1

Asep Anang

Fakultas Peternakan Universitas padjadjaran

2013

2

Kuliah 1:

Pengertian Statistika

Statistika adalah Ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, persentasi data, pengolahan atau analisis data dan penarikan kesimpulan.

Mahasiswa S1 mempelajari statistika supaya bisa berpikir analitis dan juga bisa menarik

kesimpulan secara ilmiah dalam menghadapi permasalahan berdasarkan fakta. Dalam

menyusun tugas akhir (skripsi) mahasiswa akan belajar memecahkan masalah melalui

penelitian. Peran statistika dalam memecahkan masalah adalah membantu dalam

penarikan kesimpulan.

Mengapa statistika di dipelajari

di Fak. Peternakan?

3

Pengelompokan Statistika:

Statistika dapat dibedakan menjadi:

1. Statistika Deskriptif: Yaitu statistika yang mengevaluasi data pada kelompok tertentu saja, dan kesimpulannya hanya bisa diterapkan pada kelompok tersebut. Contoh: Ukuran-ukuran tubuh dan bobot badan domba priangan di Kabupaten Bandung.

2. Statistika Inferensi (Statistika Induksi): Yaitu statistika yang menggunakan atau mengevaluasi data dari suatu sampel tapi hasilnya diharapkan bisa diterapkan pada suatu populasi. Contoh: Ukuran-ukuran tubuh domba Priangan. Pengambilan sampel dilakukan dibeberapa daerah tapi kesimpulan bisa berlaku untuk seluruh domba Priangan.

Pengelompokan Statistika lainnya :

1. Statistika Parametrik: Yaitu statistika yang menerapkan asumsi mengenai populasi, yaitu pengukuran kuantitatif dengan tingkat data interval atau ratio.

2. Statistika Nonparametrik: disebut juga distribution-free statistics, atau statistika yang membutuhkan lebih sedikit asumsi populasi dan menggunakan data dengan tingkat yang lebih sederhana seperti nominal dan ordinal.

Skala Pengukuran

Dalam statistika, sekala pengukuran atau data dapat dibedakan menjadi:

1. Skala Nominal: Yaitu skala Berbentuk bilangan, tapi bilangan tersebut fungsinya hanya untuk membedakan dari unit satu ke unit lain. Operasi disini aritmatika tidak berlaku. Contoh: Jenis kelamin

2. Skala Ordinal: Yaitu skala hasil pengelompokan. Apabila ada suatu populasi, dimana populasi tersebut dapat di bagi menjadi beberapa bagian dan tiap bagian diberi nomor, contoh : Pengelompokan ukuran tubuh, pengelompokan umur.

3. Skala Interval: Yaitu skala pengukuran yang sama dengan ordinal hanya disini terdapat suatu faktor konstanta sebagai selisih yang diketahui. Contoh : skala temperatur, pH.

4. Skala Ratio: Skala pengukuran interval yang konstantanya berharga nol (titik nol jelas). Contoh : kepadatan populasi ternak, jumlah ternak.

4

Jenis Data

Data dapat dibedakan menjadi:

1. Data kuantitatif: Yaitu data yang berbentuk bilangan. Skala pengukuran yang termasuk kelompok data ini adalah skala interval dan rasio. Data kuantitatif dapat dibedakan lagi menjadi: a. Data Diskrit : Yaitu data yang didapatkan dengan cara menghitung atau membilang. Contoh: Jumlah anak dalam satu kelahiran pada domba b. Data Kontinu : Yaitu data diperoleh dari hasil mengukuran. Contoh bobot badan ayam pelung.

2. Data kualitatif : Yaitu data yang berbentuk kategori. Skala pengukuran yang termasuk kelompok data ini adalah skala nominal dan ordinal.

Macam Data berdasarkan Cara memperoleh:

Berdasarkan cara memperoleh, data dapat dibedakan menjadi Data Primer dan Data Sekunder. Data primer adalah data yang diperoleh peneliti langsung dari sumbernya. Contoh mahasiswa melakukan penelitian terhadap pertambahan bobot badan ayam kampung. Mahasiswa mengukur atau terlibat langsung. Data primer juga bisa data yang yang diperoleh peneliti langsung dari sumbernya. Misal: mahasiswa mengevaluasi data produksi susu sapi perah selama 6 laktasi. Data tersebut diperoleh mahasiswa langsung dari sumbernya atau dari peternakan langsung. Data Primer adalah data yang telah dikutip oleh sumber lain. Misal Mahasiswa ingin mempelajari perkembangan konsumsi daging sapi dari tahun 2000 sampai 2010. Data diperoleh dari biro statistik.

Populasi dan Sampel:

Populasi adalah seluruh elemen atau objek yang sedang diamati, sedangkan sampel adalah representasi dari populasi atau sebagian dari populasi diambil untuk diteliti. Teknik pengumpulan data dari seluruh populasi disebut Sensus dan ukuran-ukurannya disebut Parameter, sedangkan teknik pengambilan sampel disebut sampling, dan ukutan-ukurannya disebut Statistik. Teknik sampling sangat penting dan sering digunakan oleh peneliti. Teknik ini akan dibahas pada bagian berikutnya.

5

Gambar 1: Populasi, Sampel, Parameter dan Statistik

6

Kuliah 2:

Menyajikan Data

Dalam statistika, ada banyak cara dalam menyajikan data. Pada prinsipnya penyajian data ditujukan untuk memudahkan dan penyederhanaan supaya yang membaca bisa dengan mudah memahami. Penyajian yang banyak digunakan adalah (1) Diagram Batang, (2) Diagram garis, (3) Diagram Lingkaran, (4) Tabel Untuk mempermudah ilustrasi, berikut adalah contoh popolasi ternak sapi perah di pulau Jawa dari tahun 2005 sampai 2009. Tabel 1: Populasi Ternak Sapi Perah di Pulau jawa

Tahun/ Year

Provinsi 2005 2006 2007 2008 2009

Jawa Barat 92,770 97,367 103,489 111,250 114,588

Jawa Tengah 114,116 115,158 116,260 118,424 134,821

Jawa Timur 134,043 136,497 139,277 212,322 221,944

DKI Jakarta 3,347 3,343 3,685 3,355 3,422

DI Yogyakarta 8,212 7,231 5,811 5,652 5,709

Total 352,488 359,596 368,522 451,003 480,484

Sumber: Dirjen Peternakan

7

Diagram batang Diagram batang banyak digunakan untuk menyajikan tada bila datanya dalam bentuk katagori. Contoh tabel di atas di umpamakan hanya untuk Jawa barat dan katagorinya adalah tahun. Grafik batangnya adalah sebagai berikut:

Diagram garis Diagram garis sering digunakan untuk menggambarkan data yang menerus. Contoh di lebih baik bila menggunakan diagram garis karena perkembangan populasi sapi bisa dikatakan menerus dari tahun 2005 sampai 2009.

92,770 97,367

103,489 111,250 114,588

0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

140,000

2005 2006 2007 2008 2009

Jum

lah

(Ek

or)

Tahun

Populasi Sapi Perah di Jawa Barat

8

Diagram lingkaran Diagram lingkaran biasanya dipakai untuk menggambarkan proporsi masing-masing kategori data. Contoh di atas diumpamakan dibuat diagram lingkaran dengan katagori provinsi untuk populasi tahun 2009 saja. Juring sudut data ditentukan dengan rumus:

oxTotal DataJumlah

ProvinsiDataJumlahSudutJuring 360

Contoh: Juring sudut untuk provinsi Jawa Barat adalah:

oox

Jawa BaratSudutJuring 86360484,480

588,114

Juring sudut untuk Jawa Tengah, Jawa Timur, DKI Jakarta, dan DI Yogyakarta masing-masing adalah 101o, 166o, 3o, dan 4o. Jumlah total sudut adalah 360o. Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut:

92,770 97,367

103,489 111,250 114,588

0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

140,000

2005 2006 2007 2008 2009

Jum

lah

(Ek

or)

Tahun

Populasi Sapi Perah di Jawa Barat

9

Tugas 1: Sajikan data pada Tabel 1 untuk dalam bentuk diagram batang dan diagram garis untuk provinsi jawa tengah dan diagram lingkaran untuk tahun 2008. Penyajian Data Dalam Tabel Penyajian data dalam bentuk tabel sangat sering digunakan dalam karya ilmiah dan biasanya dipakai jika penulis ingin menyajikan data lebih akurat dan rinci. Pada dasarnya penyajian data melalui tabel dapat dibedakan menjadi: (1) tabel baris-kolom, (2) tabel kontingensi, dan 3) tabel distribusi frekuensi.

1) Tabel Baris-Kolom: tabel ini hanya terdiri atas kolom dan baris yang masing-masing merupakan katagori: Contoh: Tabel : Berat Lahir Rata-rata Domba Priangan di Kabupaten Garut dan Kabupaten Bandung berdasarkan jenis Kelamin

Kabupaten Garut Kabupaten bandung

Jantan

Betina

Jabar , 114,588

Jateng , 134,821

Jatim , 221,944

DKI Jakarta , 3,422

DI Yogyakarta , 5,709

10

2) Tabel kontingensi biasanya terdiri dari 2 faktor dan tiap faktor mempunyai katagori. Contoh di atas menjadi tabel menjadi tabel kontingensi apabila faktor jenis kelamin misalnya dibagi berdasarkan tipe kelahiran. Contoh: Tabel : Berat Lahir Rata-rata Domba Priangan di Kabupaten Garut dan Kabupaten Bandung berdasarkan Jenis Kelamin dan Tipe Kelahiran

Jenis Kelamin Tipe kelahiran Kabupaten

Kabupaten Garut Kabupaten bandung

Jantan

Tunggal

Kembar 2

Kembar 3

Betina

Tunggal

Kembar 2

Kembar 3

3) Tabel Distribusi Frekuensi dilakukan jika ingin mengetahui jumlah atau frekuensi

dari masing katagori. Data bisa dikelompokan menjadi katagori baru atau tidak.

Contoh:

Tabel : Frekuensi kelahiran tunggal, kembar 2, dan kembar 3 di suatu

peternakan domba.

Tipe Kelahiran Frekuensi Persentasi (%)

Tunggal 69 42.33

Kembar 2 79 48.47

Kembar 3 15 9.20

Total 163 100

Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data hasil penelitian yang terkumpul biasanya belum tersusun dengan baik. Untuk mempermudah penafsiran dan membuat kesimpulan, data biasanya disusun dalam suatu kelas atau katagori. Dalam tabel distribusi frekuensi, data dikumpulkan dalam kelompok-kelompok berbentuk kelas interval.

11

Contoh Tabel banyaknya petani peternak di suatu desa berdasarkan kriteria umur:

No Umur (Tahun) Frekuensi

1 16 - 20 10 2 21 - 25 25 3 26 - 30 23 4 31 - 35 45 5 36 - 40 48 6 41 - 45 53 7 46 - 50 47

8 51 - 55 40 9 56 - 60 15

10 61 - 65 19

Total 325

1 sampai 10 disebut Kelas Interval dan 16-20, 21-25 ... 61-65 disebut Panjang Kelas. Frekuensi menunjukan banyaknya petani-peternak untuk setiap panjang kelas. Contoh : Data berikut adalah konsumsi pakan 50 ekor ayam petelur (gram)

158 98 96 148 162

160 168 180 140 182

140 142 184 76 112

136 144 170 102 130

180 71 166 146 148

184 186 152 142 180

160 182 122 144 194

140 148 198 190 160

126 120 166 164 120

152 126 176 140 132

Cari (1) nilai minimum, (2) maksimum, (3) rentang, dan (4) buatlah tabel distribusi frekuensinya.

1. Nilai minimum adalah ayam yang konsumsinya paling sedikit = 71 gram 2. Nilai maksimum adalah ayam yang konsumsi pakanya paling banyak = 198

garm 3. Rentang adalah nilai maksimum – nilai minimum: 198 – 71 gram = 127 gram 4. Tabel Distribusi frekuensi:

12

Banyak kelas interval: 1+3,3 log n, dimana n adalah banyaknya data (Sturges) 1+3,3 log 50 =6,61 atau antara 6 sampai 7

Panjang kelas

=

untuk mempermudah 20

Tabel distribusi frekuensinya adalah:

Tugas: Dibawah ini adalah bobot badan 50 ekor ayam broiler umur 28 hari:

790 490 480 740 810 800 840 900 700 910 700 710 920 380 560 680 720 850 510 650 900 350 830 730 740 920 930 760 710 900 800 910 610 720 970 700 740 990 950 800 630 600 830 820 600 760 630 880 700 660

Tentukan (1) nilai minimum, (2) maksimum, (3) rentang, dan (4) buatlah tabel distribusi frekuensinya.

Konsumsi (g) Frekuensi

71 - 90 2 91 - 110 3

111 - 130 7 131 - 150 14 151 - 170 12 171 - 190 10 191 - 210 2

Total 50

13

Kuliah 3:

Ukuran Gejala Pusat

Dalam menarik suatu kesimpulan, sering mahasiswa yang sedang meneliti ingin

membuat suatu gambaran yang jelas dan singkat tentang data yang dikumpulkannya.

Data dipusatkan pada suatu nilai yang mempunyai nilai makna dan mewakili data

keseluruhan. Ukuran-ukuran pemusatan atau gejala pusat yang sering digunakan

adalah rata-rata, median, modus, kuartil, desil dan persentil.

Rata-rata

Rata-rata merupakan suatu nilai yang terletak ditengah data, setelah data tersebut

diurut berdasarkan nilainya secara kontinu. Nilai rata-rata sangat banyak digunakan

karena nilai ini sangat spesifk dan sangat representatif untuk setiap susunan data.

Rata-rata dapat dibedakan menjadi: (1) Rata-rata Aritmetik, (2) Rata-rata geometrik,

(3) Rata-rata harmoni, dan (4) Rata-rata tumbuh.

1. Rata-rata Aritmetik

Rata-rata aritmetik bisa diungkapkan dengan ∑

Contoh 1: konsumsi 10 ekor ayam petelur (g):

71 76 96 98 102 112 120 120 122 126

14

Rata-rata konsumsi =

Contoh 2: rata-rata dari distribusi frekuensi: ∑

Berikut adalah umur petani peternak berdasarkan banyaknya:

No Umur (x) Frekuensi (f) f.x

1 20 10 200 2 25 25 625

3 30 23 690 4 35 45 1575 5 40 48 1920 6 45 53 2385 7 50 47 2350 8 55 40 2200 9 60 15 900

10 65 19 1235

325 14080

Rata-rata =

=43.32 tahun

Contoh 3: Rata-rata dari dari interval umur:

Umur (Tahun) Tanda Kelas (x) Frekuensi

(f) f.x

1 16 - 20 18 10 180 2 21 - 25 23 25 575 3 26 - 30 28 23 644

4 31 - 35 33 45 1485 5 36 - 40 38 48 1824 6 41 - 45 43 53 2279 7 46 - 50 48 47 2256 8 51 - 55 53 40 2120 9 56 - 60 58 15 870

10 61 - 65 63 19 1197

Total 325 13430

15

Rata-rata =

=41.32 tahun

2. Rata-rata Geometrik

Rata-rata geometrik atau rata-rata ukur dipakai bula perbandingan antara dua bilangan

tetap, tapi nilainya harus lebih besar dari nol (x<0). Rata-rata geometrik diungkapkan

dengan rumus:

√

Contoh Pertumbuhan bakteri yang dikur tiap menit adalah 2, 4, dan 8.

Rata-ratanya adalah:

√

√

Untuk data yang banyak bisa digunakan log:

∑

Untuk data di atas:

=0.6021 ---- U = 4

3. Rata-rata Harmoni

Rata-rata Harmoni merupakan kebalikan dari rata-rata aritmetik. Rata-rata ini

diungkapkan dengan rumus:

∑

Contoh 1: apabila ada bilangan, 2, 4, dan 8; rata-rata harmoninya adalah:

= 3,43

16

Contoh 2: Truk pengangkut ayam melakukan perjalanan dari Bandung ke Jakarta.

Kecepatan pergi 60 km/jam sedangkan pulangnya 80 km per jam. Berapa kecepatan

rata-rata?

Kecapatan rata rata BUKAN

= 70 km per jam, tapi:

=68,57 km/jam

4. Rata-rata Bersifat Tumbuh

Dalam bidang peternakan, sangat sering bahwa sifat yang diukur dinamik sejalan

dengan waktu; misal pengukuran bobot badan yang terus bertambah sesuai waktu, dan

pengukuran populasi ternak yang terus berubah. Jika fenomena yang bersifat tumbuh,

rata-rata bisa dihitung dengan rumus:

(

)

Dimana P0 = Keadaan awal

Pt = keadaan akhir

t = waktu

= rata-rata pertumbuhan setiap satuan waktu

Contoh : Populasi ternak sapi perah di pulau Jawa tahun 2005 adalah 350 000 dan

tahun 2010 adalah 500 000. Berapa rata-rata pertumbuhan tiap tahunnya?

P0 = 350 000; Pt =500 000; t =2010-2005= 5

(

)

(√

)=

17

Modus

Modus menunjukan nilai yang paling banyak muncul.

Contoh 1:

2 3 5 7 9 9 9 10 10 11 9 adalah modus

3 5 8 10 12 17 19 21 24 27 Tidak mempunyai modus

2 3 3 3 5 6 7 7 7 8 3 dan 7 adalah modus

Apabila data telah disusun dalam distribusi frekuensi modus diduga dengan rumus:

(

)

Dimana :

b = batas bawah kelas modus, ialah kelas dengan frekuensi terbanyak p = Panjang kelas b1= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus b2= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah kelas modus

Contoh 2: Mencari modus pada tabel distribusi frekuensi:

Umur (Tahun) Frekuensi

(f)

1 16 - 20 10

2 21 - 25 25

3 26 - 30 23

4 31 - 35 45

5 36 - 40 48

6 41 - 45 53

7 46 - 50 47

8 51 - 55 40

9 56 - 60 15

10 61 - 65 19

Total 325

Frekuensi modus = 53.

18

b = 40+(41-41)/2 = 40.50

b1 = 53-48 = 5

b2 = 53-47 = 6

p = Interval kelas = 5

(

) (

)

Median

Median menentukan letak tengah data setelah data disusun menurut nilainya.

Contoh 1:

9 12 12 15 18 24 24 24 30

Me = 18 15 15 21 27 33 36 45 54

Me = (27+33)/2 = 30

Jika data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, Median diduga dengan:

(

⁄

)

b= Batas bawah kelas median, yaitu kelas dimana median terletak

p= Panjang kelas n= Banyak data F= Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median

f= Frekuensi kelas median

Contoh 2: menduga median dari tabel distribusi frekuensi:

Umur (Tahun) Frekuensi (f) Jumlah data

1 16 - 20 10 10 2 21 - 25 25 35 3 26 - 30 23 58 4 31 - 35 45 103 5 36 - 40 48 151 6 41 - 45 53 204 Letak Median

7 46 - 50 47 251 8 51 - 55 40 291 9 56 - 60 15 306 10 61 - 65 19 325

19

Letak median di data ke = (325/2 = 162.5

Median terletak dikelas ke: 6

b= 40+(41-40)/2 = 40.5

p = 5

f 53

F 10+25+23+45+48 = 151

(

⁄

)= (

⁄

)

Kuartil, Desil, dan Persentil

Kuartil, Desil, dan Persentil dipakai untuk membagi data menjadi beberapa bagian.

Kuartil membagi data menjadi 4 bagian, Desil membagi menjadi 10 bagian, dan

persentil menjadi 100 bagian.

Cara membagi adalah: urut data berdasarkan nilainya, tentukan letaknya, kemudian

tentukan nilainya.

Rumus Kuartil adalah:

i= 1, 2, 3

n= Jumlah data

Rumus Desil adalah:

i= 1, 2, 3, ..., 9

n= Jumlah data

20

Rumus Persentil adalah:

i= 1, 2, 3, ..., 99

n= Jumlah data

Contoh: Hasil penimbangan konsumsi pakan 12 ekor ayam petelur (g). Tentukan kuartir

1, 2, dan 3, dan nilai datanya.

No Data 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nilai Data 104 112 114 120 128 132 140 150 164 172 184 188

Letak K1 :

Letak K2 :

Letak K3 :

Nilai K1 = 114 + 0,25(120-114)= 115,5

Nilai K2 = 132 + 0,50(140-132)= 136

Nilai K3 = 164 + 0,75(172-164)= 170

Apabila data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, maka kuartil, desil dan

persentil diduga dengan rumus:

Kuartil : (

⁄

)

Desil : (

⁄

)

Persentil : (

⁄

)

21

Contoh pendugaan Kuartil dari tabel distribusi:

Umur (Tahun) Frekuensi

(f) Jumlah data

1 16 - 20 10 10 2 21 - 25 25 35 3 26 - 30 23 58 4 31 - 35 45 103 K1

5 36 - 40 48 151 6 41 - 45 53 204 K2

7 46 - 50 47 251 K3

8 51 - 55 40 291 9 56 - 60 15 306 10 61 - 65 19 325 Total 325

Letak K1 ¼ x 325 = 81,25

Letak K2 2/4 x 325 = 162,5

Letak K3 ¾ x 325 = 243,75

Nilai K1 b= 30+(31-30)/2=30,5

p = 5

f 45

F 10+25+23 = 58

(

⁄

)

Nilai K2 b= 40+(41-40)/2=40,5

p = 5

f 53

F 10+25+23+45 +48= 151

(

⁄

)

22

Nilai K3 b= 45+(46-45)/2=45,5

p = 5

f 47

F 10+25+23+45 +48+53= 204

(

⁄

)

23

Kuliah 4:

Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi

Dalam suatu analisis, sangat sering peneliti ingin mengetahui sampai berapa jauh

data tersebut menyebar dari rata-rata. Ukuran yang sering digunakan di bidang peternakan adalah Varian (Ragam), standar deviasi (Simpangan Baku) dan koefisien variasi.

Ragam:

Populasi Sample

n

xi

22 )(

1

)( 22

n

xxs i

1

x2)(2

i2

ns n

xi

n

n

xi2)(2

i2 x

24

Simpangan Baku (Akar dari Ragam):

Populasi Sample

Koefisien Variasi:

Populasi Sample

2 2ss

%100xx

sKV %100xKV

25

Contoh 1: Tabel berikut adalah berat telur 10 ekor puyuh. Ragam dan standar deviasinya adalah (Cara 1):

No Konsumsi

(x) 2xx

1 10 2.9

2 11 0.5

3 12 0.1

4 11 0.5

5 13 1.7

6 15 10.9

7 13 1.7

8 9 7.3

9 11 0.5

10 12 0.1

Jumlah (∑) 117 26.1

Rata-rata( x ) 11.7 n 10

Parameter Populasi Sample

Ragam

61,210

1,26)( 22

n

xi

90,2110

1,26

1

)( 22

n

xxs i

Simpangan Baku

62,161,22

70,190,22 ss

Koefisien variasi

%81,13%1007,11

62,1 xKV %56,14%100

7,11

70,1 xKV

26

Contoh 2: Tabel berikut adalah berat telur 10 ekor puyuh. Ragam dan standar deviasinya adalah (Cara 2):

No Konsumsi

(x) x2

1 10 100

2 11 121

3 12 144

4 11 121

5 13 169

6 15 225

7 13 169

8 9 81

9 11 121

10 12 144

Jumlah (∑) 117 1395

Rata-rata 11.7 n 10

Parameter Populasi Sample

Ragam

61,210

1395x2

10

)117(2)(2

i2

n

n

xi

90,2110

1395

1

x2

10

)117(2)(2

i2

ns n

xi

Simpangan Baku

62,161,22

70,190,22 ss

Koefisien variasi

%81,13%1007,11

62,1 xKV %56,14%100

7,11

70,1 xKV

27

Kuliah 5:

Pengantar Peluang (Dari materi kuliah Dr. Ir. Karnaen, Mstat)

Definisi:

1. RUANG SAMPEL : Himpunan atau gugus yang unsur-unsurnya merupakan hasil yang mungkin dari suatu percobaan

2. TITIK SAMPEL : Unsur-unsur dari ruang sampel 3. KEJADIAN : Himpunan atau gugus bagian dari ruang sampel 4. FREKUENSI RELATIF : Hasil bagi antara kejadian yang muncul dengan banyaknya

percobaan (bisa dalam %) 5. PELUANG (PROBABILITAS) : derajat kepastian dari suatu peristiwa

Peluang dari suatu kejadian A = P(A)

)(

)()(

SN

AN

mungkinyangkejadianbanyaknya

terjadiAkejadianbanyaknyaAP

28

Beberapa Sifat Peluang:

1. Peluang A merupakan angka yang non negatif sehingga P(A) ≥ 0 2. Peluang suatu kejadian yang terjadi sama diantara nol dan satu ditulis 0 ≤ P(A) ≤ 1 3. Jumlah peluang dari semua kejadian dasar suatu universum adalah sama dengan

satu

n

i

iAP1

1)(

atau P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) = 1

4. P(A) + P(Ā) = 1 P(Ā) = 1 - P(A) Ā = komplemen

P(Ā) = peluang tidak terjadinya A

P(A) = 0, berarti tidak pernah terjadi atau mustahil

P(A) = 1, berarti kejadian A sudah pasti terjadi

Contoh 1:

Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama. Berapa besar peluang mata dadu yang

muncul tidak berjumlah 10 ?

Jawab :

S = ruang sampel

S = {(1,1), (1,2), ...... , (6,6)} ada 36 buah titik sampel

Misal A = kejadian mata dadu yang muncul berjumlah 10

{(4,6), (5,5), (6,4)}

Jadi P(A) = 3/36 = 1/12

Maka P(Ā) = 1 - P(A) = 1 – 1/12 = 11/12

29

Peluang dan Beberapa kejadian

1. Peluang kejadian mutually exclusive : jika kedua peristiwa tersebut tidak dapat

terjadi pada waktu yang bersamaan atau A U B = Ø

Kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara

Bersamaan didefinisikan P(AUB)

AUB = A + B P(AUB) = P(A) + P(B)

P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)

Contoh :

Pada pelemparan sebuah dadu satu kali, jika A adalah peristiwa munculnya mata

dadu 2 dan jika B adalah peristiwa munculnya mata dadu 4, maka berapakah

peluang munculnya mata dadu 2 atau 4 ?

Jawab :

AB = { } artinya tidak mungkin keluar bersamaan

P(AUB) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

2. Peluang kejadian non mutually exclusive : jika kedua peristiwa tersebut bisa terjadi

pada waktu yang bersamaan atau AB=Ø

(AUB) = A + B – (AB)

Maka : P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Jika ada 3 kejadian A, B, dan C maka :

P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(AC) - P(BC) – P(ABC)

A B

A B

30

Contoh :

Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Berapa peluang

terambilnya kartu As atau kartu Diamond ?

Jawab :

Jika K1 = kejadian terambilnya kartu As

K2 = kejadian terambilnya kartu Diamond

K1K2 = kartu yang terambil adalah kartu As dan Diamond

P(K1) = 4/52

P(K2) = 13/52

P(K1K2) = 1/52

P(K1UK2 ) = (4/52) + (13/52) – (1/52) = 16/52

3. Peluang kejadian bebas : jika peristiwa pertama tidak mempengaruhi peristiwa

kedua, atau peristiwa kedua tidak terikat pada peristiwa pertama atau P(AB) =

P(A) . P(B)

4. Peluang peristiwa dependent atau peluang bersyarat (Conditional probability) : jika

peristiwa yang satu menjadi syarat terjadinya peristiwa lain.

Untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului peristiwa B ditulis A/B dan

peluangnya dinyatakan dengan dengan P(A/B) atau dapat dirumuskan sebagai

berikut :

P(AB) = P(A) . P(B/A) atau P(B) . P(A/B)

Contoh :

Dari 52 buah kartu bridge diambil 2 buah secara acak. Berapa peluang agar kedua

kartu yang diambil adalah As yang berbeda ?

31

Jawab :

Misal A = kejadian terambilnya kartu As I

B = kejadian terambilnya kartu As II

B/A = kejadian terambilnya kartu As II setelah terambilnya As pada

pengambilan I

AB = kejadian munculnya As dari 2 pengambilan

221

1

17

1

13

1)/()()(

17

1

51

3

152

14)/(

13

1

52

4)(

ABPAPBAP

InpengambilasetelahkartuSisa

IAsmunculsetelahAssisaJumlahABP

kartusemuaJumlah

adayangAsJumlahAP

5. Teori Bayes adalah pengembangan dari konsep peluang bersyarat untuk kejadian

yang bersifat bebas dan atau mutually exclusive.

Bil Aj (j = 1, 2, ... n) merupakan sekatan-sekatan dari sebuah sampel S dan setiap

peristiwa Aj bersifat exclusive serta peluangnya tidak sama dengan nol, maka

peluang terjadinya peristiwa A adalah :

P(A) = P(A1) . P(A/A1) + P(A2) . P(A/A2) + ...... + P(An) . P(A/An)

Atau

n

j

jj AAPAPAP1

)/().()( Kaidah Bayes I

Bila Aj merupakan sekatan dari sebuah sampel S dan setiap peristiwa Aj bersifat

mutually exclusive, kemudian kita mempunyai peristiwa lain Ak yang merupakan

sekatan dari Aj dimana 1 ≤ k ≤ n, maka :

)/().(...)/().(

)/()()/(

11 nn

kkk

AAPAPAAPAP

AAPAPAAP

atau

32

n

j

jj

kkk

AAPAP

AAPAPAAP

1

)/().(

)/().()/(

Kaidah Bayes II

Contoh :

Peti I berisi 4 telur putih dan 6 telur coklat.

Peti II berisi 3 telur putih, 1 telur coklat, dan 4 telur kuning.

Bila satu peti dipilih secara acak dan diambil dari dalamnya secara acak pula, berapa

peluang “telur putih” tersebut diambil dari “peti 2” ?

Jawab :

Bila A menyatakan peristiwa telur yang terpilih adalah putih, maka terwujudnya A

menyangkut dua hipotesis :

1. Hipotesis A1 , dimana peti I yang terpilih 2. Hipotesis A2 , dimana peti II yang terpilih

Bila pemilihan peti dilakukan secara acak, maka P(A1) = P(A2) = ½

Dan peluang bersyaratnya menjadi :

P(A/A1) = 4/10 dan P(A/A2) = 3/8 (sesuai kaidah Bayes), maka :

483871.080/31

16/3

)8/3)(2/1()10/4)(2/1(

)8/3)(2/1(

)/().()/().(

)/()()/(

2211

222

AAPAPAAPAP

AAPAPAAP