statistik

I. PENGERTIAN

Definisi Statistik

Statistik adalah kumpulan data yang bisa memberikan gambaran tentang suatu

keadaan

Definisi Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari statistik, yaitu ilmu yang mempelajari

bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data,

menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis data dan mengambil

keputusan berdasarkan hasil kesimpulan.

II. JENIS STATISTIK

Berdasarkan jenisnya, statistik dibedakan menjadi dua, yaitu statistik deskriptif dan

statistik inferensial. Statistik deskriptif adalah statistik yang berkenaan dengan metode

atau cara mendeskripsikan, menggambarkan, menjabarkan, atau menguraikan data.

Statistik Deskriptif

Statistik deskriptif mengacu pada bagaimana menata atau mengorganisasi data,

menyajikan, dan menganalisis data. Menata, menyajikan, dan menganalisis data dapat

dilakukan misalnya dengan menentukan nilai rata-rata hitung dan persen / proposisi.

Cara lain untuk menggambarkan data adalah dengan membuat tabel, distribusi

frekuensi, dan diagram atau grafik (Sugiyono, 2006).

Statistik Inferensial / Induksi

Statistik inferensial adalah statistik yang berkenaan dengan cara penarikan kesimpulan

berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk menggambarkan karakterisktik atau

ciri dari suatu populasi. Dengan demikian dalam statistik inferensial dilakukan suatu

generalisasi (perampatan atau memperumum) dan hal yang bersifat khusus (kecil) ke

hal yang lebih luas (umum). Oleh karena itu, statistik inferensial disebut juga statistik

induktif atau statistik penarikan kesimpulan. Pada statistik inferensial biasanya dilakukan

pengujian hipotesis dan pendugaan mengenai karakteristik (ciri) dari suatu populasi,

seperti mean dan Uji t (Sugiyono, 2006).

III. FUNGSI, KEGUNAAN DAN PERANAN STATISTIKA

Statistika digunakan untuk menunjukkan tubuh pengetahuan (body of knowledge)

tentang cara-cara pengumpulan data, analisis dan penafsiran data.

Fungsi statistika

Statistik menggambarkan data dalam bentuk tertentu

Statistik dapat menyederhanakan data yang kompleks menjadi data yang mudah

dimengerti

Statistik merupakan teknik untuk membuat perbandingan

Statistik dapat memperluas pengalaman individu

Statistik dapat mengukur besaran dari suatu gejala

Statistik dapat menentukan hubungan sebab akibat

Kegunaan Statistika

Membantu penelitian dalam menggunakan sampel sehingga penelitian dapat bekerja

efisien dengan hasil yang sesuai dengan obyek yang ingin diteliti

Membantu penelitian untuk membaca data yang telah terkumpul sehingga peneliti

dapat mengambil keputusan yang tepat

Membantu peneliti untuk melihat ada tidaknya perbedaan antara kelompok yang

satu dengan kelompok yang lainnya atas obyek yang diteliti

Membantu peneliti untuk melihat ada tidaknya hubungan antara variabel yang satu

dengan variabel yang lainnya

Membantu peneliti dalam menentukan prediksi untuk waktu yang akan datang

Membantu peneliti dalam melakukan interpretasi atas data yang terkumpul

(M.Subana dkk, 2000;14)

Pemerintah menggunakan statistika untuk menilai hasil pembangunan masa lalu dan

merencanakan masa mendatang

Pimpinan menggunakannya untuk pengangkatan pegawai baru, pembelian peralatan

baru, peningkatan kemampuan karyawan, perubahan sistem kepegawaian, dsb.

Para pendidik sering menggunakannya untuk melihat kedudukan siswa, prestasi

belajar, efektivitas metoda pembelajaran, atau media pembelajaran.

Para psikolog banyak menggunakan statistika untuk membaca hasil pengamatan

baik melalui tes maupun obserbasi lapangan.

Peranan Statistika

Memberikan informasi tentang karakteristik distribusi suatu populasi tertentu, baik

diskrit maupun kontinyu. Pengetahuan ini berguna dalam menghayati perilaku

populasi yang sedang diamati

Menyediakan prosedur praktis dalam melakukan survey pengumpulan data melalui

metode pengumpulan data (teknik sampling). Pengetahuan ini berguna untuk

mendapatkan hasil pengukuran yang terpercaya

Menyediakan prosedur praktis untuk menduga karakteristik suatu populasi melalui

pendekatan karakteristik sampel, baik melalui metode penaksiran, metode pengujian

hipotesis, metode analisis varians. Pengetahuan ini berguna untuk mengetahui

ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran serta perbedaan dan kesamaan

populasi.

Menyediakan prosedur praktis untuk meramal keadaan suatu obyek tertentu di masa

mendatang berdasarkan keadaan di masa lalu dan masa sekarang. Melalui metode

regresi dan metode deret waktu. Pengetahuan ini berguna memperkecil resiko akibat

ketidakpastian yang dihadapi di masa mendatang.

Menyediakan prosedur praktis untuk melakukan pengujian terhadap data yang

bersifat kualitatif melalui statistik non parametrik.

Sementara menurut Sugiyono (2003:12), statistika berperan untuk:

Alat untuk menghitung besarnya anggota sampel yang diambil dari suatu populasi,

sehingga jumlah sampel yang dibutuhkan akan lebih dapat dipertanggungjawabkan

Alat untuk menguji validitas dan reliabilitas instrumen sebelum instrumen tersebut

digunakan dalam penelitian

Sebagai teknik untuk menyajikan data, sehingga data lebih komunikatif, misalnya

melalui tabel, grafik, atau diagram

Alat untuk menganalisis data seperti menguji hipotesis yang diajukan dalam

penelitian.

IV. DATA

DATA

Sumber

Intern Eksten

Primer

Sekunder

Sifat

Kuantitatif

Diskrit

Kontinyu

Kualitatif

Jenis

Waktu Pengumpulan

Data Cross Section

Data Time Series / Berkala

Tingkatan Pengukuran

Rasio

Interval

Ordinal

Nominal

Macam-Macam Data Berdasarkan Sumber Data

1. Data Internal

Data internal adalah data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu

organisasi secara internal. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi,

dsb.

2. Data Eksternal

Data eksternal adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada

di luar organisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan suatu produk pada

konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain

sebagainya.

Jenis Data Menurut Cara Memperolehnya

1. Data Primer

Data primer adalah secara langsung diambil dari objek / obyek penelitian oleh

peneliti perorangan maupun organisasi. Contoh : Mewawancarai langsung

penonton bioskop 21 untuk meneliti preferensi konsumen bioskop.

2. Data Sekunder

Data sekunder adalah data yang didapat tidak secara langsung dari objek

penelitian. Peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh

pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun non

komersial. Contohnya adalah pada peneliti yang menggunakan data statistik

hasil riset dari surat kabar atau majalah.

Klasifikasi Data Berdasarkan Jenis Datanya

1. Data Kuantitatif

Data kuantitatif adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka.

Misalnya adalah jumlah pembeli saat hari raya idul adha, tinggi badan siswa

kelas 3 ips 2, dan lain-lain.

2. Data Kualitatif

Data kualitatif adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang

mengandung makna. Contohnya seperti persepsi konsumen terhadap botol air

minum dalam kemasan, anggapan para ahli terhadap psikopat dan lain-lain.

Pembagian Jenis Data Berdasarkan Sifat Data

1. Data Diskrit

Data diskrit adalah data yang nilainya adalah bilangan asli. Contohnya adalah

berat badan ibu-ibu pkk sumber ayu, nilai rupiah dari waktu ke waktu, dan lain-

sebagainya.

2. Data Kontinyu

Data kontinyu adalah data yang nilainya ada pada suatu interval tertentu atau

berada pada nilai yang satu ke nilai yang lainnya. Contohnya penggunaan kata

sekitar, kurang lebih, kira-kira, dan sebagainya. Dinas pertanian daerah

mengimpor bahan baku pabrik pupuk kurang lebih 850 ton.

Jenis-jenis Data Menurut Waktu Pengumpulannya

1. Data Cross Section

Data cross-section adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu.

Contohnya laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. angin

ribut bulan mei 2004, dan lain sebagainya.

2. Data Time Series / Berkala

Data berkala adalah data yang datanya menggambarkan sesuatu dari waktu ke

waktu atau periode secara historis. Contoh data time series adalah data

perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004

sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m. top dan doktor azahari dari

bulan ke bulan, dll.

Jenis-jenis Data Menurut Tingkatan Pengukuran.

1. Data Rasio

Data rasio adalah tingkatan data yang paling tinggi. Data rasio memiliki jarak

antar nilai yang pasti dan memiliki nilai nol mutlak yang tidak dimiliki oleh jenis-

jenis data lainnya. Contoh dari data rasio diantaranya: berat badan, panjang

benda, jumlah satuan benda. Jikakita memiliki10 bola maka ada perwujudan 10

bola itu, dan ketika ada seseorang memiliki 0 bola maka seseorang tersebut tidak

memiliki bola satupun. Data rasio dapat digunakan dalam komputasi matematik,

misalnya A memiliki 10 bola dan B memiliki 8 bola, maka A memiliki 2 bola(10-8)

lebih banyak dari B.

2. Data Interval

Data interval mempunyai tingkatan lebih rendah dari data rasio. Data rasio

memiliki jarak data yang pasti namun tidak memiliki nilai nol mutlak. Contoh dari

data interval ialah hasil dari nilai ujian matematika. Jika A mendapat nilai 10 dan

B mendapat nilai 8, maka dipastikan A mempunyai 2 nilai lebih banyakdari B.

Namun tidak ada nilai nol mutlak, maksudnya bila C mendapat nilai 0, tidak

berarti bahwa kemampuan C dalam pelajaran matematika adalah nol atau

kosong.

3. Data Ordinal

Data ordinal pada dasarnya adalah hasil dari kuantifikasi data kualitatif. Contoh

dari data ordinal yaitu penskalaan sikap individu. Penskalaan sikap individu

terhadap sesuatu bisa diwujudkan dalam bermacam bentuk, diantaranya yaitu:

dari sikap Sangat Setuju (5), Setuju (4), Netral (3), Tidak Setuju (2), dan Sangat

Tidak Setuju (1). Pada tingkatan ordinal ini data yang ada tidak mempunyai jarak

data yang pasti , misalnya: Sangat Setuju (5) dan Setuju (4) tidak diketahui pasti

jarak antar nilainya karena jarak antara Sangat Setuju(5) danSetuju(4) bukan 1

satuan (5-4).

4. Data Nominal

Data nominal adalah tingkatan data paling rendah menurut tingkat

pengukurannya. Data nominal ini pada satu individu tidak mempunyai variasi

sama sekali, jadi 1 individu hanya punya 1 bentuk data. Contoh data nominal

diantaranya yaitu: jenis kelamin, tempat tinggal, tahun lahir dll. Setiap individu

hanya akan mempunyai 1 data jenis kelamin, laki-laki atau perempuan. Data

jenis kelamin ini nantinya akan diberi label dalam pengolahannya, misalnya

perempuan =1, laki-laki =2.

V. PENGUMPULAN, PENGOLAHAN DAN PENYAJIAN DATA

Pengumpulan Data

Salah satu hal yang mempengaruhi kualitas hasil penelitian adalah kualitas data

yang di kumpulkan. Pengumpulan data dapat dilakukan dengan berbagai cara. Ada 2

sumber data :

a. Data primer

Data primer adalah data yang langsung di ambil dari sumbernya.

Ada 3 cara pengumpulan data primer :

1. Observasi

Observasi adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan

melakukan pengamatan. Data yang di hasilkan adalah data yang kualitatif.

2. Wawancara

Wawancara adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan

mengajukan pertanyaan secara lisan, biasanya dilakukan jika ingin diketahui

hal-hal yang lebih mendalam dari responden.

Data yang di hasilkan adalah data yang kualitatif.

3. Kuesioner

Kuesioner adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara

memberi seperangkat pertanyaan atau pernyataan tertulis kepada responden

untuk di jawab.

Data yang di hasilkan bisa data yang kuantitatif atau kualitatif

b. Data sekunder

Data sekunder adalah data yang diambil dari hasil mengumpulkan orang lain

Contoh : Data yang dimiliki perusahaan, Data BPS, Browsing di Internet dan

sebagainya.

Pengolahan Data

Pengolahan data adalah mentabulasi data, menjumlahkan atau memilah-milah data

menjadi data yang siap di sajikan dan kemudian di analisis sesuai dengan

kebutuhan.

Penyajian Data

a. Penyajian Data Acak

Data yang sudah diolah kemudian disajikan. Tujuan penyajian data adalah agar

para pengguna mudah dalam membaca data.

Ada 2 cara penyajian data :

1. Tabel

Bentuk baku tabel

Judul Tabel

Catatan kaki : - keterangan

- sumber

Syarat sebuah tabel yaitu minimal terdapat :

1. Judul tabel

2. Judul baris dan atau judul kolom

3. Catatan kaki yang berisi sumber data dan atau keterangan

Sumber adalah dari mana data tersebut diperoleh

Judul kolom

Judul kolom

Badan tabel

Keterangan adalah penjelasan singkat jika ada data yang ekstrim

Contoh :

Jumlah Produksi Produk X di PT Y Tahun 2007

Bulan

Jumlah

Produksi

Jan 31

Feb 34

Mar 32

Apr 35

Mei 36

Jun 46

Jul 44

Agt 46

Sep 43

Okt 47

Nov 48

Des 49

Sumber : Fiktif

2. Grafik

Ada beberapa mcam grafik/diagram :

1. Diagram batang

2. Diagram Garis

Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt Nov Des0

10

20

30

40

50

60


Bulan

Jum

lah

3. Diagram Titik

0 2 4 6 8 10 12 140

10

20

30

40

50

60


Bulan

Jum

lah

4. Diagram Lingkaran

b. Penyajian Data Berkelompok

6%

7%

7%

7%

7%

9%

9%9%

9%

10%

10%

10%

Jumlah Produksi Produk X di PT Y tahun 2007

JanFebMarAprMeiJunJulAgtSepOktNovDes

Selain disajikan seperti penyajian data di atas, data, apalagi jika jumlahnya

banyak dapat di sajikan dengan terlebih dahulu dikelompokkan atau yang di

kenal dengan nama pembuatan tabel Distribusi Frekuensi.

Salah satu kegunaan dari distribusi frekuensi adalah : dapat di lihat, seperti

apakah distribusi atau penyebaran data yang ada.

Ada tiga jenis penyebaran data :

1. Berdistribusi negatif

Data berdistribusi negatif berarti kebanyakan data berada di bawah rata-rata,

atau jika di gambarkan sebagai berikut :

2. Berdistribusi simetris

Data berdistribusi simetris berarti kebanyakan data berada di sekitar rata-

rata, atau jika di gambarkan sebagai berikut :

3. Berdistribusi positif

Data berdistribusi positif berarti kebanyakan data berada di atas rata-rata,

atau jika di gambarkan sebagai berikut :

Langkah Pembuatan Disribusi Frekuensi

1. Tentukan Rentang

Rentang adalah jarak antara data terkecil degan data terbesar atau dengan

persamaan :

R = Xmaks - Xmin

2. Tentukan Banyaknya Klas Interval

Banyaknya klas interval adalah banyaknya kelompok data. Untuk

menentukan berapa banyaknya kelompok digunakan rumus Sturges :

K = 1 + 3,3 log n

Dimana n adalah jumlah data

3. Tentukan Panjang Klas Interval

Panjang klas interval adalah panjang interval dari tiap kelompok data.

Persamaannya :

4. Membuat Tabel Distribusi Frekuensi

Tentukan ujung bawah interval pertama, biasanya menggunakan data terkecil

atau data yang lebih kecil dari data terkecil

Contoh :

Berikut disajikan data tentang biaya perbaikan mobil di sebuah bengkel. Sampel

diambil sebanyak 50 mobil yang datang untuk melakukan perbaikan mobilnya

(dalam puluhan ribu rupiah). data terkecil

91 78 93 57 75 52 99 80 97 62

71 69 72 89 66 75 79 75 72 76

104 74 62 68 97 105 77 65 80 109 data terbesar

85 97 88 68 83 68 71 69 67 74

62 82 98 101 79 105 79 69 62 73

Dari data di atas, diperoleh jumlah data n = 50

data ter besar Xmaks = 109

data terkecil Xmin = 52

Distribusi frekuensinya sebagai berikut :

1. Rentang

R = 109 – 52 = 57

2. Banyak Klas Interval

K = 1 + 3,3 log 50

1 + ( 3,3 X 1,7 ) = 6,6

3. Panjang Klas Interval

p= RK

4. Ujung bawah interval pertama digunakan angka 50

Tabel Distribusi Frekuensi

Biaya Perbaikan Mobil di sebuah Bengkel

Interval Frekuensi (f) Nilai Tengah

Biaya Perbaikan Jumlah Mobil50 - 59 2 54.560 - 69 13 64.570 - 79 16 74.580 - 89 7 84.590 - 99 7 94.5

100 - 109 5 104.5Σ 50

Xi

ujung atas interval

klas interval

ujung bawah interval

Keterangan tabel :

1. Klas interval mempunyai panjang 10 yaitu ujung bawah interval kedua (60)

dikurangi ujung bawah interval pertama (50)

2. Frekuensi jumlah mobil adalah jumlah mobil yang mempunyai biaya

perbaikan dalam interval yang bersangkutan

3. Nilai tengah adalah nilai yang mewakili biaya perbaikan pada interval yang

bersangkutan, dimana nilai tengah (Xi) = (ujung bawah interval – ujung atas

interval) / 2

4. Batas bawah/atas interval adalah titik yang menghubungkan interval

sebelumnya dengan interval setelahnya. Batas atas interval partama sama

dengan batas bawah interval kedua yaitu (59 + 60)/2 = 59,5 atau secara

lengkap :


p= RK

=576,6

=8,6≈9

Batas Interval BatasBawah Biaya Perbaikan Atas49.5 50 - 59 59.559.5 60 - 69 69.569.5 70 - 79 79.579.5 80 - 89 89.589.5 90 - 99 99.599.5 100 - 109 109.5

Tabel distribusi frekuensi ini dapat dilengkapi dengan distribusi yang lain seperti :

1. Distribusi frekuensi kumulatif, dimana frekuensi disajikan dalam bentuk

kumulatif dengan frekuensi klas sebelumnya


Interval Frekuensi (f) FrekuensiBiaya Perbaikan Jumlah Mobil Kumulatif (F)

50 - 59 2 260 - 69 13 1570 - 79 16 3180 - 89 7 3890 - 99 7 45

100 - 109 5 50Σ 50

2. Distribusi frekuensi relatif, dimana frekuensi disajikan dalam bentuk

persentasi sebagai berikut :


Interval Frekuensi (f) Frekuensi

Biaya Perbaikan Jumlah Mobil50 - 59 2 460 - 69 13 2670 - 79 16 3280 - 89 7 1490 - 99 7 14

100 - 109 5 10Σ 50 100

Relatif (frel)

Gambar Distribusi Frekuensi

1. Histogram

Histogram adalah gambar atau diagram batang dimana batang pada setiap

interval berhimpit dan terletak pada batas bawah/batas atas interval.

Tabel lengkap pada tabel distribusi biaya bengkel diatas :


Batas Interval Batas frekuensi (f) Nilai Tengah

Bawah Biaya Perbaikan Atas Jumlah Mobil49.5 50 - 59 59.5 2 54.559.5 60 - 69 69.5 13 64.569.5 70 - 79 79.5 16 74.579.5 80 - 89 89.5 7 84.589.5 90 - 99 99.5 7 94.599.5 100 - 109 109.5 5 104.5

Xi

Dan gambar histogramnya sebagai berikut :


Biaya Perbaikan

1613

752

49.5

59.5

69.5

79.5

89.5

99.5

109.5

Jum

lah

M

obi

l

f

interval

2. Poligon

Poligon adalah gambar atau diagram garis dimana ujung garis menyentuh

sumbu horizontal. Garis dibuat dengan cara menghubungkan titik titik nilai

tengah di setiap interval

Tabel lengkap pada tabel distribusi biaya bengkel diatas :


Batas Interval Batas frekuensi (f) Nilai Tengah

Bawah Biaya Perbaikan Atas Jumlah Mobil49.5 50 - 59 59.5 2 54.559.5 60 - 69 69.5 13 64.569.5 70 - 79 79.5 16 74.579.5 80 - 89 89.5 7 84.589.5 90 - 99 99.5 7 94.599.5 100 - 109 109.5 5 104.5

Xi

Dan gambar poligonnya sebagai berikut:


Biaya Perbaikan

1613

752

54.5

64.5

74.5

84.5

94.5

104.5

Jum

lah M

obil

f

interval

3. Distribusi

Distribusi adalah gambar atau kurva yang merupakan penghalusan dari

poligon.


Biaya Perbaikan

Menggambarkan distribusi tidak perlu selalu melalui titik titik pada poligon,

yang penting menuju puncak tertinggi kemudian menurun kembali. Jadi

hanya ada satu titik puncak maksimum.

Dari kurva diatas, dapat dilihat bahwa distribusi biaya perbaikan mobil di

bengkel itu mengikuti distribusi yang simetris.

VI. UKURAN UKURAN STATISTIK

A. Gejala Pusat

1. Mean / Rata-rata

Rataan dari sekumpulan data ditentukan sebagai perbandingan jumlah datum

dengan banyak nilai datum. Dengan demikian

1613

752

54.5

64.5

74.5

84.5

94.5

104.5

Jum

lah

M

obi

l

f

interval

Rataan= jumlahsemuanilai datum yangdiamatibanyak datum yangdiamati

Jika suatu kumpulan data terdiri dari X1, X2, X3, …, Xn maka rataan dari

kumpulan data itu ditentukan dengan rumus berikut :

x=X1+X2+X 3+…+Xn

natau x=

∑i=1

n

x i

n

Dengan :

x = rata-rata

n = banyaknya datum yang diamati

xi = nilai datum yang ke-i

Contoh :

Hitunglah rataan dari kumpulan data berikut ini :

4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10

Jawab :

Untuk sampel Jumlah nilai datum dari kumpulan data yang diamati adalah

4+5+6+7+8+10+10+10=60atau∑i=1

8

xi=60

Banyak datum yang diamati adalah n=8

Rataan ¿x=1n∑i=1

8

xi=18

(60 )=7,5

Jadi rataan kumpulan data itu adalah ¿x=7,5

Atau pada populasi

∑ X=¿¿ 4+5+6+7+8+10+10+10=60

n=8

µ=∑ X

n=608

=7,5

Rataan untuk Distribusi Frekuensi Data Tunggal

x=∑i=1

n

f i x i

n

f = frekuensi

Contoh :

Carilah rataan hitung dari data yang disajikan dalam table berikut

Daftar Distribusi Nilai Mahasiswa

Nilai Frekuensi

4

5

6

8

3

8

10

4

Jawab :

∑ X=(3×4 )+ (8×5 )+(10×6 )+ (4×8 )=144

n=3+8+10+4=25

µ=∑ x

n=14425

=5,76

Namun demikian biasanya menggunakan rumus :

µ=∑ fx

∑ f

Tabel Kerja untuk Menghitung Rataan

Nilai (x) Frekuensi (f) f.x

4

5

6

8

3

8

10

4

12

40

60

32

∑ f=25 ∑ fx=144

x=∑ fx

∑ f=14425

=5,76

Rataan untuk Distribusi Frekuensi Data Bergolong

Contoh :

Carilah rataan dari data yang disajikan dalam table berikut

Daftar Distribusi Hasil Pengamatan Tinggi Tanaman

Hasil Pengukuran

(dalam mm)

Frekuensi

(f)

119 – 127

128 – 136

137 – 145

146 – 154

155 – 163

164 – 172

173 – 181

3

6

10

11

5

3

2

∑ f=40

Jawab :

Hasil

Pengukuran

(dalam mm)

Titik

Tengah

(x)

Frekuensi

(f) f . x

119 – 127

128 – 136

137 – 145

146 – 154

155 – 163

164 – 172

173 – 181

123

132

141

150=µs

159

168

177

3

6

10

11

5

3

2

369

792

1410

1650

795

504

354

∑ f=40 ∑ f . x=5874

Sehingga rataannya

x=∑ fx

∑ f=587440

=146,85

2. Median (nilai tengah)

Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompookan terlebih dahulu dari yang

terkecil sampai yang terbesar.

Contoh :

Carilah median dari nilai-nilai berikut :

a) 2, 3, 3, 0, 1, 1, 4

b) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Jawab :

a) 0 1 1 2 3 3 4

Median

n=7 (ganjil)

http://3.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sj82QmOr9wI/AAAAAAAAAV0/SeODjhfBlsk/s1600-h/statis5.jpg

median=X 7+12

=X 4=2

Jadi median dari kumpulan data itu adalah X 4=2

b) 6 7 8 9 10 11 12 13

X4 X5

n=8 (genap )

median=12 (X 82+X 82+1)=

12

( X4+X5 )=12

(9+10 )=9,5

Jadi, median dari kumpulan data itu adalah 9,5

Contoh lain :

Nilai (x) Frekuensi (f) f kumulatif

4

5

6

8

3

8

10

4

3

11

21

25

∑ f=25 ∑ fk=60

Untuk mencari median karena f ganjil maka

median=X 25+12

=X13

Dengan demikian median berada pada data ke 13 yaitu 6

Data yang Dikelompokkan

median=b+l( 12 N−F

f )Dengan : b = tepi bawah kelas median

l = luas kelas

F = jumlah frekuensi sebelum kelas median

N = banyaknya data

Contoh :

Berat badan dari 65 orang tampak pada Tabel, kemudian tentukanlah

mediannya.

Berat Badan 65 Orang

Kelas median

Jawab :

Mencari letak kelas median dengan :

N2

=652

=32,5

Maka kelas median terletak pada ukuran kelas ke 32,5 terletak pada kelas ke

3, oleh karena itu :

b=tepibawahkelasmedian=70−0,5=69,5

F= jumla h frekuensi sebelumkelasmedian=8+10=18

f=frekuensi kelasmedian=16

l=luas kelas=10

Sehingga :

median=b+l( 12 N−F

f )=69,5+10( 12 65−1816 )=78,56253. Modus

Modus untuk Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Untuk mencari modus pada distribusi frekeuensi data tunggal hanya dengan

menentukan nilai yang sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi

terbesar.

Contoh :

Kumpulan data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 modusnya adalah…

Berat Badan (kg) Frekuensi

50.00 – 59.99

60.00 – 69.99

70.00 – 79.99

80.00 – 89.99

90.00 – 99.99

100.00 – 109.99

110.00 – 119.99

8

10

16

14

10

5

2

Jumlah 65

Jawab :

Mempunyai modus=6 sebab nilai 6 yang sering muncul, yaitu sebanyak 3 kali

Atau untuk mempermudah buatlah table distribusi frekuensinya

Daftar Distribusi Nilai Siswa

Nilai(x) 3 4 5 6 7

Frekuensi(f) 1 2 2 3 2

Dari table 1.6 maka dapat diketahui bahwa sekumpulan data tersebut hanya

memiliki 1 modus sehingga disebut unimodus

Modus untuk Distribusi Frekuensi Data Bergolong

Modus pada distribusi data bergolong dapat dicari dengan menggunakan

rumus :

modus=b+l( d 1d 1+d2 )

Dengan :

b = tepi bawah kelas modus

l = luas kelas

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

Contoh :

Tingkat kecerdasan (IQ) dari 50 anak tampak seperti pada table berikut

Daftar Distribusi IQ Anak

IQ Frekuensi

80 – 89

90 – 99

100 – 109

110 – 119

120 – 129

130 – 139

140 – 149

2

6

10

d2 14 d1

9

7

2

50

Kelas Modus

Carilah modusnya.

Jawab :

Modus berada pada kelas ke 4, sehingga :

b=tepibawah kelasmodus=110−0,5=109,5

l=luas kelas=10

d 1=14−10=4

d 2=14−9=5

Sehingga :

modus=b+l( d 1d 1+d2 )=109,5+10( 4

4+5 )=109,5+4,44=113,944

B. LETAK

Selain ukuran memusat, ada juga yang disebut ukuran letak. Adapun ukuran

letak meliputi: kuartil (Q), desil (D), dan persentil (P).

1. Kuartil (Q)

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang

telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah

membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama

banyak.

Keterangan:

xmin = data terkecil

xmaks = data terbesar

Q1 = kuartil ke-1

Q2 = kuartil ke-2

Q3 = kuartil ke-3


Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik lima

serangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data

yang disajikan lebih banyak.

Letak dari Q1 dirumuskan sebagai berikut.

letak Qi=i(n+1)4

Keterangan:

Qi = kuartil ke-i

n = banyak data

Contoh soal

Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12.

Jawab

Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.

letak Q1=1 (14+1 )4

=154

=3 34Q1=X3+

34

( x4−x3 )Q1=4+34

(4−4 )=4

letak Q2=2 (14+1 )4

=152

=7 12Q2=X7+

12

(x7−x6 )Q2=7+12

(7−7 )=7

letak Q3=3 (14+1 )4

=454

=11 14Q3=X11+

14

(x12−x11 )Q1=8+34

(9−8 )=8,25

Data yang dikelompokkan

Menentukan letak kuartil untuk data yang sudah dikelompokkan ditentukan

dengan menentukan interval Qi, kemudian nilai kuartil dirumuskan sebagai

berikut.

Keterangan:

Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)

bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i

N = banyaknya data

F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil

l = lebar kelas

f = frekuensi kelas kuartil

Contoh soal

Tentukan Q1 (kuartil bawah), Q2 (median), dan Q3 (kuartil atas) dari data tes

Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Penyelesaian

2. Desil

Data yang belum dikelompokkanDesil membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama besar.

Sehingga letak dari Di (desil ke-i) diringkas

Keterangan:

Di = desil ke-i

i = 1, 2, 3, . . ., 9

n = banyaknya data

Contoh soal

Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan:

1. desil ke-2,

2. desil ke-4.

Penyelesaian


Apabila datanya sudah dikelompokkan dalam table distribusi frekuensi maka

untuk mencari nilai desil digunakan aturan sbb:

Keterangan:

D = desil ke-i

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif

kelas sebelum kelas desil

f = frekuensi kelas desil

b = tepi bawah kelas

l = lebar kelas

Contoh soal

Diketahui data pada tabel bergolong di bawah.

Dari data tersebut tentukan:

a. desil ke-1

b. desil ke-9

Penyelesaian

a. Letak D1 = 4 yaitu pada data ke-4 dan kelas D1 = 46 – 50 sehingga

diperoleh:

b. Letak D9=9 x 4010

=36yaitu data ke-36 dan kelas D9 = 61 – 65 sehingga

diperoleh:

3. Persentil


Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut

persentil.

Letak persentil dirumuskan dengan:

Keterangan:

Pi = persentil ke-i

i = 1, 2, 3, . . ., 99

n = banyaknya data

Contoh soal

Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil

ke-75.

Penyelesaian

Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

Bila data dibagi menjadi 100 bagian yang sama maka ukuran itu disebut

persentil. Letak dari persentil dapat dirumuskan dengan: P1 = i (n.


Sedangkan nilai persentil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai

berikut.

Keterangan:

Pi = persentil ke-i

b = tepi bawah

n = banyaknya data

F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil

F = frekuensi kelas persentil

l = lebar kelas

Contoh

Diketahui data pada tabel bergolong di bawah.

Dari data tersebut tentukan:

a. persentil ke-25

b. persentil ke-60

Penyelesaian

a. Letak P25=25 x40100

=10 yaitu pada data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55

sehingga diperoleh:

b. Letak P60=60 x 40100

=24, yaitu pada data ke-24 dan kelas P60 = 56 – 60

sehingga diperoleh:

C. Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran meliputi jangkauan (range), simpangan rata-rata (deviasi

ratarata) dan simpangan baku (deviasi standar).

1. Jangkauan (Range)

Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range)

atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.

Range data tunggal

Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:

Pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Tentukan range dari data-data di bawah ini.

6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

Range data bergolong

Untuk data bergolong, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi

dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

Contoh soal

Tentukan range dari tabel berikut ini.

2. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)

Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data

dengan nilai rataan hitung.

Simpangan rata-rata data tunggal

Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

Simpangan rata-rata data bergolong

Simpangan rata-rata data bergolong dirumuskan:

3. Simpangan Baku (Deviasi Standar)Simpangan baku data tunggalSimpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

Rumus tersebut dapat pula diubah ke bentuk berikut ini.

Simpangan baku data bergolongSimpangan baku data bergolong dirumuskan berikut ini.

Contoh soal

4. Ragam atau VariansiJika simpangan baku atau deviasi standar dilambangkan dengan s, maka ragam atau variansi dilambangkan dengan s2.

5.

VII.

SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI

Suatu penelitian dilakukan terhadap beban biaya produksi dari 100 produk yang dipilih

secara acak (dalam ribuan rupiah) sehingga diperoleh catatan data seperti berikut

148,2 152,8 161,0 132,5 197,1 135,6 154,1 116,7 127,3 116,9

136,2 158,4 126,1 155,8 189,2 165,5 173,8 180,3 151,9 158,2

164,0 131,9 146,1 141,1 170,3 143,2 110,5 139,6 156,7 177,5

143,4 176,8 138,8 133,6 118,4 142,7 154,4 140.1 123,5 128,9

126,1 154,3 156,5 146,2 144,8 114,8 172,9 112,1 163,5 144,2

155,1 131,7 199,6 155,0 153,6 108,7 188,2 186,1 176,6 155,3

175,2 167,4 146,7 147,4 128,8 121,9 140,4 182,3 100,8 127,7

156,2 167,5 153,2 111,8 182,8 140,9 147,8 166,1 185,4 140,5

123,7 181,1 153,6 189,5 142,2 153,3 143,9 124,1 156,1 177,3

166,2 133,4 164,5 148,2 177,0 158,8 140,1 158,1 154,2 114,0

1. Tentukan nilai terbesar dan terkecil

Nilai terbesar = 199,6

Nilai terkecil = 100,8

2. Tentukan rentang

¿nilai terbesar−nilai terkecil¿199,6−100,8¿98,8

3. Tentukan banyaknya kelas

¿1+3,3 log n¿1+3,3 log 100¿1+6,6¿7,6 8

4. Tentukan panjang kelas

¿(nilai terbesar−nilai terkecil )

banyak kelas¿ 98,88

¿12,35≈13

5. Susun menjadi distribusi frekuensi

Kelas Frekuensi Nilai Tengah

100,5 – 113,4 5 106.95

113,5 – 126,4 11 119.95

126,5 – 139,4 12 132.95

139,5 – 152,4 22 145.95

152,5 – 165,4 26 158.95

165,5 – 178,4 13 171.95

178,5 – 191,4 9 184.95

191,5 – 204,4 2 197.95

6. Histogram

7. Poligon

100.45 – 113.45

113.45 – 126.45

126.45 – 139.45

139.45 – 152.45

152.45 – 165.45

165.45 – 178.45

178.45 – 191.45

191.45 – 204.45

0

5

10

15

20

25

30

DIAGRAM HISTOGRAM

interval kelas

frek

uens

i

100,5 – 113,4

113,5 – 126,4

126,5 – 139,4

139,5 – 152,4

152,5 – 165,4

165,5 – 178,4

178,5 – 191,4

191,5 – 204,4

0

5

10

15

20

25

30

DIAGRAM POLIGON

Frekuensi

interval kelas

frek

uens

i

8. KURVA POPULASI

9.

100,5 – 113,4 113,5 – 126,4 126,5 – 139,4 139,5 – 152,4 152,5 – 165,4 165,5 – 178,4 178,5 – 191,4 191,5 – 204,40

5

10

15

20

25

30

5

11 12

22

26

13

9

2

DIAGRAM POPULASI

Frekuensi

statistik

Documents