Nama : Ivana Gabriella

NIM : 111810101021

7.7 Latihan Soal-Soal

1. Periksa apakah dua ring berikut ini isomorphis atau tidak

Ring 2Z dan ring 3Z

penyelesaian :

andaikan 2Z dan 3Z isomorphis

sehingga ada isomorfisma dari 2Z 3Z

kemudian 2 = 3 untuk bilangan bulat

gunakan properti isomorfisma

4 = 2 + 2 = 2 + 2 = 3 + 3 = 6

dan

4 = 2.2 = 2 . 2 = 3. 3 = 92

didapat 6 = 92

kita dapatkan solusi untuk yaitu = 0 atau = 3/2

karena bilangan bulat maka = 0 sehingga 2 = 0

berapapun kita mempunyai setiap isomorfisma . 0 = 0

terjadi kontradiksi karena 2 = 0

jadi, ring 2Z dan ring 3Z bukan isomorphis

2. Periksa apakah dua ring berikut ini isomorphis atau tidak

Ring 3Z dan ring 6Z

penyelesaian :

andaikan 3Z dan 6Z isomorphis

sehingga ada isomorfisma dari 3Z 6Z

kemudian 3 = 6 untuk bilangan bulat

gunakan properti isomorfisma

9 = 3 + 3 + 3 = 3 + 3 + 3 = 6 + 6 + 6 = 18

dan

9 = 3.3 = 3 . 3 = 6. 6 = 362

didapat 18 = 362

kita dapatkan solusi untuk yaitu = 0 atau = 1/2

karena bilangan bulat maka = 0 sehingga 3 = 0

berapapun kita mempunyai setiap isomorfisma . 0 = 0

terjadi kontradiksi karena 3 = 0

jadi, ring 3Z dan ring 6Z bukan isomorphis

3. Misalkan : 2() didefinisikan oleh

+ =

untuk setiap , . Tunjukkan bahwa merupakan isomorphisma dari ke

subring () dari 2()

penyelesaian :

: 2()

=

, isomorfisma

ambil 1 = +

2 = +

a) Homomorpisma

1 = + =

2 = + =

1 + 2 = + + +

= + +

( + ) + =

+

= 1 + (2)

1 + 2 = (1) + (2)

1. 2 = + ( + )

= + +

=

=

= (1). (2)

1.2 = 1 . (2)

b) Akan ditunjukkan satu-satu

Sesuai dengan definisi fungsi satu-satu

Jika = () maka =

ambil 1 2

+ +

maka

1 (2)

karena 1 (2) maka satu-satu

c) Akan ditunjukkan pada

Sesuai dengan definisi fungsi pada

Untuk setiap terdapat sehingga =

Ambil =

Pilih = + sehingga

= + =

Jadi pada

Nama : Mokhamad Saiful H.

Nim : 111810101022

6. pernyataan berikut benar atau salah, jelaskan.

c. Ring Z/5Z tidak isomorphis dengan Z5.

Jawab:

BENAR

Misal

= +

= {0,1,2,3,4}

Berdasarkan Teorema 7.1 , suatu isomorphisma pasti memetakan 6

ke 1 .

Akibatnya 11 juga akan dipetakan ke 1 .

Karena ada unsur 1 di yang memiliki prapeta lebih dari satu di .

Maka tidak mungkin Ring dan isomorphis, karena bukan fungsi satu-satu.

d. Ring isomorphis dengan Ring .

Jawab :

SALAH

Berdasarkan Teorema 7.1 , suatu isomorphisma pasti memetakan 4 ke 4

.

Akibatnya 2 juga akan dipetakan ke a ,

karena tidak ada a yang memenuhi 2 = , maka bukan fungsi.

Jadi tidak mungkin Ring dan Ring isomorphis.

NAMA : SELLA AJI OKTARIN

NIM : 111810101023

Soal-Soal Isomorphisma Ring

4. periksalah apakah dua ring berikut ini isomorphis atau tidak.

c. Ring 2Z dan ring 4Z

jawab:

: 2Z 4Z, suatu homomorfisme ring maka

f 2 = 4k, untuk beberapa integer k

karena f suatu homomorfisme maka

f 4 = f 2 + 2

= f 2 + f 2

= 4k + 4k

= 8k

f 4 = f 2 2

= f 2 . f 2

= 4k. 4k

= 16k2

karena itu 16k2 = 8k dan karena k adalah bulat maka k = 0 atau k =1

2.

karenanya f 2 = 0. Tetapi f 0

= 0 sehingga f tidak satu satu jadi bukan isomorphis

16. Misalkan R = a + b 2|a, b dan R = a 2bb a

|a, b

Tunjukan bahwa R dan R adalah ring isomorphis.

Jawab:

Akan di tunjukkan isomorphis

: R R

a + b 2 = a 2bb a

Ambil C1 = a + b 2

C2 = c + d 2

merupakan suatu fungsi

Akan di tunjukkan satu-satu

Ambil C1 C2

a + b 2 c + d 2 a c atau b d

Maka a 2bb a

c 2dd c

C1 C2

Karena C1 C2 maka satu-satu

Akan di tunjukkan pada

Akan di tunjukan bahwa pada

Ambil y = a 2bb a

Pilih x = a + b 2

Sehingga x = a + b 2

= a 2bb a

Maka pada

Homomorphisma

a. C1 + C2 = a + b 2 + c + d 2

= a + c + b 2 + d 2

= a + c + b + d 2

= a + c 2 b + d b + d a + c

= a 2bb a

+ c 2dd c

= a 2bb a

+ c 2dd c

= a + b 2 + c + d 2

= C1 + C2

b. C1. C2 = a + b 2 . c + d 2

= ac + ad 2 + bc 2 + bd2

= ac + 2bd + ad + bc 2

= ac + 2bd 2 ad + bc ad + bc ac + 2bd

= a 2bb a

. c 2dd c

= a + b 2 . c + d 2

= C1 . C2

Terbukti homomorphisma.

Dari pembuktian diatas dapat disimpulkan bahwa R dan R adalah ring isomorphis.

NAMA : HENDRY DWI SAPUTRO

NIM : 111810101025

1. Misalkan R adalah koleksi dari ring R, yaitu R = {R| R ring}. Untuk R, R R

didefinisikkan relasi ~ pada R, yaitu R ~ R jika ada isomorphisma : R R. Maka

~ merupakan relasi ekivalensi.

Bukti:

a) Refleksif

jika R~R maka terdapat : R

R jelas karena R isomorfis terhadap dirinya sendiri

b) Simetris

jika R ~ R maka R~ R

karena R ~ R maka terdapat isomorphime : R R

sehingga untuk sembarang a, bR maka

a + b = a + b

a . b = a . b

Ker = 0

untuk xR terdapat yR sedemikian sehingga x = y

Misal terdapat pemetaan

1: R R didefinisikan sebagai z w = 0

untuk sembarang a R

misal a , b R

a + b = a + b

= a + b

= a + b

(a) b = a. b

= a . b

= a b

Ambil sembarang ker

c = 0

c = ker

c = 1 ker

c = 01 ; sehingga satu satu

untuk y = | x

sehingga pada

c) Transitif

Untuk sembarangR, R , R R

Jika R~R maka terdapat suatu isomorphisma

: R R sehingga untuk sembarang a, b R

a + b = a + b

a . b = a . b

ker = 0

untik sembarang x R terdapat yR sedemikian hingga x = y

karena R~R maka terdapat suatu isomorphisma

: R R sehingga untuk sembarang a , b R

a + b = a + b

a . b = a . b

ker = 0

Untuk sembarang yR terdapat zR

Sedemikian hingga y = z

Misal terdapat : R R didefinisikan sebagai fungsi komposisi 0 a =

a

Untuk sembarang aR, misal a, bR

a + b = 0 a + b

= a + b

= a + b

= a + b

a . b = 0 a . b

= 0 a . b

= a . b

= a . b

Untuk sembarang c ker

c = 0

0 = 0

c = 0

c = 0

c=0 sehingga satu satu

untuk sembarang xR, maka

x = 0 x

= x

= y

= z ; sehingga pada(onto)

Dari a), b), dan c) terbukti bahwa ~ merupakan relasi ekivalensi.

9. Dapatkan subring dari 6 yang isomorphis dengan 2. Jelaskan keisomorphisannya.

Penyelesaian:

6 = {0,1,2,3,4,5}.

Subring dari 6 adalah = {0,3} dan = {0,2,4}.

2 = {0,1}.

A isomorphis dengan 2.

Langkah-langkah untuk menunjukkan A isomorphis dengan 2:

i) Mendefinisikan pengaitan dari A ke 2.

: A 2 didefinisikan oleh x = r, dimana = sisa pembagian x oleh 2,

untuk setiap A.

ii) Mennunjukkan bahwa suatu fungsi.

Jelas bahwa x = r adalah suatu fungsi, karena setiap kita mensubstitusikan

x ke dalam x untuk setiap A, maka hasilnya tidak akan pernah

bercabang, dengan kata lain hasilnya adalah tunggal.Selain itu, setiap elemen

dari 2 mempunyai pasangan di A.

iii) Mennunjukkan bahwa fungsi satu-satu.

Misalkan 1 2, untuk setiap 1 dan 2 A,

Maka 1 = r1 dan 2 = r2, dimana r1 2.

1 = r1 r2 = 2

karena 1 2

Maka fungsi satu-satu.

iv) Mennunjukkan bahwa fungsi pada.

Ambil = 2

pilih =

sehingga x = a = = .

Maka fungsi pada.

v) Mennunjukkan bahwa homomorphisma.

x = r, dimana = sisa pembagian x oleh 2, untuk setiap A.

ambil 1, 2 A.

1 + 2 = 1 + 2

Terdapat 4 kemungkinan, yaitu:

a) 1 ganjil dan 2 ganjil

1 + 2 = ganjil + ganjil

= (genap)

= 0

1 + 2 = ganjil + ganjil

= 1 + 1

= 2

= 0 (karena di dalam 2)

1 + 2 = 1 + 2

b) 1 ganjil dan 2 genap

1 + 2 = ganjil + genap

= (ganjil)

= 1

1 + 2 = ganjil + genap

= 1 + 0

= 1

1 + 2 = 1 + 2

c) 1 genap dan 2 ganjil

1 + 2 = genap + ganjil

= (ganjil)

= 1

1 + 2 = genap + ganjil

= 0 + 1

= 1

1 + 2 = 1 + 2

d) 1 genap dan 2 genap

1 + 2 = genap + genap

= (genap)

= 0

1 + 2 = genap + genap

= 0 + 0

= 0

1 + 2 = 1 + 2

Dari a), b), c), dan d) terbukti bahwa 1 + 2 = 1 + 2

12 = 1 2

Terdapat 4 kemungkinan, yaitu:

a) 1 ganjil dan 2 ganjil

12 = ganjil. ganjil

= (ganjil)

= 1

1 2 = ganjil . ganjil

= 1.1

= 1

12 = 1 . 2

b) 1 ganjil dan 2 genap

12 = ganjil. genap

= (genap)

= 0

1 2 = ganjil . genap

= 1.0

= 0

12 = 1 . 2

c) 1 genap dan 2 ganjil

12 = genap. ganjil

= (genap)

= 0

1 2 = genap . ganjil

= 0.1

= 0

12 = 1 . 2

d) 1 genap dan 2 genap

12 = genap. genap

= (genap)

= 0

1 2 = genap . genap

= 0.1

= 0

12 = 1 . 2

Dari a), b), c), dan d) terbukti bahwa 12 = 1 . 2

Karena terbukti 1 + 2 = 1 + 2 dan 12 = 1 . 2 ,

maka

homomorphisma.

Dari i), ii), iii), iv), dan v) terbukti bahwa A isomorphis dengan 2.

6. Pernyataan berikut benar atau salah, jelaskan.

b) Ring

4 isomorphis dengan 4 .

Bukti:

4= {0,

1

4,

2

8,

3

12, }

4 = {0,1,2,3}

Ring

4 tidak mempunyai pembagi nol, karena tidak terdapat ,

4, dimana

0 dan 0, sehingga = 0.

Dilain pihak ring 4 mempunyai unsure pembagi nol, yaitu 2.

Karena 2 4, dimana 2 0.

Sehingga 2.2 = 4 = 0

Akibatnya ring

4 tidak isomorphis dengan 4.

Jadi pernyataan ring

4 isomorphis dengan 4 adalah salah.