1

STATISTIKA

NONPARAMETRIK (3)

Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha Bandung

6.UJI KOLMOGOROV – SMIRNOV

Untuk menguji apakah data berdistribusi tertentu.

Ekivalen dengan Uji 2 ( Goodness Of Fit ) dalam Statistik

Uji Parametrik.

103

LT S

arv

ia/2

012

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOLMOGOROV–SMIRNOV :

1. Struktur Hipotesis : H0 : data tersebut mengikuti distribusi ................

H1 : data tersebut tidak mengikuti distribusi ................

2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji

Kolmogorov – Smirnov ( Leland Blank, Tabel B–7, hal

635 )

3. Statistik Uji : Uji Kolmogorov–Smirnov

Urutkan data pengamatan ( nilai rata-rata ) dari

terkecil sampai terbesar.

Hitung nilai S(x), dimana Catatan :

Jika terdapat 2 atau lebih nilai rata-rata X yg sama, maka nilai

S(x) yg digunakan adalah nilai S(x) maksimum.

n

i (x) S

104

LT S

arv

ia/2

012

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOLMOGOROV–SMIRNOV : (2)

Hitung nilai F(x) pada masing-masing nilai rata-rata

(X), dimana rumus F(x) yang digunakan disesuaikan

dengan bentuk distribusi yg dihipotesiskan.

Hitung nilai S(x) – F(x) pada masing-masing nilai X.

Tentukan nilai Statistik Uji :

d = max { S(x) – F(x) }

4. Wilayah Kritis : Bandingkan nilai d dengan Do pada

Tabel B–7 ( Leland Blank, hal. 635 )

Do

Wilayah Kritis : d > Do

5. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

105

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL

13. Berikut sampel berat sabun cuci yang diproduksi PT Wonder

(angka dalam gram). Manajer produksi ingin mengetahui apakah data di atas berasal dari populasi (seluruh produk

sabun cuci PT Wonder) yang berdistribusi normal dengan = 203,9 dan =2,69 ? a =0,05

106

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Berat 200,5 203,9 204,4 204,4 205,6 205,7 207,1 208,8 208,9

No 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Berat 205,5 200,7 200,8 200,9 201,6 201,9 202,5 203,1 205,6

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB :

a. Struktur Hipotesis : H0: data tersebut mengikuti distribusi normal = 203,9 dan =2,69

H1: data tersebut tidak mengikuti distribusi normal = 203,9 dan =2,69

b. Taraf nyata : a = 0,05

c. Statistik Uji : Uji Kolmogorov – Smirnov

107

LT S

arv

ia/2

012

2

574,0)(max

304,0196,05,0)(

196,0)()(

855,069,2

9,2036,201

-x z : Normal Distribusi

0,5 18

9

n

i (x) S

xFxSd

xFxS

zPxFJadi

z

Contoh Perhitungan: untuk data ke–9

108

)( xFxS

Urutkan data dari terkecil sampai terbesar

No Berat (x) S(x) z F (x) = P(Z) S(x)-F(x)

1 200,5 1/18 0,056 -1,264 0,103 -0,048 0,048

2 203,9 2/18 0,111 0,000 0,500 -0,389 0,389

3 204,4 4/18 0,222

0,186 0,574 0,574 0,574

4 204,4 0,186 0,574 0,574 0,574

5 205,5 5/18 0,278 0,595 0,724 -0,446 0,446

6 200,7 6/18 0,333 -1,190 0,117 0,216 0,216

7 200,8 7/18 0,389 -1,152 0,125 0,264 0,264

8 200,9 8/18 0,444 -1,115 0,132 0,312 0,312

9 201,6 9/18 0,500 -0,855 0,196 0,304 0,304

10 201,9 10/18 0,556 -0,743 0,229 0,327 0,327

11 202,5 11/18 0,611 -0,520 0,301 0,310 0,310

12 203,1 12/18 0,667 -0,297 0,383 0,284 0,284

13 205,6 14/18 0,778 0,632 0,736 0,041 0,041

14 205,6 14/18 0,778 0,632 0,736 0,041 0,041

15 205,7 15/18 0,833 0,669 0,748 0,085 0,085

16 207,1 16/18 0,889 1,190 0,883 0,006 0,006

17 208,8 17/18 0,944 1,822 0,966 -0,021 0,021

18 208,9 18/18 1,000 1,859 0,968 0,032 0,032

LT S

arv

ia/2

012

Wilayah Kritis : d > Do Tabel K – S (Leland

Blank, Tabel B–7, halaman 635 )

0,309

0,574

Karena : d > Do ( 0,574 < 0,309 )

•Keputusan : Tolak H0

•Kesimpulan : data sampel berat sabun cuci tersebut tidak mengikuti

distribusi normal = 203,9 dan =2,69 pada taraf nyata 0,05

109

LT S

arv

ia/2

012

7. UJI KOEFISIEN KORELASI

PERINGKAT SPEARMAN

Untuk menguji apakah ada hubungan korelasi antara

variabel X dengan Y ( untuk menguji konsistensi )

Digunakan untuk mencari hubungan atau untuk menguji

signifikansi hipotesis asosiatif bila masing-masing variabel

yang dihubungkan berbentuk ordinal, dan sumber data

antar variabel tidak harus sama.

Koefisien korelasi :- 1 < r < 1

110

LT S

arv

ia/2

012

DATA ORDINAL

111

Data yang diperoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi, tetapi di

antara data tersebut terdapat hubungan. Angka mengandung pengertian tingkatan.

CIRI :

• Data mempunyai tingkatan atau jenjang • Tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)

CONTOH : Kepuasan kerja,motivasi ranking 1, 2, dan 3. Ranking 1 menunjukkan lebih

tinggi dari ranking 2 dan 3.

Direktur = 1, Manajer = 2, Karyawan = 3 1 + 1 = 2

Direktur+Direktur= Manajer???

LT S

arv

ia/2

012

Jika titik-titik tepat

pada satu garis namun

mengumpul mendekati

satu garis

r mendekati ± 1

hubungan ± kuat namun

tidak sempurna

Y

X

r > 0

r < 0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x

x x

x

112

LT S

arv

ia/2

012

113

r = – 1 : punya hubungan korelasi linear negatif yang sempurna (sangat kuat )

semua titik terletak pada satu garis

r = + 1 : punya hubungan korelasi linear positif yang sempurna ( sangat kuat )

semua titik terletak pada satu garis

r = 0 : tidak ada hubungan korelasi linear antar variabel tersebut

titik – titik menyebar atau tidak ada suatu kecenderungan

LT S

arv

ia/2

012

3

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOEFISIEN

KORELASI PERINGKAT SPEARMAN :

1. Struktur Hipotesis

H0 : r S = 0

H1 : r S > 0 konsisten ( searah )

r S < 0 konsisten ( berlawanan )

2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel

Koefisien Korelasi Peringkat Spearman ( Walpole, Tabel A.14, halaman 488 )

3. Tentukan variabel X dan Y ( dalam penentuan variabel X dan Y, boleh bebas )

4. Tentukan ranking terkecil sampai terbesar untuk masing-masing variabel X dan Y

5. Hitung selisih ranking variabel X dan Y untuk

masing-masing pasangan X dan Y, yang dilambangkan

dengan d i

114

LT S

arv

ia/2

012

6. Hitung d i 2

7. Hitung nilai Statistik Uji r S

) 1 - n (n

d 6

- 1 r2

n

1 i

2i

S

n = banyaknya data atau pasangan data

8. Wilayah Kritis :

Jika : H1 : r S > 0 maka Wilayah Kritis : r S ≥ r a H1 : r S < 0 maka Wilayah Kritis : r S ≤ - r a

9. Keputusan

10. Kesimpulan Hipotesis

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOEFISIEN

KORELASI PERINGKAT SPEARMAN (2):

115

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL

14. Sebuah perusahaan asuransi di Jakarta telah

menyelenggarakan kursus penyegaran penjualan yang dimaksudkan untuk meningkatkan prestasi para

wiraniaganya. Beberapa kelas telah menyelesaikan

kursus tersebut. Dalam memperkirakan nilai program tersebut, Manajer pelatihan penjualan ingin menentukan

apakah ada hubungan antara prestasi dalam

program dengan prestasi dalam menghasilkan penjualan tahunan setelah menjalani kursus. Tabel

berikut ini menunjukkan data yang dikumpulkan oleh

manajer pelatihan penjualan dari 11 lulusan program.

116

LT S

arv

ia/2

012

Tabel Data dari 11 orang yang lulus program

117

Wiraniaga Prestasi

Kursus

Penjualan

Tahunan (#)

Stella 38 4.000

Piere 40 6.000

Deni 55 1.000

Wulandari 60 2.000

Sari 62 7.000

Oky 63 10.000

Asrul 67 3.000

Rani 70 5.000

Susan 75 8.000

Synthia 88 9.000

Yusraini 90 110.000

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB :

118

1. Koefisien Korelasi Peringkat : X Prestasi Kursus

Y Penjualan Tahunan (#)

Wiraniaga

Prestasi Rank Penjualan Rank

Kursus Prestasi Tahunan (#) Penjualan di =rank X - rank Y di2 X Kursus Y (#)

Stella 38 1 4000 4 -3 9

Piere 40 2 6000 6 -4 16

Deni 55 3 1000 1 2 4

Wulandari 60 4 2000 2 2 4

Sari 62 5 7000 7 -2 4

Oky 63 6 10000 10 -4 16

Asrul 67 7 3000 3 4 16

Rani 70 8 5000 5 3 9

Susan 75 9 8000 8 1 1

Synthia 88 10 9000 9 1 1

Yusraini 90 11 110000 11 0 0

Total 0 80

LT S

arv

ia/2

012

0,6360,364-1 ) 1 - 11 ( 11

80 * 6 - 1

) 1 - n (n

d 6

- 1 r22

n

1 i

2i

S

r S = 0, 636 menunjukkan bahwa adanya korelasi antara prestasi kursus

dengan prestasi penjualan tahunan (#)

119

LT S

arv

ia/2

012

4

CONTOH SOAL MENGUJI SIGNIFIKANSI

15. Pengujian yang lebih formal bisa dilaksanakan untuk

menentukan apakah benar-benar ada hubungan statistik seperti yang diisyaratkan oleh rs . Karena manajer

pelatih berkeyakinan bahwa kursus tersebut akan

meningkatkan kemampuan menjual, maka pengujian satu-arah ke kanan dapat dilakukan, dan hipotesis

alternatifnya akan menyatakan adanya hubungan positif

antara prestasi kursus dengan prestasi penjualan yaitu H1 : rs >0. Ujilah hipotesis tersebut. Gunakan Taraf

nyata 0,05.

120

rs

LT S

arv

ia/2

012

MENGUJI SIGNIFIKANSI 15.

Struktur Hipotesis

H0 : r S = 0 H1 : r S > 0 konsisten ( searah )

Tentukan nilai a =0.05

Statistik Uji :Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman

r S = 0,636

Wilayah Kritis : r S ≥ r a

a = 0,05

n = 11

Keputusan :Tolak H0 ( r S ≥ r a 0,636 > 0,523 )

Kesimpulan : bahwa Keikutsertaan dalam kursus penjualan dengan prestasi penjualan wiraniaga memberikan hasil yang konsisten (satu arah ke kanan), pada taraf

nyata 0,05.

atau adanya hubungan statistik antara keikutsertaan dalam kursus penjualan dengan prestasi penjualan setelah mengikuti kursus tersebut pada taraf nyata 0,05

r a = 0,523

121

rs

Tabel A.14 Walpole

LT S

arv

ia/2

012

Catatan Uji Koefisien Korelasi

Peringkat Spearman :

Jika : n > 30 , maka digunakan pendekatan

Normal, sehingga :

r s = 0

1 -n

1 σ sr

1 -n r

1 -n 1

0 -r Z S

S

122

LT S

arv

ia/2

012

ISTILAH-ISTILAH PENTING

Statistika Nonparametrik : statistik yang

tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang

distribusi.

Uji Tanda (Sign Test) : Uji yang didasarkan

pada tanda negatif dan positif dari perbedaan

antara pasangan data ordinal.

Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon : pengujian

yang dilakukan jika besaran maupun arah

perbedaan relevan untuk menentukan apakah

terdapat perbedaan yang sesungguhnya antara

pasangan data yang diambil dari satu sampel atau dua sampel yang saling terkait. 123

LT S

arv

ia/2

012

ISTILAH-ISTILAH PENTING (2)

Uji Mann-Whitney : pengujian dimana yang diuji

hipotesis nol yang mengatakan bahwa tidak ada

perbedaan yang sesungguhnya antara kedua

kelompok data, atau data tersebut diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait.

Uji H Kruskall Wallis : untuk menguji apakah k sampel independen ( dimana : k > 2 ) memiliki rata-rata yang sama.

124

LT S

arv

ia/2

012

ISTILAH-ISTILAH PENTING (2)

Uji Runtunan/deret (Runs Test) : Uji untuk

menentukan apakah keacakan akan terjadi atau

apakah terdapat suatu pola yang mendasari urutan

data sampel.

Uji Kolmogorov smirnov : untuk menguji apakah

data berdistribusi tertentu.

Koefisien korelasi peringkat spearman : ukuran

erat tidaknya kaitan antara dua variabel ordinal.

125

LT S

arv

ia/2

012

5

UJI TANDING DARI

Wilcoxon Sign Rank Test Uji T berpasangan

Wilcoxon Rank Sum Test Uji T 2 populasi

Kruskall-Wallis Test Uji F

126

LT S

arv

ia/2

012

PERSAMAAN SIGN TEST DAN WILCOXON

SIGN RANK TEST :

Keduanya digunakan untuk menguji rata-rata 1

populasi dan populasi

127

LT S

arv

ia/2

012

KESIMPULAN

Kegiatan peneliti seringkali terganggu karena data yang tersedia untuk analisis tidak mempunyai “sifat” kuantitatif yang pasti. Misalnya, data tersebut mungkin diperoleh hanya dari jumlah sampel yang kecil, dan barangkali bentuk distribusi populasi dan pengaruhnya terhadap distribusi sampel tidak diketahui. Apabila masalah semacam itu timbul, maka metode nonparametrik digunakan. Dalam hal ini, kita baru membahas sebagian kecil dari metode nonparametrik yang lazim digunakan.

128

LT S

arv

ia/2

012

SOAL

Jika anda seorang konsultan statistik dan anda

diminta untuk menguji apakah ada kaitan

antara prestasi kerja dengan nilai masuk kerja.

Untuk itu anda melakukan pengambilan sampel secara acak dari karyawan yang bekerja pada

perusahaan klien anda sebanyak 10 orang dan

diperoleh data peringkat karyawan yang terkena

sampel sbb :

129

LT S

arv

ia/2

012

No Peringkat Prestasi

Kerja

Peringkat Tes

Masuk

1 5 6

2 10 9

3 6 4

4 3 2

5 4 5

6 2 1

7 7 8

8 1 3

9 8 10

10 9 7

130

Kesimpulan apakah yang bisa ditarik pada taraf nyata 0,05?

LT S

arv

ia/2

012

DAFTAR PUSTAKA

J.Supranto, Statistik Teori dan Aplikasi, Edisi

keenam, Jilid 2, Penerbit Erlangga,2001

131

LT S

arv

ia/2

012

6

132

Thank You

LT S

arv

ia/2

012