www.aidianet.co.cc

SUKU BANYAK

© Aidia Propitious 1

SUKU BANYAK

KESAMAAN SUKU BANYAK

f(x) g(x) jika: an = bn ; an – 1 = bn – 1 ; … ; a0 = b0

NILAI SUKU BANYAK - Cara subsitusi masukkan nilai ke rumus - Cara bagan

Contoh dengan cara subsitusi:

Tentukan nilai f(x) = x6 – 5x5 + 2x3 + 3x2 – 2 untuk x = –1! f ( –1 ) = x6 – 5x5 + 2x3 + 3x2 – 2

= ( –1)6 – 5 ( –1)5 + 2 ( –1)3 + 3 ( –1 )2 – 2 = 1 + 5 – 2 + 3 – 2 = 5

Contoh dengan cara bagan:

Tentukan nilai f(x) = x6 – 5x5 + 2x3 + 3x2 – 2 untuk x = -1!

-1 1 -5 0 2 3 0 -2

-1 6 -6 4 -7 7

1 -6 6 -4 7 -7 5

PEMBAGIAN SUKU BANYAK

- Cara biasa dibagi menggunakan prinsip biasa - Cara Horner

Pembagian oleh (x – k)

Catatan:

- h ( x ) maksimum satu lebih kecil daripada derajat suku banyak - s merupakan konstanta

www.aidianet.co.cc

SUKU BANYAK

© Aidia Propitious 2

Pembagian oleh (ax + b)

Catatan:

- h ( x ) maksimum satu lebih kecil daripada derajat suku banyak - s merupakan konstanta

Pembagian oleh (ax2 + bx + c)

Catatan:

- h ( x ) maksimum dua lebih kecil daripada derajat suku banyak - s ( x ) maksimum berderajat satu TEOREMA SISA

Pembagi Bentuk Linear

Contoh:

Tentukan sisa pembagian 12x4 – 40x3 + 27x2 + 13x – 6 oleh (x + 1)! s = f(-1) = 12(-1)4 – 40(-1)3 + 27(-1)2+ 13(-1) – 6 = 60

Pembagi Bentuk Kuadrat (x – a) (x – b)

Sehingga:

TEOREMA FAKTOR

- Suatu fungsi suku banyak f ( x ) memiliki faktor ( x – k ) jika dan hanya jika f( k ) = 0

- Suatu fungsi suku banyak f ( x ) memiliki faktor ( x + b ) jika dan hanya jika f( -b/a ) = 0

www.aidianet.co.cc

SUKU BANYAK

© Aidia Propitious 3

MENENTUKAN FAKTOR LINEAR SUKU BANYAK

MENYELESAIKAN SUKU BANYAK

Jika f adalah suatu fungsi suku banyak dan k bilangan real, setiap pernyataan berikut adalah ekuivalen:

- ( x – k ) adalah faktor dari f

- x = k adalah penyelesaian atau akar dari persamaan f(x) = 0

- x = k adalah nilai pembuat nol dari f

- ( k, 0 ) adalah koordinat titik potong grafik f(x) dengan sumbu x Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki penyelesian real, yaitu:

dengan:

JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR SUKU BANYAK

Persamaan suku banyak berderajat dua ax2 + bx + c = 0

Persamaan suku banyak berderajat tiga ax3 + bx2 + cx + d = 0

Persamaan suku banyak berderajat empat ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

www.aidianet.co.cc

SUKU BANYAK

© Aidia Propitious 4

LATIHAN 1. Susun suku banyak 3x + x4 + 8 – 7x3 dalam pangkat turun, kemudian:

a. Nyatakan suku-suku berikut koefisiennya b. Nyatakan derajat dan konstantanya

2. Nyatakan derajat tiap suku banyak berikut:

a. x3 – 7x + 6 b. 3x7 – 4x5 + 7x4 – 11 c. x2 (2x – 1)(1 + 2x) d. 9 – 6t + t2

3. Susun setiap suku banyak berikut dalam pangkat turun dan sebutkan derajatnya:

a. 6 – 2x + 4x2 – 5x3 b. (x + 1)(x – 2)(3 – 2x)

4. Dalam tiap suku banyak berikut, nyatakan koefisien dari suku dengan pangkat tertinggi dan suku tetapnya:

a.

b. 2x(x + 4)(x – 1)

5. Hitunglah koefisien A, B, C dan D: a. 5x + 7 = A(x + 3)(x – 1)

b. X3 – 4x2 + 9x – 5 = (Ax3 + Bx2) + (x2 – 2x + 3) + Cx + D

c. 6x2 – 14x – 27 = A(x – 3)2 + B(x – 2)(x – 3) + C(x + 2)

d.

e.

6. Diketahui suku banyak px2 + qx + r sama dengan 3x2 + 2x – 5. Tentukan nilai-nilai p, q, dan r!

7. Diketahui x3 + 2x2 – 4x + 7 = ax (x + 1)2 + b (x -2) + c untuk semua x, tentukan nilai-nilai a, b, dan c!

8. Jika f(x) = 5x3 + 6x2 – 17x + 20 dibagi oleh (x + 3), tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan menggunakan cara bersusun dan Horner!

9. Tentukan pembagian 6x4 + 5x3 – 6x2 + 5 oleh (2x – 1) menggunakan cara Horner!

10. Dengan menggunakan cara subsitusi, hitunglah niali-nilai berikut ini: a. f(x) = 3x3 – 2x2 + 6x – 4 di titik x = 3

b. f(x) = 6x2 – 7x – 5 di titik x = -2

11. Hitung nilai fungsi berikut dengan cara bagan: a. f(p) = 3p3 + 2p – 11 di titik p = 5 b. f(a) = 4a3 – 5a2 + 2 di titik a = -2

www.aidianet.co.cc

SUKU BANYAK

© Aidia Propitious 5

12. Perhatikan data pada tabel berikut:

Tahun X Banyak Mobil yang Dicuri (M)

1983 1 1.008

1984 2 1.032

1985 3 1.103

1986 4 1.224

1987 5 1.289

1988 6 1.433

1989 7 1.565

1990 8 1.636

1991 9 1.662

1992 10 1.611

1993 11 1.561

Data tersebut menunjukkan banyak mobil di suatu negara yang dicuri (dalam ribuan) dari tahun 1983 – 1993. Nilai x = 1 mempresentasikan tahun 1983, x = 2 mempresentasikan tahun 1984, dan seterusnya. Fungsi suku banyak untuk data tersebut dimodelkan oleh:

M(x) = - 2,4x3 + 37,3x2 – 70,4x + 1.043,8

Gunakan fungsi suku banyak tersebut untuk memperkirakan banyak mobil yang dicuri pada tahun 1994 dan 2000!

13. Tentukan hasil dan sisa pembagian dengan menggunakan cara bersusun. Kemudian nyatakan f(x) dalam bentuk f(x) = (x – k) h(x) + s. a. (2x3 – 7x2 + 10) : (x + 2) b. (3x2 – 5x + 4) : (x – 1) c. (x4 – x2 + 7) : (x + 1) d. (x4 – 3x3 – 5x2 + 6x – 3) : (x – 4) e. (4x6 + 20x5 – 24x4 – 3x2 – 13x + 30) : (x + 6)

14. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan menggunakan cara bersusun dan cara Horner, kemudian

nyatakan dalam bentuk f(x) = (ax + b) h(x) + s! a. (4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (2x – 5) b. (4x4 + 2x3 – 6x2 – 5x + 1) : (2x + 1) c. (x3 – 2x2 + 3x – 5) : (2x + 5)

15. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian. Kemudian tentukan derajat hasil bagi dan sisa pembagiannya!

a. (x3 – 2x2 + 5x – 10) : (x2 – x + 2) b. (x4 + 2x3 – x + 5) : (x2 + 2x – 4) c. (6x4 + x3 + x2 + 7x) : (3x2 + 5x + 2)

16. Tentukan sisa pembagian 12x4 – 40x3 + 27x2 + 13x – 6 oleh pembagi (2x + 1) menggunakan teorema sisa!

17. Diketahui f(x) = x3 + (k – 4)x2 + (k – 9)x – 4. Tentukan nilai k agar f(x) dibagi oleh x – 2 memberikan sisa 12!

18. Suku banyak 2x3 + ax2 + bx – 2 memberikan sisa 7 jika dibagi 2x – 3 dan habis dibagi x + 2. Tentukan nilai (a + b)!

19. Dengan menggunakan teorema sisa tentukan hasil x4 – 7x3 + 9x2 + 13x – 7 dibagi (x + 1)(x – 3) yang menghasilkan sisa: a. (x – 1)

b. (x – 3)

c. (2x – 1)

d. (2x + 1)

e. (2x – 3)

www.aidianet.co.cc

SUKU BANYAK

© Aidia Propitious 6

20. Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak 2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18 menggunakan teorema faktor!

21. Suku banyak ax3 – 8x2 + bx + 6 habis dibagi (x2 – 2x – 3). Tentukan a dan b menggunakan teorema faktor!

22. Tentukan nilai-nilai p agar: a. 2x3 + px2 – 7x + 2p habis dibagi oleh (x + 3)

b. x4 – 2px + 5 + p memberikan sisa 7 jika dibagi oleh (x – 2)

23. Suku banyak 2x3 – 3x2 + px + q memiliki sisa -6 jika dibagi oleh (x – 1) dan habis dibagi oleh (x – 2). Tentukan nilai-nilai p dan q!

24. Sisa x2 + 3x + 20 dibagi (x – a) adalah dua kali jika dibagi oleh (x + a). Tentukan nilai-nilai a yang mungkin!

25. Sisa x4 + 5x2 – 3x + 13 dibagi oleh (x + a) adalah kuadrat dari sisa x2 – 5 dibagi oleh (x + a). Tentukan nilai-nilai a yang mungkin!

26. Suku banyak x3 + 2x2 + ax + 4 memberikan sisa 10 jika dibagi oleh (x + 3). Tentukan sisa suku banyak itu jika dibagi oleh (2x – 3)!

27. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) sisanya 6 dan dibagi (x + 3) sisanya -2. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (x2 + 2x – 3)!

28. Dengan terlebih dahulu memfaktorkan pembagi berderajarat dua, tentukan sisa pembagi berikut: a. 2x3 – 4x + 6 dibagi oleh x2 – 4

b. 2x3 – 3x2 + 4x – 1 dibagi oleh x2 – 2x – 3

c. 4x4 + 3x2 + 6x – 1 dibagi oleh 2x2 – x

29. Pembagian suku banyak 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b oleh (x2 – 1) menghasilkan sisa 6x + 5. Tentukan nilai-nilai a dan b!

30. Diberikan suku banyak p(X) yang jika dibagi oleh (x2 – x – 6) sisanya (3x + 2) dan jika dibagi oleh (x – 2) sisanya 8! Tentukan sisa pembagian suku banyak p(x) tersebut oleh (x2 – 4)!

31. Buktikan (x + 1) adalah faktor dari f(x) = x25 + 1!

32. Buktikan pernyataan (x – 5) dan (x + 2) adalah faktor dari 2x3 – 12x2 – 2x + 60!

33. (x – 5) adalah faktor dari 3x3 + 4x2 – 109x + 70. Buktikan, kemudian tentukan kedua faktor lainnya!

34. Dua akar x4 – 2x2 – 3x – 2 = 0 adalah -1 dan 2, tentukan dua akar lainnya!

35. Jika (x + 2) dan (x – 4) adalah faktor dari fungsi suku banyak f(x) = 2x4 – 5x3 + ax2 + bx + 8, tentukan nilai a dan b! Faktorkan suku banyaknya!

36. Salah satu faktor p(x) = 8x4 – 4x3 + ax2 + bx – 3 adalah (2x – 1). Jika p(x) dibagi (x + 2), sisanya 135. Tentukan nilai a dan b! Kemudian, faktorkan p(x)!

37. x2 + 5x + 6 memiliki sisa sama jika dibagi oleh x – p atau x + q, dengan p ≠ -q. Tentukan nilai (p – q)!

www.aidianet.co.cc

SUKU BANYAK

© Aidia Propitious 7

38. Tentukanlah faktor-faktor linear dari 4x4 – 8x3 – 7x2 + 11x + 6!

39. Akar-akar persamaan px3 – 14x2 + 17x – 6 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika x1 = 3, tentukan nilai berikut!

40. Faktorkan fungsi suku banyak berikut: a. f(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 b. f(x) = 3x3 – 11x2 + 8x + 4 c. f(x) = 12x3 – 16x2 – 5x + 3 d. f(x) = 3x3 + 7x2 – 10x – 4 e. f(x) = x4 – 2x3 – 2x2 + 8x – 8 f. f(x) = 3x4 – 8x3 – 6x2 + 17x + 6

41. Tentukan akar-akar rasional dari persamaa suku banyak berikut: a. 2x3 – x2 – 8x + 4 = 0

b. 3x3 + 10x2 + x – 6 = 0

c. x3 + 3x2 – 6x – 8 = 0

d. 2x3 – 7x2 + 6x + 5 = 0

42. Salah satu akar persamaan x3 – 8x2 + 16x – 3 = 0 adalah 3. Tentukan jumlah akar-akar persamaannya!

43. Diketahui f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + bx – 12, dengan a dan b suatu konstanta. Jika (x – 1) adalah faktor f(x) dan f(x) dibagi (x + 1) bersisa -50, tentukan a dan b, kemudian: a. Cari faktor f(x) dalam bentuk (x + k), k bilangan bulat positif

b. Faktorkan f(x)

44. Persamaan x3 – 8x + 3 = 0 memiliki satu akar bilangan bulat. Cari akar ini, kemudian selesaikan persamaannya!

45. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6. Fungsi g didefinisikan sebagai g(x) = x – 1. a. Tentukan f(g(x))

b. Faktorkan f(g(x))