solusi osn matematika smp tingkat … · jadi keliling segitiga aob = panjang ab + panjang oa +...

1 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004

SOLUSI OSN MATEMATIKA SMP

TINGKAT PROPINSI TAHUN 2004

A. ISIAN SINGKAT

1. Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian

setiap titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan

bilangan pada muka-muka yang berdekatan dengannya. Nilai tertinggi

bilangan pada titik sudut adalah ....

Solusi:

Dari jaring-jaring tersebut terbentuk kubus seperti diatas.

Titik-titik sudut suatu kubus merupakan Irisan 3 bidang sisi. Titik

sudut A adalah irisan bidang sisi ABCD, ABFE, dan ADHE.

9 5

7

1 3

11


Jadi, nilai tertinggi terdapat pada titik sudut A = 5 + 11 + 9 = 25

2. Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = ....

Solusi:

Perhatikan di dalam 3 persamaan tersebut terdapat variabel a, b, c

yang sama masing-masing sebanyak dua, jadi kita tidak perlu mencari

nilai a, b, atau c , karena yang ditanyakan operasinya sama yaitu

penjumlahan. Ini sejalan dengan sifat transitif, atau logika sylogisme.

Jumlahkan ke tiga persamaan, diperoleh;

a + b + b + c + c + a = 1 + 2 + 3

2a + 2b + 2c = 6

2 ( a + b + c ) = 6

a + b + c = 6/2 = 3

3. Pada suatu jam digital yang angka-angkanya tertera mulai dari 00:00

sampai dengan 23:59, dimungkinkan terjadi penampakan bilangan

Palindrome (bilangan yang dibaca dari depan dan dari belakang sama

nilainya, misalnya 12:21 dan 23:32). Dalam satu hari satu malam,

banyaknya bilangan Palindrome tersebut menampakkan diri adalah ....

Solusi:

Bilangan Palindrome adalah bilangan yang dibaca dari depan dan dari

belakang sama nilainya. Kalau kata Palindrome seperti SUGUS,

KAKAK, KAPAK, KATAK, KODOK dan sejenisnya tetapi yang

lebih menjadi kajian pakar matematika dunia yaitu bilangan

Palindrome. ,


Untuk menghitung banyaknya bilangan Palindrome dalam satu hari

satu malam, tentukan bilangan yang mungkin muncul dari ke- 4 digit

pada jam digital tersebut dan syaratnya.

Untuk memudahkan buatlah petak perhitungan yang menyatakan

banyaknya bilangan yang mungkin muncul seperti berikut:

Digit ke-1 harus sama dengan digit ke 4, dan digit ke 2 harus sama

dengan digit ke-3.

Jadi, cukup menentukan kemungkinan bilangan yang muncul pada

digit ke- 1 dan digit ke-2.

Bilangan digit ke-1 yang mungkin muncul adalah 0 , 1, dan 2 ada 3.

Bilangan digit ke-2 yang mungkin muncul adalah 0 , 1, 2, 3, 4, dan 5

ada 6.

Jadi, dalam satu hari satu malam, banyaknya bilangan Palindrome

yang muncul adalah sebanyak 3 6 = 18 bilangan.

Diantaranya : 00:00, 01:10, 02:20, 03:30, 04:40, 05:50 , 10:01, 11:11,

12:21, 13:31, 14:41, 15:51 dan sejenisnya silahkan lanjutkan!


Jika yang diawali dengan 0 tidak termasuk bilangan, maka banyaknya

bilangan Palindrome sebanyak 18-6=12

4. Untuk bilangan bulat a dan b, (a, b) artinya bilangan tak negatif yang

merupakan sisa ba jika dibagi oleh 5. Bilangan yang ditunjukkan oleh

(–3,4) adalah ....

Solusi:

(3) 4 = 12, 12 dibagi 5 sisanya = k5 + (12) , dengan k

bilangan bulat positif

Untuk k = 3 diperoleh 15 12 = 3.

Jadi, bilangan yang ditunjukkan oleh (3,4) adalah 3.

5. Bilangan 10-angka terbesar menggunakan empat angka 1, tiga angka 2,

dua angka 3, dan satu angka 4, sehingga dua angka yang sama tidak

terletak bersebelahan adalah ....

Solusi:

Buatlah 10 petak mendatar untuk menempatkan angka-angka 1, 2, 3,

4 tersebut sehingga tersusun sebuah bilangan terbesar yang memenuhi

syarat yang ditentukan.

Tempatkan angka terbesar yang mungkin pada nilai tempat terbesar

(dari paling kiri) menuju ke kanan!

Bilangan 10 angka terbesar yang memenuhi syarat yang ditentukan

adalah 4.321.312.121.


6. Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu

adalah 6, maka hasil tambah dua bilangan itu adalah ....

Solusi:

Misalkan bilangan itu adalah a dan b .

a – b = 2 ,

(a + b)(a – b) = 6

7. Bentuk sederhana dari 154154 adalah ....

Solusi 1:

154154 n (bilangan negatif)

154154 p (bilangan positif)

15415415421542 p

1516282 p

)1(282 p

6p

6n

Jadi, bentuk sederhana dari 154154 adalah 6 .

Solusi 2:

1115161542

2 p (bilangan rasional)

154154

2

4

2

4

2

4

2

4 pppp


2

14

2

14

2

14

2

14

2

3

2

5

2

3

2

5

6

2

110

2

16

2

110

2

1

62

110

2

16

2

110

2

1

6

8. Suatu garis memotong sumbu-x di titik )0,(aA dan memotong sumbu-y

di titik )3,0(B . Jika luas segitiga AOB sama dengan 6 satuan luas

dengan titik )0,0(O , maka keliling segitiga AOB sama dengan ....

Solusi:

Jika tak terbayangkan dalam benak anda, buatlah sketsa gambar pada

bidang Kartesius.

Segitiga AOB siku-siku di O, maka

Luas Segitiga AOB = 6


Menurut Teorema Pythagoras ;

Jadi Keliling segitiga AOB = panjang AB + panjang OA + panjang OB

= 5 + 4 + 3 = 12 satuan panjang.

9. Persegi Antimagic ukuran 4 4 adalah susunan persegi panjang dari

bilangan-bilangan 1 sampai dengan 16 sedemikian hingga jumlah dari

setiap empat baris, empat kolom, dan dua diagonal utamanya merupakan

sepuluh bilangan bulat yang berurutan. Diagram berikut ini menunjukkan

sebagian dari persegi Antimagic ukuran 4 4. Berapakah nilai dari *?

Solusi:

Jumlahkan bilangan pada setiap baris, kolom dan diagonal-diagonalnya

dan misalkan bilangan pada petak yang kosong a, b, c, d , dan * seperti

gambar berikut.

*

13

14

7 3 9

5

10 11 6 4

12


Bilangan yang mungkin untuk pengganti a, b, c, d, dan * adalah 1, 2,

8, 15, dan 16.

Sekarang periksa apakah 30 merupakan jumlah terkecil dan 39 jumlah

terbesar.

30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 sepuluh bilangan bulat berurutan.

Jadi, 30 jumlah terkecil dan 39 jumlah terbesar pada persegi ini.

Selanjutnya terka dan periksa nilai c.

Nilai c tidak mungkin 1, 2, 15, dan 16. Jadi, nilai c = 8, sehingga

jumlah bilangan pada salah satu diagonalnya adalah 8 + 9 + 13 + 4

= 34.

Selanjutnya terka dan periksa nilai d.

Nilai d yang mungkin 1 atau 2?

Jika d = 2, maka jumlah kolom ke-2 : 2 + 9 + 12 +11 = 34 dan ini sama

dengan jumlah salah satu diagonal utama (tidak memenuhi syarat), jadi

nilai d = 1 sehingga jumlah kolomnya = 1 + 9 + 12 + 11 = 33.

Selanjutnya terka dan periksa nilai *.

Tersisa dua bilangan yang bisa diperiksa yaitu 15 atau 16 .


Jika * = 16 , maka jumlahnya c + d + * + 14 = 8 + 1 + 16 + 14 = 39,

dan ini sama dengan jumlah salah satu diagonal utama tidak memenuhi

syarat , jadi haruslah * = 15.

Jadi, nilai a = 2 , b = 16. Tampak gambar yang berisi bilangan 1 s.d

16.

Antimagic persegi merupakan himpunan bagian dari heteromagic

persegi dan berlainan dengan persegi ajaib (magic square) yang

jumlah angka-angkanya pada setiap baris, kolom, dan diagonal-

diagonalnya sama.

Sekilas tentang Antimagic persegi ukuran n n.

Bilangan yang digunakan 1 s.d n2

Untuk persegi ukuran 4×4 terdapat jumlah bilangan pada setiap baris,

kolom, dan diagonal-diagonalnya membentuk 10 bilangan bulat

berurutan. Sedangkan untuk ukuran 5×5 terdapat jumlah bilangan-

bilangannya yang membentuk 12 bilangan bulat berurutan.

10. 20042004

1....

44

1

33

1

22

1

11

122322

= ....


Solusi:

20042004

1....

44

1

33

1

22

1

11

122322

)20041(2004

1....

)41(4

1

)31(3

1

)21(2

1

)11(1

1

)2005(2004

1....

)5(4

1

)4(3

1

)3(2

1

)2(1

1

2005

1

2004

1....

5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11

2005

11

2005

2004

B. URAIAN

1. Enam belas tim sepak bola mengikuti turnamen. Pertama-tama mereka

dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di

setiap kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu

sama lain satu kali. Dua tim yang memiliki peringkat teratas

selanjutnya maju babak berikutnya yang menggunakan sistem gugur

(kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan juaranya. Berapa

banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebut?

Solusi:

Ini temasuk masalah Kombinasi atau masalah pembagian.

Kita pilah pertandingan ke dalam 4 babak, babak I, II, III, dan IV.


Pada babak I, terdapat 4 kelompok dan dalam 1 kelompok yang terdiri

dari 4 tim saling bermain satu kali, sehingga

Banyaknya pertandingan pada babak I adalah

Pada babak II terdapat 8 tim yang bertanding dengan sistem gugur.

Banyaknya pertandingan pada babak II adalah 8 : 2 = 4 kali

Pada babak III terdapat 4 tim yang bertanding dengan sistem gugur.

Banyaknya pertandingan pada babak II adalah 4 : 2 = 2 kali

Pada babak IV (Final) terdapat 2 tim yang bertanding .

Banyaknya pertandingan pada babak II adalah 2 : 2 = 1 kali.

Jadi, banyaknya pertandingan dalam turnamen tersebut sebanyak 24 +

4 + 2 + 1 = 31 kali.

2. Pada gambar di bawah, ABCD adalah persegi dengan panjang 4 cm. Titik-

titik P dan Q membagi diagonal AC menjadi 3 bagian sama panjang.

Berapakah luas PDQ?

B

A

C

D

P

Q


Solusi:

Luas segitiga ABC = 1/2 AB BC = 1/2 4 4 = 8 cm²

3. Untuk bilangan real x didefinisikan

0,

0,

xjikax

xjikaxx , cari semua x

yang memenuhi 0322 xx .

Solusi:

Berdasarkan

Maka nilai x = 1 atau 1 .

Jadi, semua nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 1 atau 1.

4. Sebuah semangka yang beratnya 1 kg mengandung 93% air. Sesudah

beberapa lama dibiarkan di bawah sinar matahari, kandungan air

semangka itu turun 90%. Berapakah berat semangka sekarang.

Solusi:

Di dalam buah semangka yang beratnya 1 kg, terdapat:


Berat serat buahnya = 7% 1 kg = 0,07 kg =70 g .

Berat kandungan air dalam semangka = 93% 1kg = 0,93 kg = 930 g .

Karena terkena sinar matahari kandungan airnya turun 90% sehingga

berat kandungan ainya hanya 10% = 93 g.

Jadi, berat semangka sekarang (70 + 93) g = 163 g = 0,163 kg.

5. Untuk bilangan real a dan b sembarang, buktikanlah bahwa:

2 2 2 2a b a b

Bukti:

Dalam matematika untuk membuktikan suatu teorema atau dalil, kita

dituntut menguraikan, menganalisa, menyusun, lalu menyimpulkan

kebenaran sesuatu yang harus dibuktikan dengan menggunakan data

pada pernyataan sebelumnya (yang disebut premis), didukung dengan

aksioma-aksioma , fakta yang benar, definisi, atau teorema lain

sebelumnya yang berkaitan (jika diperlukan).

Metode pembuktian yang digunakan ada metode Induktif dan metode

Deduktif.

Pembuktian dengan metode Induktif yaitu, suatu pembuktian yang

diawali dari hal yang bersifat khusus menuju hal yang bersifat umum

(yang harus dibuktikan), dan ini yang dikenal dengan istilah induksi

matematika. Sedangkan metode Deduktif kebalikan dari metode

Induktif.

Teknisnya, ada pembuktian secara langsung (Direct prove) dan bukti

tak langsung (Indirect prove).


Bukti langsung diawali dengan menganalisa, menguraikan pernyataan

awal (premis), memeriksa kebenaran yang harus dibuktikan, lalu

menyimpulkan secara umum (generalisasi).

Sedangkan bukti tak langsung diawali dengan penyangkalan (negasi)

dari kebenaran yang harus dibuktikan sehingga ditemukan hal yang

kontradiksi dengan premis, lalu menyimpulkan kebenaran yang harus

dibuktikan.

Bukti secara induktif:

Karena a, b adalah sembarang bilangan real, periksa untuk a=b , kita

bisa menganggap

Jadi, a² + b² = 2 (a + b) – 2 …. (1)

Untuk a > b , anggap a = 0 , dan b = – 2 , diperoleh nilai a² + b² = 0²

+ (-2)² = 4 , sedangkan nilai dari

2 (a + b) – 2 = 2[0 + (2)] – 2 = 4 – 2 = 6 , diketahui bahwa fakta

4 > 6.

Jadi, a² + b² > 2 (a + b) – 2 …. (2)

Periksa untuk a dan b yang bernilai pecahan, maka akan diperoleh

kondisi yang sama.

Dari persamaan (1) dan pertidaksamaan (2) disimpulkan

a² + b² ≥ 2 (a + b) – 2 (yang harus dibuktikan)

Bukti Secara Deduktif:

Nyatakan suatu pernyataan yang benar dari data premis.

Karena a , b, sembarang bilangan real, maka jika a dipangkatkan 2

hasilnya adalah suatu bilangan yang tidak negatif ,dapat berupa

bilangan 0 atau bilangan positif .


Dalam kalimat matematika ditulis: a² ≥ 0

Demikian juga: ( a – 1 )² ≥ 0

Karena b juga sembarang bilangan real, maka

Pertidaksamaan (1) ditambah pertidaksamaan (2) diperoleh

yang harus dibuktikan

Pembuktian-pembuktian suatu teorema di dalam matematika mutlak

harus dikuasai dan dipahami jika anda memutuskan untuk belajar

matematika pada jenjang yang lebih tinggi. Mulailah sejak dini belajar

menurunkan rumus seperti rumus akar-akar persamaan kuadrat,

menentukan rumus suku ke-n suatu barisan bilangan, rumus-rumus

geometri yang sederhana seperti luas daerah segitiga= 1/2 alas tinggi

dlsb, sehingga kita akan lebih memahami teorema-teorema yang

dirumuskan karena dengan memahaminya, rumus tak perlu dihapal,

akan melekat kuat dalam benak kita sehingga selain memudahkan kita

dalam menuliskan rumus, memudahkan juga dalam mempelajari

materi-materi matematika lainnya.

(Anonim)

solusi osn matematika smp tingkat … · jadi keliling segitiga aob = panjang ab + panjang oa +...

Documents