7/25/2019 Teru Rut

1/23

BAB III

GEOMETRI TERURUT

(TEORI URUTAN PADA GARIS)

Kita telah rumuskan teori dasar insidensi, dan sekarang kita berada pada permasalahan meletakkan teori

urutan dalam geometri sebagai dasar yang kuat. studi relasi urutan titik pada suatu garis

1. Konsep Urutan

Urutan merupakan salah satu ide matematis yang paling dasar. Kita menemukan urutan dalam bentuk

aljabar saat kita belajar menghitung, dalam bentuk geometrik saat kita mengamati bahwa suatu objek berada

disebelah kiri objek lainnya atau objek tersebut berada diatara dua objek lainnya atau berada di sisi lintasan

yang berlawanan dari objek lainnya. Seperti yang telah kita pelajari sebelumnya, teori insidensi gemetrik dapat

dikembangkan, tetapi geometri diperkaya dengan pengenalan mengenai konsep urutan. Hal ini jelas diperlukan

sebagai studi posisi relativf titik pad a garis, tetapi penting juga sebagai definisi dan studi ban yak ide

nonlinier yan g penting. Tanpa konsep urutan, kita tidak mampu mengklarifikasi ide tentang arah, pemisahan,

dan interioritas tanpa geometri, kita bahkan tidak mampu mendefinisikan segitiga

!da dua "ara dalam mempelajari konsep dalam teori matematis#

$. Untuk mendefinisikan konsep sehubungan dengan maksud dasar lainnya#

%. Untuk menganggap konsep sebagai maksud dasar dan mengkarakteristikan konsep

dengan postulat yang sesuai. Tampaknya sulit untuk mendefinisikan ide urutan

sehubungan dengan titik, garis bidang jadi kita akan gunakan prosedur yang kedua.

!da dua teori urutan yang terkenal yang disebut dengan teori pre"eden"e &yang lebih didahulukan' dan

teori betwenness &ke antaraan'. (ada teori yang pertama elemen suatu himpunan )diurutkan* d engan

menspesifikasi relasi dua suku &atau biner' yang disebut pre"eden"e, misaln ya )ke sebelah kiri dari* dalam

himpunan titik pada garis, atau )lebih besar dari* untuk himpunan bilangan rasional. +alam teori kedua, relasi

tiga suku &atau ternary' yang disebut ke antaraan dispesifikasikan dalam suatu himpunan, sebagai "ontoh,* ke

antaraan untuk titik dalam garis. Tentu saja dalam setiap teori, postulat yang sesuai dapat saja diasumsikan. Kalau

dinyatakan se"ara formal, teori pre"eden"e meliputi relasi dua suku a b &diba"a a mendahului b, bukan a kurang

dari b' dan himpunan dasar S yang memiliki elemen a, b, ",- yang memenuhi postulat berikut ini

($. a

7/25/2019 Teru Rut

2/23

Kenyataannya tidak ada metode geometrik intrinsi" yang digunakan untuk membedakan relasi relasi ini.

&garis tidak hanya dengan membentuk garis ke arah kiri atau kanan saja'. Selanjutnya, karena ada banyak garis

dalam geometri, perlu dipilih relasi mendahului diantara semua garis, dan tidak ada "ara yang alami untuk mengikat

relasi ini se"ara bersama. +asar teori urutan dalam geometri tentang ke antaraan men"oba menghindari kesulitan

tersebut dan me nampakkan kealamiannya dalam setiap kasus.

2. Postulat untu Ke!antaraan

!da banyak sistem postulat untuk ke antaraan yang dipilih untuk bahasan ini yang "ukup sederhana, tidak

sulit diingat, dan dapat memfasilitasi generalisasi pembelajaran urutan dalam bidang dan ruang. Kita pertimbangkan

geometri insidensi umum yang memenuhi $$ $0, dan memperkenalkan maksud dasar tambahan 1antara yang

disimbolkan dengan &ab"' yang diba"a titik a, b, " berada pada urutan ab" atau b diantara a dan ". &postulat 2 pada

bab 3 tidak diasumsikan ). Kita asumsikan bahwa relasiantara memenuhi postulat berikut ini#

4$. & sifat simetri' &ab"' se"ara tak langsung menyatakan &"ba'

4%. &sifat antisiklik' &ab"' se"ara tak langsung menyatakan ketidakbenaran dari &b"a'4/. &kohenrensi linier' a, b, " berbeda dan kolinier jika dan hanya jika &ab"', &b"a', atau

&"ab'

45. &sifat pemisahan' misalkan p kolinier dan berbeda dari a, b, ", maka &apb' se"ara tak

langsung menyatakan &bp"' atau &ap"' tetapi tidak keduanya

46. &eksistensi' jika a b ada 7,y,8 sedemikian sehingga &7ab', &ayb', &ab8'.

(ostulat ini pantas mendapatkan beberapa "atatan. (erhatikan bahwa postulat ini disajikan dengan diagram

yang mudah dibuktikan se"ara diagram. (erhatikan 4$ merupakan sifat simetri yang sederhana, yang menyatakan

bahwa kita dapat se"ara simetri mempermutasikan elemen dalam relasi &ab"' tanpa mengganggu kevaliditasannya.

4% menyatakan bahwa kita dapat merusak kevaliditasan &ab"' jika kita gunakan permutasi siklik yang menggantikan

a,b," dengan b,",a. (ostulat 4/ menghubungkan ide dasar antara dengan ide dasar titik dan garis dalam teori

insidensi.Tanpa beberapa sifat tersebut, kita menjadikan dua teori menjadi bagian terpisah satu untuk insidensi dan

satu untuk keantaraan. 4/ mudah diingat karena relasi urutan yang terlibat adalah permutasi siklik &ab"'.

4/.$. &ab"' se"ara tak langsung menyatakan a, b, " berbeda dan kolinier

4/.%. jika a, b, " berbeda dan kolinier maka &ab"', &b"a' atau &"ab'

Sesungguhnya 4/ ekivalen dengan 4/.$. dan 4/.% dan merupakan formulasi untuk kedua sifat ini. 45

merupakan bentuk linier atau satu dimensi dari postulat (as"h &4ab $$, sub 4ab $' yang diformulasikan sebagai sifat

segitiga. (ostulat tersebut dianggap postulat pemisahan lemah. 9adi, "ara memba"a &ab"' adalah b memisahkan a

dari ". maka konklusi 45 menyatakan jika p memisahkan a dari b, maka p pasti memisahkan a atau b dari c, tetapi

tidak keduanya . 9adi, " harus berada pada sisi p yang berlawanan dengan a atau dengan b, tetapi tidak keduanya.

(erhatikan bahwa dalam 45 tidak ada asumsi yang dibuat tentang keberbedaan a, b, d# dan bahwa asumsi tersebut

valid, misalnya jika b:". 46 diperkenalkan untuk menjamin eksistensi titik yang ada dalam bahasan kita. 46

berguna untuk men"egah teori menjadi trivial.

7/25/2019 Teru Rut

3/23

". S#$at e!antaraan Ele%enter

+alam sub bab ini, kita mendiskusikan sifat urutan tiga titik. +iantaranya adalah 4/.$ dan 4/.% dari sub

bab %. dari 4/.$. &dalam pandangan postulat insidensi', kita se"ara mudah dapat menurunkan prinsip prinsip di

bawah ini

i. &ab"' se"ara tak langsung menyatakan ab:b":a"

ii. &ab"' se"ara tak langsung menyatakan bahwa ab memuat ", b" memuat a, a" memuat b +iberikan relasi ke

antaraan, katakanlah &ab"', akan kita tanyakan relasi keantaraan mana yang mengikuti relasi ini. 4$ dan 4%

memberikan jawaban yang

parsial. (ertanyaan selengkapnya diperoleh dalam

Teore%a 1 . &ab"' se"ara tak langsung menyatakan &"ba', dan &ab"' se"ara tak langsung menyatakan ketidakbenaran

dari &b"a', &ba"', &a"b' dan &"ba'.

Bu t#& &ab"' se"ara tak langsung menyatakan &"ba' menurut 4$. &ab"', &"ba'

memplikasikan ketidakbenaran dari &b"a', &ba"' menurut 4%. !nggaplah &a"b'# maka menurut 4$, &b"a' yang salah. Karenanya &a"b' pastilah salah. !rgumen

serupa membuktikan bahwa &"ab' salah.

'orollar . &ab"' jika dan hanya jika &"ba'. ;akni &"ba' dan &"ba' adalah 2kivalen.

Hal ini terbukti, dalam artian, teori urutan untuk tiga titik. Selanjutnya &lihat sub bab $6 di bawah ini' kita

diskusikan teori urutan untuk 5 titik. Kita lanjutkan sekarang dengan menggunakan teori urutan untuk

mendefinisikan dan mempelajari segmen dan garis berarah.

. Se*%en

4angun geometrik yang paling sederhana dan terpenting, setelah garis adalah segmen, yang mudahdidefiniskan dalam istilah urutan

De$#n#s#, jika a b, himpunan semua titik 7 sedemikian sehingga &a7b' disebut segmen ab, yang dinotasikan ab , a

dan b disebut titik ujung segmen ab, yang dikatakan menghubungkan a dan b.(erhatikan bahwa segmen seperti yang

didefinisikan, merupakan himpunan titik. Kita bahkan tidak dapat mengukur segmen atau membandingkan segmen

berukuran lebih ke"il atau besar.

Teore%a 2 . jika a b maka

i.

7/25/2019 Teru Rut

4/23

&i' menyatakan bahwa

7/25/2019 Teru Rut

5/23

+. Gar#s Berara,

@aris berarah mun"ul se"ara implisit dalam 2u"lid dalam bentuk sisi suatu sudut. @aris berarah dapat

dijelaskan sebagai lintasan yang diikuti oleh titik yang dimulai dari suatu titik dan bergerak tak berujung pada suatu

arah yang diberikan.

Ga%-ar 1 .1

9ika titik awal adalah a, dan b merupakan titik pada arah yang diberikan dari a, maka garis akan terdiri atas

semua titik antara a dan b, dan bersama dengan b, semua titik diluar b yang relatif terhadap a &gb $A.$'.

Ga%-ar 1 .2

!da bentuk konstuksi lainnya. Untuk menjelaskan hal tersebut, misalkan a merupakan titik awal, tetapi

anggaplah arah yang diberikan ternyata berlawanan dengan arah sebelumnya, yakni dari a se"ara langsung

berlawanan dengan titik b &@ambar $A.%'. maka garis akan terdiri atas semua titik )diluar* a )yang relative

terhadap* b. Kedua bentuk konstruksi tersebut &atau definisi' ternyata penting dan diperlukan dalam perkembangan.

4entuk pertama tampaknya lebih natural, tetapi melibatkan tiga komponen terpisah# bentuk kedua, yang banya

melibatkan komponen yang lebih sederhana. 9adi, kita mendasarkan definisi garis menurut konstruksi kedua karenaakan kita lihat, bentuk pertama ternyata harus gagal.

De$#n#s#. 9ika a b, himpunan semua titik 7 sedemikian sehingga &7ab' disebut garis berarah dan dinotasikan dengan

aBb, diba"a a atas b . kadang kadang aBb disebut perpanjangan atau prolongasi

7/25/2019 Teru Rut

6/23

didefinisikan sehubungan dengan konsep garis berarah &lihat latihan / pada akhir bab'. Sekarang kita lihat analogi

parsial dari teorema % untuk segmen

Teore%a " . jika a b, maka

i. aBb, bBa merupakan subset dari abii. a, b bukan elemen dari aBb

iii. aBb merupakan himpunan tak kosong

Bu t# .

(#) kita buktikan aBb merupakan subset dari ab dengan menunjukkan bahwa setiap elemen aBb juga elemen dari ab.

=isalkan 7 merupakan elemen aBb. menurut definisi aBb, kita mendapatkan &7ab'. Hal ini se"ara tak langsung

menyatakan bahwa 7 berada pada ab. 9adi aBb merupakan subset ab. Hal yang serupa juga berlaku untuk bBa.

(##). >anjutkan seperti pada teorema %, asumsikan a &atau b' berada pada aBb dan dapatkan suatu kontradiksi

(###) gunakan 46 seperti dalam teorema %.

(erhatikan dalam pandangan &ii', bahwa garis berarah serupa dengan segmen , merupakan bangun* terbuka* tidak mengandung titik ujung. 4agian ini menyelesaikan teori urutan pada garis. Setelah menurunkan sifat ke antaraan

elementer, kita perkenalkan bangun linier dasar, segmen dan garis berarah dan mempelajari sifatnya yang paling

sederhana. Untuk memfasilitasi studi yang lebih mendalam mengenai teori urutan ini, kita simpangkan bahasan kita

dengan menghadirkan elemen teori himpunan.

/. De o%pos#s# Suatu Gar#s an* 0#tentu an ole, 0ua t#t# n a

Sekarang kita persiapkan diri membuktikan beberapa sifat urutan, seperti yang diasumsikan 2u"lid, yang

telah didiskusikan di 4ab $. (ertama akan ditunjukkan bahwa dua titik dari suatu garis akan menyebabkan pe"ahnya

menjadi satu segmen dan dua garis berarah.

Teore%a . 9ika a b maka ab:aBb

7/25/2019 Teru Rut

7/23

Sekarang kita tunjukkan ab S. misalkan 7 ab. 9ika 7:a, atau 7:b, maka 7 berada dalam S. jika 7 a, b maka

menurut 4/.%, &ab7', &b7a' atau &7ab'. (ertama, anggaplah &ab7'. =aka 4$ se"ara tak langsung menyatakan &7ba'

dan 7 bBa menurut definisi garis berarah. Karenanya 7 S. selanjutnya, anggaplah &b7a'.

=aka 7

7/25/2019 Teru Rut

8/23

'orollar 1 , jika p a, ada satu dan hanya satu garis berarah dengan titik ujung p yang memuat a.

Bu t# . Karena p a, menurut 46, ada titik 7 sedemikian sehingga &ap7'. 9adi a pB7 dan pB7 merupakan garis berarah

dengan sifat yang diinginkan. Karena sebarang garis berarah dengan titik ujung p akan memiliki bentuk pBy,

anggaplah pBy memuat a. maka pB7 bertemu dengan pBy dan menurut teorema tersebut, pB7:pBy.

Hasil ini menetapkan permasalahan penentuan garis berarah. +apat dinyatakan dengan garis berarah ditentukandengan menspesifikasi titik ujung dan satu dari titik titiknya. &tentu saja dua titik tersebut harus berbeda'. +apat

diekspresikan dengan istilah )global* sebagai berikut himpunan semua titik, yang tidak termasuk titik p yang

diketahui, dikatakan )ter"akup* oleh himpunan garis berarah dengan titik ujung p.

(a) (-)

Ga%-ar 1 .+

(engantar konsep garis berarah &sub bab 6' men"akup dua konstruksi informal yang dapat dijelaskan

sebagai berikut

&!' mulai dari titik a dan bergerak tidak berujung dalam arah yang diberikan oleh titik b &gb $A.6 &a''.

&4' =ulai dari a dan bergerak tidak berujung dalam arah yang berlawanan dengan b &gb $A.6 &b''. Konstruksi &4'

menghasilkan definisi garis berarah dalam bentuk aBb. sekarang Eorollary $ memudahkan kita memformalisasikan

&a'.

De$#n#s#. 9ika p a, garis berarah unik dengan titik ujung p yang memuat a dinotasikan dengan pa diba"a )garis

berarah pa atau panah pa.

'orollar 2. = isalkan D adalah garis berarah dengan titik ujung p. maka a D se"ara tak langsung menyatakan D

:

7/25/2019 Teru Rut

9/23

'orollar " . sebarang garis berarah pB7 dengan titik ujung p dapat diekspresikan dalam bentuk

7/25/2019 Teru Rut

10/23

Eorollary 0 menyatakan bahwa jika arah a dari p berlawanan dengan arah b, maka arah b dari p berlawanan dengan

arah a. diekspresika nse"ara formal, bentuk ini merupakan prinsip transposisi karena mempertukarkan a dan b dalam

hubungan

7/25/2019 Teru Rut

11/23

Kita akan mengeleminasi a, b dalam &$', &%' untuk memperoleh relasi yang melibatkan 7,y, p. &apb' se"ara tak

langsung menyatakan &teorema 6, "orollary 5'

&/'

7/25/2019 Teru Rut

12/23

(emisahan merupakan salah satu ide terpenting geometrik dan terakar pad intuisi geometrik. Sebagai satu

"ontoh, pertimbangkan pernyataan intuitif yang dikenal, titik p dari garis L memisahkan L menjadi dua bagian atau

sisi S, S . kedengarannya seperti pernyataan, pisau membagi sepotong roti menjadi dua bagian. Tetapi kemiripan

dalam intinya hanya berhubungan dengan pendengaran. Untuk titik dan garis adalah pemisahan dan kita tidak dapat

mendefinisikan pemisahan geometri" sebagai proses fisik, meskipun dihubungkan dengan proses fisik. Tambahan

pula, titik p berada pada garis L, pisau, tidak berada dalam roti. Titik tidak melakukan apapun pada garis, seperti

pisau, roti pemisahan geometris bukan proses sama sekali, intisarinya harus ditentukan dalam interrelasi tertentu

dari empat objek# p, L, S, S & gb $A.$A'.

Ga%-ar 1 .1

4agaimana p, L, S, S diinterrelasikan Tentu saja relasi tersederhana diantaranya adalah bahwa L diperoleh oleh S,

S dna p# kita tidak ingin kehilangan bagian dari L dalam analisis konsep pemisahan. 9adi, kita perlu

&a' L : S S p

Tambahan pula, anggaplah S, S . 9ika pisau membagi dua roti, kita katakan roti dipisahkan tetapi satu

dari komponen pasti kosong. Sekarang kita perlukan &b' S, S , p saling asing. Untuk 1pemisah, p seharusnya tidak

milik sesuatu, S, S yang memisahkannya, dan untuk selanjutnya 1dipisahkan oleh p sebaiknya tidak saling tumpang

tindih.

Kondisi &a' dan &b' tidak "ukup menjamin pemisahan, karena gagal mengindikasikan bahwa p memiliki

peran berbeda dari S dan S . titik p dikarenakan 1pemisah atau 1penghalang untuk S dan S # kita katakan ini berarti

&"' p diantara setiap titik dari S dan setiap titik dari S kondisi &a', &b' dan &"' tampak efisien untuk

mengkarakteristikan ide pemisahan dan harusnya menghasilkan definisi yang lebih masuk akal. !kan tetapi, jikalebih diinginkan penggunaan prasa 1p memisahkan L menjadi S, S , jadi lebih diinginkan meniadakan kemungkinan

bahwa p bisa saja memisahkan S dan S menjadi himpunan yang lebih ke"il. Kita inginkan S, S menjadi komponen

1terakhir dari L, yakni S, S tidak dipisahkan oleh p. jadi, kita perlu &d' p tidak berada antara dua titik S atau S Kita

ambil &a', &b', &"' dan &d' untuk mengkarakteristikan ide bahwa titik p memisahkan garis L menjadi himpunan tak

kosong S , S . !kan tetapi, analisis kita valid hanya dalam situasi lain# jika kita pakai, sebagai "ontoh, pada

pemisahan segmen menjadi dua segmen dengan menggunakan satu dari titiknya. 9adi kita akan diperkenalkan pada

hal berikut ini.

De$#n#s#, kita katakan titik p memisahkan himpunan titik ! menjadi himpunan tak kosong S dan S jika kondisi

berikut ini terpenuhi#i. !: S S p

ii. p berada antara setiap titik S dan setiap titik S

iii. p tidak berada antara dua titik S atau S

iv. S , S , p saling asing

7/25/2019 Teru Rut

13/23

Kondisi &iv' terhubung langsung dengan &i' dan ditempatkan terakhir karena pada prakteknya seringkali

lebih mudah dibuktikan setelah kondisi lainnya dibentuk.

1 . pe%#sa,an *ar#s ole, sala, satu t#t# n a

+alam memformulasikan teorema pemisahan untuk titik p dan garis L, jelaslah himpunan pemisahan

merupakan garis berarah, tetapi tidak ada "ara yang sederhana dalam menspesifikasikan garis berarah sehubungan

dengan p dan L. jadi kita ambil L sebagai bentuk ab dan asumsikan bahwa titik p memenuhi & apb' . =aka kita dapat

mengidnetifikasi himpunan pemisahan sebagai garis berarah pBa, pBb. 9adi, kita nyatakan

teore%a . &pe%#sa,an *ar#s '. !nggaplah & apb', maka p memisahkan ab menjadi pBa dan pBb.

-u t# . perhatikan pBa dan pBb bukan kosong & teorema /'. Kita harus membuktikan#

i. ab:pBa p pBb

ii. p berada antara setiap titik dari pBa dan setiap titik dari pBb

iii. p tidak berada antara dua titik dari pBa dan dari pBb

iv. pBa, pBb, p saling asing-u t# . & i'. misalkan S :pBa p pBb. kita buktikan ab: S dengan menunjukkan S ab dan ab S . & apb' se"ara tak

langsung menyatakan ab:pa:pb. =enurut teorema /, pBa pa, pBb pb. 9adi pBa, pBbab. Karena pBa pa:ab, maka

pBa p pBb b atau S ab.

Konversinya, anggaplah 7 ab. 9ika 7:p tentu 7 S . jika 7 p maka & apb' se"ara tak langsung menyatakan

pa,b,7 dan p kolinier dengan a,b,7. jadi, menurut 45, &apb' se"ara tak langsung menyatakan & ap7' atau & bp7',

sehingga 7 pBa atau 7 pBb. dalam kasus lain, 7 S . jadi ab S , sehingga ab: S.

Bu t# &ii'. +engan menggunakan "orollary % dari teorema 0, &apb' se"ara tak langsung menyatakan p berada antara

setiap titik dari pBa dan setiap titik dari pBbBu t# &iii'. !nggaplah p antara titik 7,y dari pBa. dengan menggunakan teorema 0, pBa berlawanan dengan pBa, yang

kontradiksi dengan "orollary 5 dari teorema 0. hal serupa berlaku pula untuk pBb.

Bu t# &iv'. p pBa, pBb menggunakan teorema /. dengan &ii', pBa, pBb berlawanan, karenanya saling asing menurut

"orollary / dari teorema 0.

'orollar 1. &pe%#sa,an *ar#s '. Teorema berlaku jika kita gantikan pBa, pBb

dengan

7/25/2019 Teru Rut

14/23

'orollar 2 . & eun# an pe%#sa,an '.misalkan p L. maka p memisahkan L se"ara unik menjadi dua himpunan# dan

himpunan ini merupakan garis berarah dengan titik ujung p yang sama .

Bu t#. anggaplah p memisahkan L menjadi S , S . menurut definisi &subbab $A'

L: S S 1 p

+engan suku bagian kanan saling asing dan S , S . =isalkan a S , b S . menurutdefinisi, &apb'. 9adi p memisahkan L menjadi pa , pb menurut "orollary $. Kita tunjukkan

S :

7/25/2019 Teru Rut

15/23

ab:aBba

7/25/2019 Teru Rut

16/23

Ga%-ar 1 .12

Bu t# . perhatikan

7/25/2019 Teru Rut

17/23

7/25/2019 Teru Rut

18/23

lainnya seperti teori permainan dan teori program linier dan dihubungkan dengan maksud fungsi konveks dan busur

konveks dalam kalkulus.

De$#n#s#. Himpunan titik S dikatakan konveks , jika 7, y S, dan 7 y selalu se"ara tak langsung menyatakan bahwa

7/25/2019 Teru Rut

19/23

Bu t# . pertimbangkan

7/25/2019 Teru Rut

20/23

membayangkan bahwa suatu garis berarah memiliki dua titik ujung yang berbeda, tampaknya mustahil

membuktikan bahwa garis berarah hanya memiliki satu titik ujung.

Tetapi pertimbangkan situasi tersebut sejenak. Kita tidak meragukan bahwa garis berarah, seperti yang kita

pahami dalam geometri elementer, memiliki titik ujung yang unik. !gak berlawanan kita menyatakan bahwa sifat

garis berarah yang mendasar dan menunjukkan keyakinan yang baik dengan membuktikan bahwa postulat se"ara tak

langsung menyatakan sifat ini. Csunya adalah apakah kita telah memilih postulat yang sesuai jika tidak kita harus

mengubah postulat tersebut. 9adi kita nyatakan dan buktikan

Teore%a 11. sebarang garis memiliki titik ujung yang unik

Bu t# . kita gunakan prinsip prinsip di bawah ini

i.

ab

7/25/2019 Teru Rut

21/23

pI

7/25/2019 Teru Rut

22/23

Seperti mungkin yang diharapkan, sidat dasar ke antaraan dapat diperluas menjadi urutan empat suku.. Ke

antaraan yang paling penting untuk tujuan kita sekarang adalah versi dari 4/.% berikut ini# anggaplah a b dan bahwa

7 kolinier dengan dan berbeda dari a, b. maka &7ab', &a7b' atu &ab7', ktia perluas versi ini menajdi empat ide dalam

Teore%a 1" . anggaplah &ab"' dan bahwa 7 kolinier dengan dan juga berbeda dari a, b, ". maka &7ab"', &a7b"', &ab7"'atau &ab"7'.

Bu t#. dengan menggunakan teorema 5

&$'

7/25/2019 Teru Rut

23/23

Kasus 7 "Ba adalah simetris, karena hipotesis adalah simetris dalam a dan ",dan dalam kasus dimana kita

peroleh &7ab"' yang se"ara tak langsung menyatakan &ab"7'. !nggaplah 7