transformasi hopf-cole pada approksimasi difusi...
TRANSCRIPT
SIDANG TERTUTUP
TRANSFORMASI HOPF-COLE PADA
APPROKSIMASI DIFUSI UNTUK
MENYELESAIKAN PERSAMAAN
TRANSFER RADIASI PADA INVERSE
PROBLEM PENCITRAAN KANKER OTAK
Jumini Nrp. 1209 201 702
1 Sidang Tertutup, Juli 2011
Pembimbing: Dr. Erna Apriliani, M.Si Dr. Mahmud Yunus, M.Si
Abstrak Persamaan transfer radiasi atau Radiative Transfer Equation (RTE)
adalah persamaan differensial integral yang mendeskripsikan transfer energi photon yang bergerak menyinari jaringan otot halus yang tembus cahaya, seperti otak. Penyinaran digunakan untuk pencitraan jaringan dan mendapatkan informasi tentang kelainan jaringan otot seperti kanker otak. Pencitraan kanker otak adalah salah satu contoh inverse problem. Pada tesis ini dikaji persamaan transfer radiasi dan menyelesaikannya dengan menerapkan metode approksimasi difusi dan transformasi Hopf-Cole. Kedua metode tersebut digunakan untuk menghitung batas pengukuran kepadatan photon, koefisien absorpsi dan difusi pada otak. Dari hasil simulasi diketahui bahwa penyelesaian inverse problem pencitraan kanker otak dengan metode transformasi Hopf-Cole lebih stabil jika dibandingkan penyelesaian dengan metode approksimasi difusi. Kata kunci: Approksimasi Difusi, Inverse Problem, Transformasi Hopf-Cole.
2 Sidang Tertutup, Juli 2011
PENDAHULUAN
• Gambar jaringan biologi (otak) dalam bidang kedokteran dapat dihasilkan menggunakan salah satu cara yang sudah ada seperti CAT, EROS, MRI, FMRI, EEG, MEG, PET, SPECT. Semua cara tersebut mempunyai kelebihan tetapi juga mempunyai kelemahan diantaranya membutuhkan biaya yang besar
• Optical tomography telah diakui sebagai suatu tehnik diagnostik yang ideal karena biayanya rendah dan sangat sedikit efek sampingnya (Tahir, 2007). Selanjutnya tehnik pencitraan ini dikenal dengan Diffuse optical imaging (DOI) atau Diffuse optical tomography (DOT).
Sidang Tertutup, Juli 2011 3
PENDAHULUAN
DOT, adalah salah satu contoh invers problem, yang merupakan suatu alat diagnostik yang potensial untuk mendeteksi pertumbuhan jaringan otot halus yang tembus cahaya. Pencitraan optical tomography dilakukan untuk mendapatkan informasi tentang kelainan jaringan otot seperti kanker payudara dan tumor otak (Tahir, 2007).
Telah diketahui secara umum bahwa approksimasi difusi berdasarkan invers problem pada optical tomography secara eksponensial tidak stabil (Natterer, 2001).
Sidang Tertutup, Juli 2011 4
RUMUSAN MASALAH
Bagaimana penyelesaian persamaan transfer radiasi menggunakan approksimasi difusi untuk menghitung batas pengukuran photon, koefisien absorpsi dan difusi pada pencitraan kanker otak.
Bagaimana penyelesaian persamaan transfer radiasi yeng lebih stabil menggunakan transformasi Hopf-Cole pada approksimasi difusi.
Sidang Tertutup, Juli 2011 5
BATASAN MASALAH
Penerapan approksimasi difusi dan transformasi Hopf-Cole pada persamaan transfer radiasi dibatasi untuk medium background konstan yang homogen berdimensi satu.
TUJUAN PENELITIAN
Menghitung batas pengukuran kepadatan photon, koefisien absorpsi dan difusi pada kanker otak dengan menerapkan approksimasi diffusi pada persamaan transfer radiasi yang merupakan invers problem pencitraan kanker otak.
Memperbaiki kestabilan penyelesaian invers problem pada pencitraan kanker otak dengan menerapkan transformasi Hopf-cole
Sidang Tertutup, Juli 2011 6
MANFAAT PENELITIAN
Didapatkan penyelesaian persamaan transfer radiasi yang merupakan invers problem pada pencitraan kanker otak dengan menerapkan metode approksimasi difusi.
Didapatkan penyelesaian invers problem pada pencitraan kanker otak yang lebih stabil dengan menerapkan transformasi Hopf-Cole
TINJAUAN PUSTAKA
A. Inverse Problem Pencitraan Otak
Pencitraan otak ada 9 cara yaitu:
1. Computed Axial Tomography (CAT)
2. Even Related Optical Signal (EROS)
3. Magnetic Resonance Imaging (MRI)
4. Functional Magnetic Resonance Imaging (FMRI)
5. Electroencephalography (EEG)
6. Magnetoencephalography (MEG)
7. Positron Emmission Tomography (PET)
8. Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT)
9. Diffuse Optical Imaging (DOI) atau Diffuse Optical Tomography (DOT)
Sidang Tertutup, Juli 2011 7
Model Perpindahan Photon
Perpindahan photon dalam jaringan biologi seperti otak dapat dimodelkan secara analitik dengan persamaan transfer radiasi (Radiative Transfer Equation).
Sinar didefinisikan sebagai aliran energi per satuan daerah normal per sudut padat per satuan waktu.
Skema aliran energi melalui turunan elemen daerah dA pada posisi dalam sebuah turunan elemen sudut padat
Sidang Tertutup, Juli 2011 8
r
d
Penurunan Persamaan Transfer Radiasi
Ada 4 hal pada persamaan transfer radiasi (Ambrocio, 2008), yaitu:
1. Divergence (penyimpangan)
2. Extinction (pemunahan)
3. Scattering (penyebaran)
4. Source (Sumber cahaya)
Sidang Tertutup, Juli 2011 9
dVdtsrLsdPdiv ,ˆ,ˆ
dAdtsrLdsdP text ,ˆ,
ddssPtsrLdVdPs
ssca
4
ˆ.ˆ,ˆ,
dVdtsrQdPsrc ,ˆ,
Penurunan Persamaan Transfer Radiasi
Perubahan energi dalam elemen volume dV dalam elemen sudut
solid per satuan waktu diberikan sebagai berikut:
Dengan adalah perambatan energi per satuan volume per satuan
sudut padat. Dengan hukum kekekalan energi, diperoleh
persamaan sebagai berikut:
RTE
Sidang Tertutup, Juli 2011 10
d
dVd
t
tsrL
cdP
,ˆ,1
c
L
srcscaextdiv dPdPdPdPdP
tsrQdssPtsrLtsrLtsrLst
tsrL
cst ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,,ˆ,.,ˆ,1
4
Spherical Harmonic Secara umum Spherical harmonic didefinisikan sebagai berikut:
Dengan
Spherical harmonic mempunyai dua sifat, yaitu:
Delta kroneker didefinisikan sebagai pada saat dan
dan untuk yang lain.
Sidang Tertutup, Juli 2011 11
im
mn
m
mnmn ePmn
mnnYsY
cos
!4!121,ˆ ,,,
n
nm
nm
n
m
mn xdx
d
n
xxP 1
!21 222
,
4,
*,,
*,,
ˆˆ
,1,
mmnnmnmn
mn
m
mn
dsYsY
YY
1, mmnn nn
mm 0, mmnn
METODE PENELITIAN
Sidang Tertutup, Juli 2011 12
Diagram Alur
Menerapkan Transformasi Hopf-Cole Pada
Persamaan Difusi
Menerapkan Approksimasi Difusi Pada
Persamaan Transfer Radiasi
Mensimulasikan Hasil Estimasi (Koeffisien
Absorpsi dan Difusi)
Menganalisa Hasil Simulasi
Mengkaji Persamaan Tranfer Radiasi
PEMBAHASAN
Persamaan transfer radiasi (Radiative Transfer Equation (RTE)) adalah sebuah persamaan differensial yang mendiskripsikan radiasi .
Persamaan ini dapat diturunkan melalui hukum kekekalan energi. Singkatnya, RTE menunjukkan sinar dari energi cahaya yang hilang melalui penyerapan dan penyebaran dari sinar dan tambahan sumber cahaya dalam jaringan yang akan dibuat gambarnya.
RTE (persamaan Boltzman) ditulis sebagai berikut ( Wang dan Wu, 2007) :
(1)
Sidang Tertutup, Juli 2011 13
tsrQdssPtsrLtsrLtsrLst
tsrL
cst ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,,ˆ,.,ˆ,1
4
Keterangan RTE
adalah kecepatan cahaya yang masuk dalam
jaringan, ditentukan dengan indeks refraksi relatif
, koeffisien punahan
adalah fungsi keadaan yang
merepresentasikan probabilitas dari cahaya dengan
arah propagasi yang disebarkan pada sudut solid
mengelilingi . Dalam sebagian besar kasus , fungsi
keadaan hanya bergantung pada sudut antara
penyebaran dan penyerapan cahaya dengan arah
. Dengan kata lain . Penyebaran yang
tidak isotropi dapat diekspresikan sebagai berikut:
mendiskripsikan sumber cahaya.
Sidang Tertutup, Juli 2011 14
c
st
ssP ˆ,ˆ
'ss
s ssPssP ˆ.ˆˆ,ˆ
d
sˆ
dssPssgs 4
ˆ.ˆˆ.ˆ
tsrQ ,ˆ,
Besaran-besaran pada definisi radiasi
Spektrum radiasi ( )
Radiasi ( )
(2)
Intensitas cahaya
(3)
Kepadatan aliran cahaya
(4)
Sidang Tertutup, Juli 2011 15
vL
L
vtsrLtsrL v ),ˆ,(),ˆ,(
dtsrLtrs
),ˆ,(),(4
4
),ˆ,(ˆ),(s
dtsrLstrJ
APPROKSIMASI DIFUSI PADA RTE
Pada approksimasi difusi diasumsikan bahwa
penyinaran cahaya near-infra merah pada otak adalah
isotropik yaitu penyebarannya merata disetiap
komponen jaringan otak. Untuk mempelajari radiasi
dalam batas difusi, radiasi direpresentasikan sebagai
sebuah ekspansi spherical harmonic sebagai berikut:
(5)
Dengan menunjukkan spherical harmonic dan
menunjukkan koeffisien ekspansi. Komponen isotropik
dari sesuai dengan dan . Pada saat
dan ada komponen yang tidak isotropik
Sidang Tertutup, Juli 2011 16
1
0,, ˆ,,ˆ,
n
n
nm
mnmn sYtrLtsrL
mnY , mnL ,
L 0n 0m 1n
1,0,1m
APPROKSIMASI DIFUSI PADA RTE
Dengan subtitusi persamaan (5) ke persamaan (3)
dan (4) akan menghasilkan:
Sehingga persamaan (5) menjadi:
(6)
Sidang Tertutup, Juli 2011 17
4),()ˆ(),( 0,00,0
trsYtrL
1
1,1,1 ˆ).,(
43)ˆ(),(
m
mm strJsYtrL
),(43),(
41),ˆ,( trJtrtsrL
APPROKSIMASI DIFUSI PADA RTE
Subtisusi persamaan (6) ke persamaan transfer
radiasi (1) akan didapatkan persamaan difusi yang
bergantung pada waktu:
Selanjutnya, approksimasi difusi pada persamaan
transfer radiasi dapat ditulis pada kasus yang tidak
bergantung pada waktu sebagai berikut:
Sidang Tertutup, Juli 2011 18
trQtrDtr
tc
tr ,,,,
)()()()( rQrrrrD
INVERS PROBLEM
Dalam penelitian ini jika diasumsikan adalah otak
yang menjadi domain dalam pembahasan pada
permukaan , maka dapat didefinisikan invers
problemnya adalah sebagai berikut: diberikan data
yaitu intensitas cahaya, maka akan ditemukan
koefisien difusi dan koefisien penyerapan .
Koefisien difusi dan koefisien penyerapan
selanjutnya disebut . Objek dari invers atau
parameter estimasi dalam masalah ini dipilih sebuah
parameter dengan meminimumkan kriteria eror
atau fungsional biaya.
Sidang Tertutup, Juli 2011 19
D
Dq
*q
20
1
2, qqzqqJN
i
ii
APPROKSIMASI DIFUSI DENGAN BACKGROUND TETAP YANG HOMOGEN
Persamaan Strum-Louiville:
(7)
Dengan konstan, dengan kondisi batas rubin:
(8)
Dalam masalah ini invers problemnya adalah
mengestimasi skalar dari pengukuran kepadatan
photon yang diukur pada atau
Sidang Tertutup, Juli 2011 20
022 q
Dq 2
0)0()0(
0)()( ll
qz 0x lx
TRANSFORMASI HOPF-COLE
Transformasi Hopf-Cole dimulai dengan transformasi
sebagai berikut (Evan, 1998):
Persamaan (7) dan (8) berubah menjadi :
(9)
konstan, dengan kondisi batas rubin:
(10)
Sidang Tertutup, Juli 2011 21
lnD
022
2
DqD
Dq 2
D )0(
Dl )(
SOLUSI ANALITIK
Solusi analitik approksimasi difusi, solusi analitik
persamaan (7) dan (8):
(9)
Dengan keterangan:
Solusi analitik dengan transformasi Hopf-Cole,
(10)
Sidang Tertutup, Juli 2011 22
qD
eeeeqx
qqqq
2);,(
lqe2
q
q
11
qDxeDqx qx 2ln;
SIMULASI
Pada simulasi ini diberikan kondisi batas Rubin
dengan dan . .Estimasi
awal untuk dihitung dengan rumus .
Untuk metode approksimasi difusi, besarnya
fungsional biaya dapat dihitung dengan rumus:
Sedangkan untuk metode transformasi Hopf-Cole,
besarnya fungsional biaya dapat dihitung dengan
rumus:
Sidang Tertutup, Juli 2011 23
101,0 mm mmD 3,00q
20
20 );0();0( qqqqqJ
20
20 );0();0( qqqqqJ
.
Dq 2
Sidang Tertutup, Juli 2011 24
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Parameter Estimasi q
Fungsio
nal bia
ya
Parameter Estimasi dengan Approksimasi Difusi
Tanpa Regularisasi (lamda=0)
Dengan regularisasi (lamda=0.01)
Gambar 4.1 Parameter estimasi dengan approksimasi difusi
untuk dan
q
0 01.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Parameter Estimasi q
Fungsio
nal bia
ya
Parameter Estimasi dengan Transformasi Hopf-Cole
Tanpa Regularisasi (lamda=0)
Dengan regularisasi (lamda=0.01)
Gambar 4.1 Parameter estimasi dengan Transformasi
Hopf-Cole untuk dan
q
0 01.0
Sidang Tertutup, Juli 2011 25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Parameter Estimasi q
Fungsio
nal bia
ya
Parameter Estimasi dengan Approksimasi Difusi
Tanpa Regularisasi (lamda=0)
Dengan regularisasi (lamda=0.05)
Gambar 4.1 Parameter estimasi dengan approksimasi difusi
untuk dan
q
0 05.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Parameter Estimasi q
Fungsio
nal bia
ya
Parameter Estimasi dengan Transformasi Hopf-Cole
Tanpa Regularisasi (lamda=0)
Dengan regularisasi (lamda=0.05)
Gambar 4.1 Parameter estimasi dengan Transformasi
Hopf-Cole untuk dan
q
0 05.0
Sidang Tertutup, Juli 2011 26
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Parameter Estimasi q
Fungsio
nal bia
ya
Parameter Estimasi dengan Approksimasi Difusi
Tanpa Regularisasi (lamda=0)
Dengan regularisasi (lamda=0.5)
Gambar 4.1 Parameter estimasi dengan approksimasi difusi
untuk dan
q
0 5.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Parameter Estimasi q
Fungsio
nal bia
ya
Parameter Estimasi dengan Transformasi Hopf-Cole
Tanpa Regularisasi (lamda=0)
Dengan regularisasi (lamda=0.5)
Gambar 4.1 Parameter estimasi dengan Transformasi
Hopf-Cole untuk dan
q
0 5.0
ANALISIS HASIL SIMULASI
Pada keenam gambar tersebut terlihat bahwa parameter regularisasi sangat berpengaruh terhadap besarnya fungsional biaya. Semakin besar parameter regularisasi, swmakin besar pula selisih fungsional biaya. Meskipun demikian pada ketiga gambar tersebut fungsional biaya bernilai minimum terletak pada daerah yang sama, yaitu terletak pada parameter estimasi disekitar dan parameter estimasi inilah yang dipilih sebagai parameter koeffisien absorpsi dan koeffisien difusi (q) yang mendekati parameter sebenarnya, karena tujuan dari simulasi ini adalah mencari parameter estimasi q yang menyebabkan nilai fungsional biaya minimum.
Sidang Tertutup, Juli 2011 27
2,0q
Tabel 4.1 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Approksimasi Difusi
Sidang Tertutup, Juli 2011 28
E E E E E
0 NaN 0.2 3.04E-06 0.4 0.000473 0.6 0.001742 0.8 0.003812
0.01 0.000298 0.21 7.52E-06 0.41 0.000517 0.61 0.001827 0.81 0.003937
0.02 0.000264 0.22 1.4E-05 0.42 0.000564 0.62 0.001913 0.82 0.004063
0.03 0.000233 0.23 2.25E-05 0.43 0.000612 0.63 0.002002 0.83 0.004192
0.04 0.000203 0.24 3.3E-05 0.44 0.000663 0.64 0.002092 0.84 0.004322
0.05 0.000176 0.25 4.55E-05 0.45 0.000715 0.65 0.002185 0.85 0.004455
0.06 0.00015 0.26 5.99E-05 0.46 0.00077 0.66 0.002279 0.86 0.004589
0.07 0.000127 0.27 7.64E-05 0.47 0.000826 0.67 0.002376 0.87 0.004726
0.08 0.000105 0.28 9.49E-05 0.48 0.000885 0.68 0.002474 0.88 0.004864
0.09 8.57E-05 0.29 0.000115 0.49 0.000945 0.69 0.002575 0.89 0.005005
0.1 6.82E-05 0.3 0.000138 0.5 0.001008 0.7 0.002677 0.9 0.005147
0.11 5.27E-05 0.31 0.000162 0.51 0.001072 0.71 0.002782 0.91 0.005291
0.12 3.92E-05 0.32 0.000189 0.52 0.001139 0.72 0.002888 0.92 0.005438
0.13 2.76E-05 0.33 0.000217 0.53 0.001207 0.73 0.002997 0.93 0.005586
0.14 1.81E-05 0.34 0.000248 0.54 0.001278 0.74 0.003107 0.94 0.005737
0.15 1.06E-05 0.35 0.00028 0.55 0.00135 0.75 0.00322 0.95 0.005889
0.16 5.1E-06 0.36 0.000315 0.56 0.001425 0.76 0.003334 0.96 0.006044
0.17 1.58E-06 0.37 0.000351 0.57 0.001501 0.77 0.003451 0.97 0.0062
0.18 6.63E-08 0.38 0.00039 0.58 0.001579 0.78 0.003569 0.98 0.006359
0.19 5.51E-07 0.39 0.00043 0.59 0.00166 0.79 0.00369 0.99 0.006519
001.0
Tabel 4.2 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Approksimasi Difusi
Sidang Tertutup, Juli 2011 29
005.0
E E E E E
0 NaN 0.2 1.52E-05 0.4 0.002364 0.6 0.008712 0.8 0.019061
0.01 0.001489 0.21 3.76E-05 0.41 0.002586 0.61 0.009135 0.81 0.019683
0.02 0.001322 0.22 7E-05 0.42 0.002819 0.62 0.009567 0.82 0.020316
0.03 0.001164 0.23 0.000112 0.43 0.003061 0.63 0.010009 0.83 0.020958
0.04 0.001016 0.24 0.000165 0.44 0.003313 0.64 0.010462 0.84 0.02161
0.05 0.000879 0.25 0.000227 0.45 0.003576 0.65 0.010924 0.85 0.022273
0.06 0.000751 0.26 0.0003 0.46 0.003848 0.66 0.011397 0.86 0.022945
0.07 0.000634 0.27 0.000382 0.47 0.004131 0.67 0.011879 0.87 0.023628
0.08 0.000526 0.28 0.000475 0.48 0.004423 0.68 0.012372 0.88 0.02432
0.09 0.000428 0.29 0.000577 0.49 0.004726 0.69 0.012874 0.89 0.025023
0.1 0.000341 0.3 0.000689 0.5 0.005038 0.7 0.013386 0.9 0.025735
0.11 0.000263 0.31 0.000812 0.51 0.00536 0.71 0.013909 0.91 0.026457
0.12 0.000196 0.32 0.000944 0.52 0.005693 0.72 0.014441 0.92 0.02719
0.13 0.000138 0.33 0.001087 0.53 0.006035 0.73 0.014984 0.93 0.027932
0.14 9.06E-05 0.34 0.001239 0.54 0.006388 0.74 0.015536 0.94 0.028685
0.15 5.31E-05 0.35 0.001402 0.55 0.00675 0.75 0.016099 0.95 0.029447
0.16 2.55E-05 0.36 0.001574 0.56 0.007123 0.76 0.016671 0.96 0.03022
0.17 7.91E-06 0.37 0.001756 0.57 0.007505 0.77 0.017253 0.97 0.031002
0.18 3.31E-07 0.38 0.001949 0.58 0.007897 0.78 0.017846 0.98 0.031794
0.19 2.76E-06 0.39 0.002151 0.59 0.0083 0.79 0.018448 0.99 0.032597
Tabel 4.3 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Approksimasi Difusi dan
Transformasi Hopf-Cole
Sidang Tertutup, Juli 2011 30
05.0
E E E E E
0 NaN 0.2 0.000152 0.4 0.023637 0.6 0.087122 0.8 0.190607
0.01 0.014891 0.21 0.000376 0.41 0.025861 0.61 0.091346 0.81 0.196832
0.02 0.013215 0.22 0.0007 0.42 0.028186 0.62 0.095671 0.82 0.203156
0.03 0.011639 0.23 0.001125 0.43 0.03061 0.63 0.100095 0.83 0.20958
0.04 0.010164 0.24 0.001649 0.44 0.033134 0.64 0.104619 0.84 0.216104
0.05 0.008788 0.25 0.002273 0.45 0.035758 0.65 0.109243 0.85 0.222729
0.06 0.007512 0.26 0.002997 0.46 0.038483 0.66 0.113968 0.86 0.229453
0.07 0.006336 0.27 0.003822 0.47 0.041307 0.67 0.118792 0.87 0.236277
0.08 0.005261 0.28 0.004746 0.48 0.044231 0.68 0.123716 0.88 0.243201
0.09 0.004285 0.29 0.00577 0.49 0.047255 0.69 0.12874 0.89 0.250226
0.1 0.003409 0.3 0.006894 0.5 0.05038 0.7 0.133865 0.9 0.25735
0.11 0.002634 0.31 0.008119 0.51 0.053604 0.71 0.139089 0.91 0.264574
0.12 0.001958 0.32 0.009443 0.52 0.056928 0.72 0.144413 0.92 0.271898
0.13 0.001382 0.33 0.010867 0.53 0.060352 0.73 0.149838 0.93 0.279323
0.14 0.000906 0.34 0.012391 0.54 0.063877 0.74 0.155362 0.94 0.286847
0.15 0.000531 0.35 0.014016 0.55 0.067501 0.75 0.160986 0.95 0.294471
0.16 0.000255 0.36 0.01574 0.56 0.071225 0.76 0.16671 0.96 0.302195
0.17 7.91E-05 0.37 0.017564 0.57 0.075049 0.77 0.172535 0.97 0.31002
0.18 3.31E-06 0.38 0.019488 0.58 0.078974 0.78 0.178459 0.98 0.317944
0.19 2.76E-05 0.39 0.021513 0.59 0.082998 0.79 0.184483 0.99 0.325968
Tabel 4.4 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Transformasi Hopf-Cole
Sidang Tertutup, Juli 2011 31
E E E E E
0 NaN 0.2 3.04E-06 0.4 0.000473 0.6 0.001742 0.8 0.003812
0.01 0.000298 0.21 7.52E-06 0.41 0.000517 0.61 0.001827 0.81 0.003937
0.02 0.000264 0.22 1.4E-05 0.42 0.000564 0.62 0.001913 0.82 0.004063
0.03 0.000233 0.23 2.25E-05 0.43 0.000612 0.63 0.002002 0.83 0.004192
0.04 0.000203 0.24 3.3E-05 0.44 0.000663 0.64 0.002092 0.84 0.004322
0.05 0.000176 0.25 4.55E-05 0.45 0.000715 0.65 0.002185 0.85 0.004455
0.06 0.00015 0.26 5.99E-05 0.46 0.00077 0.66 0.002279 0.86 0.004589
0.07 0.000127 0.27 7.64E-05 0.47 0.000826 0.67 0.002376 0.87 0.004726
0.08 0.000105 0.28 9.49E-05 0.48 0.000885 0.68 0.002474 0.88 0.004864
0.09 8.57E-05 0.29 0.000115 0.49 0.000945 0.69 0.002575 0.89 0.005005
0.1 6.82E-05 0.3 0.000138 0.5 0.001008 0.7 0.002677 0.9 0.005147
0.11 5.27E-05 0.31 0.000162 0.51 0.001072 0.71 0.002782 0.91 0.005291
0.12 3.92E-05 0.32 0.000189 0.52 0.001139 0.72 0.002888 0.92 0.005438
0.13 2.76E-05 0.33 0.000217 0.53 0.001207 0.73 0.002997 0.93 0.005586
0.14 1.81E-05 0.34 0.000248 0.54 0.001278 0.74 0.003107 0.94 0.005737
0.15 1.06E-05 0.35 0.00028 0.55 0.00135 0.75 0.00322 0.95 0.005889
0.16 5.1E-06 0.36 0.000315 0.56 0.001425 0.76 0.003334 0.96 0.006044
0.17 1.58E-06 0.37 0.000351 0.57 0.001501 0.77 0.003451 0.97 0.0062
0.18 6.63E-08 0.38 0.00039 0.58 0.001579 0.78 0.003569 0.98 0.006359
0.19 5.51E-07 0.39 0.00043 0.59 0.00166 0.79 0.00369 0.99 0.006519
001.0
Tabel 4.5 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Transformasi Hopf-Cole
Sidang Tertutup, Juli 2011 32
005.0
E E E E E
0 NaN 0.2 1.52E-05 0.4 0.002364 0.6 0.008712 0.8 0.019061
0.01 0.001489 0.21 3.76E-05 0.41 0.002586 0.61 0.009135 0.81 0.019683
0.02 0.001322 0.22 7E-05 0.42 0.002819 0.62 0.009567 0.82 0.020316
0.03 0.001164 0.23 0.000112 0.43 0.003061 0.63 0.010009 0.83 0.020958
0.04 0.001016 0.24 0.000165 0.44 0.003313 0.64 0.010462 0.84 0.02161
0.05 0.000879 0.25 0.000227 0.45 0.003576 0.65 0.010924 0.85 0.022273
0.06 0.000751 0.26 0.0003 0.46 0.003848 0.66 0.011397 0.86 0.022945
0.07 0.000634 0.27 0.000382 0.47 0.004131 0.67 0.011879 0.87 0.023628
0.08 0.000526 0.28 0.000475 0.48 0.004423 0.68 0.012372 0.88 0.02432
0.09 0.000428 0.29 0.000577 0.49 0.004726 0.69 0.012874 0.89 0.025023
0.1 0.000341 0.3 0.000689 0.5 0.005038 0.7 0.013386 0.9 0.025735
0.11 0.000263 0.31 0.000812 0.51 0.00536 0.71 0.013909 0.91 0.026457
0.12 0.000196 0.32 0.000944 0.52 0.005693 0.72 0.014441 0.92 0.02719
0.13 0.000138 0.33 0.001087 0.53 0.006035 0.73 0.014984 0.93 0.027932
0.14 9.06E-05 0.34 0.001239 0.54 0.006388 0.74 0.015536 0.94 0.028685
0.15 5.31E-05 0.35 0.001402 0.55 0.00675 0.75 0.016099 0.95 0.029447
0.16 2.55E-05 0.36 0.001574 0.56 0.007123 0.76 0.016671 0.96 0.03022
0.17 7.91E-06 0.37 0.001756 0.57 0.007505 0.77 0.017253 0.97 0.031002
0.18 3.31E-07 0.38 0.001949 0.58 0.007897 0.78 0.017846 0.98 0.031794
0.19 2.76E-06 0.39 0.002151 0.59 0.0083 0.79 0.018448 0.99 0.032597
Tabel 4.6 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Transformasi Hopf-Cole
Sidang Tertutup, Juli 2011 33
05.0
E E E E E
0 NaN 0.2 0.000152 0.4 0.023637 0.6 0.087122 0.8 0.190607
0.01 0.014891 0.21 0.000376 0.41 0.025861 0.61 0.091346 0.81 0.196832
0.02 0.013215 0.22 0.0007 0.42 0.028186 0.62 0.095671 0.82 0.203156
0.03 0.011639 0.23 0.001125 0.43 0.03061 0.63 0.100095 0.83 0.20958
0.04 0.010164 0.24 0.001649 0.44 0.033134 0.64 0.104619 0.84 0.216104
0.05 0.008788 0.25 0.002273 0.45 0.035758 0.65 0.109243 0.85 0.222729
0.06 0.007512 0.26 0.002997 0.46 0.038483 0.66 0.113968 0.86 0.229453
0.07 0.006336 0.27 0.003822 0.47 0.041307 0.67 0.118792 0.87 0.236277
0.08 0.005261 0.28 0.004746 0.48 0.044231 0.68 0.123716 0.88 0.243201
0.09 0.004285 0.29 0.00577 0.49 0.047255 0.69 0.12874 0.89 0.250226
0.1 0.003409 0.3 0.006894 0.5 0.05038 0.7 0.133865 0.9 0.25735
0.11 0.002634 0.31 0.008119 0.51 0.053604 0.71 0.139089 0.91 0.264574
0.12 0.001958 0.32 0.009443 0.52 0.056928 0.72 0.144413 0.92 0.271898
0.13 0.001382 0.33 0.010867 0.53 0.060352 0.73 0.149838 0.93 0.279323
0.14 0.000906 0.34 0.012391 0.54 0.063877 0.74 0.155362 0.94 0.286847
0.15 0.000531 0.35 0.014016 0.55 0.067501 0.75 0.160986 0.95 0.294471
0.16 0.000255 0.36 0.01574 0.56 0.071225 0.76 0.16671 0.96 0.302195
0.17 7.91E-05 0.37 0.017564 0.57 0.075049 0.77 0.172535 0.97 0.31002
0.18 3.31E-06 0.38 0.019488 0.58 0.078974 0.78 0.178459 0.98 0.317944
0.19 2.76E-05 0.39 0.021513 0.59 0.082998 0.79 0.184483 0.99 0.325968
LANJUTAN...
Dari perbandingan ketiga gambar dengan metode approksimasi difusi dan ketiga gambar dengan metode transformasi Hopf-Cole diperoleh selisih nilai fungsional biaya yang sama, bisa dilihat dari tabel 4.1 sama dengan tabel 4.4, tabel 4.2 sama dengan tabel 4.5, dan tabel 4.3 sama dengan tabel 4.6. Adapun yang membedakan antara kedua metode adalah transformasi Hopf-Cole membuat grafik fungsional biaya lebih konveks. Transformasi juga mengubah skala penyelesaian pada fungsional biaya. Selain itu regularisasi pada transformasi Hopf-Cole tidak banyak mengubah kekonvekan dari fungsional biaya. Pada gambar juga terlihat bahwa pada transformasi Hopf-Cole fungsional biaya lebih sensitif terhadap perubahan parameter q, dengan kata lain metode numerik dimulai dimanapun akan konvergen pada parameter yang sebenarnya, sehingga bisa dikatakan bahwa transformasi Hopf-Cole memperbaiki stabilitas invers problem.
Sidang Tertutup, Juli 2011 34
KESIMPULAN
a. Penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dengan background tetap yang homogen berdimensi 1 menggunakan metode approksimasi difusi disimulasikan dengan hubungan antara fungsional biaya dengan parameter estimasi q ( koefisien absorpsi dan difusi).
b. Parameter estimasi yang dipilih adalah parameter q yang menyebabkan nilai fungsional biaya minimum. Dari hasil simulasi didapatkan fungsional biaya bernilai minimum pada saat parameter estimasi disekitar 0.2.
c. Besarnya parameter regularisasi pada fungsional biaya sangat berpengaruh baik dengan metode approksimasi difusi maupun metode transformasi Hopf-Cole. Semakin besar parameter regularisasi maka semakin besar pula error atau selisih nilai fungsional biaya.
Sidang Tertutup, Juli 2011 35
KESIMPULAN
d. Transformasi Hopf-Cole mengubah skala penyelesaian pada fungsional biaya. Selain itu regularisasi pada transformasi Hopf-Cole tidak banyak mengubah kekonvekan dari fungsional biaya.
e. Pada transformasi Hopf-Cole, fungsional biaya lebih sensitif terhadap perubahan parameter q, dengan kata lain metode numerik dimulai dimanapun akan konvergen pada parameter yang sebenarnya, sehingga bisa dikatakan bahwa transformasi Hopf-Cole memperbaiki stabilitas invers problem.
Sidang Tertutup, Juli 2011 36
SARAN
a. Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut tentang penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dalam medium yang tidak homogen.
b. Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut tentang penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dalam medium dengan dimensi yang lebih tinggi
Sidang Tertutup, Juli 2011 37
DAFTAR PUSTAKA Alcouffe, R, Barbour, R, dan Hielscher, A, (1998), “Comparison of finite-difference transport and diffussion calculations for photon migration in homogenous and heterogenous tissues”, Phys. Med. Biol, 42:1285-1302
Alfano, R.R dan Chance, B, (1995), “Optical tomography, photon migration, and spectroscopy of tissue and model media”, theory, human studies, and instrumentations, part 1 dan 2, volume 2389, SPIE
Ambrocio, E, (2008), “ A Self-Consisten Obstacle Scattering Theory for the Diffusion Approximation of the Radiative Transport Equation”, A Technical report submitted in partial fulfillment of the requirement for degree of Master of Science, University of California, Merced
Asrul, (2010), “Kanker Otak”, http://dokter-herbal.com
/kanker-otak.html diakses pada tanggal 27 Januari 2011.
Evans, L, C, (1998), Partial Differential Equations, 19, American Mathematical Society
Ishimaru, A, (1978), Single Scattering an Transport Theory (Wave Propagation and Scattering in Random Media I, Academic, New York
Sidang Tertutup, Juli 2011 38
DAFTAR PUSTAKA
Jakob, W dan Marschner, S, (2009), Lecture handout: Diffusion Approximation, Cornell University
Kaipio, J dan Somersalo, E, (2004), Statistical and Computational Invers Problem, 160, Helsinki dan Kuopio.
Khan, T, R, (2007), “ Invers Problem In Optical Tomography Using Diffusion Approximation and Hopf-Cole Transformation”, Departement of Mathematical Science, Clemson University, SC 29634-0975, Clemson
Natterer, F, (2001), Mathematical Methods in Image Recontruction, Siam
Ohwada, T, (2009), “Cole-Hopf Transformation as Numerical Tool For The Burgers Equation”, Departement of Aeronautics and Astronautics, Graduate of School of Engineering, 606-8501, Kyoto Japan
Tahir, K, (2007), “Optical Tomography”, http://www.imperial.ac.uk/research/photonics/reseach/topics /tomog diakses pada tanggal 17 Desember 2010.
Wang, LV, dan Wu, HI, (2007), Biomedical Optics, Wiley. ISBN 9780471743040
Sidang Tertutup, Juli 2011 39
Sidang Tertutup, Juli 2011 40
PERSAMAAN TRANSFER RADIASI
TRANSFORMASI HOPF-COLE
INVERS PROBLEM
APPROKSIMASI DIFUSI
PERSAMAAN TRANSFER RADIASI
TRANSFORMASI HOPF-COLE
Terima Kasih