statistika: binomial

Harga Harapan

Harga harapan (nilai ekspektasi) dari var random X= mean(X)

Variansi dari var random X:

( ) ( )x

E X xf x

22 2var( ) ( ) ( ) ( )XX E X E X E X

Distribusi Variabel Random Diskrit3 Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Poisson Distribusi Geometrik Distribusi Hipergeometrik Pendekatan untuk Distribusi Binomial

Distribusi Binomial (1)

Percobaan Binomial adalah percobaan yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

1. Percobaan terdiri dari n usaha/trial2. Satu usaha dengan usaha yang lain

independen. Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain.

3. Setiap usaha memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses dan gagal.

4. Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1-p.


• Sebuah variabel random, X, menyatakan banyaknya sukses dari percobaan Binomial dengan p adalah probabilitas sukses untuk setiap percobaan, dikatakan mengikuti distribusi (diskrit) probabilitas binomial dengan parameter n (jumlah sukses) dan q=1-p (probabilitas gagal).

• Selanjutnya, variabel random X disebut

variabel random binomial.


Sebuah sistem produksi menghasilkan produk dari dua mesin A dan B dengan kecepatan yang sama. Diambil 5 produk dari hasil produksi yang ada secara satu per satu dan nyatakan X sebagai banyak produk yang dihasilkan dari mesin A.

Ada 25 = 32 urutan yang mungkin sebagai output dari mesin A dan B (sukses dan gagal) yang membentuk ruang sample percobaan. Diantara hasil tersebut, ada 10 hasil yang memuat tepat 2 produk dari mesin A (X=2):

AABBB ABABB ABBAB ABBBA BAABB BABAB BABBA BBAAB BBABA BBBAA

Probabilitas 2 produk dari mesin A dari 5 produk yang diambil adalah p2q3 Sehingga probabilitas mendapat 2 produk dari mesin A adalah :P(X = 2) = 5C2 p2q3


Perhatikan bahwa probabilitas tersebut dihasilkan dari:

5C2

p2q3

Banyak cara memperoleh 2produk mesin A dari 5 produk yang diambil.

Probabilitas bahwa setiap cara utk memperoleh 2 produk mesin

A dari 5 produk yang diambil

Secara umum:

1. Probabilitas dari x sukses dari n percobaan dengan probabilitas sukses p dan probabilitas gagal q adalah:

pxq(n-x)

2. Jumlah urutan dari n percobaan yang menghasilkan tepat x sukses adalah jumlah pilihan x elemen dari total n elemen:nCx

n

x

nx n x

!

!( )!


Distribusi probabilitas binomial :

dimana :

p: probabilitas sukses setiap pengulangan/usaha

q = 1-p, peluang gagal setiap usaha

n: banyak usaha, dan

x : banyak sukses dalam n usaha

P xn

xp q

nx n x

p qx n x x n x( )!

!( )!( ) ( )

Jumlah Probabilitas P(x)sukses x

1.00

)!(!

! n

)!3(!3

! 3

)!2(!2

! 2

)!1(!1

! 1

)!0(!0

! 0

)(

)3(3

)2(2

)1(1

)0(0

nnn

n

n

n

n

qpnnn

n

qpn

n

qpn

n

qpn

n

qpn

n

( )( ) ( ) , 0,1,...,x n xn xP X x f x C p q x n

2

Mean dari distribusi binomial :

( )

Variansi dari distribusi binomial :

( )

Deviasi standar dari distribusi binomial :

E X np

V X npq

=SD( )=X npq

2

Mean dari distribusi binomial :

( )

Variansi dari distribusi binomial :

( )

Deviasi standar dari distribusi binomial :

E X np

V X npq

=SD( )=X npq

Tabel Distribusi Kumulatif Binomial

n=5

p

x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 .951 .774 .590 .328 .168 .078 .031 .010 .002 .000 .000 .000 .000

1 .999 .977 .919 .737 .528 .337 .187 .087 .031 .007 .000 .000 .000

2 1.000 .999 .991 .942 .837 .683 .500 .317 .163 .058 .009 .001 .000

3 1.000 1.000 1.000 .993 .969 .913 .813 .663 .472 .263 .081 .023 .001

4 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 .990 .969 .922 .832 .672 .410 .226 .049

x F(x) f(x)

0 0.031 0.031

1 0.187 0.156

2 0.500 0.313

3 0.813 0.313

4 0.969 0.156

5 1.000 0.031 1.000

Distribusi probabilitas kumulatif binomial dan distribusi probabilitas

variabel random binomial A, jumlah produk yang

dihasilkan oleh mesin A (p=0.5) dalam 5 produk

yang diambil.

( ) ( ) ( )

(X) = F( ) - F( -1)

Contoh:

(3) (3) (2)

.813 .500

.313

all i x

F x P X x f i

f x x

f F F

Penentuan nilai probabilitas dari probabilitas kumulatif

Latihan1. Berapakah probabilitas akan diperoleh 4 sisi ANGKA dari 6 lemparan koin simbang?

2. Seorang pemain basket melakukan lemparan sebanyak 10 kali. Diketahui bahwa probabilitas setiap lemparan akan masuk adalah 0,4. Berapakah probabilitas minimal 3 lemparan akan masuk?

3. Seorang pemain basket melakukan lemparan sebanyak 23 kali. Diketahui bahwa probabilitas setiap lemparan akan masuk adalah 0,7.

a. Berapakah probabilitas minimal 5 lemparan akan masuk?

b. Berapakah probabilitas tidak lebih dari 10 lemparan yang berhasil masuk?

DISTRIBUSI POISSON (1)

Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.

( ) ( ) untuk x = 0,1,2,3,...!

xeP X x f x

x

dimana μ adalah rata-rata distribusi (yang juga merupakan variansi) dan e adalah bilangan logaritmik natural (e=2.71828...).

Fungsi distribusi probabilitas Poisson :


Notasi: X ~ POI(μ)

Jadi, distribusi variabel random X:

E(X)=…Var(X)=…

Contoh:X ~ POI (2)1. P(X=3)2. P(X<2)3. P(2≤X≤5)

( ) ( ) untuk x = 0,1,2,3,...!

xeP X x f x

x

R a t a - r a t a p e n g i r i m a n b a h a n b a k u k e s u a t u p a b r i k a d a l a h 1 0 t r u kd a n f a s i l i t a s b o n g k a r h a n y a m a m p u m e n e r i m a p a l i n g b a n y a k 1 5t r u k p e r h a r i . P e m a s o k m e n g i n k a n a g a r t r u k p a s o k a n n y a d a p a td i b o n g k a r p a d a h a r i y a n g s a m a . S u a t u h a r i , p e m a s o k m e n g i r i m k a ns e b u a h t r u k k e p a b r i k t e r s e b u t , b e r a p a k e m u n g k i n a n t r u k t e r s e b u th a r u s b e r m a l a m k a r e n a t i d a k d a p a t d i b o n g k a r ?X a d a l a h v a r i a b e l r a n d o m b a n y a k n y a t r u k b a h a n b a k u y a n g t i b as e t i a p h a r i . D e n g a n d i s t r i b u s i P o i s s o n , k e m u n g k i n a n s e b u a h t r u k

h a r u s b e r m a l a m a d a l a h

15

0

)10;(1)15(1)15(x

xpXPXP = 0 . 9 5 1 3

( d a r i t a b e l ) , m a k a k e m u n g k i n a n s e b u a h t r u k h a r u s b e r m a l a mk a r e n a t i d a k d a p a t d i b o n g k a r a d a l a h 1 - 0 . 9 5 1 3 = 0 . 0 4 8 7 .


statistika: binomial

Education