4.3 BASIS DAN SUBBASIS

Difinisi: Misalkan (X ,T ) suatu ruang Topologi. Suatu basis B untuk T adalah sub-collection dari T

dengan aturan bahwa setiap anggota dari T adalah gabungan dari anggota B. Referensi topolgi kadang-kadang ditinggalkan dan kita mengatakan basis dari X daripada basis untuk topologi X . Anggota-anggota B dikatakan himpunan buka dasar dan T adalah topologi yang dihasilkan oleh B .

Contoh 4.3.1

(a) Koleksi B dari semua interval buka adalah suatu basis untuk topologi biasa dari R(b) Untuk sebarang ruang metrik (X ,d ), koleksi Buntuk bola terbuka B (a , r ) , a ϵX , r>0 ,

adalah suatu basis untuk topologi yang dibangun oleh d .(c) Untuk sebarang himpunan X , koleksi dari semua himpunan singleton {x}, x ϵX adalah suatu

basis untuk topologi diskrit.(d) Untuk sebarang ruang (X, T ) topologi Tadalah suatu basis untuk dirinya sendiri. Fakta ini

adalah sebagian kecil digunakan karena poin dari definisi suatu basis adalah menghasilkan suatu koleksi terkecil dari himpunan buka yang dikerjakan.

Definisi: Misalkan (X ,T ) suatu ruang dan misalkan a anggota dari X. suatu local base atau local

basis di a adalah subcollection Badari T sedemikian sehingga

(1) a belongs to setiap anggota dari Ba dan

(2) setiap himpunan buka yang berisi a berisi anggota Ba.

Contoh 4.3.2

(a) Untuk α ϵ R , koleksi Ba dari semua interval buka dari bentuk (a−ε , a+ε ) , ε>0, adalah basis

lokal dia.

(b) Untuk sebarang ruang metric (X ,d ) dana ϵ X ,koleksi Ba dari semua bola buka berpusat di

a adalah base lokal di a.

(c) Untuk suatu ruang dikrit X , himpunan singleton {a } membentuk suatu basis lokal di a.

( basis lokal adalah koleksi dimana yang anggota hanya {a }.)(d) Untuk sebarang ruang (X ,T ) dan a ϵ X , koleksi dari semua himpunan buka mengandung a

adalah lokal basis di a.(e) Jika B adalah basis dari ruang X , maka koleksi dari semua anggota dari B dimana

mengandung a adalah basis lokal di a, maka ⋃aϵ X Ba adalah basis dari topologi X .

Definisi: suatu ruang X adalah first countable(terhitung pertama) atau satisfies the first axiom of countability(memenuhi axioma pertama dari perhitungan) asalkan ada suatu basis lokal terhitung pada setiap titik di X . Ruang X adalah second countable(terhitung kedua) atau satisfies the second axiom of countability(memenuhi axioma kedua dari perhitungan) asalkan topologi X memiliki basis terhitung

Jika suatu ruangXmempunyai basis terhitung, maka, suatu basis B terdiri dari suatu kelompok terhitung dari himpunan buka, maka anggota B dimana berisi titik particular a membentuk suatu lokal basis terhitung di a. Maka setiap ruang terhitung kedua adalah terhitung pertama.