tf3103 2015 latihan formalism dll
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
1/13
Bab 4
TF-3103
Quantum Mechanics
LATIHAN-4
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
2/13
2
SOAL 1
Pada waktu t = 0 sebuah atom hidrogen berada dalam keadaansuperposisi sebagai berikut:
ika kita mengukur energin!a" energi berapa e# sa$a !ang adaserta berapa probabilitas masing-masing energi tersebut%Hitung energi rata-ratan!a
ika kita mengukur momentum L&" momentum L&berapa sa$a!ang ada serta berapa probabilitas masing-masing momentumL&tersebut'erapakah harga ekspektasi dari (L&) pada keadaan tersebut*
r , t=0)=2
2a o)3 / 2
[
e r/ a o
+ A r
2 ao 3er/ 2ao
1
2Y
1,1+Y
1,1+
1
2Y
1,0
]
En=13.6
n2
eV
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
3/13
3
SOLUSI:
r , t=0)=2
2a o)3 / 2
[
e r/ a o
+ A r
2 ao 3er/ 2ao
1
2Y
1,1+Y
1,1+
1
2Y
1,0
]
r , t= 0)=1
2)
3/ 2
2
ao)3 / 2
e
r/
a o2 1
4
+ A 1
3
1
2ao)3/ 2
r
aoe
r/ 2 ao
1
2Y1,1+Y1,1+
1
2Y1,0
r , t=0)=1
2R1,0 Y0,0+ A R2,1
1
2Y1,1+Y1,1+
1
2Y1,0
r , t=0)=1
2
1,0,0+ A
1
2
2,1,1+
2,1,1+
1
2
2,1,0
normalisasi:
r ,0)
*
r ,0)
dr=
[
1
2 1,0,0*1,0,0+ A
2
1
2 2,1,1*2,1,1+ 2,1,1* 2,1,1+
1
2 2,1,0* 2,1,0
]
dr
r ,0) * r ,0) dr=[
1
2+ A
2
1+1
2+
1
2
]
=
1
2+ 2A
2=1 A
2=
1
4 A=
1
2
r , t)=1
2
1,0,0eiE
1t/ +
1
8
2,1,1+
1
2
2,1,1+
1
8
2,1,0
e iE
2t/
$ika kita ukur energin!a energi !ang ada adalah +,= -,". e# dan +/= -"4 e#"
P+,1 = 2 dan P+/1 = 3 ,56 ,56 = 2
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
4/13 4
b% +nergi rata-rata = 2 7-,". e#1 2 7 -"4 e#1 = - 6"8 e#
9% engukur operator Lz
harga m !ang ada adalah m = -," 0 dan ,untuk l = -, eigen ;alue dari L
zadalah -< probabilitasn!a = 3
untuk l = 0 eigen ;alue dari Lzadalah 0 probabilitasn!a = 2 ,56 = 856
untuk l = , eigen ;alue dari Lzadalah < probabilitasn!a = ,56
d%
e%
^Lz| =m |
^Lz =1
4)+
5
80+
1
8=
4
^
L2=
2 l
l+
1)
^
L2
=
120+
122
2=
2
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
5/13 5
SOAL-2
+;aluasi ekspresi berikut ini:a% !" p>? b%>" p!? 9% L!" L&? d% L/" L&?
@LB@I:
a% !" p>?C = !p>C D p>!C = !p>C D !p>C = 0
b% >" p!?C = >p!C D p!>C = >p!C D >p!C = 0
9% L!" L&? = &p>E >p&" >p!E !p>?
= &p>" >p!? - &p>" !p>? - >p&" >p!? >p&" !p>?
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
6/13 6
&p>" >p!?C = &p>>p! CD>p!&p>C
&p>" >p!?C =
&p>" !p>? = &p>!p>- !p> &p>= &!p>p>- !&p>p> = 0>p&" >p!? = >p&>p!- >p! >p&= >/p&p!- >/p!p& = 0
>p&" !p>?C = >p&!p> CD!p>>p&C = >! p&p> CD!p>>p&C
=
i
2
z
x x
yf
i
2
x
yz
x f
[
zpx, xpy ] f=2z
[
y+
x
2
x
y]
f+
2xz
2
x
yf=
2z
f
y=
i z pyf
[zpx, xpy]=
i z p y
i
2
xy
2
x
z
f
i
2
y
x
x
z
f
[
xpz, ypx] f=
i
2
xy
2
x zf
i
2
y[
z+
x
2
x z]
f=
i
2
y
zf=
i y pz f
[xpz
, ypx
]=
iy p
z
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
7/13
7
L/" L&? = L>/" L&? L!/" L&? L&/" L&?
L>/" L&? = L>L>" L&? L>" L&?L>= -iL!- i
L!/" L&? = L!L!" L&? L!" L&?L!= i iL!
L&/" L&? = L&L&L&- L&L&L&= 0
L/" L&? = -iL!- i i iL! 0 = 0
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
8/13
8
Soal-3
@uatu state din!atakan dalam notasi dira9 sbb: F= /i G, / G/-4i G-" dimana Giadalah basis orthonormal%
a% Normalisasikan GF
b% uantum state !g telah dinormalisasi tersebut merupakan eigen;ektor dari operator Hamiltonian dgn HG,= +G,"
H G/= +G/" dan H G-= 8+G-% Hitung +nergi rata-ratan!a
9% ika suatu operator T beker$a pada basis orthonormal Gi)
tersebut dan berlaku sbb : TG,= i G/" TG/= 8 G/- G-"TG-= /iG,% Tulis representasi matrik dari operator T
d% Apakah operator THermitian*
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
9/13
9
@LB@I:a% Normalisasikan GF)(FGF) = ,
(FGF) = A-/i (,G / (/G 4i (-G1GA/i G,) / G/) - 4i G-)1(FGF) = A/4 (,G,) 4 (/G/) ,. (-G-)1 = A/4 4 ,. 1
= A/ /4 = , shg:
b% Hitung +nergi rata-ratan!a untuk operator Hamiltonian : HG,) = +G,)" H G/) = +G/)" dan H G-) = 8+G-)%
Jari
probabilitas ,= ,5." probabilitas /= ,5. dan probabilitas -= 45.@ehingga +nergi rata-rata = +5. +5. /0+5. = /4+5. = 4+
A=
1
24=
1
2
6
=i
61+
1
62
2 i
63
=i
61+
1
62
2 i
63
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
10/13
10
Tulis representasi matrik dari operator Tuntuk :TG,) = i G/)" TG/) = 8 G/) - G-)" TG-) = /iG,)%
TG,) = 0G,) i G/) 0G-)TG/) = 0G,) 8 G/) - G-)TG-) = /iG,) 0 G/) 0 G-)
Apakah operator T Hermitian*
Karena T7 T" T tidakHermitian
T=
0 0 2 i3 i 5 0
0 3 0
T*=
0
3 i 0
0 5 3
2 i 0 0
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
11/13
11
SOAL-4
Pada sistem spin ," dengan basis G" G0 dan G-" !angmerepresentasikan harga m=," 0" dan -,:
a1 Tuliskan representasi matrik Sx
b1 ika Q = SxSy" tuliskan representasi matri> dari Q"dan apakah Qhermitian*
Munakan hubungan S+= Sx+ iSydan S-= Sx- iSy
S
|s , m =
s s+1) mm1) |s , m1
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
12/13
12
@LB@I :CARA 1
a% Bntuk spin ," s = , maka m=," 0" dan -, atau G" G0 dan G-
S
|s , m=
s
s+
1)
m
m
1)
|s , m
1
S+|+ = 0, S+|0 = 2|+ , dan S+|- = 2|0 ,
S-|+ = 2|0 , S-|0 = 2|- , dan S-|- =0
S+| =S+ a|+ + b|0 + c|- =0+ 2 b|+ + 2 c|0
S-| =S- a|+ + b|0 + c|- = 2 a|0 + 2 b|- +0
Sx=1
2S-+ S+)
Sx| =1
2
S-+ S+) a|+ + b|0 + c|- =1
2
S- a|+ + b|0 + c|- +1
2
S+ a|+ + b|0 + c|-
Sx| =1
2
2 a|0
+
2 b|-
+0
+
1
2
0+
2 b|+
+
2 c|0
Sx| =
2
2 b|+
+
2
2 a+
2
2 c
|
0
+
2
2 b|-
-
7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll
13/13
13
@ehingga representasi matrik Sz adalah
b%
@ehingga representasi matrik Sy adalah
= @x@y
O karena 7 = " maka hermitian
Sx=
2
2
0 1 0
1 0 1
0 1 0
Sy=i
2S-S+)
Sy| =i2S-S+) a|+ + b|0 + c|- = i2
S- a|+ + b|0 + c|- i2S+ a|+ + b|0 + c|-
Sy| =i
2
2 a|0
+
2 b|-
+0
i
2
0+
2 b|+
+
2 c|0
Sy|
=
i
2
2 b|
+
+
i
2
2 a
i
2
2 c
|
0
+
i
2
2 b|
-
Sy=
2
2
0 i 0
i 0 i
0 i 0
Q=Sx Sy= 22
0 1 0
1 0 1
0 1 0
22
0 i 0
i 0 i
0 i 0
=
2
2
i 0 i
0 0 0
i 0 i
Q+=
2
2
i 0 i
0 0 0
i 0
i