8/17/2019 Soal IMO 2015 Bahasa Indonesia

1/2

Language:   Indonesian

Day:   1

❏ ✉ ♠ ❛ ✱ ✶ ✵ ❏ ✉ ❧ ✐ ✷ ✵ ✶ ✺  

❙ ♦ ❛ ❧ ✶ ✳   ❍ ✐ ♠ ♣ ✉ ♥ ❛ ♥ ❜ ❡ ❤ ✐ ♥ ❣ ❣ ❛   S ✱ ❡ ❞ ✐ ✐ ❞ ❛ ✐ ✐ ✐ ❦ ✲ ✐ ✐ ❦ ❞ ✐ ❜ ✐ ❞ ❛ ♥ ❣ ✱ ❦ ✐ ❛ ❦ ❛ ❛ ❦ ❛ ♥   ❡ ✐ ♠ ❜ ❛ ♥ ❣    ❥ ✐ ❦ ❛ ✉ ♥ ✉ ❦ 

❡ ✐ ❛ ♣ ❞ ✉ ❛ ✐ ✐ ❦ ❜ ❡ ❜ ❡ ❞ ❛   A ❞ ❛ ♥   B ❞ ✐   S ✱ ❡ ❞ ❛ ♣ ❛ ✉ ❛ ✉ ✐ ✐ ❦    C  ❞ ✐   S  ❡ ❤ ✐ ♥ ❣ ❣ ❛    AC  = BC ✳ ❍ ✐ ♠ ♣ ✉ ♥ ❛ ♥  S  ❦ ✐ ❛ ❦ ❛ ❛ ❦ ❛ ♥   ❜ ❡ ❜ ❛ ✲ ♣ ✉ ❛    ❥ ✐ ❦ ❛ ✉ ♥ ✉ ❦ ❡ ✐ ❛ ♣ ✐ ❣ ❛ ✐ ✐ ❦ ❜ ❡ ❜ ❡ ❞ ❛   A,B, ❞ ❛ ♥   C  ❞ ✐   S ✱ ✐ ❞ ❛ ❦ ❡ ❞ ❛ ♣ ❛ ✐ ✐ ❦  

P  ❞ ✐   S  ❡ ❤ ✐ ♥ ❣ ❣ ❛    P A = P B = P C ✳ 

✭ ❛ ✮ ❚ ✉ ♥ ❥ ✉ ❦ ❦ ❛ ♥ ❜ ❛ ❤ ✇ ❛ ✉ ♥ ✉ ❦ ❡ ✐ ❛ ♣ ❜ ✐ ❧ ❛ ♥ ❣ ❛ ♥ ❜ ✉ ❧ ❛   n 3✱ ❡ ❞ ❛ ♣ ❛ ❤ ✐ ♠ ♣ ✉ ♥ ❛ ♥ ❡ ✐ ♠ ❜ ❛ ♥ ❣ ② ❛ ♥ ❣ ❡ ❞ ✐ ✐  ❞ ❛ ✐   n ✐ ✐ ❦ ✳  

✭ ❜ ✮ ❚ ❡ ♥ ✉ ❦ ❛ ♥ ❡ ♠ ✉ ❛ ❜ ✐ ❧ ❛ ♥ ❣ ❛ ♥ ❜ ✉ ❧ ❛  n 3 ❡ ❤ ✐ ♥ ❣ ❣ ❛ ❡ ❞ ❛ ♣ ❛ ❤ ✐ ♠ ♣ ✉ ♥ ❛ ♥ ❡ ✐ ♠ ❜ ❛ ♥ ❣ ② ❛ ♥ ❣ ❜ ❡ ❜ ❛ ✲ ♣ ✉ ❛  ❞ ❛ ♥ ❡ ❞ ✐ ✐ ❞ ❛ ✐  

n ✐ ✐ ❦ ✳  

❙ ♦ ❛ ❧ ✷ ✳   ❚ ❡ ♥ ✉ ❦ ❛ ♥ ❡ ♠ ✉ ❛ ✐ ♣ ❡ ❧ ❜ ✐ ❧ ❛ ♥ ❣ ❛ ♥ ❜ ✉ ❧ ❛ ♣ ♦ ✐ ✐ ❢   (a,b,c) ❡ ❤ ✐ ♥ ❣ ❣ ❛ ♠ ❛ ✐ ♥ ❣ ✲ ♠ ❛ ✐ ♥ ❣ ❞ ❛ ✐  

ab − c, bc − a, ca − b

♠ ❡ ✉ ♣ ❛ ❦ ❛ ♥ ❜ ✐ ❧ ❛ ♥ ❣ ❛ ♥  2

✲ ❜ ❡ ♣ ❛ ♥ ❣ ❦ ❛ ✳  

✭  ❇ ✐ ❧ ❛ ♥ ❣ ❛ ♥  2

✲ ❜ ❡ ♣ ❛ ♥ ❣ ❦ ❛ ❛ ❞ ❛ ❧ ❛ ❤ ❜ ✐ ❧ ❛ ♥ ❣ ❛ ♥ ❜ ✉ ❧ ❛ ❜ ❡ ❜ ❡ ♥ ✉ ❦    2n

✱ ❞ ❡ ♥ ❣ ❛ ♥   n ❜ ✐ ❧ ❛ ♥ ❣ ❛ ♥ ❜ ✉ ❧ ❛ ❛ ❦ ✲ ♥ ❡ ❣ ❛ ✐ ❢ ✳  ✮ 

❙ ♦ ❛ ❧ ✸ ✳   ▼ ✐ ❛ ❧ ❦ ❛ ♥   ABC  ❛ ❞ ❛ ❧ ❛ ❤ ❡ ❣ ✐ ✐ ❣ ❛ ❧ ❛ ♥ ❝ ✐ ♣ ❞ ❡ ♥ ❣ ❛ ♥    AB > AC ✳ ▼ ✐ ❛ ❧ ❦ ❛ ♥    Γ ❛ ❞ ❛ ❧ ❛ ❤ ❧ ✐ ♥ ❣ ❦ ❛ ❛ ♥  ❧ ✉ ❛ ♥ ② ❛ ✱   H  ❛ ❞ ❛ ❧ ❛ ❤ ✐ ✐ ❦ ✐ ♥ ❣ ❣ ✐ ♥ ② ❛ ✱ ❞ ❛ ♥    F  ❛ ❞ ❛ ❧ ❛ ❤ ❦ ❛ ❦ ✐ ✐ ♥ ❣ ❣ ✐ ❞ ❛ ✐    A✳ ▼ ✐ ❛ ❧ ❦ ❛ ♥    M  ❛ ❞ ❛ ❧ ❛ ❤ ✐ ✐ ❦ ❡ ♥ ❣ ❛ ❤  

BC ✳ ▼ ✐ ❛ ❧ ❦ ❛ ♥    Q ❛ ❞ ❛ ❧ ❛ ❤ ✐ ✐ ❦ ♣ ❛ ❞ ❛    Γ ❡ ❤ ✐ ♥ ❣ ❣ ❛    ∠HQA  = 90◦ ✱ ❞ ❛ ♥   K  ❛ ❞ ❛ ❧ ❛ ❤ ✐ ✐ ❦ ♣ ❛ ❞ ❛    Γ ❡ ❤ ✐ ♥ ❣ ❣ ❛  ∠HKQ  = 90◦ ✳ ❆ ✉ ♠ ✐ ❦ ❛ ♥ ✐ ✐ ❦ ✲ ✐ ✐ ❦   A✱    B ✱    C ✱    K ✱ ❞ ❛ ♥    Q ❡ ♠ ✉ ❛ ♥ ② ❛ ❜ ❡ ❜ ❡ ❞ ❛ ✱ ❞ ❛ ♥ ❡ ❧ ❡ ❛ ❦ ♣ ❛ ❞ ❛    Γ❞ ❛ ❧ ❛ ♠ ✉ ✉ ❛ ♥ ❡ ❡ ❜ ✉ ✳  

❇ ✉ ❦ ✐ ❦ ❛ ♥ ❜ ❛ ❤ ✇ ❛ ❧ ✐ ♥ ❣ ❦ ❛ ❛ ♥ ❧ ✉ ❛ ❡ ❣ ✐ ✐ ❣ ❛   KQH  ❞ ❛ ♥ ❧ ✐ ♥ ❣ ❦ ❛ ❛ ♥ ❧ ✉ ❛ ❡ ❣ ✐ ✐ ❣ ❛    F KM  ❛ ❧ ✐ ♥ ❣ ♠ ❡ ♥ ② ✐ ♥ ❣ ❣ ✉ ♥ ❣ ✳  

▲ ❛ ♥ ❣ ✉ ❛ ❣ ❡ ✿ ■ ♥ ❞ ♦ ♥ ❡ ✐ ❛ ♥ ❲ ❛ ❦ ✉ ✿ ✹ ❥ ❛ ♠ ✸ ✵ ♠ ❡ ♥ ✐  

▼ ❛ ✐ ♥ ❣ ✲ ♠ ❛ ✐ ♥ ❣ ♦ ❛ ❧ ❜ ❡ ♥ ✐ ❧ ❛ ✐ ✼ ♣ ♦ ✐ ♥  

8/17/2019 Soal IMO 2015 Bahasa Indonesia

2/2

Language:   Indonesian

Day:   2

Sabtu, 11 Juli 2015 

Soal 4.   Segitiga ABC  memiliki lingkaran luar Ω dengan pusat O. Suatu lingkaran Γ dengan pusat Amemotong segmen  BC  di titik  D  dan  E   sedemikian hingga  B,  D,  E , dan  C  semuanya berbeda danterletak pada garis   BC   dalam urutan tersebut. Misalkan   F   dan   G  adalah titik-titik perpotonganΓ  dan  Ω   sedemikian hingga  A,  F ,   B,   C , dan  G  terletak pada  Ω   dalam urutan tersebut. MisalkanK   adalah titik potong kedua dari perpotongan lingkaran luar segitiga   BDF   dengan segmen   AB.Misalkan   L   adalah titik potong kedua dari perpotongan lingkaran luar segitiga   CGE   dan segmen

CA.Misalkan garis  F K   dan  GL berbeda dan berpotongan di titik  X . Buktikan bahwa  X   terletak padagaris  AO.

Soal 5.   Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real. Tentukan semua fungsi f :  R→ R yangmemenuhi persamaan

f 

x + f (x + y)

 + f (xy) =   x + f (x + y) + yf (x)

untuk semua bilangan real  x  dan  y.

Soal 6.   Barisan bilangan bulat  a1, a2, . . .  memenuhi kondisi-kondisi berikut:

(i)   1 a j   2015  untuk setiap  j   1;

(ii)   k + ak  = ℓ + aℓ  untuk setiap  1 k < ℓ.

Buktikan bahwa terdapat dua bilangan bulat positif  b  dan  N   sehingga

n

 j=m+1

(a j − b)

10072

untuk setiap bilangan bulat  m dan  n yang memenuhi  n > m N .

Language: Indonesian Waktu: 4 jam 30 menit  

Masing-masing soal bernilai 7 poin