tentang penulis pengantar

BUKU AJAR

Pengantar

` Tentang Penulis

Dr. Anwar, M.Pd ., lahir di Banda Aceh, 22 Maret 1966.

Tahun 1990 lulus Sarjana Pendidikan Matema�ka FKIP

Unsyiah. Kemudian, melanjutkan pendidikan pada

Program Pascasarjana IKIP Malang (Sekarang UM

Malang) lulus tahun 1986 dan lulus Program Doktor

Pendidikan Matema�ka juga di UM Malang tahun

2017. Sejak tahun 1991 hingga sekarang adalah dosen

di Prodi S1 Pendidikan Matema�ka FKIP Unsyiah. Sejak

tahun 2017 telah menjadi salah seorang staf pengajar

di S2 Pendidikan Matema�ka FKIP Unsyiah.

Drs. Bainuddin Yani, M.S., M.Pd., lahir di Ulim, 2 Januari

1955. Lulus Sarjana Muda (B.A) jurusan Ilmu Pas� pada

Fakultas Keguruan Unsyiah tahun 1978, dan lulus

Sarjana (Doctorandus) pada jurusan dan fakultas yang

sama pada tahun 1982. Kemudian, melanjutkan

pendidikan pada Fakultas Pascasarjana IKIP Jakarta

(Sekarang UNJ) jurusan S-2 PKLH dan lulus tahun 1986.

Pada tahun 2014 lulus pada Program Studi Magister

Pendidikan Matema�ka Program Pascasarjana

Unsyiah. Sejak tahun 1984 hingga sekarang adalah

dosen di Prodi S1 Pendidikan Matema�ka FKIP Unsyiah.

Drs. Syahjuzar, M.Si., lahir di Medan, 11 Mei 1957.

Tahun 1985 lulus dari Jurusan Matema�ka FMIPA

Universitas Indonesia. Tahun 2012 lulus dari Jurusan

Ekonomi Studi Pembangunan Fakultas Ekonomi

Unsyiah. Sejak tahun 1988 telah menjadi salah seorang

staf pengajar di S1 Pendidikan Matema�ka FKIP

Unsyiah.

Diterbitkan oleh :Percetakan & Penerbit

Syiah Kuala University PressDarussalam, Banda Aceh

SYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS

PENGANTAR ANALISIS KOMPLEKS

Drs. Bainuddin Yani, M.S., M.Pd

Dr. Anwar, M.Pd

Drs. Syahjuzar, M.Si

SYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS

2017

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang keras memperbanyak, memfotocopy sebagian atau

seluruh isi buku ini, serta memperjualbelikannya tanpa

mendapat izin tertulis dari penerbit.

Diterbitkan oleh Syiah Kuala University Press Darussalam

–Banda Aceh, 23111

Judul Buku : Pengantar Analisis Kompleks Penulis : Drs. Bainuddin Yani, M.S.,M.Pd, Dr. Anwar,M.Si

dan Drs. Syahjuzar, M.Si

Penerbit : Syiah Kuala University Press

Telp : (0651) 801222

Email : [email protected]

Cetakan : Pertama, 2017

ISBN : 978-602-5679-03-2

Anggota Ikatan Penerbit Indonesia (IKAPI)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, tim penulis telah menyelesaikan buku ini

dengan judul Pengantar Analisis Kompleks. Buku ini disusun untuk

menunjang perkuliahan analisis kompleks bagi mahasiswa Jurusan

Pendidikan Matematika di perguruan tinggi.

Rancangan penyusunan buku ini sesuai dengan kebutuhan

perkuliahan analisis kompleks yang dimulai dengan materi Bilangan

Kompleks, Fungsi Kompleks, Limit, Kontinuitas dan Diferensial

Fungsi Kompleks, Fungsi Analitik, Integrasi Kompleks, serta Deret

Kompleks dan Residu.

Tim penulis mengucapkan terima kasih kepada Kemristekdikti

yang telah mendanai kegiatan penulisan buku ini. Terima kasih juga

disampaikan kepada semua pihak yang telah memberikan saran

konstruktif untuk kesempurnaan penulisan yang lebih baik.

Kritik dan saran sangat diharapkan dari pembaca bila dalam

penyusunan buku ini masih terdapat banyak kekurangan dan

kesalahan guna untuk perbaikan atau revisi pada masa mendatang.

Semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Tim Penulis

iii

iv

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN SAMPUL ............................................................................... i

HALAMAN JUDUL ................................................................................... ii

KATA PENGANTAR ................................................................................. iii

DAFTAR ISI ............................................................................................... iv

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

1.1 Definisi Bilangan Kompleks ............................................... 1

1.2 Operasi pada Bilangan Kompleks ...................................... 3

1.3 Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks ............................... 4

1.4 Bentuk Kutub Bilangan Kompleks .................................... 11

1.5 Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks ......................... 14

1.6 Akar Bilangan Kompleks .................................................. 16

1.7 Bilangan Quaternion ........................................................... 20

BAB II FUNGSI DAN TRANSFORMASI KOMPLEKS

2.1 Pengantar Fungsi ................................................................ 24

2.2 Fungsi Linear ..................................................................... 28

2.3 Transformasi Linear ........................................................... 29

2.4 Fungsi Pangkat ................................................................... 35

2.5 Fungsi Kebalikan .............................................................. 37

2.6 Transformasi Bilinear ........................................................ 38

2.7 Fungsi Eksponensial ......................................................... 50

2.8 Fungsi Logaritma .............................................................. 52

2.9 Eksponen Kompleks ......................................................... 54

2.10 Fungsi Trigonometri ...................................................... 56

2.11 Fungsi Hiperbola .............................................................. 58

2.12 Fungsi Invers Trigonometri .......................................... 59

2.13 Fungsi Invers Hiperbola .................................................. 61

BAB III LIMIT, KONTINUITAS DAN DERIVATIF FUNGSI

KOMPLEKS

3.1 Himpunan Titik-titik Pada Bidang Kompleks ..................... 63

3.2 Limit Fungsi Kompleks ...................................................... 65

3.3 Kekontinuan Fungsi Kompleks .......................................... 73

3.4 Diferensial Fungsi Kompleks ............................................. 75

v

3.5 Persamaan Cauchy –Riemann ............................................ 86

3.6 Derivatif Fungsi-fungsi Elementer ...................................... 98

BAB IV FUNGSI ANALITIK

4.1 Fungsi Analitik ....................................................................101

BAB V INTEGRASI FUNGSI KOMPLEKS

5.1 Fungsi Bernilai Kompleks .................................................. 113

5.2 Lintasan .............................................................................. 118

5.3 Integral Lintasan ................................................................. 127

5.4 Anti Derivatif ...................................................................... 141

5.5 Pengintegralan Cauchy ....................................................... 152

5.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu ................................ 155

5.7 Rumus Integral Cauchy ....................................................... 156

5.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville ............................ 158

BAB VI BARISAN DAN DERET

6.1 Konvergensi Barisan dan Deret Kompleks ......................... 161

6.2 Deret McLaurin dan Deret Taylor ...................................... 170

6.3 Deret Laurent ..................................................................... 177

REFERENSI ............................................................................................... 200

1

BAB I

BILANGAN KOMPLEKS

A. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)

Mahasiswa memahami definisi bilangan kompleks‚ sifat aljabar

bilangan kompleks‚ dan akar bilangan kompleks.

BAB I - PERTEMUAN 1

DEFINISI DAN OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

Indikator CPMK:

1. Menjelaskan definisi formal dan non-formal bilangan

kompleks.

2. Memahami operasi dasar bilangan kompleks (penjumlahan‚

pengurangan‚ perkalian‚ dan pembagian bilangan kompleks).

B. Uraian Materi

1.1 Definisi Bilangan Kompleks

Definisi 1.1

Bilangan kompleks didefinisikann dengan himpunan

ℂ = {x + iy | x‚ y ∈ ℝ‚ i = √-1 dan i2 = -1}.

Bilangan komplek biasanya disimbolkan dengan z‚ sehingga z = x +

iy. x disebut bagian real dari z dan ditulis x = Re(z)‚ dan y disebut

bagian imaginer dari z‚ dan ditulis y = Im(z). Dua bilangan kompleks

𝑧1 = 𝑧2 bila dan hanya bila x1 = x2 dan y1 = y2.

23

BAB II

F U N G S I D A N T R A N S F O R M A S I

K O M P L E K S


Mahasiswa memahami pengertian fungsi kompleks‚ transformasi‚

dan fungsi elementer.

BAB II - PERTEMUAN 4

FUNGSI DAN TRANSFORMASI KOMPLEKS

Indikator CPMK:

1. Memahami definisi fungsi kompleks

2. Memahami suatu pemetaan dari bidang z ke w.

3. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

transformasi linear.


transformasi pangkat.

5. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi

invers.


transformasi bilinear.

B. Uraian Materi

2.1. Pengantar Fungsi

Bab ini m e m bahas berbagai fungsi elementer yang

memetakan suatu titik z di himpunan bilangan kompleks C

menjadi suatu titik w di C. Pembahasan fungsi kompleks atau peubah

kompleks pada dasarnya tidak berbeda jauh dari fungsi peubah real.

Misalnya y = f(x) suatu fungsi peubah real. Dengan menggantikan

peubah bebas x dengan z dan peubah tak bebas y dengan w‚

62

BAB III

LIMIT‚ KONTINUITAS DAN DERIVATIF FUNGSI

KOMPLEKS


Mahasiswa memahami syarat eksistensi limit, kekontinuan, dan syarat

eksistensi derivatif fungsi kompleks, serta menemukan derivatif fungsi

kompleks elementer.

BAB III - PERTEMUAN KETUJUH

Indikator CPMK:

1. Memahami limit fungsi kompleks.

2. Memahami syarat kontinu suatu fungsi kompleks.

3. Memahami definisi dan prosedur perhitungan derivatif fungsi

kompleks.

B. Uraian Materi

Pada bab ini dibahas konsep keterdiferensialan suatu fungsi‚

sementara konsep keterdiferensialan memerlukan pula konsep limit

dan kekontinuan. Oleh karena itu‚ pada bab ini per lu dibahas

konsep-konsep limit dan kekontinuan‚ baru dilanjutkan dengan

diferensial. Sebelumnya‚ perlu dipelajari berbagai terminologi

mengenai himpunan titik-titik pada bidang kompleks ( reg ions in

t he compl ex p lan e ) yang m e r u p a k a n dasar dari konsep-

konsep tersebut. Semua konsep ini diperlukan untuk membahas

konsep keanalitikan suatu fungsi pada bab berikutnya.

101

BAB IV

FUNGSI ANALITIK


Mahasiswa memahami syarat perlu dan syarat cukup suatu fungsi

analitik.

BAB IV - PERTEMUAN KESEMBILAN

Indikator CPMK:

1. Membuktikan syarat perlu dan syarat cukup fungsi analitik.

2. Menemukan rumus fungsi harmonik.

3. Menghitung fungsi harmonik sekawan.

4. Mampu mengaplikasikan syarat analitik dan harmonik dalam

pemecahan masalah.

B. Uraian Materi

4.1. Fungsi Analitik

Suatu fungsi f(z) = u + iv dengan u = u(x,y) dan v = v(x,y),

analitik di z bila f (z) ada pada persekitaran N(z,r). Secara khusus, f(z)

dikatakan analitik pada sebuah titik z0 jika ada persekitaran N(z0) atau

himpunan |z – z0| < pada semua titik dimana f (z0) ada. Dengan kata

lain, analitisitas pada suatu titik z0 menghendaki f (z0) ada bukan

hanya pada z0 namun harus di semua titik yang berada di dalam

persekitaran tertentu titik z0.

112

BAB V

INTEGRASI FUNGSI KOMPLEKS


Mahasiswa memahami integrasi fungsi bernilai kompleks, integral

contour, integral fungsi analitik, dan integral Cauchy.

BAB V - PERTEMUAN KESEPULUH

Indikator CPMK:

1. Memahami teknik pengintegrasian garis kompleks.

2. Memahami teknik Integral contour.

3. Menemukan rumus integral fungsi analitik.

B. Uraian Materi

Pengantar

Konsep dasar dari integral pada awalnya telah dibicarakan dalam

kalkulus, namun pembahasannya dikaitkan dengan bilangan real.

Akibatnya, setiap penyelesaian suatu integral menggunakan bilangan

real. Pada pembahasan ini, konsep dan prosedur penyelesaian integral

melibatkan bilangan kompleks. Karena bilangan kompleks merupakan

perluasan konsep bilangan real, maka masalah integral pada

pembahasan sekarang merupakan perluasan dari masalah integral pada

kalkulus. Artinya, definisi dasar maupun rumus-runus dasar serta

teknik-teknik penyelesaian integral pada kalkulus akan juga digunakan

161

BAB 6

DERET KOMPLEKS


Mahasiswa memahami konvergensi barisan dan deret kompleks,

deret McLaurin, deret Taylor, dan deret Laurent.

BAB VI - PERTEMUAN DUA BELAS

Indikator CPMK:

1. Memahami barisan dan deret pangkat bilangan kompleks

2. Memahami konvergensi barisan dan deret kompleks.

B. Uraian Materi

Bab ini menyajikan deret yang mengambarkan suatu fungsi analitik.

Kita menyajikan teorema yang menjamin existensi dari deret tersebut

dan menyajikan juga beberapa cara dalam memanipulasinya.

6.1 Konvergensi Barisan Barisan Deret

Suatu barisan tak hingga

z1 , z2 , z3 , . . . , zn , . . .

200

REFERENSI

Brown, J. W., & Churchill, R. V. 1990. Complex variables and

Application. Toronto: Migraw Hill.

Freitag, E., dan Busam, R. 2005. Complex Analysis. Heidelberg:

Springer.

Huybrechts, D. 2005. Complex Geometry an Introduction. Berlin:

Springer.

Joseph Bak & Donald J. Newman. 1997. Complex Analysis , 2nd edition.

New York: Springer.

Kaplan, W. 1952. Advanced Calculus. Tokyo: Addison Wisley

Publishing Compny.

Mark, J. A., & Fokas, A. S. 2003. Comples Variables: Introduction and

Applications. Cambridge Text in Applied Mathematics, 2nd ed,

Cambridge University Press.

Palirouras, J. D. 1990. Complex Variable for Scientists and Engineers,

2nd edition. : New York: McMillan Coll Div.

Saff, E.B. & Snider, A.D. 2003. Fundamental of Complex analysis with

application, 3rd edition. Prentice Hall. Inc

Saff, E.B. & Snider, A.D. 1993. Complex analysis for mathematics,

Sience and engineering, 2nd edition. Prentice Hall. Inc.

Spiegel, Murray R. (1981). Complex Variables Singapore: McGraw –

Hill International Book Company.

Wegener, I. 2005. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient

Algorithms. Berlin: Springer.

Wunsch, A. D., 1994, Complex Variables with Applications, 2nd eds.,

Addison-Wesle.

tentang penulis pengantar

Documents