STATISTIKA

• PENGERTIAN Statistika

Ilmu tentang pengumpulan data Klasifikasi Data Penyajian Data Pengolahan Data Penarikan Kesimpulan Pengambilan keputusan

Populasi: Himpunan keseluruhan dari objek pengamatan

Sample: Bagian dari populasi Data: Informasi atau fakta yang

tertuang dalam angka atau bukan angka

Deskriptif: Metode untuk mendeskripsikan, menggambarkan, menjabarkan, atau menguraikan data

Inferensia: Penarikan kesimpulan dari sample untuk menjelaskan isi dari populasi

• JENIS – JENIS DATA Data mentah Data primer Data sekunder Data Kuantitatif

Data Diskrit Data Kontinyu

Data Diskrit:o Data Nominalo Daata Ordinalo Data Dikotomi

o Data Kualitatifo Parameter: Kualitas Pengukuran

sample

• CONTOH – CONTOH Deskriptif

“Nilai UAS mahasiswa Teknik Informatika semester 4 untuk mata kuliah Statistika adalah dengan nilai rata – rata 65”

Populasi dan Sample“Civitas akademik Universitas Muhammadiyah Sukabumi terdiri dari dosen, mahasiswa dan staff pekerja lainnya yang berjumlah 1200 orang”

Data NominalJumlah lulusan mahasiswa Universitas Muhammadiyah Sukabumi tahun 2008

l

Mahasiswa

Dosen

Pegawai

Civitas UMMI

Populasi sample

Program Studi Jumlah

Teknik Informatik 25 orang

Kimia 5 orang

SDPK 4 orang

Data OrdinalKategori hasil nilai akhir Mata Kuliah Statistika

Data Dikotomi Murni: Hidup – mati, surga – neraka,

laki – laki – wanita, dll. Buatan: lulus – gagal, hitam – putih,

dll. Data interval: data yang memiliki

rentang atau jarak yang sama Data rasio: Data yang dinyatakan

dalam perbandingan

Kategori Nilai Jumlah

Istimewa 10 orang

Baik 12 orang

Cukup 20 orang

Kurang 7 orang

Kurang sekali 3 orang

TENDENSI SENTRAL

• Nilai rata – rata (Mean): Rumus:

Biasa

Dengan Frekuensi

Keterangan: (jumlah

data ke 1 sampai data ke-n )

(jumlah perkalian frekuensi dengan data)

n = banyaknya data = jumlah frekuensi

• Nilai Tengah (Median): Rumus:

Biasa

Dengan Frekuensi

Keterangan: Me = median Lo = Batas bawah kelas C = lebar kelas n = banyaknya data F = jumlah frekuensi sebelum kelas f = jumlah frekuensi kelas

• Modus = Nilai yang paling sering muncul Biasa

Mo = nilai yang paling sering muncul

Data berfrekuensi

Keterangan: Mo = modus Lo = Batas bawah kelas modus C = lebar kelas b1 = selisih frekuensi sebelum kelas

modus b2 = selisih frekuensi tepat satu data

setelahnya

• Contoh Kasus:1. Data hasil ujian akhir semester 4 untuk mata

kuliah statistika adalah sebagai berikut: 40, 65, 90, 65, 70, 55, 85, 65, 70, 35Tentukanlah:

a. Rata – rata nilai UASb. Modus nilai UASc. Median Nilai UAS

2. Data nilai UAS mahasiswa semester 4, untuk mata kuliah STATISTIKA adalah sebagai berikut:

Tentukanlah nilai : a. Rata2b. Modusc. Median

Nilai Jml Mhs

45 6

50 8

65 14

70 16

75 9

80 4

Contoh soal data distribusi berfrekuensi

• Misalkan modal (dalam jutaan rupiah) dari 40 perusahaan pada tabel distribusi frekuensi berikut:

Modal Frekuensi

112 - 120 4

121 - 129 5

130 - 138 8

139 - 147 12

148 -156 5

157 -165 4

166 - 174 2

= 40

Tentukan:a.Mean/ Rata – ratab.Medianc.Modus

Kata Kunci Data Distribusi Frekuensi

• Kelas = selang/ interval• Frekuensi = banyaknya

nilai yang termasuk ke dalam kelas

• Limit kelas/ tepi kelas: Nilai terkecil dan terbesar pada setiap kelas, terbagi menjadi 2, yaitu limit bawah kelas dan limit atas kelas

• Batas bawah kelas dan batas atas kelas

• Lebar kelas= selisih batas atas kelas dan batas bawah kelas

• Nilai tengah kelas = (batas bawah kelas + batas atas kelas)/ 2

Dari contoh di atas, maka didapat:• Kelas = 112 – 120• Limit kelas/ tepi kelas:

pada kelas 112 – 120, Nilai 112 disebut limit bawah kelas dan nilai 120 disebut limit atas kelas

• Pada kelas 112 – 120, nilai 111,5 disebut batas bawah kelas dan nilai 120,5 disebut batas atas kelas

• Lebar kelas= 120,5 – 111,5 = 9 nilai lebar kelas pada masing – masing kelas adalah sama

• Nilai tengah kelas = (111,5 + 120,5)/2 = 116

Penyelesaian Soal

• Mean/ Rata - rataModal Nilai Tengah

(X)Frekuensi

(f) fX

112 - 120 116 4 464

121 - 129 125 5 625

130 - 138 134 8 1.072

139 - 147 143 12 1.716

148 -156 152 5 760

157 -165 161 4 644

166 - 174 170 2 340

= 40 = 5.621

5.621 140,52540

X

• MEDIAN

Untuk mencari median, tentukan dulu pada kelas interval mana mediannya terletak.Karena frekuensinya bernilai genap, maka median terletak pada nilai ke

Data ke 20,5 terletak pada kelas interval 139 – 147. Maka diperoleh:Lo = 138,5 f = 12 F = 4 + 5 + 8 = 17c = 147,5 – 138,5 = 9

1 40 1 20,52 2

n

02n F

Med L cf

• Jadi mediannya adalah

• MODUSUntuk mencari modus, tentukan dulu kelas interval yang mengandung modus, yaitu kelas interval yang memiliki frekuensi terbesar. Maka dapat diketahui bahwa modus terletak pada kelas interval 139 – 147

40 172138,5 912

Med

20 17138,5 9 140,7512

Med

• Dengan demikian:Lo = 138, 5 c = 9 b1 = 12-8=4b2 = 12-5=7

Jadi modusnya adalah:

= 138,5 + 3,27 = 141,77

01 4138,5 9

1 2 4 7bMod L c

b b

KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL

• KUARTIL (Perluasan Median)Kuartil terbagi menjadi 3, yaitu: Kuartil pertama/ Kuartil bawah (Q1) Kuartil kedua/ Kuartil tengah (Q2) Kuartil ketiga/ Kuartil atas (Q3)

Rumus Untuk data tidak berkelompok:

( 1) 1,2,34i

i nQ Nilaiyangke i

• Untuk data berkelompok

• DESILJika sekelompok data dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyak, maka akan terdapat 9 pembagi, masing – masing disebut nilai Desil (D), yaitu D1, D2, …, D9

0

,4 , 1, 2,3i

i n FQ L c i

f

Dimana:Lo= Batas bawah kelas kuartilc = Lebar kelasF = Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qif = Frekuensi kelas kuartil Qi

• Untuk data tidak berkelompok

• Untuk data berkelompok

( 1) , 1,2,3,...,910i

i nD nilaiyangke i

0

.10 , 1,2,3,...,9i

i n FD L c i

f

Dimana: Lo = Batas bawah kelas desil Dic = Lebar kelasF = Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil Dif = Frekuensi kelas desil Di

• PERSENTILJika sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian sama banyak, maka akan terdapat 99 pembagi, yang masing – masing disebut persentil (P), yaitu P1,P2,P3,…,P99. Nilai persentil ke-I, yaitu Pi dihitung dengan rumus berikut.

Untuk data tidak berkelompok:

( 1) , 1, 2,3,...,99100i

i nP nilaike i

• Untuk data berkelompok

0

.100 , 1,2,3,...,99i

i n FP L c i

f

Dimana: Lo = Batas bawah kelas persentil Pic = Lebar kelasF = Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil Pif = Frekuensi kelas persentil Pi

Contoh soal data tidak berkelompok• Tentukan kuartil Q1, Q2 dan Q3 dari data gaji bulanan 13

karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut.40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100.

• Jawab:Urutan data: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100.Maka:

Q1=nilai ke- nilai ke- = antara nilai ke 3 dan ke 4

= nilai ke 3 + ½ (nilai ke 4 – nilai ke 3) = 40 + ½ (45-40)

= 40 + 2,5= 42,5

( 1) , 134i

i nQ nilaike n

1(13 1)4

132

• Tentukan desil D3 dan D7 dari data gaji bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut.40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100.

• Jawab:Urutan data: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100.

Maka:D3= nilai yang ke- = nilai ke – = nilai ke 4 + 1/5 (nilai ke 5 – nilai ke 4) = 45 + 1/5 (50-45) = 45 + 1= 46

( 1)10i

i nD nilaiyangke

3(13 1)10

145

Contoh soal data berkelompok• Misalkan modal (dalam jutaan rupiah) dari 40

perusahaan pada tabel distribusi frekuensi berikut:

Modal Frekuensi

112 - 120 4

121 - 129 5

130 - 138 8

139 - 147 12

148 -156 5

157 -165 4

166 - 174 2

= 40

Tentukan:a.Tentukan nilai kuartil

Q1, Q2 dan Q3b. Tentukan desil D3 dan D8c. Tentukan persentil P20

dan P 80

Penyelesaian Soal• Mencari Q1, Q2, dan Q3

Jawab: Tentukan dulu kelas interval Q1, Q2, dan Q3Karena n=40, Q1 terletak pada nilai ke Nilai ke 10, 25 terletak pada interval kelas 130 – 138 Q2 terletak pada nilai ke Nilai ke 20, 5 terletak pada interval kelas 139 – 147 Q3 terletak pada nilai ke Nilai ke 30,75 terletak pada interval kelas 148 – 156

Setelah diketahui interval kelas dari tiap – tiap kuartil yang dicari, maka nilai kuartil dapat dicari dengan rumus.

1(40 1) 10,254

2(40 1) 20,54

3(40 1) 30,754

Untuk Q1, terletak pada interval kelas 130 – 137, maka:Lo = 129,5 F = 4+5 = 9 f = 8 c = 9sehingga:

0

,4

i

i n FQ L c

f

1

40 9 10 94129,5 9 129,5 9 130,6258 8

Q

• Mencari D3 dan D8Jawab:Tentukan kelas interval dimana desil beradaKarena n = 40, maka kelas interval D3 dan D8 berada pada: D3 terletak pada nilai ke Nilai ke 12,3 terletak pada interval kelas 130 – 138 D8 terletak pada nilai ke Nilai ke 32,8 terletak pada interval kelas 139 – 147 Maka nilai D3 dan D8 adalah:

3(40 1) 12,310

8(40 1) 32,810

0

.10

i

i n FD L c

f

Untuk D3 terletak pada interval kelas 130 – 138, maka:Lo = 129,5 F = 4+5= 9 f = 8 c = 9Sehingga:

3

3(40) 9 12 910129,5 9 129,5 9 132,8758 8

D

PENGUKURAN DISPERSI, KEMIRINGAN, DAN KERUNCINGAN DATA

• DISPERSI DATADispersi/ variasi/ keragaman data: ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.

• Ukuran Dispersi yang akan dipelajari:Jangkauan (Range)Simpangan rata – rata (mean deviation)Variansi (variance)Standar Deviasi (Standard Deviation)Simpangan Kuartil (quartile deviation)Koefisien variasi (coeficient of variation)

Dispersi multak

Dispersi relatif

RANGE/ JANGKAUAN DATA (r)• Range: Selisih nilai maksimum dan nilai minimum

Rumus:

• Range untuk kelompok data dalam bentuk distribusi frekuensi diambil dari selisih antara nilai tengah kelas maksimun – nilai tengah kelas minimum

Range (r) = Nilai max – nilai min

Simpangan Rata2/ Mean Deviation (SR)

• Simpangan rata – rata: jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata – rata, dibagi banyaknya data.

• Rumus• Untuk data tidak berkelompok

X XSR

n

Dimana:X = nilai data = rata – rata hitung n = banyaknya dataX

• Untuk data berkelompok

( )f X XSR

n

Dimana:X = nilai data = rata – rata hitungn = Σf = jumlah frekuensiX

VARIANSI/ VARIANCE 2( )s• Variansi adalah rata – rata kuadrat selisih atau

kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata – rata hitung.

2

2s = simbol untuk sample

= simbol untuk populasi

• Rumus untuk data tidak berkelompok

• Untuk data berkelompok

22

1X X

Sn

22

1f X X

Sn

STANDAR DEVIASI/ STANDARD DEVIATION (S)

• Standar deviasi: akar pangkat dua dari variansi• Rumus:

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

22

1X X

Sn

22

1f X X

Sn

Contoh Soal• Data tidak berkelompok

Diketahui sebuah data berikut:20, 50, 30, 70, 80Tentukanlah:a. Range (r)b. Simpangan Rata – rata (SR)c. Variansi d. Standar Deviasai

• Jawab:a. Range (r) = nilai terbesar – nilai terkecil = 80 – 20 = 60b. Simpangan Rata – rata (SR):

n = 5

X XSR

n

20 50 30 70 80 505

X

20 50 50 50 30 50 70 50 80 505

SR

30 0 20 20 30 100 205 5

SR

• Variansi

• Standar Deviasi (S)

2( )s

22

1X X

Sn

2 2 2 2 22 (20 50) (50 50) (30 50) (70 50) (80 50)

5 1S

2 900 0 400 400 900 2600 6504 4

S

2S S

650 25,495S

Contoh Soal• Data Berkelompok

Diketahui data pada tabel dibawah ini:

Modal Frekuensi

112 - 120 4

121 - 129 5

130 - 138 8

139 - 147 12

148 -156 5

157 -165 4

166 - 174 2

40

Tentukan:a.Range (r)b.Simpangan rata – rata (SR)c.Variansid.Standar Deviasi

JAWAB• Range (r)= (nilai tengah tertinggi – nilai tengah terendah)/2• Simpangan rata – rata

• Variansi

• Standar Deviasi

( )f X XSR

n

22

1f X X

Sn

22

1f X X

Sn

n = jml frekuensi

• Untuk memudahkan mencari jawaban, maka dibuat tabel sesuai dengan keperluan jawaban

Modal fNilai

Tengah (X)

112 - 120 4 116 24,525 98,100 601,476 2405,902

121 - 129 5 125 15,525 77,625 241,026 1205,128

130 - 138 8 134 6,525 52,200 42,576 340,605

139 - 147 12 143 2,475 29,700 6,126 73,507

148 -156 5 152 11,475 57,375 131,676 658,378

157 -165 4 161 20,475 81,900 419,226 1676,902

166 - 174 2 170 29,475 58,950 868,776 1737,551

Jumlah 40 455,850 8097,974

X X f X X 2( )X X 2( )f X X

Maka dapat dijawab:

• Range (r) = 170 – 116 = 54• Simpangan rata – rata

• Variansi

• Standar Deviasi

455,850 11,39640

SR

2 8097,974 8097,974 207,6440 1 39

S

207,64 14,41S

JANGKAUAN QUARTIL DAN JANGKAUAN PERSENTIL 10-90

• Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil, rentang semi antar kuartil, deviasi kuartil. Jangkauan persentil 10-90 disebut juga rentang persentil 10-90

• Jangkauan kuartil dan jangkauan persentil lebih baik daripada jangkauan (range) yang memakai selisih antara nilai maksimum dan nilai minimun suatu kelompok data

• Rumus:

Jangkauan Kuartil:

3 11 ( )2

JK Q Q Ket:

JK: jangkauan kuartilQ1: kuartil bawah/ pertamaQ3: kuartil atas/ ketiga

• Rumus Jangkauan Persentil

• KOEFISIEN VARIASI/ DISPERSI RELATIF Untuk mengatasi dispersi data yang sifatnya mutlak, seperti

simpangan baku, variansi, standar deviasi, jangkauan kuartil,dll Untuk membandingkan variasi antara nilai – nilai bersar dengan nilai

– nilai kecil. Untuk mengatasi jangkauan data yang lebih dari 2 kelompok data.

10 90 90 10JP P P

Rumus:

*100%SKVX

Ket:

KV: Koefisien variasiS : Standar deviasiX : Rata – rata hitung

KOEFISIEN VARIASI KUARTIL• Alternatif lain untuk dispersi relatif yang bisa digunakan jika

suatu kelompok data tidak diketahui nilai rata – rata hitungnya dan nilai standar deviasinya.

• Rumus:

3 1

3 1Q

Q QKVQ Q

atau 3 1( ) / 2

QQ Q

KVMed

NILAI BAKU• Nilai baku atau skor baku adalah hasil transformasi antara

nilai rata – rata hitung dengan standar deviasi• Rumus:

1i

X XZS

Nilai i = 1, 2, 3, …, n

Contoh Soal untuk Koefisien Variasi dan Simpangan Baku

• Koefisien VariasiAda dua jenis bola lampu. Lampu jenis A secara rata – rata mampu menyala selama 1500 jam dengan simpangan baku (standar deviasi) S1 = 275 jam, sedangkan lampu jenis B secara rata – rata dapat menyala selama 1.750 jam dengan simpangan baku S2 = 300 jam. Lampu mana yang kualitasnya paling baik? Jawab:Lampu jenis A:

Lampu jenis B:

11

1

275*100% *100% 18,3%1500

SKVX

22

2

300*100% *100% 17,1%1750

SKVX

• Nilai rata – rata ujian akhir semester mata kuliah Statistika dengan 45 mahasiswa adalah 78 dan simpangan baku/standar deviasi (S) = 10. Sedangkan untuk mata kuliah Bahasa Inggris di Kelas itu mempunyai nilai rata – rata 84 dan simpangan bakunya (S) = 18. Bila dikelas itu, Desi mendapat nilai UAS untuk kalkulus adalah 86 dan untuk bahasa Inggris adalah 92, bagaimana posisi/ prestasi Desi di kelas itu?

• Jawab• Untuk mengetahui posisi/ prestasi Desi, maka harus dicari nilai

baku (Z) dari kedua mata kuliah tersebut.

dengan nilai X adalah nilai UAS yang diperoleh Desi

X XZS

• Untuk Mata Kuliah StatistikaX = 86 S = 10Maka:

• Untuk Mata Kuliah Bahasa InggrisX = 92 S = 18Maka:

Karena nilai baku (Z) untuk mata kuliah Statistika lebih besar dari B. Inggris, maka posisi Desi lebih baik pada mata kuliah Statistika dari pada B. Inggris

78X

86 78 0,810

Z

84X

92 84 0,418

Z

KEMIRINGAN DATA

• Kemiringan: derajat/ ukuran dari ketidaksimetrian (asimetri) suatu distribusi data

• 3 pola kemiringan distribusi data, sbb:– Distribusi simetri (kemiringan 0)– Distribusi miring ke kiri (kemiringan negatif)– Distribusi miring ke kanan (kemiringan positif)

• Beberapa metoda yang bisa dipakai untuk menghitung kemiringan data, yaitu: – Rumus Pearson– Rumus Momen– Rumus Bowley

• Rumus Pearson (α)

X ModS

atau

3( )X MedS

• Rumus tersebut dipakai untuk data tidak berkelompok maupun data berkelompok.– Bila α = 0 atau mendekati nol, maka dikatakan

distribusi data simetri.– Bila α bertanda negatif, maka dikatakan distribusi

data miring ke kiri.– Bila α bertanda positif, maka dikatakan distribusi

data miring ke kanan.– Semakin besar α, maka distribusi data akan

semakin miring atau tidak simetri

RUMUS MOMEN 3( )

• Cara lain yang dipakai untuk menghitung derajat kemiringan adalah rumus momen derajat tiga, yaitu

• Untuk data tidak berkelompok:

• Untuk data berkelompok

3

3 3

( )X XnS

3

3 3

( ( ) )f X Xf S

• Khusus untuk data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi , derajat kemiringan α3 dapat dihitung dengan cara transformasi sebabai berikut:

– Jika α3 = 0, maka distribusi data simetri– Jika α3 < 0, maka distribusi data miring ke kiri– Jika α3 > 0, maka distribusi data miring ke kanan

33 23

3 3 3 2fU fU fU fUc

S n n n n

– Untuk mencari nilai Standar deviasi (S) menggunakan variabel U:

– Variabel U = 0, ±1, ±2, ±3, dst. • RUMUS BOWLEY

22 ( )

( 1)n fU fU

S cn n

3 1 2

3 1

Q Q QQ Q

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA

• Keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya.

• Keruncingan data disebut juga kurtosis, ada 3 jenis yaitu:– Leptokurtis– Mesokurtis– Platikurtis

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA

• Keruncingan distribusi data (α4) dihitung dengan rumus:

• Data tidak berkelompok

• Data Berkelompok

4

4 4

( )X XnS

4

4 4

( ( ) )*

f X Xf S

• Khusus untuk transformasi

• Keterangan– α4 = 3, distribusi data mesokurtis– α4 > 3, distribusi data leptokurtis– α4 < 3, distribusi data platikurtis

2 44 3 24

4 4 4 6 3fU fU fU fU fU fUc

S n n n n n n

• Selain cara di atas, untuk mencari keruncingan data, dapat dicari dengan menggunakan rumus:

• Keterangan– K = 0,263 maka keruncingan distribusi data mesokurtis– K > 0,263 maka keruncingan distribusi data leptokurtis– K < 0,263 maka keruncingan distribusi data platikurtis

3 1

90 10 90 10

1 ( )2

Q QJKKP P P P

K= Koefisien Kurtorsis Persentil

REGRESI DAN KORELASI

• Pada bab ini akan membahas dua bagian yang saling berhubungan, khususnya dua kejadian yang dapat diukur secara matematis.

• Dalam hal dua kejadian yang saling berhubungan, ada dua hal yang perlu diukur dan dianalisis, yaitu:– Bagaimana hubungan fungsional (persamaan matematis)

antara dua kejadian tersebut -> analisis regresi– Bagaimana kekuatan (keeratan) hubungan dua kejadian itu

-> analisis korelasi

REGRESI LINEAR SEDERHANA

• Garis regresi/ regresi: garis lurus/ garis linear yang merupakan garis taksiran atau perkiraan untuk mewakili pola hubungan antara variabel X dan variabel Y.

• Cara untuk mencari persamaan garis regresi:

^Y a bX

DimanaY = variabel terikatX = variabel bebasa = intersep (pintasan) bilamana X=0b = koefisien arah (slope) dari garis regresi

• Koefisien regresi a dan b dapat dicari dengan rumus:

2

2 2

. .. ( )

Y X X XYa

n X X

2 2

. .. ( )

n XY X Yb

n X X

Rumus lain untuk menghitung koefisien a dan b adalah:

2 2

. .. ( )

n XY X Yb

n X X

Y X

a bn n

• Kita dapat membuat garis regresi lebih dari satu dari suatu data. Lalu garis regresi manakah yang paling baik??

• Garis regresi yang paling baik adalah garis regresi yang mempunyai total kuadrat kesalahan/ total kuadrat selisih/ total kuadrat eror yang paling minimum.

• Total kuadrat eror dapat dihitung dengan:

^2 2( )e Y Y

n n

Selanjutnya bila diambil akarnya, maka diperoleh:

^

^2( )

yx

Y YS

n

Bentuk terakhir ini disebutKesalahan baku dari penafsiranAtau disebut juga Standard error of estimate

Rumus di atas dapat di jabarkan menjadi:

^

2 . .yx

Y a Y b XYS

n

Nih….. Contoh Soal Regresi……Berat Badan

2 3 4 5 6 7 8

Tinggi Badan

4 5 2 3 9 6 7

Tentukanlah persamaan regresi dan kesalahan baku penafsirannya!Jawab:Persamaan regresi adalah:

^Y a bX

Untuk melengkapi persamaan tersebut, maka perlu dicari nilai a dan b.Cara mencari nilai a dan b adalah:

2

2 2

. .. ( )

Y X X XYa

n X X

2 2

. .. ( )

n XY X Yb

n X X

Untuk mempermudah mencari nilai – nilai yang diperlukan, maka akan digunakan tabel.

Berat Badan

(X)

2 3 4 5 6 7 8 ∑X = 35 (∑X) = 1225

Tinggi Badan

(Y)

4 5 2 3 9 6 7 ∑Y = 36

X 4 9 16 25 36 49 64 ∑X = 203

XY 8 15 8 15 54 42 56 ∑XY = 198

Masukan nilai – nilai yang telah diketahui, ke dalam rumus untuk mencari nilai a dan b:

36*203 35*198 7308 6930 378 1,937*203 1225 1421 1225 196

a

7*198 35*36 1386 1260 126 0,647*203 1225 1421 1225 196

b

Setelah diketahui, nilai a dan b, maka masukan nilai a dan b ke dalam persamaan regresi. Hasilnya adalah:

^1,93 0,64Y X

b. Mencari nilai kesalahan baku dari penafsiran.

^

^2( )

yx

Y YS

n

Ini persamaan regresi / hubungan dari variabel X dan Y tadi…. Ngerti

kan????

Masukan nilai X ke dalam persamaan regresi untuk mencari nilai Y regresi

Berat Badan

(X)

2 3 4 5 6 7 8

Tinggi Badan

(Y)

4 5 2 3 9 6 7

3.21 3,85 4,49 5,13 5,77 6,41 7,05

0,79 1,15 -2,49 -2,13 3,33 -0,41 -0,05

0,6241 1,3225 6,2001 4,5369 11,0889 0,1681 0,0025

23,9431

^Y

Cara mencari nilai Y regresi, masukan nilai masing – masing X ke dalam persamaan regresi. ^

1,93 0,64Y X

^Y Y

^2( )Y Y

^2( )Y Y

X 1 = 2 ->X 2 = 3 ->X 3 = 4 ->

X 4 = 5 ->X 5 = 6 ->

X 6 = 7 ->X 7 = 8 ->

^

1 1,93 0,64*2 1,93 1,28 3,21Y ^

2 1,93 0,64*3 1,93 1,92 3,85Y ^

3 1,93 0,64*4 1,93 2,56 4,49Y

^

4 1,93 0,64*5 1,93 3,2 5,13Y ^

5 1,93 0,64*6 1,93 3,84 5,77Y

^

6 1,93 0,64*7 1,93 4,48 6,41Y ^

7 1,93 0,64*8 1,93 5,12 7,05Y

Maka nilai kesalahan baku dari taksiran regresi adalah:

^

^2( ) 23,9431 1,85

7yx

Y YS

n

Perlu diketahui, bahwa selain regresi linear, dikenal juga regresi yang bukanlinear, yaitu: 1.Parabola kuadrat2.Parabola kubik3.Eksponen4.Geometrik5.Logistik6.Hiperbola7.Gompertz

Sekedar buat pengetahuan aja,,, ga dipelajari di bab ini…..

Tapi kalo mau,, otodidak aja ya…

Akhirnya…. Terjawab

semuanya….Mudah kan? ^^

KOEFISIEN KORELASI

• Perumusan koefisien korelasi dilakukan dengan memakai perbandingan antara variasi yang dijelaskan dengan variasi total.

• Variasi total dari Y terhadap dirumuskan oleh

•

Y2( )Y Y

^ ^2 2 2( ) ( ) ( )Y Y Y Y Y Y Variasi yang

tidak dijelaskanVariasi yang dijelaskan

• Perbandingan antara variasi yang dijelaskan dengan variasi total, yaitu:

• Koefisien korelasi (r) adalah akar dari koefisien determinasi

^2

22

( )( )Y Y

rY Y

2r adalah koefisien determinasi

^2

2

( )( )Y Y

rY Y

Rumus r pertama

Keterangan:

1. Nilai r = -1 disebut korelasi linear negatif (berlawanan arah); artinya terdapat hubungan negatif yang sempurna antara variabel X dan Y

2. Nilai r = 1 disebut korelasi linear positif (searah); artinya terdapat hubungan positif yang sempurna antara variable X dengan variabel Y

3. Nilai r = 0 disebut tidak berkorelasi secara linear, artinya tidak ada hubungan antara variabel X dan Y

Koefisien korelasi dapat juga dicari dengan rumus berikut:

^2

.21 y x

y

Sr

S

Dimana:

^2

.y xS = kuadrat dari kesalahan baku

2yS = variansi Y

2( )Y Yn

Kedua rumus koefisien korelasi di atas, dapat digunakan untuk mengukurkekuatan hubungan yang bentuknya linear maupun tidak linear. Bila hubunganantara variabel X dan Y bentuknya linear, maka rumus pertama dapat diubahmenjadi:

2 2( )( )

xyr

x y

Dimana: x X X

y Y Y

Rumus r kedua

Disebut juga koefisien korelasi produk momen

Dari rumus terakhir, yaitu koefisien korelasi produk momen (product momen formula)

Apabila kita ambil:

xy

xyS

n

2

x

xS

n

2

y

yS

n

Merupakan kovarians dari X dan Y

Merupakan simpangan baku dari X

Merupakan simpangan baku dari Y

2yS Merupakan variansi dari Y

2xS Merupakan variansi dari X

Dengan demikian, maka rumus koefisien korelasi dapat juga ditulis:

xy

x y

Sr

S S

2 2 2 2

. .

. ( ) . ( )

n XY X Yr

n X X n Y Y

Gmana???Bingung rumus mana yang

harus digunakan???Ga usah khawatir…

sesuaikan aja sama data yang diketahui….. OK?!!

• Arti dari koefisien korelasi r adalah:1.Bila 0,90 < r < 1,00 atau -1,00 < r < -0,90: artinya

hubungan yang sangat kuat2.Bila 0,70 < r < 0,90 atau -0,90 < r < -0,70: artinya

hubungan yang kuat3.Bila 0,50 < r < 0,70 atau -0,70 < r < -0,50: artinya

hubungan yang moderat4.Bila 0,30 < r < 0,50 atau -0,50 < r < -0,30: artinya

hubungan yang lemah5.Bila 0,0 < r < 0,30 atau -0,30 < r < 0,0: artinya

hubungan yang sangat lemah

Contoh soalnya nih…. Biar lebih ngerti…….

Soalnya sama aja dengan yang regresi ya….Berat Badan

2 3 4 5 6 7 8

Tinggi Badan

4 5 2 3 9 6 7

Tentukanlah:1.Koefisien korelasi (r) dan artinya2.Koefisien determinasi dan artinya

Jawab:

Koefisien korelasi adalah:

Berat Badan

(X)

2 3 4 5 6 7 8 ∑X = 35 (∑X) = 1225

Tinggi Badan

(Y)

4 5 2 3 9 6 7 ∑Y = 36(∑Y) = 1296

X 4 9 16 25 36 49 64 ∑X = 203

XY 8 15 8 15 54 42 56 ∑XY = 198

Y 16 25 4 9 81 36 49 ∑Y = 220

2 2 2 2

. .

. ( ) . ( )

n XY X Yr

n X X n Y Y

7*198 35*36

7*203 1225 7*220 1296r

Truz….

1368 1260

1421 1225 1540 1296r

108196*244

r

10847824

r

108 108 0,49218,6947824

r

Kesimpulannya….????Oleh karena, nilai r = 0,49 terletak antara 0,30 dan 0,50 maka terdapat hubungan positif yang lemah antara tinggi badan dan berat badan.

Koefisien determinasi, yaitu 2 2(0,49) 0,2401r

Artinya, variasi tinggi badan yang dapat dijelaskan oleh variasi berat badan (X)Mahasiswa oleh persamaan regresi adalah

Sebesar 24,01 %. Sisanya 75,99% dipengaruhi oleh faktor lain.

^1,93 0,64Y X

TUGAS 2

• Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa banyaknya mesin yang rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak. Tergambar pada tabel di bawah ini.

Kecepatan mesin permenit

8 9 10 11 12 13 15 16

Jumlah kerusakan kertas (lembar)

6 7 8 5 7 10 12 9

• Tentukanlah:1. Persamaan regresi linear2. Berapa perkiraan jumlah kertas yang rusak, jika

kecepatan mesin permenit adalah 18?3. Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh

persamaan regresi!4. Tentukanlah koefisien korelasi dan koefisien

determinasi data tersebut serta berikan artinya masing – masing!

Deadline…Next week…Don’t be late

OK!!!!

STATISTIKA SEMESTER 4QUIZ 3

Selasa, 2 Juni 2009

• Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa banyaknya mesin yang rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak. Tergambar pada tabel di bawah ini.

• Tentukanlah:1. Persamaan regresi linear2. Berapa perkiraan jumlah kertas yang rusak, jika kecepatan mesin

permenit adalah 20?

Kecepatan mesin permenit

7 8 9 10 11 12 14 15

Jumlah kerusakan kertas (lembar)

5 6 7 4 6 9 11 8