PEMODELAN PARAMETER

Komponen-komponen yang merupakan pemodelanhimpunan parameter dari sebuah struktur adalah

Sesuatu yang menghubungkan gaya denganperpindahan, kecepatan, dan percepatan.

Komponen yang menghubungkan gaya denganperpindahan disebut pegas.

Hubungan linier antara gaya dan regangan dinyatakan :

fs = k e dan, e=u2-u1

dimanak adalah konstanta pegas.Besaran k adalah pound/inc (lb/in) atau N/m

Energi tegangan dinyatakan dengan :

V = ½ (k e2)Energi tegangan dinyatakan sebagai area dibawah kurva fs

terhadap e.

Gambar idealisasi pegas tak bermassa dan plot gaya dari pegasterhadap regangan.

Model analitis yang paling umum dari redaman dalam analisadinamika struktur adalah model tahanan dashpot,

Gaya redaman fD dinyatakan :

fD = c (ů 2 – ů1 )dari fungsi linier dari kecepatan relatif antara dua ujungdashpot.

Konstanta c disebut koefisien viscositas redaman danbesarannya adalah pond/inc/detik atau N/m/detik.

massa m menyatakan massa dan sifat inersia daristruktur

pegas k menyatakan gaya balik elastis dan kapasitasenergy potensial dari struktur

redaman c menyatakan sifat geseran dan kehilanganenergy dari struktur

gaya pengaruh F(t) menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem struktur sebagai fungsi dariwaktu.

Model matematis dalam analisa dinamika strukturmempunyai beberapa elemen sebagai berikut:

Namun dalam pembahasan dinamika struktur dengan analisasederhana pada sistem berderajat kebebasan tunggal, redaman cdiabaikan.

Contoh model matematis pada struktur

E I

K

m

m

K

y

Model Struktur Model SDOF

Model Matematis

PEMODELAN MATEMATIS

Contoh model matematis pada struktur

Model Struktur Model SDOFModel Matematis

P(t)

K1 K2

P(t)

K

m

P(t)m

K

PEMODELAN MATEMATIS

Jika suatu pegas terpasang secara paralel atau seri, makadiperlukan penentuan konstanta pegas ekivalen dari sistemtersebut

m

y

K2K1

P

Pegas Paralel

21 kkke

i

n

ie kk

1

y

K1 K2

21

111

kkke

Pegas Seri

i

n

ie kk

11

1

PEMODELAN MATEMATIS

KONSTANTA PEGAS

yo

P

o

o

y

PK

yKP

.

yo

P

EI

33

3

48

48

48

L

EI

EI

PL

P

y

PK

EI

PLy

o

o

EI

yo

h

P

33

3

12

12

12

h

EI

EI

Ph

P

y

PK

EI

Phy

o

o

EI

yo

L

P

33

3

3

3

3

L

EI

EI

Pl

P

y

PK

EI

Ply

o

o

suatu sketsa dari benda yang dipisahkan dari benda lainnya,dimana semua gaya luar pada benda terlihat jelas

P(t)mK

P(t)fs

I

FBD….?

Dari gambar free body diagram diatas, menunjukan bahwa massa myang dipindahkan dengan adanya gaya luar sebesar P(t),dan memberikan gaya pegas sebesar Fs=ky serta gaya inersia I.

Persamaan Gerak dari beberapa model, dapat

diturunkan dengan menggunakan :

1. Hukum Newton Kedua

2. Prinsip D’Alembert

ΣF=m.am = massaa = percepatan (m/s^2)

1. Hukum Newton Kedua

ΣF=m.a

fs

yP(t)fs

m

ym.f-P(t) s

P(t)ym.fs

P(t)ym.yk .

1. Hukum Newton Kedua

CONTOH 2.1

Gunakan hukum Newton untuk menurunkan persamaan gerakan dari

system pegas sederhana dan dashpot massa di bawah ini.

Asumsikan hanya ada gerakan vertical.

Dan asumsikan bahwa pegas linier dengan konstanta pegas k.

Abaikan gesekan udara, massa pegas, dan redaman dalam pegas.

P(t) adalah gaya yang bekerja pada massa dari luar.

kc

Tentukan bidang referensi dan kordinat perpindahan

Pilih sumbu x sepanjang garis

pergerakan dan tentukan titik acuan

awal (misal x = 0) pada lokasi dimana

pegas tidak teregang.

u perpindahan pada arah x.

Gambar diagram free body dari partikel

Penyelesaian

kc

Gunakan hukum Newton yang kedua

catatan : tanda + menunjukkan arah ke bawah dimana u adalah positif

untuk arah ke bawah.

umFx

umWfdfsp

•Hubungkan gaya dengan system variable gerakan

ucecfd

kukefs

• Gabungkan dan sederhanakan, susunlah variable yang tidak

diketahui di bagian kanan pada persamaan

)(tpWkuucum

Persamaan ini bisa disederhanakan dengan pertimbangan sebagai

berikut.

Perpindahan statis dari berat W pada pegas linier dinyatakan

Misalkan perpindahan dari massa terukur relatif terhadap posisi

kesetimbangan statis sebagai ur sehingga :

dimana ust adalah konstan, Persamaan gerak bisa ditulis sebagai :

str uuu

)(tpkuucum rrr

k

Wust

Hukum Newton yang kedua digunakan langsung, sehingga tidak ada

gaya inersia yang diperlihatkan pada diagram free body.

Contoh yang sering kita rasakan adalahbila kita naik mobil, kemudian di rematau diperlambat dimana percepatanyang arahnya berlawanan dengan gerakmobil. Kita akan merasa terdorong kedepan. Sebenarnya gaya yang mendorong kita adalah gaya inersiayang timbul karena mobil mempunyaipercepatan.

Sebuah sistem dapat dibuat dalam keadaan keseimbangandinamis dengan menambahkan sebuah gaya fiktif pada gaya-gayaluar yang disebut sebagai gaya inersia.

fI=-m.a

Keseimbangan dinamis= ΣF+fI = 0

2. Prinsip D’Alembert

fs

y

fs = ky m

ymI

P(t)

Keseimbangan dinamis= ΣF+fI = 0

0 Is ff-P(t)

0 ym.k.y-P(t)

P(t)ym.yk .

2. Prinsip D’Alembert

Gunakan metode gaya D’alembert untuk menentukan

persamaan gerakan dari massa m, asumsikan bahwa

gaya redaman pada system bisa diwakili dengan

viskos dashpot linier seperti yang diperlihatkan pada

gambar di bawah.

Asumsikan bahwa eksitasi terdukung z(t) diketahui.

Jika u = z = 0 pegas belum diregangkan.

Main Menu

PenyelesaianGambarkan diagram free body dari massa termasuk

gaya inersia bersama dengan gaya sesungguhnya.

Tulis persamaan kesetimbangan dinamis

Dari diagram freebody didapat

0'xF

0 umfdfsp

Hubungkan gaya dengan variable gerakan dan

sederhanakan

pzukzucum )()(

Ingat bahwa gaya redaman dan gaya pegas yang

dihubungkan dengan gerakan dari massa mempunyai

hubungan dengan gerakan yang terdukung.

Persamaan diatas bisa dituliskan dengan semua nilai

yang diketahui dari bagian kanan persamaan.

pkzzckuucum

zuw

zmpkwwcwm

k

c

P(t)fs

I

P(t)I

fs

fd

P(t)ukum. .

k

P(t)ukuc.um. .