Teori Penaksiran

Oleh :

Dewi Rachmatin

Pendahuluan

Ada 2 metode inferensi : metode klasik dan metode Bayes dalam menaksir parameter populasi

Dalam metode klasik inferensi didasarkan pada informasi yang diperoleh melalui sampel acak

Dalam metode Bayes, inferensi menggunakan pengetahuan subjektif terdahulu mengenai distribusi peluang parameter yang tak diketahui bersama dengan informasi yang diberikan oleh data sampel

Metode Penaksiran Klasik

Inferensi terbagi menjadi penaksiran

dan pengujian hipotesis

Penaksir (taksiran) suatu parameter

dapat berupa taksiran titik atau

taksiran selang

Statistik yang digunakan untuk

mendapatkan taksiran titik disebut

penaksir atau fungsi keputusan. Jadi

fungsi keputusan S adalah penaksir

σ dan taksiran s adalah ‘tindakan’

yang diambil

Himpunan semua tindakan yang mungkin yang dapat dilaksanakan dalam masalah penaksiran disebut ruang keputusan

Tidak dapat diharapkan suatu penaksir akan menaksir parameter populasi tanpa kesalahan. Tidak beralasan mengharapkan akan menaksir µ dengan tepat, tapi tentunya diharapkan tidak terlalu jauh menyimpang

X

Sifat-sifat Penaksir yang Baik

Penaksir Takbias

(Unbiased Estimator)

Statistik dikatakan penaksir takbias

parameter θ bila E[ ]= θ

Contoh : penaksir takbias untuk µ

karena E[ ] = µ , dan

penaksir takbias untuk σ2

θ̂

θ̂

X

X

1

1

2

2

n

XX

S

n

i

i

Penaksir paling efisien

penaksir yang memberikan variansi terkecil dari semua penaksir θ yang mungkin dibuat

Penaksir konsisten

Penaksir yang takbias dan variansinya minimum adalah penaksir yang terbaik

1ˆlim :berlaku 0

Pn

Selang Kepercayaan

(Taksiran Selang)

Selang kepercayaan untuk θ

adalah selang yang berbentuk

dimana dan nilainya

tergantung pada nilai

Daripada mengatakan bahwa

tepat sama dengan µ akan lebih

meyakinkan bila mengatakan

21 θ̂θθ̂ 1θ̂ 2θ̂

θ̂

x

kxkx μ

Jika ukuran sampel membesar maka

mengecil sehingga kemungkinan

besar taksiran bertambah dekat dengan µ,

yang berarti selang lebih pendek. Jadi

taksiran selang menunjukkan, berdasarkan

panjangnya, ketepatan titik

Makin besar nilai k yang dipilih, makin

panjang selangnya dan makin yakin bahwa

sampel yang diambil akan memberikan

selang parameter yang tak diketahui

n

σσ

22

X

Menaksir rataan (mean)

σ diketahui , untuk n yang cukup

besar :

α1znσ/

μXz-P

α1zZz-P Karena

0,1N~nσ/

μX Z:akibatnya

n

σμ,N~X :PusatLimit Dalil

α/2α/2

α/2α/2

2

Contoh :

Rataan dan simpangan baku nilai ujian

matematika sampel acak 36 mahasiswa

2,6 dan 0,3. Hitung selang kepercayaan

95% dan 99% untuk rataan nilai

matematika semua mahasiswa.

n

σ.zμ

n

σ.z :μ untuk

α)100%(1n kepercayaa selang Sehingga

α1n

σ.zXμ

n

σ.zXP

α/2α/2

α/2α/2

xx

Jawab : diketahui =2,6

Karena ukuran sampel cukup besar maka simpangan baku populasi dapat dihampiri oleh s=0,3. Nilai z yang luas di sebelah kanannya 0,025 adalah z0,025 = 1,96.

Jadi selang kepercayaannya 95% :

atau 2,50 < µ <2,70. Untuk 99% :

atau 2,47 < µ < 2,73.

x

36

3,0)575,2(6,2μ

36

3,0)575,2(6,2

36

3,0)96,1(6,2μ

36

3,0)96,1(6,2

Untuk menaksir µ dengan derajat ketepatan yang lebih tinggi diperlukan selang yang lebih besar.

Selang kepercayaan (1- α)100% memberikan taksiran ketepatan taksiran titik kita.

Bila µ sesungguhnya merupakan titik pusat selang, maka menaksir µ tanpa galat.

Tetapi umumnya sampel tidak menghasilkan tepat sama dengan µsehingga taksiran titik umumnya akan meleset (mengandung galat).

x

x

σ tak diketahui, populasi normal dan n<30

p=α/2 dan dk = n-1

Jika n relatif besar dibanding N yakni

(n/N)>5% dan n>30, gunakan :

1.

n.zμ

1.

n.z /2/2

N

nNx

N

nNx

n

s.tμ

n

s.t pp xx

Contoh :

Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9,8 ; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2; dan 9,6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu bila distribusinya dianggap hampir normal.

Teorema

Bila dipakai untuk menaksir µ, maka

dapat dipercaya (1-α)100% bahwa

galatnya akan lebih dari suatu bilangan g

yang ditetapkan sebelumnya asal ukuran

sampel :

Contoh : Berapa besar sampel yang

diperlukan pada contoh sebelumnya bila

ingin percaya 95% bahwa taksiran untuk

µ meleset kurang dari 0,05 ? n=138,3

x

2

2/ .

g

zn

Menaksir Selisih Dua Rataan

Bila ada dua populasi masing-masing

dengan rataan µ1 dan µ2 dan variansi

dan , maka penaksir titik untuk

selisih rataan untuk selisih µ1 dan µ2 :

ukuran sampel : n1 dan n2.

2

2σ2

1σ

21 XX

α1n

σ

n

σzXXμμ

n

σ

n

σzXX

α1z/nσ/nσ

μμXXzP

α1zZzP

2

2

2

1

2

1α/22121

2

2

2

1

2

1α/221

α/2

2

2

21

2

1

2121α/2

α/2α/2

P

Contoh :

Suatu ujian kimia yang telah dibakukan diberikan pada 50 siswa wanita dan 76 siswa pria. Nilai rata-rata wanita 76 dan simpangan baku 6, sedangkan rata-rata pria 82 dan simpangan baku 8. Carilah selang kepercayaan 96% untuk selisih , bila menyatakan rataan nilai semua siswa pria dan rataan nilai semua siswa wanita yang mungkin akan mengikuti ujian.

2

2

2

1

2

12/21

2

2

2

1

2

12/21 )(,)(

nnzxx

nnzxx

Selisih Dua Rataan

Selang kepercayaan sampel kecil

untuk µ1-µ2 ; = tapi tidak

diketahui, selang kepercayaan

(1-α)100% untuk µ1-µ2 diberikan :

ukuran sampel masing-masing n1

dan n2 berasal dari distribusi normal,

dk= n1+n2-2 ;

2

1σ 2

2σ

21

2/21

21

2/21

11..)(,

11..)(

nnstxx

nnstxx pp

2

11

21

2

22

2

112

nn

snsnsp

Contoh : Dalam sekelompok proses kimia, pengaruh dua katalisator ingin dibandingkan dengan hasilnya pada proses reaksi. Katalisator 1 digunakan pada suatu sampel dengan 12 angkatan dan katalisator 2 digunakan pada sampel dengan 10 angkatan. Ke 12 angkatan yang menggunakan katalisator 1 memberikan rata-rata sampel 85 dengan simpangan baku sampel 4, yang kedua rata-rata sampel 81 dan simpangan baku sampel 5. Carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan populasi bila dianggap kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

Selisih Dua Rataan

Selang kepercayaan sampel kecil untuk µ1-µ2 ; ≠ tapi tidak diketahui, selang kepercayaan

(1-α)100% untuk µ1-µ2 diberikan :

ukuran sampel masing-masing n1

dan n2 berasal dari distribusi normal, dk=

2

1σ2

2σ

2

2

2

1

2

12/21

2

2

2

1

2

12/21 ,

n

s

n

stxx

n

s

n

stxx

)1/()/()1/()/(

)/()/(

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

nnsnns

nsns

Contoh : Catatan selama 15 tahun terakhir

menunjukkan bahwa rata-rata curah hujan

di suatu kabupaten selama bulan Mei 4,93

cm dengan simpangan baku 1,14 cm. Di

kabupaten lain rata-rata curah hujan

selama bulan Mei 2,64 cm dengan

simpangan baku 0,66 cm selama 10 tahun

terakhir. Carilah selang kepercayaan 95%

untuk selisih rata-rata sesungguhnya curah

hujan di kedua kabupaten; anggap bahwa

pengamatan berasal dari populasi normal

dengan variansi yang berbeda.

Selang kepercayaan untuk µ1-µ2=µD

untuk pengamatan pasangan. Selang kepercayaan (1-α)100%untuk µD diberikan oleh :

dengan dan sd menyatakan rataan dan simpangan baku selisih n pasangan pengukuran dan menyatakan nilai distribusi t dengan dk : ν =n-1 sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

d

2/t

n

std

n

std d

Dd

2/2/

1~/

n

d

D tnS

DT

Menaksir Proporsi

Penaksir titik untuk proporsi p dalam

suatu percobaan binomial diberikan oleh

Jadi akan digunakan sebagai

taksiran titik untuk parameter p

Proporsi p yang tak diketahui diharapkan

tidak akan terlalu dekat dengan 0 atau 1,

maka selang kepercayaan untuk p dapat

dicari dengan distribusi sampel , yang

sama saja dengan distribusi p.a. X

Distribusi hampir normal dengan

rataan

n

XP ˆ

P̂

n

xp ˆ

P̂

pn

np

n

XEPE

P

ˆ

ˆ

dengan variansi :

P(-zα/2< Z < zα/2) = 1 - α dengan

n

pp

n

pnp

n

X

P

)1()1(22

22ˆ

npp

pPZ

/)]1.([

ˆ

1

)1(ˆ)1(ˆ2/2/

n

ppzPp

n

ppzPP

Selang kepercayaan untuk p, n 30 :

: proporsi sukses dalam sampel acak berukuran n, dan menyatakan nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

Contoh : Pada suatu sampel acak n=500 keluarga yang memiliki pesawat televisi di kota Hamilton Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki TV berwarna. Carilah selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tsb?

n

ppzpp

n

ppzp

)1(ˆ

)1(ˆ

2/2/

2/z

p̂

Jika dipakai sebagai taksiran p ,

maka galatnya akan lebih kecil dari :

dengan kepercayaan (1-α)100%.

Akibatnya galat akan lebih kecil dari

g jika

p̂

n

ppz

)1(2/

2

2

2/ )ˆ1(ˆ

g

ppzn

Menaksir Selisih Dua Proporsi

Selang kepercayaan untuk p1-p2 ;

n1 dan n2 30. Selang

kepercayaan (1-α)100% untuk

selisih dua parameter binomial

p1-p2 diberikan

2

22

1

112/21

21

2

22

1

112/21

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

n

qp

n

qpzpp

ppn

qp

n

qpzpp

Contoh :

Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tsb memberi perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.

Menaksir Variansi

Taksiran selang untuk dapat

diturunkan dengan statistik

Selang kepercayaan (1-α)100%

untuk suatu populasi normal

2

2

12

21

n

2 ~Sn

X

12

2/

2

2/1

2XP

2

2

2/1

22

2

2/

2 )1()1(

snsn

Contoh :

Data berikut menyatakan berat dalam gram dari 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4;46,1;45,8;47,0;46,1;45,9;

45,8;46,9;45,2 dan 46,0. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk varians semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut.

Menaksir Nisbah Dua Variansi

Bila dan variansi dua populasi

normal, maka taksiran selang untuk

/ dapat diperoleh dengan

memakai statistik :

Peubah acak F mempunyai

distribusi F dengan dk : ν1=n1-1 dan

ν2=n2-1. Jadi

2

12

2

2

12

2

2

2

2

1

2

1

2

2

S

SF

1),(),( 212/212/1 fFfP

Selang kepercayaan (1-α)100% untuk

dengan ν1=n1-1 ν2=n2-1.

Contoh : Suatu ujian masuk yang telah

dibakukan dalam matematika diberikan

kepada 25 siswa pria dan 16 wanita. Siswa

pria mendapat nilai rata-rata 82 dengan

simpangan baku 8,

2

2

2

1 /

),(),(

1122/2

2

2

1

2

2

2

1

212/

2

2

2

1

fs

s

fs

s

sementara wanita mendapat nilai

rata-rata 78 dengan simpangan baku

7. Hitung selang kepercayaan 98%

untuk

dan bila dan

masing-masing menyatakan varians

populasi nilai pria dan wanita yang

telah/akan mengikuti ujian.

Pengujian Hipotesis

2

2

2

1 /21 / 2

22

1