teori permainan

TEORI PERMAINAN

PENDAHULUAN

Teori permainan (game theory) adalah suatu pendekatan matematis untuk

merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan. Teori ini

dikembangkan untuk menganalisa proses pengambilan keputusan dari situasi-

situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan.

Misal, para manajer pemasaran bersaing dalam memperebutkan bagian pasar, para

pimpinan serikat dan manajemen yang terlibat dalam penawaran kolektif, para

jendral tentara yang ditugaskan dalam perencanaan dan pelaksanaan perang, dan

para pemain catur, yang semuanya terlibat dalam usaha untuk memenangkan

permainan. Kepentingan-kepentingan yang bersaing dalam permainan disebut

para pemain (players). Anggapannya adalah bahwa setiap pemain mempunyai

kemampuan untuk mengmbil keputusan secara bebas dan rasional.

Teori permainan mula-mula dikembangkan oleh seorang ahli matematika

perancis bernama Emile Borel pada tahun 1921. Kemudian, Jhon Von Neumann

dan Oscar morgensten mengembangkan lebih lanjut sebagai alat untuk

merumuskan perilaku ekonomi yang bersaing. Aplikasi-aplikasi nyata yang paling

sukses dari teori permainan banyak ditemukan dalam militer. Tetapi dengan

berkembangnya dunia usaha (bisnis) yang semakin bersaing dan terbatasnya

sumber daya serta saling ketergantunga social, ekonomi, dan ekologi yang

semakin besar, akan meningkatkan pentingnya aplikasi-aplikasi teori permainan.

Kontrak dan program tawar menawar serta keputusan-keputusan penetapan harga

adalah contoh penggunaan teori permainan yang semakin meluas.

Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara,

seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian dan jumlah strategi yang

digunakan dalam permainan. Sebagai contoh, bila jumlah pemain adalah dua,

permainan disebut sebagai permainan dua-pemain. Begitu juga, bila jumlah

pemain adalah N (dengan N≥ 3 ), permainan disebut permainan N-pemain.

Makalah Teori permainan by Hengky Fitrayco & Piere Dayaka 1

Bila jumlah keuntungan dan kerugian adalah nol, disebut permainan jumlah-

nol atau jumlah-konstan. Sebaliknya, bila tidak sama dengan nol, permainan

disebut permainan bukan jumlah-nol (non zero-zum game).

UNSUR-UNSUR DASAR TEORI PERMAINAN

Berikut ini akan diuraikan beberapa unsure atau elemen dasar yang sangat

penting dalam penyelesaian setiap kasus dengan teori permainan , dengan

mengambil suatu contoh permainan dua-pemain jumlah-nol (2-person zero-zum

game), dimana matriks pay off nya tampak dalam table 8.1.

Tabel 8.1 contoh matriks permainan dua- pemain jumlah-nol

Pemain A

Pemain B

B1 B2 B3

A1

A2

6

8

9

5

2

4

Dari tabel diatas dapat diuraikan unsure-unsur dasar teori permainan sebagai

berikut:

Angka-angka dalam matriks pay off , atau biasanya disebut matriks

permainan, menunjukkan hasil-hasil (atau pay offs) dari strategi-strategi

permainan yang berbeda-beda. Hasil-hasil ini dinyatakan dalam suatu

bentuk ukuran efektivitas, seperti uang, persentase market share, atau

kegunaan. Dalam permainan dua pemain jumlah-nol, bilangan-bilangan

positif menunjukkan keuntungan bagi pamain baris (atau maximizing

players), dan merupakan kerugian bagi pemain kolom (atau minimizing

player). Sebagai contoh, bila pemain A mempergunakan strategi A1 dan

pemain B memilih strategi B2, maka hasilnya A memperoleh keuntungan

9 dan B kerugian 9. Anggapannya bahwa metrics pay off diketahui oleh

kedua pemain.


Suatu strategi permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang

menyeluruh dari seorang pemain , sebagai reaksi atas aksi yang mungkin

dilakukan oleh pemain lain yang menjadi pesaingnya. Dalam hal ini

dianggap bahwa suatu strategi tidak dapat dirusak oleh para pesaing atau

faktor lain. Dalam tabel 8.1, pemain A mempunyai 2 strategi (A1 dan A2)

dan pemain B mempunyai 3 strategi (B1, B2, dan B3).

Aturan-aturan permainan menggambarkan kerangka dengan mana para

pemain memilih strategi mereka.

Nilai permainan adalah hasil yang diperkirakan per permainan atau pay off

rata-rata dari sepanjang rangkaian permainan, dimana kedua pemain

mengikuti atau mempergunakan strategi mereka yang paling baik atau

optimal. Suatu permainan dikatakan “adil” (fair) apabila nilainya nol,

dimana tak ada pemain yang memperoleh keuntungan atau kemenangan.

Pemain dikatakan “tidak adil” (unfair) apabila nilainya bukan nol.

Suatu strategi dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah

superior terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi

alternatif.

Suatu strategi optimal adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang

menyeluruh, yang menyebabkan seorang pemain dalam posisi yang paling

menguntungkan tanpa memperhatikan kegiatan-kegiatan para pesaingnya.

Tujuan dari model permainan adalah mengidentifikasikan strategi atau

rencana optimal untuk setiap pemain. Dari contoh, di atas, strategi optimal

untuk A adalah A2, B3 adalah strategi optimal untuk B.

Karena banyaknya asumsi-asumsi diatas, maka nilai praktis teori permainan

agak terbatas. Tetapi bagaimanapun juga inti keputusan-keputusan manajerial

harus dibuat dalam kondisi persaingan (konflik) atau kerjasama. Konsep-konsep

teori permainan paling tidak sangat penting untuk beberapa hal berikut ini:

Mengembangkan suatu kerangka untuk menganalisis pengambilan

keputusan dalam situasi-situasi persaingan (dan kadang-kadang kerja

sama).


Menguraikan suatu metoda kuatitatif yang sistematis yang memungkinkan

para pemain yang terlibat persaingan untuk memilih strategi-strategi yang

rasional dalam pencapaian tujuan mereka.

Memberikan gambaran dan penjelasan fenomena situasi-situasi persaingan

atau konflik, seperti tawar menawar dan perumusan koalisi.

PERMAINAN DUA-PEMAIN JUMLAH-NOL

Konsep dasar analisis teori permainan dapat dijelaskan dengan model ini.

Permainan dua-pemain jumlah-nol adalah model konflik yang paling umum

dalam dunia bisnis. Permainan ini dimainkan oleh 2 orang, 2 kelompok atau 2

organisasi yang secara langsung mempunyai kepentingan yang “berhadapan”.

Disebut permainan jumlah-nol karena keuntungan atau kerugian seseorang adalah

sama dengan kerugian atau keuntungan seseorang lainnya, sehingga jumlah total

keuntungan dan kerugian adalah nol. Setiap orang mempunyai dua atau lebih

kepentingan (keputusan).

Ada 2 tipe permainan 2-pemain jumlah-nol, yaitu permainan strategi murni

(setiap pemain mempergunakan strategi tunggal), dan permainan strategi

campuran (kedua pemain memakai campuran dari beberapa strategi yang

berbeda).

Permainan Strategi Murni

Dalam permainan strategi murni, strategi optimal untuk setiap pemain adalah

dengan mempergunakan strategi tunggal. Dalam permainan ini, pemain baris

(maximizing player) mengidentifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi

kriteria maksimin (maximin). Sedangkan pemain kolom (minimizing player)

menggunakan kriteria minimaks (minimax) untuk mengidentifikasikan strategi

optimalnya. Dalam hal ini nilai yang dicapai harus merupakan maksimum dari

minimaks dan minimum dari maksimin kolom. Pada kasus tersebut titik

equilibrium telah dicapai dan titik ini sering disebut titik pelana (saddle point).

Bila nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks, titik pelana tidak akan

dicapai, sehingga permainan tidak dapat dipecahkan dengan mempergunakan

strategi murni. Jadi, kasus ini harus dipecahkan dengan strategi campuran.


Sebagai contoh lihat tabel 8.2.

Tabel 8.2.: matriks permainan dan penyelesaian dengan kriteria maksimin dan minimaks

Perusahaan B Minimum

BarisB1 B2 B3

A1

Perusahaan A

A2

1 9 2

8 5 4

1

4 ← maksimin

Maksimum

kolom

8 9 4

↑

minimaks

Kriteria maksimin : cari nilai-nilai minimum setiap baris. Maksimum diantara

nilai-nilai minimum tersebut adalah nilai maksimin. Untuk strategi ini, strategi

optimal adalah baris dimana terdapat nilai maksimin.

Dari tabel 8.2, nilai-nilai minimum kedua baris adalah 1 dan 4. maksimum

dari nilai-nilai minimum ini adalah 4, sehingga nilai maksimin = 4.

Kriteria minimaks : cari nilai-nilai maksimum setiap kolom. Minimum di antara

nilai-nilai maksimum tersebut adalah nilai minimaks. Untuk permainan strategi-

murni, strategi optimal adalah kolom di mana terdapat nilai minimaks.

Dari tabel 8.2, ada tiga nilai maksimum kolom yaitu 8, 9, dan 4. minimum dari

nilai maksimum ini adalah 4, sehingga nilai minimaks = 4.

Permainan strategi campuran


Tabel 8.3 : matriks permainan strategi campuran

Perusahaan B

Minimum Baris

B1 B2 B3

A1

Perusahaan A A2

A3

2 5 7

-1 2 4

6 1 9

2 ← maksimin

-1

1

Maksimum kolom

6 5 9

↑

minimaks

Dari tabel diatas, diketahui bahwa nilai maksimin tidak sama dengan nilai

minimaks. Oleh karena itu, tidak dapat diketemukan titik pelana. Kemudian

dengan menerapkan aturan dominan, dalam tabel 8.3, strategi B3 didominasi oleh

B2, sehingga kolom B3 dapat dihilangkan. Setelah kolom B3 dihilangkan, dapat

diketahui juga bahwa strategi A2 didominasi oleh strategi A1. strategi A2

dihilangkan dari tabel.

Matriks permainan telah berubah menjadi permainan 2×2, seperti tabel 8.4 di

bawah ini.

Tabel 8.4. reduced game matrix

Perusahaan BMinimum baris

B1 B2

A1

Perusahaan A

A2

2

6

5

1

2 ← maksimin

1

Maksimum kolom

6 5

↑

Minimaks


Pada tabel 8.4 diatas tidak ada titik pelana maka permainan dapat dipecahkan

dengan menerapkan konsep strategi campuran. Penyelesaian permainan dapat

dilakukan dengan :

Metoda grafik. Semua permainan 2 × n (yaitu, pemain baris mempunyai

dua strategi dan pemain kolom mempunyai n strategi) dan permainan m×2

(yaitu pemain baris mempunyai m strategi dan pemain kolom mempunyai

2 strategi) dapat diselesaikan secara grafik. Untuk dapat menyelesaikan

permainan ini secara grafik , dimensi pertama matriks permainan harus 2.

tentang metoda ini dapat dibaca dalam buku dua.

Metoda analisa. Pendekatan ini bertujuan mengembangkan pola strategi-

campuran agar keuntungan atau kerugian yang dialami kedua perusahaan

adalah sama. Pola ini dikembangkan dengan menentukan suatu distribusi

probabilitas untuk strategi-strategi yang berbeda. Nilai-nilai probabilitas

ini memungkinkan untuk ditemukannya strategi campuran yang optimum.

Nilai-nilai probabilitas dapat dihitung dengan cara berikut ini.

Untuk perusahaan A

Anggap bahwa digunakan strategi A1 dengan Probabilitas p, dan untuk A3

dengan probabilitas 1-p.

Anggap bahwa B menggunakan strategi B1, maka keuntungan yang

diharapkan A adalah:

Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan

strategi S1, maka :

2p + 6(1-p) = 2p + 6 – 6p = 6 – 4p

Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan

strategi S2, maka :

5p + 1(1-p) = 5p + 1 – 1p = 1 + 4p

Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka :

6 – 4p = 1 + 4p

5 = 8p

P = 5/8

= 0,625


Dan apabila nilai p = 0,625, maka nilai (1-p) adalah (1 – 0,625) = 0,375, sehingga

kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S3 milik perusahaan A sudah

diketahui nilainya. Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam

kedua persamaan di atas, maka keuntungan yang diharapkan oleh perusahaan A

adalah :

Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2

= 2p + 6(1-p) = 5p + 1(1-p)

= 2 (0,625) + 6 (0,375) = 5 (0,625) + 1 (0,375)

= 3,5 = 3,5

Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan keuntungan yang diharapkan adalah

sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di atas, bahwa sebelum menggunakan

strategi campuran ini keuntungan perusahaan A hanya sebesar 2, berarti dengan

digunakan strategi campuran ini, keuntungan perusahaan A bisa meningkat 1,5

menjadi 3,5.

Bagaimana dengan perusahaan B ?

Untuk perusahaan B

Dengan cara serupa, dapat dihitung pay off yang diharapkan untuk perusahaan B.

probabilitas untuk strategi B1 adalah q dan B2 adalah 1-q.

Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan

strategi S1, maka :

2q + 5(1-q) = 2q + 5 – 5q = 5 – 3p

Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan

strategi S3, maka :

6q + 1(1-q) = 6q + 1 – 1q = 1 + 5p

Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka :

5 – 3q = 1 + 5q

4 = 8q

Q = 4/8

= 0,5

Dan apabila nilai p = 0,5, maka nilai (1-p) adalah (1 – 0,5) = 0,5, sehingga kedua

nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S2 milik perusahaan B sudah diketahui

nilainya.


Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di

atas, maka kerugian minimal yang diharapkan oleh perusahaan B adalah :

Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2

= 2q + 5(1-q) = 6q + 1(1-q)

= 2 (0,5) + 5 (0,5) = 6 (0,5) + 1 (0,5)

= 3,5 = 3,5

Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan kerugian minimal yang diharapkan

adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di atas, bahwa sebelum

menggunakan strategi campuran ini kerugian minimal perusahaan B adalah

sebesar 5, berarti dengan digunakan strategi campuran ini, kerugian minimal

perusahaan B bisa menurun sebesar 1,5 menjadi 3,5.

Metoda aljabar matriks

Metoda aljabar matriks adalah cara lain untuk menyelesaikan suatu

permainan yang mempunyai matriks segi empat atau ordo 2 × 2.

B1 B2

A1

A2

Di mana Pij menunjukkan jumlah pay off dalam baris ke I dan kolom ke j.

Strategi optimal untuk perusahaan A dan B da nilai permainan (V), dapat

dicari dengan rumus-rumus berikut :

Strategi optimal A


Jadi dapat diketahui:

Dari hasil pencarian dengan rumus maka didapat :

Jadi, strategi yang optimal adalah

Jadi, nilai permainan (V)

TEORI PERMAINAN DAN LINEAR PROGRAMMING


Metoda grafik, analisis, dan aljabar matriks yang dibahas sebelumnya

mempunyai ruang lingkup agak terbatas. Untuk menyelesaikan permainan

strategi-campuran dengan ordo 3 × 3 atau dimensi yang lebih besar, dapat

mempergunakan linear programming.

Untuk menguraikan teknik dan prosedur linear programming ini, akan kembali

digunakan contoh permainan dua-pemain jumlah-nol dalam table 8.4.

Notasi yang dipergunakan :

Dengan A sebagai maximizing player, maka dapat dinyatakan keuntungan

yang diharapkan untuk A dalam tanda ketidaksamaan ≥. Ini berarti bahwa A

mungkin meperoleh keuntungan lebih dari V bila B menggunakan strategi yang

lemah. Jadi, nilai keuntungan yang diharapkan untuk pemain A adalah sebagai

berikut:

Diketahui bahwa:

Dengan B sebagai minimizing player, maka dapat dinyatakan kerugian yang

diharapkan B dalam tanda ketidaksamaan ≤. Ini berarti B mungkin mengalami

kerugian kurang dari V bila A menggunakan strategi yang lemah. Jadi, nilai

kerugian yang diharapkan untuk pemain B adalah sebagai berikut:


Diketahui bahwa :

Dengan membagi setiap ketidaksamaan dan persamaan diatas dengan V,

didapatkan :

Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B

Bila ditentukan variabel-variabel barunya :

Maka didapatkan :

Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B

2 X1 + 6 X2 ≥ 1 2 Y1 + 5 Y2 ≤ 1

5 X1 + 1 X2 ≥ 1 6 Y1 + 1 Y2 ≤ 1

X1 + X2 = 1/V Y1 +Y2 = 1/V

Karena perusahaan A adalah maximizing player, maka tujuannya adalah

memaksimumkan V, atau sama dengan meminimumkan 1/V. Dengan X1 + X2 =

1/V, dapat dirumuskan masalah linear programming untuk perusahaan A sebagai

berikut:

Minimumkan

Z = X1 + X2 → Z = 1/V

Batasan-batasan:


2 X1 + 6 X2 ≥ 1

5 X1 + 1 X2 ≥ 1

X1 , X2 ≥ 0

Sedangkan perusahaan B adalah minimizing player, maka tujuannya adalah

meminimumkan V, atau ini berarti B harus memaksimalkan 1/V. Dengan Y1 +

Y2 = 1/V, dapat dirumuskan masalah linear programming untuk perusahaan B

sebagai berikut:

Maksimumkan

Z = Y1 + Y2 → Z = 1/V

Batasan-batasan:

2 Y1 + 5 Y2 ≤ 1

6 Y1 + 1 Y2 ≤ 1

Y1 , Y2 ≥ 0

Dengan metoda simplex, masalah linear programming primal dapat dipecahkan.

Penyelesaian optimalnya :

Jadi, dapat ditentukan nilai V-nya

Hasilnya sama dengan metoda-metoda lain. Selanjutnya dapat dicari:

Dan


teori permainan

Documents