susunan bilangan atau bilangan yang disusun ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur
DESCRIPTION
Susunan bilangan atau bilangan yang disusun ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur. 5. 8. V E K T O R. 2. Bentuk susunan. v 11. v 12. v 13. v 11. v 21. Vektor Baris. v 31. Vektor Lajur. Notasi Vektor. v b = ( v 11 v 12 v 13 ). Vektor baris. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Susunan bilangan atau bilangan yang disusun ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur
5
8
2
v12v11 v13
v11
v21
v31
Bentuk susunan
Vektor Baris
Vektor Lajur
Notasi VektorVektor baris
Vektor lajur
v’ = (v11 v12 v13 )
vl =
v = (v11 v12 v13 )1 x 3
v =3 x 1
v11
v21
v31
v11
v21
v31
vb = ( v11 v12 v13 )
v = v11
v21
v31
Penjumlahan
Tambah
Kurang
Penggandaan
Kali
Bagi
Pengolahan Vektor
1. Penjumlahan 2 buah vektor
Syarat penjumlahan :
v1 + v2 = v3
p x q r x s p x q
p = r & q = s
Jumlah baris vektor penjumlah samadengan
jumlah baris vektor dijumlah
Jumlah lajur vektor penjumlah samadengan
jumlah lajur vektor dijumlah
CL V01 SL V1-01
a = ( 5 u 2 )1 x 3
b = ( 1 8 5 )1 x 3
Bila diketahui masing-masing vektor sbb :
c 3 x 1
= 353
d 3 x 1
= 041
1. Tentukan penjumlahan dari :a. Vektor baris : (a + b) dan (a – b)b. Vektor lajur : (c + d) dan (c – d)
Penyelesaian 1 :
a + b = ( 5 u 2 ) + ( 1 8 5 ) = ( 6 u+8 7)(1 x 3)
a – b = ( 5 u 2 ) − ( 1 8 5 ) = ( 4 u-8 -3)(1 x 3)
a. Penjumlahan vektor baris
b. Penjumlahan vektor lajur
353
c + d =3 x 1
041
+ = 394
353
c − d =3 x 1
041
+ = 312
2. Tentukan pula penjumlahan dari :
a. (c + a) dan b. (d + b)
CL V01 SL V1-01
a = ( 5 u 2 )1 x 3
b = ( 1 8 5 )1 x 3
Bila diketahui masing-masing vektor sbb :
c 3 x 1
= 353
d 3 x 1
= 041
Penyelesaian 2 :
a. Penjumlahan dari vektor lajur & vektor baris :(c + a) =
3 x 1
353
( 5 u 2 )1 x 3
Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor a ≠ jumlah
baris vektor c Jumlah lajur vektor a ≠ jumlah
lajur vektor c
b. Penjumlahan dari vektor baris & vektor lajur :(b - d) = ( 1 8 5 )
1 x 3
3 x 1
041
Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor d ≠ jumlah
baris vektor b Jumlah lajur vektor d ≠ jumlah
lajur vektor b
2. Penggandaan 2 buah vektor
Syarat umum penggandaan :
vektor 1 x vektor 2(baris 1 x lajur1) (baris 2 x lajur2)
* vektor baris x vektor lajur = skalar
* vektor lajur x vektor baris = st matriks
Hasil penggandaan :
Matriks segi Matriks tak segi
sama jumlahnya
Syarat penggandaan
a x b = s 1 x q r x 1 1 x 1
skalar
(r = q)
Jumlah lajur vektor pengganda samadengan
jumlah baris vektor diganda
Hasil penggandaan : “skalar”
a 1 x q = (a11 a12 a13 ….. a1q)
b =r x 1
= ( a11.b11 + a12.b21 + a13 .b31 + ….. + a1q.br1)
= ( s11 + s11 + ….. + s11)
b11
b21
b31.
.
.
br1 a x b(1 x 1)
r = q
CARA PENGGANDAAN
CL V02A SL V02A
SKALAR
a 1 x 3= ( 5 u 2 )
c 1 x 2
= (2 3)
1. Tentukan penggandaan vektor-vektor :
a. (a x b) b. (c x b)
Bila diketahui b =3x 1
041
= (5 x 0) + (u x 4) + (2 x 1)
= 4u +2
= ( 5 u 2 )x 041
a 1 x 3
b 3 x 1
a.
b. = ( 2 3 )c 1 x 2
x b 3 x 1
041
Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor b ≠ jumlah lajur
vektor c
Penyelesaian 1 :
Syarat penggandaan Jumlah lajur vektor pengganda
samadenganjumlah baris vektor diganda
matriks b x a = M r x 1 1 x q r x q
Hasil penggandaan : suatu “matriks”
b x a = r x 1 1 x q
b11
b21
b31.
.
.
br1
( a11 a12 a13 ….. a1q)
b11.a11 b11.a12 b11.a13 …. b11.a1q
b21.a11 b21.a12 b21.a13 …. b21.a1q
b31.a11 b31.a12 b31.a13 …. b31.a1q . . . .
. . . .
. . . .
br1.a11 br1.a12 br1.a13 …. br1.a1q
=
CARA PENGGANDAAN
= b r x 1
b11
b21
b31.
.
.
br1
a 1 x q= ( a11 a12 a13 ….. a1q)
q = ratau
q r
Matriks segi
Matriks tak segi
HASIL PENGGANDAAN
x
CARA PENGGANDAANKHUSUS
m11 m12 m13 …. m1r
m21 m22 m23 …. m2r
m31 m32 m33 …. m3r
. . . .
. . . .
. . . .
mr1 mr2 mr3 …. mrr
b x a = (r x r)
Bila q = r
Matriks segi
m11 m12 m13 …. m1q
m21 m22 m23 …. m2q
m31 m32 m33 …. m3q
. . . .
. . . .
. . . .
mr1 mr2 mr3 …. mrq
b x a = (r x q)
Bila q r
Matriks tak segi
CL V02B SL V02B
b =3x 1
a 1 x 3= ( 5 u 2 )
c 1 x 2
= (2 3)
1. Tentukan pula penggandaan vektor-vektor :
a. (b x a) b. (b x c)
Bila diketahui 041
Penyelesaian 1 :a. b x a =
3x1 1x3
( 5 u 2 ) =041
0 0 020 4u 8 5 u 2
(3 x 3)
Matriks segi
b. b x c =3x1 1x2
041
(2 3) = 0 0 8 12 2 3
(3 x 2)
Matriks tak segi
Penggandaan skalar thd st vektor st vektor thd skalar
Mengacu pada syarat penggandaan 2 buah vektor, diperoleh :
Skalar s x vektor baris x = s(vektor baris x)
= sx11 sx12 sx13 ….. sx1l
Vektor lajur x x skalar s = (vektor lajur x)s
= x11s x21s x31s . . xb1s
“Dimensi hasil penggandaan tergantung dimensi vektornya”
CL V02C SL V02C
Diketahui bahwa :
Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l =
Skalar S = 5
2461. Tentukan penggandaan untuk :
a. (S x b) b. (b x S)
Penyelesaian 1 :
a. S x b = 1x1 1x3
5 X (1 3 5)= (5 15 25)
b. b x S = 1x3 1x1
(1 3 5) x 5 = Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris pada skalar s (= 1) ≠ jumlah lajur pada vektor b (= 3)
2. Tentukan penggandaan untuk :a. (S x l) b. (l x S)
CL V02C SL V02C
Diketahui bahwa :
Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l =
Skalar S = 5
246
Penyelesaian 2 :
a. S x l = 1x1 3x1
246
5 X = Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris vektor l (= 3) ≠ jumlah lajur pada skalar s (= 1)
b. l x S = 3x1 1x1
246
X 5 = 102030
Vektor dalam geometrik
• penyusunan kombinasi linier
(x,y) = penjumlahan 2 buah vekor
( x , y ) = (x , 0) + (0 , y)
( x , y ) = x (1 , 0) + y ( 0 , 1)
Y
X
P(x,y)
x
y
0
• Vektor penyusun salib sumbu
2 buah vektor sebagai Penyusun Salib-sumbu
Jadi koor. V merup. hsl penjumlahan vektor2 (5,0) dan (0,3)
(5,3) = 5(1,0) + 3(0,1)
Y
X
V(5,3)
3(0,1)
5(1,0)5
3
0
Kaedah Jajaran genjang
V3 = V1 + V2
V1’ = (X2 , Y1)
V2’ = (X1 , Y2)V3 = {(X1 + X2) , (Y1 + Y2)}
V3 = (X3 , Y3)
X
Y
V1
V2
V3(x3,y3)
x3
y3
x1x2
y2
y1
0
V3 = {(X2,Y1) + (X1, Y2)}
Jadi vektor V3 diperoleh dari :
* x3 kali vektor (1,0) yg berimpit dgn sumbu X
* y3 kali vektor (0,1) yg berimpit dgn sumbu Y
Vektor (1,0) & vektor (0,1) masing2 terbobot oleh kofaktor x sebesar x3 dan kofaktor y sebesar y3
V3 = (X3 , Y3)
V2 = (2 , 4)
V1 = (5 , 1) V3 = (5 , 1) + (2 , 4) = {(5 +2) , (1 + 4)} = (7 , 5)
Pengertian bebas linier tidak hanya “tidak searah & berlawanan arah”, tapi berarti pula “tidak selalu tegak lurus”
V1 = (5 , 1)
V2 = (2 , 4)
V3
52
1
7
5
4
Pengembangan pada 3 dimensi
Vektor (x,y,z) dapat pula berupa kombinasi linier dari 3 vektor yang bebas terhadap sesamanya
(x,y,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1)
(2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)
• Landasan penyusun salib-sumbu (SS)
(2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)
Sembarang vektor dpt dijadi-kan sbg “dasar SS” dengan ketentuan vektor2 tsb tidak searah atau berlawanan arah
Bila 2 atau lebih vektor dpt digunakan sbg “landasan pe-nyusun st SS”, maka vektor2 tsb dinyatakan sbg “bebas linier thd sesamanya”
X2
3
4
(2,3,4)
Z
Y
CL V03 SL V03
1. Koordinat titik P (5,3) dibentuk oleh vektor (5,0) dan (0,3). Bila unsur vektor (5,0) diubah menjadi (3,1) dan unsur vektor (0,3) diubah menjadi (2,2), tentukan :a.Kofaktor masing-masing vektor
yang barub.Buat ilustrasinya
Penyelesaian 1 :
a. Kofaktor masing-masing vektor
(5,3) = (5,0) + (0,3)
(5,3) = (3,1) + (2,2) (5,3) = x (3,1) + y (2,2)
(5,3) = 5(1,0) + 3(0,1).. ..
5 = 3 x + 2 y .. ..
3 = x + 2 y.. ..
3 = x + 2 y.. ..
2 = 2 x..
x = 1..
2 = 2 y ..
y = 1..
(5,3) = 1 (3,1) + 1 (2,2)
b. Ilustrasi ruang vektor (geometrik)
(5,3) = (3,1) + (2,2)5
X
X
YY P(5,3)
1(3,1)
1(2,2
)
3
. .
. .
0
CL V03 SL V03
2. Koordinat titik P terhadap salib-sumbu berupa vektor (2,6).Tentukan koordinat titik P tsb (Kx dan Ky) terhadap vektor-vektor penyusun salib-sumbu yang baru (0,1) dan (2,4).
• Landasan ruang vektor
Penyusunan 2 vektor atau lebih membentuk suatu matriks
Katakan saja ada 3 buah vektor yaitu
(1 -1 2) (0 1 3) (1 1 3)
1 -1 2
0 1 3
1 1 3
?Apakah ketiga tsb dapat digunakan sebagai landasan dalam membentuk ruang vektor
matriksMaksudnya
?
Maksudnya :Landasan : vektor yang dapat digunakan sebagai salib-sumbu
dalam membentuk ruang vektor (geometrik). Vektor yang dapat digunakan sebagai landasan, bukan merupakan vektor nol.
Tiga vektor atau lebih yang akan digunakan sebagai landasan, ada kemungkinan diantaranya merupakan vektor nol atau keseluruhannya merupakan vektor nol.
Ruang vektor dimaksud : bidang yang dibatasi 2 vektor (bidang datar; 2 dimensi), bidang yang dibatasi 3 vektor atau lebih (bidang ruang; 3 dimensi atau lebih).
Uraian lebih lanjut ditelaah dalam pengolahan matriks.
Norma Vektor
v’ = (v1 v2 v3 ….. vn)
v’v = (v1 v2 v3 .…. vn) v1
v2 v3 ..vn
= (v12 + v2
2 + v32 + …. + vn
2)
bila || v || = 1 vektor satuan
Harga norma vektor v merupakan pula panjang vektor v.
|| v || = (v12 + v2
2 + v32 + …. + vn
2) √= v’v√ norma vektor
Panjang vektor
|| v || = (v12 + v2
2)
X
Y V(V1,V2)
V1
V2
0
Sudut antara 2 vektor
x’ y
|| x || || y || cos =
cos = 0 jika x’y = 0 = 900
Jadi vektor x dan vektor y saling tegak-lurusmaka sudut yang dibentuk sebesar 900
CL V04- SL V04
Vektor-vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari absis dan ordinat.
a. sebagai absis (-1,1) dan ordinat (1,3)
b. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-1)
Ilustrasikan masing-masing pasangan absis dan ordinat di atas.
Tentukan besar sudut yang dibentuknya
c. sebagai absis (1,1) dan ordinat (-1,1)
d. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-3)
a. absis (-1,1) dan ordinat (1,3)
( -1 1) 1
3
x y = = 2 = (-1)2 + (1)2√|| x ||
√ 10=
√ 2=
= (1)2 + (3)2√|| y ||
Cos α = x y
|| y |||| x ||
2
√ 2 √10=
= 0,4472..
α = 63°26’ 5”82
1
1-1
x
y390°26”5”82
Penyelesaian :
b. absis (1,1) dan ordinat (1,-1)
(1 1) 1
-1
x y = = 0
Cos α = 0 = 90°
90°
11
-1
x
y
x’ = (1 , 1) y’ = (-1 , 1)
cos = 0= 900
x’ y = (1 , 1) = 0-1
1
Y X
-1
1
1
c. absis (1,1) dan ordinat (-1,1)
x’ y = (1 , 1)
|| y || = 10
x’ = (1 , 1) y’ = (1 , -3)
= -2
x’ x = (1 , 1) = 2 || x || = 2
y’ y = (1 , -3) = 10
cos = x’ y
|| x || || y ||
1
-3
1
-3
1
1
d. absis (1,1) dan ordinat (1,-3)
cos = - 0,4472…
= 1160 33’ 54”18
=
cos = x’ y
|| x || || y ||
-2
2 10
1
1
-3 Y
X
Kedua vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari K1 = (2,3,6) dan K2 = (3,1,4) Ilustrasikan vektor penyusun tsb Tentukan besar sudut yang dibentuknya
Penyelesaian : k’1 = (2 , 3 , 6)
k’2 = (5 , 2 , 3)k’1 k2
|| k1 || || k2 || cos =
cos =
( 2 3 6 )
(22 + 32 + 62) (52 + 22 + 32)
5
2
3
522
3
3
6
k2
k1
34
49 38
= 380 0’ 26”18
cos =
= 0,7879….