07/11/2015

1

TRANSFORMASI LINIER

Anita T. Kurniawati

Yang dibahas

Definisi Transformasi Linier 1

Matriks Transformasi Linier2

Geometri Transformasi Linier3

07/11/2015

2

Aplikasi & Referensi

Aplikasi:

• Grafika Komputer

Referensi:

• Kolman Bernard, page 255-265, page

327-356

• Anton Howard, 7th edition, page 383-424

DEFINISI TRANSFORMASI LINIER

Definisi 1

Misalkan V dan W adalah ruang vektor atasbilangan real R, dan misalkan t : V W adalahsuatu fungsi.

Fungsi t disebut Transformasi Linier jika

(i) T(u + v) = T(u) + T(v)

(ii) T(k.u) = k T(u)

untuk setiap u, v V dan k R.

Notes:

Jika W = V, maka t disebut Operator Linier.

07/11/2015

3

Contoh 1:

Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimana

merupakan tranformasi linear.

Jawab :

Ambil unsur sembarang di R2, misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa

y

x

yx

y

xT

2

2

1

2

1, R

v

vv

u

uu

vTuTvuT )(

07/11/2015

4

07/11/2015

5

Contoh 2:

07/11/2015

6

Geometri Transformasi Linier

Dampak dari suatu operator

adalah mentransformasi setiap titik

(vektor) ke dalam beberapa titik (vektor)

yang baru.

Operasi linier yang penting diantaranya

yang menghasilkan pencerminan,

penskalaan, rotasi dan proyeksi.

nnRRT :

Operator Pencerminan

(Refleksi)

07/11/2015

7

07/11/2015

8

07/11/2015

9

Operator Proyeksi

07/11/2015

10

07/11/2015

11

07/11/2015

12

OPERATOR ROTASI

(PERPUTARAN)

07/11/2015

13

07/11/2015

14

Operator Dilatasi

(Penskalaan)

07/11/2015

15

07/11/2015

16

Komposisi Transformasi Linier

Contoh 3:

Dapatkan bayangan dari setiap vektor

pada jika dirotasikan dengan sudut 30.

Penyelesaian:

2R

yx

yx

y

x

y

xw

2

3

2

1

2

1

2

3

2/32/1

2/12/3

30cos30sin

30sin30cos

07/11/2015

17

Contoh 4:

adalah operator pencerminan

terhadap garis y=x dan adalah

proyeksi ortogonal terhadap sumbu y.

Dapatkan .

Penyelesaian:

22

1 : RRT 22

2 : RRT

12 TT

01

00

01

10

10

001212 TTTT

Jika

2

3

2

1

2

1

2

3

1

1wx