaran sebesar suatu sudut tertentu dinamakan rotasi.
Rotasi ditentukan oleh tiga hal, yaitu titik pusat, besar sudut, dan arah sudutrotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu berlawanan arahdengan arah putaran jarum jam. Sedangkan rotasi dikatakan memiliki arah negatif,jika rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.
A
B
C
A’
B’
C
O
θ
Gambar 7.16
(2) Rotasi terhadap Titik Pusat O(0,0) Sebesar 900 Searah Jarum JamPada gambar 7.17 terlihat 2 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (2,3) dan B (-2,-4).
Transformasi
256 Matematika
X
Y
O
A(2,3)
B(-2,-4)
A’(3,2)
090090
B’(-4,-2)
Gambar 7.17
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(2,3)dan B(-2,-4) pada rotasi sebesar 900 searah jarum jam masing-masing adalah A’(3,2)dan B’(-4,-2).
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 searah jarum jam, bayangan titikP(a,b) adalah P’(b,-a).
Agar Anda lebih jelas mengenai rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900
searah jarum jam, berikut diberikan contoh.
Contoh 1:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 900 searah jarum jam.
Penyelesaian:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 searah jarum jam,· Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(3,2).· Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(3,-3).· Bayangan titik R(3,6) adalah R’(6,-3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 900 searah jarum jam adalah titik-titik P’(3,-2), Q’(3,-3),dan R’(6,-3).
(3) Rotasi terhadap Titik Pusat O(0,0) Sebesar 900 Berlawanan dengan Arah JarumJam
Pada gambar 7.18 terlihat 2 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,yaitu titik-titik A (2,-4) dan B (-3, 4).
Transformasi
257Matematika
X
Y
O
A’(4,2)
B’(-4,-3)A(2,-4)
090090
B(-3,4)
Gambar 7.18
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(2,-4) dan B(-3,4) pada rotasi sebesar 900 berlawanan dengan arah jarum jam masing-masing adalah A’(4,2) dan B’(-4,3).
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarumjam, bayangan titik P(a,b) adalah P’(-b,a).
Agar Anda lebih jelas mengenai rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900
berlawanan dengan arah jarum jam, berikut diberikan contoh.
Contoh 2:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarum jam.
Penyelesaian:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarumjam,· Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(-3,-2).· Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,3).· Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-6,3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarum jam adalah titik-titikP’(-3,-2), Q’(-3,3), dan R’(-6,3).
(4) Rotasi Terhadap Titik Pusat O(0,0) Sebesar 1800 Searah atau Berlawanandengan Arah Jarum Jam
Pada gambar 7.19 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,yaitu titik-titik A (4,-2).
Transformasi
258 Matematika
X
Y
O
A’(-4,2)
A(4,-2)
0180
0180
Gambar 7.19
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(4,-2) pada rotasi sebesar 1800 searah atau berlawanan dengan arah jarum jam adalahA’(-4,2).
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada rotasi terhadap pusat O(0,0) sebesar 1800 searah atau berlawanan dengan arahjarum jam, bayangan titik P(a,b) adalah P’(-a,-b).
Agar Anda lebih jelas mengenai rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800
searah atau berlawanan dengan arah jarum jam, berikut diberikan contoh.
Contoh 3:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 1800 berlawanan dengan arah jarum jam.
Penyelesaian:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800 berlawanan dengan arah jarumjam,· Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(2,-3).· Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,-3).· Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-3,-6).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 1800 berlawanan dengan arah jarum jam adalah titik-titikP’(2,-3), Q’(-3,-3), dan R’(-3,-6).
(5) Rotasi terhadap Tit ik Pusat O(0,0) Sebesar 2700 Searah Jarum JamPada gambar 7.20 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,
yaitu titik-titik A (4,-2).
Transformasi
259Matematika
X
Y
O
A’(-5,3)
A(3,5)
0270
Gambar 7.20
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(3,5)pada rotasi sebesar 1800 searah jarum jam adalah A’(-5,3).
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah jarum jam, bayangantitik P(a,b) adalah P’(-b,a).
Agar Anda lebih jelas mengenai rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700
searah jarum jam, berikut diberikan contoh.
Contoh 4:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah arah jarum jam.
Penyelesaian:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah arah jarum jam,· Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(-3, 2).· Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,3).· Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-6,3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah jarum jam adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,3),dan R’(-6,3).
(6) Rotasi terhadap Titik Pusat O(0,0) Sebesar 2700 Berlawanan dengan Arah JarumJam
Pada gambar 7.21 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,yaitu titik-titik A (4,3).
Transformasi
260 Matematika
X
Y
O
A’(3,-4)
A(4,3)
0270
Gambar 7.21
Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(4,3)pada rotasi sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam adalah A’(3,-4).
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarumjam, bayangan titik P(a,b) adalah P’(b,-a).
Agar Anda lebih jelas mengenai rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700
berlawanan dengan arah jarum jam, berikut diberikan contoh.
Contoh 5:Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam.
Penyelesaian:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarumjam,· Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(3, 2).· Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(3,-3).· Bayangan titik R(3,6) adalah R’(6,-3).
Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadaptitik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam adalah titik-titikP’(3,2), Q’(3,-3), dan R’(6,-3).
Transformasi
261Matematika
B. DILATASI
(1) Pengertian DilatasiPada gambar 7.22, tampak bahwa ABC dari titik O diperkecil menjadi
A’B’C’, dengan panjang sisi dan luas ABC diperkecil, sedangkan ukuran-ukuransudut dan bentuk ABC tidak berubah. Pada gambar 7.1 juga tampak bahwa ABCdari titik O diperbesar menjadi A’’B’’C’’, dengan panjang sisi dan luas ABCdiperbesar, sedangkan ukuran-ukuran sudut dan bentuk ABC tidak berubah.Sehingga diperoleh A’B’C’ dan A’’B’’C’’ masing-masing sebangun (sama bentukdan ukuran sudut) dengan ABC.
Pengecilan dan pembesaran seperti ini, yang mengubah ukuran bangungeometri tetapi tidak mengubah bentuk dan ukuran sudut bangun geometri disebutdilatasi.
A’ A A’’
B’B
B’’
C’
C
C’’
O
Gambar 7.22
Dilatasi ditentukan oleh dua hal, yaitu pusat dan faktor skala dilatasi. Pusatdari sebuah dilatasi adalah sebuah titik, sedangkan faktor skala merupakan sebuahbilangan k yang dibagi menjdi 6 kelompok, yaitu: k < -1, -1 < k < 0, 0 < k < 1, k > 1,k = -1, dan k = 1. Dilatasi yang bertitik pusat O(0,0) dan faktor skalanya k ditulis[0,k].
(2) Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) dengan Faktor Skala k < -1Gambar 7.23, memperlihatkan bahwa pada dilatasi [0,-2], bayangan dari ABC
adalah A’B’C’. Dari gambar tersebut terlihat bahwa panjang sisi-sisi dari A’B’C’adalah 2 kali dari panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada ABC. Ini berarti bahwapada dilatasi [0,-2], bayangan dari sebuah bangun besarnya 2 kali dari bangun semula.Selain itu terlihat pula bahwa pada dilatasi dengan faktor skala k = -2 (negatif),bayangan A’B’C’ terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semulaABC.
Transformasi
262 Matematika
O
A
A’
B
B’
C
C’
X
Y
Gambar 7.23
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada dilatasi [0,k] dengan k < -1, bayangan sebuah bangun lebih besar dan terletakberlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Agar Anda lebih jelas mengenai dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) denganfaktor skala k < -1, berikut diberikan contoh.
Contoh 6:Salinlah bangun geometri berikut, kemudian gambarlah bayangannya pada dilatasi[0,-2].
P Q
R
Gambar 7.24
Transformasi
263Matematika
Penyelesaian:
P Q
R
X
Y
Q’ P’
R’
O
Gambar 7.25
(3) Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) dengan Faktor Skala -1 < k < 0
Gambar 7.26, memperlihatkan bahwa pada dilatasi [0,-21
], bayangan dari
segiempat ABCD adalah segiempat A’B’C’D’. Dari gambar tersebut terlihat bahwa
panjang sisi-sisi dari segiempat A’B’C’D’ adalah 21
kali dari panjang sisi-sisi yang
bersesuaian pada segiempat ABCD. Ini berarti bahwa pada dilatasi [0,-21
], bayangan
dari sebuah bangun besarnya 21
kali dari bangun semula. Selain itu terlihat pula
bahwa pada dilatasi dengan faktor skala k = - 21
(negatif), bayangan segiempat
A’B’C’D’ terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semulasegiempat ABCD.
Transformasi
264 Matematika
A
B
C
D
O
D’
A’
B’
C’
X
Y
Gambar 7.26
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada dilatasi [0,k] dengan -1 < k < 0, bayangan sebuah bangun lebih kecil dan terletakberlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Agar Anda lebih jelas mengenai dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) denganfaktor skala -1 < k < 0, berikut diberikan contoh.
Contoh 7:Salinlah bangun geometri berikut, kemudian gambarlah bayangannya pada dilatasi
[0,-21
].
P Q
RS
Gambar 7.27
Transformasi
265Matematika
Penyelesaian:
P Q
RS
X
Y
O
P’ Q’
R’S’
Gambar 28
(4) Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) dengan Faktor Skala 0 < k < 1
Gambar 7.29, memperlihatkan bahwa pada dilatasi [0,21
], bayangan dari
segiempat ABCD adalah segiempat A’B’C’D’. Dari gambar tersebut terlihat bahwa
panjang sisi-sisi dari segiempat A’B’C’D’ adalah 21
kali dari panjang sisi-sisi yang
bersesuaian pada segiempat ABCD. Ini berarti bahwa pada dilatasi [0,21
], bayangan
dari sebuah bangun besarnya 21
kali dari bangun semula. Selain itu terlihat pula
bahwa pada dilatasi dengan faktor skala k = 21
(positif), bayangan segiempat A’B’C’D’
terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula segiempat ABCD.
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
OX
Y
Gambar 7.29
Transformasi
266 Matematika
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada dilatasi [0,k] dengan 0 < k < 1, bayangan sebuah bangun lebih kecil dan terletaksepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Agar Anda lebih jelas mengenai dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) denganfaktor skala 0 < k < 1, berikut diberikan contoh.
Contoh 8:Salinlah bangun geometri berikut, kemudian gambarlah bayangannya pada dilatasi
[0,21
].
P
QS
R
Gambar 7.30Penyelesaian:
X
Y
P
Q
R
S
P’
Q’
R’
S’
O
Gambar 7.31
Transformasi
267Matematika
(5) Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) dengan Faktor Skala k > 1Gambar 7.32, memperlihatkan bahwa pada dilatasi [0,2], bayangan dari
segiempat ABCD adalah segiempat A’B’C’D’. Dari gambar tersebut terlihat bahwapanjang sisi-sisi dari segiempat A’B’C’D’ adalah 2 kali dari panjang sisi-sisi yangbersesuaian pada segiempat ABCD. Ini berarti bahwa pada dilatasi [0,2], bayangandari sebuah bangun besarnya 2 kali dari bangun semula. Selain itu terlihat pula bahwapada dilatasi dengan faktor skala k = 2 (positif), bayangan segiempat A’B’C’D’ terletaksepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula segiempat ABCD.
A
A’
B
B’C
C’
D
D’
O X
Y
Gambar 7.32
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada dilatasi [0,k] dengan k > 1, bayangan sebuah bangun lebih besar dan terletaksepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Agar Anda lebih jelas mengenai dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) denganfaktor skala k > 1, berikut diberikan contoh.
Contoh 9:Salinlah bangun geometri berikut, kemudian gambarlah bayangannya pada dilatasi[0, 2].
P
Q
R
S
Gambar 7.33
Transformasi
268 Matematika
Penyelesaian:
P
Q
R
SP’
Q’
R’
S’
X
Y
O
Gambar 7.34
(6) Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) dengan Faktor Skala k = -1Gambar 7.35, memperlihatkan bahwa pada dilatasi [0,-1], bayangan dari
segiempat ABCD adalah segiempat A’B’C’D’. Dari gambar tersebut terlihat bahwasegiempat A’B’C’D’ kongruen dengan segiempat ABCD. Ini berarti bahwa pada dilatasi[0,-1], bayangan dari sebuah bangun kongruen dengan bangun semula. Selain ituterlihat pula bahwa pada dilatasi dengan faktor skala k = -1 (negatif), bayangansegiempat A’B’C’D’ terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangunsemula segiempat ABCD.
O
A B
CD
A’B’
D’C’
X
Y
Gambar 7.35
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada dilatasi [0,k] dengan k = -1, bayangan sebuah bangun kongruan (sama bentukdan ukuran) dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Agar Anda lebih jelas mengenai dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) denganfaktor skala k = -1, berikut diberikan contoh.
Transformasi
269Matematika
Contoh 10:Salinlah bangun geometri berikut, kemudian gambarlah bayangannya pada dilatasi[0, -1].
A B
C
Gambar 7.36Penyelesaian:
A B
C
A’B’
C’
OX
Y
Gambar 7.37
(7) Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) dengan Faktor Skala k = 1Gambar 7.38, memperlihatkan bahwa pada dilatasi [0,1], bayangan dari
segiempat ABCD adalah segiempat A’B’C’D’. Dari gambar tersebut terlihat bahwasegiempat A’B’C’D’ kongruen dengan segiempat ABCD. Ini berarti bahwa pada dilatasi[0,1], bayangan dari sebuah bangun kongruen dengan bangun semula. Selain ituterlihat pula bahwa pada dilatasi dengan faktor skala k = 1 (positif), bayangansegiempat A’B’C’D’ terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semulasegiempat ABCD.
Transformasi
270 Matematika
O
A=A’ B=B’
C=C’D=D’
X
Y
Gambar 7.38
Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa:Pada dilatasi [0,k] dengan k = 1, bayangan sebuah bangun kongruan (sama bentukdan ukuran) dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Agar Anda lebih jelas mengenai dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) denganfaktor skala k = 1, berikut diberikan contoh.
Contoh 11:Salinlah bangun geometri berikut, kemudian gambarlah bayangannya pada dilatasi[0, 1].
A = A’
B = B’C = C’
Gambar 7.39
Transformasi
271Matematika
Penyelesaian:
A = A’
B = B’C = C’
XO
Y
Gambar 7.40
Petunjuk: Jawablah pertanyaan dengan singkat dan tepat!Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah
latihan berikut!1. Diketahui VWX dengan titik-titik sudut V(1,1), W(3,1), dan X(1,4). Tentukan
bayangan dari titik-titik sudut tersebut oleh rotasi terhadap titik pusat O(0,0)sebesar 2700 searah jarum jam.
2. Tentukan bayangan titik T(-2,3) oleh rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar900 berlawanan dengan arah jarum jam, dilanjutkan oleh rotasi terhadap titikpusat O(0,0) sebesar 1800 searah jarum jam.
3. Sebuah KLM dengan titik-titik K(1,-4), L(3,-4), dan M(3,-1) mendapat dilatasi[O,-2]. Tentukan koordinat titik–titik bayangannya dan gambarlah bayanganKLM.
Petunjuk Jawaban LatihanPeriksa secara seksama jawaban Anda, kemudian cocokkanlah jawaban Anda
dengan kunci jawaban berikut:1. Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah jarum jam,
· Bayangan titik V(1,1) adalah V’(-1,1).· Bayangan titik W(3,1) adalah W’(-1,3).· Bayangan titik X(1,4) adalah X’(-4, 1).Jadi, bayangan dari titik-titik sudut VWX adalah V’(-1,1), W’(-1,3), dan X’(-4,1).
2. Cara 1:Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarumjam, bayangan titik T (-2,3) adalah T’(-3,-2).Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800 searah jarum jam, bayangan
Transformasi
272 Matematika
1.Rotasi atau perputaran adalah pemindahan semua titik pada bangungeometri yang masing-masing bergerak sepanjang busur lingkaran yangpusatnya adalah pusat perputaran sebesar suatu sudut tertentu.
2. Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 searah jarum jam,bayangan titik P(a,b) adalah P’(b,-a).
3. Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan denganarah jarum jam, bayangan titik P(a,b) adalah P’(-b,a).
4. Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800 searah atauberlawanan dengan arah jarum jam, bayangan titik P(a,b) adalah P’(-a,-b).
titik T’(-3,-2) adalah T’’(3,2).Jadi, bayangan titik tersebut adalah T’’(3,2).
Cara 2:Rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarumjam, dilanjutkan oleh rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800 searah jarumjam ekuivalen dengan sebuah rotasi tunggal terhadap titik pusat O(0,0) sebesar900 searah jarum jam. Sehingga, pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar900 searah jarum jam, bayangan titik T (-2,3) adalah T’(3, 2).Jadi, bayangan titik tersebut adalah T’(3,2).
3. Pada dilatasi [O,-2],· Bayangan dari titik K(1,-4) adalah K’(-2(1),-2(-4)) = K’(-2,8).· Bayangan dari titik L(3,-4) adalah K’(-2(3),-2(-4)) = K’(-6,8).· Bayangan dari titik M(3,-1) adalah K’(-2(3),-2(-1)) = K’(-6,2).
Sehingga diperoleh bayangan dari KLM dengan dilatasi [O,-2] adalah K’L’M’.
K(1,-4) L(3,-4)
M
K’(-2,8)L’(-6,8)
M’(-6,2)
OX
Y
Transformasi
273Matematika
Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!1. Bayangan dari titik-titik K(-7,3) dan L(5,-2) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
sebesar 1800 searah jarum jam masing-masing adalah ....A. (-5,2) dan (7,-3). C. (2,-5) dan (-3,7).B. (7,-3) dan (-5,2). D. (-3,7) dan (2,-5).
2. Titik W(x,y) dirotasikan terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah jarumjam, diperoleh bayangan W’(6,8). Nilai x dan y masing-masing adalah ....A. 8 dan -6. C. -8 dan 6.B. -6 dan 8. D. 6 dan -8
3. Bayangan titik Q(-7,4) oleh rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 searahjarum jam, dilanjutkan oleh rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800
berlawanan dengan arah jarum jam adalah ....A. (4,-7). C. (-4,-7).B. (-7,4). D. (-7,-4).
5. Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah jarum jam,bayangan titik P(a,b) adalah P’(-b,a).
6. Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan denganarah jarum jam, bayangan titik P(a,b) adalah P’(b,-a).
7. Dilatasi atau perkalian adalah pengubahan ukuran bangun geometri(memperkecil atau memperbesar), tetapi tidak mengubah bentuk danukuran sudut bangun geometri.
8. Pada dilatasi [0,k] dengan k < -1, bayangan sebuah bangun lebih besardan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
9. Pada dilatasi [0,k] dengan -1 < k < 0, bayangan sebuah bangun lebih kecildan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
10. Pada dilatasi [0,k] dengan 0 < k < 1, bayangan sebuah bangun lebih kecildan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
11. Pada dilatasi [0,k] dengan k > 1, bayangan sebuah bangun lebih besardan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
12. Pada dilatasi [0,k] dengan k = -1, bayangan sebuah bangun kongruan(sama bentuk dan ukuran) dan terletak berlainan pihak terhadap pusatdilatasi dan bangun semula.
13. Pada dilatasi [0,k] dengan k = 1, bayangan sebuah bangun kongruan (samabentuk dan ukuran) dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi danbangun semula.
Transformasi
274 Matematika
4. Diketahui segitiga FGH dengan koordinat titik-titik sudutnya adalah titik F(3,6),G(5,4), dan H(5,6). Bayangan dari titik-titik sudut segitiga FGH jika diputar dengan
titik pusat rotasi O(0,0) sejauh 43
putaran berlawanan dengan arah jarum jam
masing-masing adalah ....A. (-5,-4), (-5,-6), dan (-3,6). C. (-5,6), (-3,-6), dan (-5,-4).B. (-3,-6), (-5,-4), dan (-5,-6). D. (-3,6), (-5,-6), dan (-5,-4).
5. Bayangan titik V(9,-5) oleh rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800 searahjarum jam, dilanjutkan oleh rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700
berlawanan dengan arah jarum jam adalah ....A. (-9,5). C. (5,9).B. (5,-9). D. (9,5).
6. Pada dilatasi [O,-2], bayangan dari titik M(x,y) adalah M’(4,-8). Maka koordinattitik M adalah ....A. (-4,2). C. (4,-2).B. (2,-4). D. (-2,4).
7. Bayangan titik Y(-6,9) dan Z(3,-6) pada dilatasi [O,k] adalah Y’(-4,6) dan Z’(2,-4),maka nilai k adalah ....
A. 32
. C. 32 .
B. 23
. D. 23 .
8. Diketahui STU dengan titik S(-3,3), titik T(-1,3), dan titik U(-2,6). Koordinattitik-titik bayangan STU oleh dilatasi [O,- ] masing-masing adalah ...
A. ( 31
,-1), (1,-1), dan ( 32
,-2). C. ( 31
,-1), ( 32
,-2), dan (1,-1).
B. ( 32
,-2), (1,-1), dan ( 31
,-1). D. (1,-1), ( 31
,-1), dan ( 32
,-2).
Transformasi
275Matematika
9. Gambar berikut menunjukkan bayangan segiempat ABCD.
X
Y
O
D
CA
B
M K
L
N
E
F
G
H
I
J
P
Q
R
S
T
U
Bangun yang merupakan bayangan ABCD dengan faktor skala adalah ...A. EFGH. C. MNPQ.B. IJKL. D. RSTU
10. Diketahui segiempat RSTU dengan panjang 4 cm dan lebar 3 cm. Jika RSTUmendapat dilatasi [O, ], maka luas bayangan segiempat RSTU adalah ...A. 25 cm3. C. 27 cm3.B. 26 cm3. D. 28 cm3.
Cocokkan jawaban Anda dengan menggunakan kunci jawaban Tes Formatif 2yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Andayang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkatpenguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Rumus : Jumlah jawaban Anda yang benarTingkat penguasaan = ______________________________ X 100 % 10Arti tingkat penguasaan yang Anda capai :90 % - 100% = Baik sekali80 % - 89% = Baik70% - 79 % = Cukup
< 70% = Kurang
Transformasi
276 Matematika
Apabila tingkat penguasaan Anda telah mencapai 80 % atau lebih, Anda telahMenuntaskan Kegiatan Bahan Belajar Mandiri. Bagus ! Tetapi apabila nilai tingkatpenguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 2,terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Transformasi
277Matematika
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF
TES FORMATIF 11. B2. A3. D4. C5. A6. C7. D8. C9. B10. A
TES FORMATIF 21. B2. A3. C4. B5. C6. D7. A8. D9. C10. C
Transformasi
278 Matematika
DAFTAR PUSTAKA
Devine, D. F. and Kaufmann J. E. (1983). Elementary Mathematics for Teachers.Canada: John Wiley & Sons.
Kodir, A., dkk. (1979). Matematika 9 untuk SMA. Jakarta: Departemen Pendidikandan Kebudayaan.
Kodir, A., dkk. (1978). Matematika 3 untuk SMP. Jakarta: Departemen Pendidikandan Kebudayaan.
Kodir, A., dkk. (1977). Matematika 4 untuk SMP. Jakarta: Departemen Pendidikandan Kebudayaan.
Kodir, A., dkk. (1976). Matematika 8 untuk SMA. Jakarta: Intermasa.Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Departemen Pendidikan dan
Kebudayaan.Wahyudin. (2001). Matematika SLTP Kelas 3. Bandung: Epsilon Grup.