Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 201

5. 2. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Definisi

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

dengan catatan limit ini ada

Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri 𝑓(𝑥) = 𝑐

→ 𝑓′(𝑥) = 0

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 → 𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑎𝑥𝑛−1

Sifat: 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑢

→ 𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑢′

𝑓(𝑥) = 𝑢 ± 𝑣 → 𝑓′(𝑥) = 𝑢′ ± 𝑣′

𝑓(𝑥) = 𝑢 ∙ 𝑣 → 𝑓′(𝑥) = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

𝑓(𝑥) =𝑢𝑣

→ 𝑓′(𝑥) =

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑢) → 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑢′

Aplikasi Turunan Fungsi

Gradien Garis Singgung Kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑎

𝑚 = 𝑓′(𝑎)

Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.

Grafik Fungsi 𝑓 Grafik Fungsi 𝑓 Grafik Fungsi 𝑓 Naik Tidak Naik dan Tidak Turun Turun 𝑓′(𝑎) > 0 𝑓′(𝑎) = 0 𝑓′(𝑎) < 0

Titik dimana grafik fungsi 𝑓 tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.

Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum “naik – stasioner – naik” “naik – stasioner – turun” atau “turun – stasioner – naik” “turun – stasioner – turun”

𝐬𝐢𝐧𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙

−𝐬𝐢𝐧𝒙−𝐜𝐨𝐬𝒙

𝑓(𝑥) = tan 𝑥

→ 𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥

𝑓(𝑥) = cot 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −csc2 𝑥

𝑓(𝑥) = sec 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥

𝑓(𝑥) = csc 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −csc𝑥 cot 𝑥

Simbol

𝑓′(𝑥) = 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥))

Persamaan Garis Singgung di titik (𝑥1, 𝑦1)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Halaman 202 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 → 𝒇′(𝒙) = 𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏−𝟏

𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏 𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏−𝟏

Proses mencari turunan fungsi 𝑎𝑥𝑛:

1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya! 3. Selesai!

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 203

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:

𝐬𝐢𝐧 𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙

−𝐬𝐢𝐧 𝒙−𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝑦 = sin 𝑥 → 𝑦′ = cos 𝑥

𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦′ = −sin 𝑥

𝑦 = −sin 𝑥 → 𝑦′ = −cos 𝑥

𝑦 = −cos 𝑥 → 𝑦′ = sin 𝑥

Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus.

KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:

𝑦 =𝑢

𝑣 → 𝑦′ =

𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan 𝑥?

⇒ 𝑦 = tan𝑥 =sin𝑥

cos 𝑥 →

𝑢 = sin 𝑥 ⇒ 𝑢′ = cos 𝑥𝑣 = cos 𝑥 ⇒ 𝑣′ = −sin 𝑥

⇒ 𝑦′ =𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2=cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 (− sin 𝑥)

cos2 𝑥=cos2 𝑥 + sin2 𝑥

cos2 𝑥=

1

cos2 𝑥= sec2 𝑥

Jadi, 𝑦 = tan 𝑥 → 𝑦′ = sec2 𝑥.

Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot 𝑥 , sec 𝑥 , dan csc 𝑥 menggunakan aturan dan sifat tersebut!!!

LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧𝒙𝒚 = 𝐜𝐨𝐭𝒙𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 𝒙

} ⇒

turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif

fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga

𝐭𝐚𝐧 𝒙 dan 𝐜𝐨𝐭 𝒙 turunannya kembar

⇓ tan 𝑥 cot 𝑥 sec 𝑥 csc 𝑥 □𝟐 □𝟐 Tips membaca LOGIKA PRAKTIS: Turunannya tan 𝑥 adalah sec2 𝑥. Turunannya sec 𝑥 adalah sec 𝑥 tan 𝑥

Turunannya cot 𝑥 adalah – csc2 𝑥. Turunannya csc 𝑥 adalah −csc 𝑥 cot 𝑥 □𝟐

Cara membacanya: 𝑦 = tan 𝑥

→ 𝑦′ = sec2 𝑥

𝑦 = cot 𝑥 → 𝑦′ = −csc2 𝑥

𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦′ = sec 𝑥 tan 𝑥

𝑦 = csc 𝑥 → 𝑦′ = −csc 𝑥 cot 𝑥

Halaman 204 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva 𝑓(𝑥) Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓′(𝑥) Persamaan Garis Lurus melewati titik (𝑥1, 𝑦1) Gradien Garis Singgung Kurva dengan gradien 𝑚 di 𝑥 = 𝑎 adalah adalah: 𝑚 = 𝑓′(𝑎) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Gradien Garis Singgung Kurva 𝑓(𝑥) di titik (𝑥1, 𝑦1) dengan gradien 𝑚 adalah: (𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Contoh Soal:

Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 3 pada titik (1, −4). Titik potong garis ℎ dengan sumbu X adalah ….

a. (−3,0) b. (−2,0) c. (−1,0)

d. (−1

2, 0)

e. (−1

3, 0)

Pembahasan:

Diketahui kurva 𝑓(𝑥) yaitu: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 8𝑥 + 2

Gradien garis singgung kurva di 𝑥 = 1 adalah:

𝑚 = 𝑓′(𝑥) ⇒ 𝑚 = 𝑓′(1)

= 3(1)2 − 8(1) + 2= 3 − 8 + 2= −3

Persamaan garis singgung kurva di titik (1, −4) dengan gradien 𝑚 = −3 adalah:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ⇒ 𝑦 − (−4) = −3(𝑥 − 1)⇔ 𝑦 + 4 = −3𝑥 + 3⇔ 𝑦 = −3𝑥 + 3 − 4⇔ 𝑦 = −3𝑥 − 1

Jadi garis ℎ adalah 𝑦 = −3𝑥 − 1. Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat 𝑦 = 0, sehingga:

𝑦 = 0 ⇒ 0 = −3𝑥 − 1⇔ 3𝑥 = −1

⇔ 𝑥 = −1

3

Jadi, titik potong garis ℎ terhadap sumbu X adalah (−1

3, 0).

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 205

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.

Hubungan antara Jarak (𝒔), Kecepatan (𝒗), dan Percepatan (𝒂). *)

Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:

𝒔

𝒗

𝒂 Contoh Soal:

Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah 𝑡 detik dirumuskan dengan ℎ(𝑡) = 120𝑡 − 5𝑡2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …. meter.

a. 270 b. 320 c. 670 d. 720 e. 770

Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ(𝑡). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah 𝑣(𝑡). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:

𝑣(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡(ℎ(𝑡)) ⇒ 𝑣(𝑡) =

𝑑

𝑑𝑡(120𝑡 − 5𝑡2)

∴ 𝑣(𝑡) = 120 − 10𝑡

Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol.

𝑣(𝑡) = 0 ⇒ 120 − 10𝑡 = 0⇔ −10𝑡 = −120

⇔ 𝑡 =−120

−10∴ 𝑡 = 12 s

Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat 𝑡 = 12 s, yaitu

ℎ(𝑡) = 120𝑡 − 5𝑡2 ⇒ ℎ(2) = 120(12) − 5(12)2

= 1440 − 720= 720 m

Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.

Turun artinya turunan fungsi. Sehingga cara membacanya seperti ini:

Fungsi 𝑣 adalah turunan dari fungsi 𝑠. atau dinotasikan 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑠′(𝑡)

Fungsi 𝑎 adalah turunan dari fungsi 𝑣. atau dinotasikan 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑣′(𝑡)

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak (http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)

turun

turun

Halaman 206 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva 𝑓(𝑥) Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓′(𝑥)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 207

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner). TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum).

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum).

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Turunan Fungsi ini….

Halaman 208 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya )2484( 2 xx dalam ribu rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A. Rp16.000,00

B. Rp32.000,00

C. Rp48.000,00

D. Rp52.000,00

E. Rp64.000,00

2. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 30105 2 xx dalam ribuan rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A. Rp10.000,00

B. Rp20.000,00

C. Rp30.000,00

D. Rp40.000,00

E. Rp50.000,00

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

𝑈(𝑥) = 40𝑥 − (4𝑥2 − 8𝑥 + 24)𝑥 = −4𝑥3 + 8𝑥2 + 16𝑥 𝑈(𝑥)akan maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈′(𝑥) = 0 ⇒ 𝑈′(𝑥) = 0

⇔ −12𝑥2 + 16𝑥 + 16 = 0 (dibagi − 4)

⇔ 3𝑥2 − 4𝑥 − 4 = 0⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0

⇔ 𝑥 = −2

3 atau 𝑥 = 2

Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya 𝑥 = 2

Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), diperoleh: 𝑈(𝑥) = −4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)

= −32 + 32 + 32 = 32

𝑈(𝑥) = 50𝑥 − (5𝑥2 − 10𝑥 + 30)𝑥 = −5𝑥3 + 10𝑥2 + 20𝑥 𝑈(𝑥)akan maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈′(𝑥) = 0 ⇒ 𝑈′(𝑥) = 0

⇔ −15𝑥2 + 20𝑥 + 20 = 0 (dibagi − 5)

⇔ 3𝑥2 − 4𝑥 − 4 = 0⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0

⇔ 𝑥 = −2

3 atau 𝑥 = 2

Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya 𝑥 = 2

Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), diperoleh: 𝑈(𝑥) = −5(2)3 + 10(2)2 + 20(2)

= −40 + 40 + 40 = Rp40