Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 123

2. 16. Menyelesaikan masalah deret aritmetika.

Deret Aritmetika

Barisan Bilangan Deret Bilangan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … , 𝑈𝑛 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈𝑛

Barisan Aritmetika Deret Aritmetika

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑆𝑛 =𝑛2

(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

=𝑛2

(𝑎 + 𝑈𝑛)

Hubungan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 Keterangan:

𝑈𝑛 = suku ke-𝑛𝑆𝑛 = jumlah 𝑛 suku pertama𝑎 = suku pertama𝑏 = beda𝑛 = banyaknya suku

Halaman 124 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Hubungan antara 𝑼𝒏 dan 𝑺𝒏, maupun beda suku barisan. Suku depan 𝑈𝑛 diintegralkan, jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama.

𝑼𝒏 𝑺𝒏 Suku depan 𝑆𝑛 diturunkan, jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama.

Koefisien Koefisien suku depan suku depan ambil aja dikali dua

beda beda Untuk meringkas pengerjaan soal UN Matematika SMA dalam topik materi barisan dan deret aritmetika ini, maka perlu kita coba buktikan dulu TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan. TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan adalah sebuah penyederhanaan langkah dari penjabaran terhadap hubungan antara dua hal, yaitu 𝑈𝑛 (suku ke-𝑛), dan 𝑆𝑛 (jumlah n suku pertama). Dari definisi barisan aritmetika dan deret aritmetika diperoleh:

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 = 𝑎 + 𝑏𝑛 − 𝑏= 𝑏𝑛 + (𝑎 − 𝑏)

dan

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

=𝑛

2(2𝑎 + 𝑏𝑛 − 𝑏)

=𝑏

2𝑛2 +

(2𝑎−𝑏)

2𝑛

Kesimpulan! Dari konsep 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk 𝑈𝑛 = 𝒃𝒏 + (𝑎 − 𝑏) Lho ini kan integral!!! Berarti ini turunan!!

Dari konsep 𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk 𝑆𝑛 =

𝒃

𝟐𝒏𝟐 +

(2𝑎−𝑏)

2𝑛

Untuk suku pertama berlaku 𝑈1 = 𝑆1 ⇒ 𝑏 + (𝑎 − 𝑏) =𝑏

2+

(2𝑎−𝑏)

2.

Jadi, pada suku pertama dan jumlah suku pertama itu nilainya pasti sama, sehingga hal tersebut juga membuktikan bahwa jumlah koefisien baik 𝑼𝒏 maupun 𝑺𝒏 adalah sama. Beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan dari 𝑼𝒏 Dari konsep 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk 𝑈𝑛 = 𝒃𝑛 + (𝑎 − 𝑏) Berarti beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan 𝑺𝒏 dikalikan 2.

Dari konsep 𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk 𝑆𝑛 =

𝒃

𝟐𝑛2 +

(2𝑎−𝑏)

2𝑛

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 125

Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan 𝑺𝒏 jika diketahui 𝑼𝒏:

Jumlah 𝑛 suku pertama jika diketahui 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 1 adalah …. Langkah logika praktis: 𝑛2 diperoleh dari integral 2𝑛. Perhatikan 𝑈𝑛 jumlah koefisiennya adalah 2 + 1 = 3, sementara 𝑆𝑛 = 𝑛2 + sesuatu. Karena jumlah koefisien 𝑆𝑛 dan 𝑈𝑛 harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 2. SELESAI.

Menentukan 𝑼𝒏 jika diketahui 𝑺𝒏:

Rumus suku ke-𝑛 jika diketahui 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 5 adalah …. Langkah logika praktis: 6𝑛 diperoleh dari turunan 3𝑛2. Perhatikan 𝑆𝑛 jumlah koefisiennya adalah 3 + 5 = 8, sementara 𝑈𝑛 = 6𝑛 + sesuatu. Karena jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi 𝑈𝑛 = 𝑛2 + 2. SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui 𝑼𝒏:

Jika diketahui 𝑈𝑛 = 2𝑛 − 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah …. Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel 𝑛 pangkat terbesar), yaitu2. Koefisien tersebut ambil aja. Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3. SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui 𝑺𝒏:

Jika diketahui 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah … Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel 𝑛 pangkat terbesar), yaitu 3. Koefisien tersebut kalikan dua. Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3 × 2 = 6. SELESAI.

Halaman 126 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Beda Barisan Aritmetika Jika diketahui dua suku pada barisan aritmetika, maka beda dari barisan aritmetika tersebut bisa ditentukan dengan:

𝑏 =𝑈𝑝 − 𝑈𝑞

𝑝 − 𝑞

Bukti:

𝑈𝑝 = 𝑎 + (𝑝 − 𝑛)𝑏 …………..(1)

𝑈𝑞 = 𝑎 + (𝑞 − 𝑛)𝑏 …………..(2)

Dengan mengeliminasi 𝑎 pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: 𝑈𝑝 = 𝑎 + (𝑝 − 𝑛)𝑏 ⇒ 𝑈𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑝 − 𝑛𝑏

𝑈𝑞 = 𝑎 + (𝑞 − 𝑛)𝑏 ⇒ 𝑈𝑞 = 𝑎 + 𝑏𝑞 − 𝑛𝑏

𝑈𝑝 − 𝑈𝑞 = (𝑝 − 𝑞)𝑏 ⇒ 𝑏 =𝑈𝑝 − 𝑈𝑞

𝑝 − 𝑞

Menentukan beda jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:

Jika diketahui 𝑈7 = 19 dan 𝑈10 = 28, beda barisan aritmetika tersebut adalah 𝑏 =28−19

10−7=

9

3= 3.

Langkah logika praktis: Beda adalah suku besar kurangi suku kecil, lalu hasilnya dibagi dengan selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Selisih suku dibagi selisih indeks suku. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:

Jika diketahui 𝑈3 = 24 dan 𝑈8 = 54, tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 15 adalah suku ke-8 ditambah 7 beda lagi. Jadi, 𝑈15 = 𝑈8 + 7𝑏

= 54 + 7 (54−24

8−3)

= 54 + 7(6)= 54 + 42= 96

SELESAI.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 127

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya sama:

Jika diketahui 𝑈3 = 24 dan 𝑈8 = 54, tentukan suku ke-13 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-3, suku ke-8 dan suku ke-13. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 13 − 8 = 8 − 3, yaitu sama-sama berselisih 5. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka selisihnya suku tersebut juga sama! Suku ke 13 adalah suku ke-8 ditambah selisih suku ke-8 dan suku ke-3. Jadi, 𝑈15 = 𝑈8 + 𝑈8 − 𝑈3

= 54 + (54 − 24)= 54 + 30= 84

Atau 24 ke 54 itu ditambah 30, maka 54 ditambah 30 lagi sama dengan 84. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya berkelipatan.

Jika diketahui 𝑈2 = 15 dan 𝑈5 = 45, tentukan suku ke-14 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-14. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 14 − 5 adalah 9, sementara itu selisih 5 − 2 adalah 3. Jadi 9 dibagi 3 itu adalah 3. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 3 kali lebih besar maka selisihnya suku tersebut juga 3 kali lebih besar! Suku ke 14 adalah suku ke-5 ditambah tiga kali selisih suku ke-5 dan suku ke-2. Jadi, 𝑈14 = 𝑈5 + 3 (𝑈5 − 𝑈2)

= 45 + 3(45 − 15)= 45 + 90= 135

SELESAI.

Menyimpulkan makna dari jumlah beberapa suku.

Jika diketahui 𝑈1 + 𝑈5 + 𝑈6 = 45, tentukan suku ke-4 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, ada tiga suku. Suku-suku pada soal adalah suku ke-1, suku ke-5 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut bisa dibagi tiga? Kenapa dibagi tiga? Ya sebanyak jumlah suku tadi! 1 + 5 + 6

3= 4

Ya udah berarti suku ke empat adalah rata-rata dari jumlah ketiga suku tersebut.

Jadi, 𝑈4 =(𝑈1+𝑈5+𝑈6)

3

=45

3

= 15

SELESAI.

Halaman 128 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n2 + 4n. Suku ke-9 dari deret

aritmetika tersebut adalah ....

A. 30

B. 34

C. 38

D. 42

E. 46

2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .32 nnSn Suku ke-20 deret aritmetika

tersebut adalah ....

A. 30

B. 34

C. 38

D. 42

E. 46

3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .2

3

2

5 2 nnSn Suku ke-10 dari deret

aritmetika tersebut adalah ....

A. 49

B. 472

1

C. 35

D. 332

1

E. 29

4. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .52 nnSn Suku ke-20 dari deret

aritmetika tersebut adalah ....

A. 44

B. 44

C. 40

D. 38

E. 36

5. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada

bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah

keuntungan sampai bulan ke-12 adalah ....

A. Rp1.740.000,00

B. Rp1.750.000,00

C. Rp1.840.000,00

D. Rp1.950.000,00

E. Rp2.000.000,00

TRIK SUPERKILAT 1: 𝑈9 = 𝑆9 − 𝑆8

= 2(92 − 82) + 4(9 − 8) = 2(17) + 4 = 38

𝑎 = 𝑅𝑝46.000,00𝑏 = 𝑅𝑝18.000,00𝑆12 = ?

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

𝑆12 =12

2(2(46) + (11)18) dalam ribuan rupiah

= 6(92 + 198)

= 6(290)= 1.740

TRIK SUPERKILAT 1: 𝑈20 = 𝑆20 − 𝑆19

= (202 − 192) + 3(20 − 19) = 39 + 3 = 42

TRIK SUPERKILAT 1: 𝑈10 = 𝑆10 − 𝑆9

=5

2(102 − 92) +

3

2(10 − 9)

=95

2+

3

2

= 49

TRIK SUPERKILAT 1: 𝑈20 = 𝑆20 − 𝑆19

= (202 − 192) + 5(20 − 19) = 39 + 5 = 44

TRIK SUPERKILAT 2: 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 4𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 4𝑛 + 2 𝑈9 = 4𝑛 + 2

= 4(9) + 2 = 36 + 2 = 38

TRIK SUPERKILAT 2: 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 3𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 2 𝑈9 = 2𝑛 + 2

= 2(20) + 2 = 40 + 2 = 42

TRIK SUPERKILAT 2:

𝑆𝑛 =5

2𝑛2 +

3

2𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 5𝑛 − 1

𝑈9 = 5𝑛 − 1 = 5(10) − 1 = 50 − 1 = 49

TRIK SUPERKILAT 2: 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 5𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 4 𝑈9 = 2𝑛 + 4

= 2(20) + 4 = 40 + 4 = 44

TRIK SUPERKILAT: 𝑈𝑛 = 18.000𝑛 + 28.000 ⇒ 𝑆𝑛 = 9.000𝑛2 + 37.000𝑛 𝑆12 = 9.000(12)2 + 37.000(12)

= 9.000(144) + 444.000 = 1.296.000 + 444.000 = 1.740.000

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 129

6. Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00.

Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yang

diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah ....

A. Rp25.800.000,00

B. Rp25.200.000,00

C. Rp25.000.000,00

D. Rp18.800.000,00

E. Rp18.000.000,00

7. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi

turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16

adalah ....

A. 45.760

B. 45.000

C. 16.960

D. 16.000

E. 19.760

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

𝑎 = 𝑅𝑝1.600.000,00𝑏 = 𝑅𝑝200.000,00𝑆10 = ?

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

𝑆10 =10

2(2(1.600) + (9)200) dalam ribuan rupiah

= 5(3.200 + 1.800)

= 5(5.000)= Rp25.000

𝑎 = 1.960𝑏 = −120𝑆16 = ?

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

𝑆16 =16

2(2(1.960) + (15)(−120))

= 8(3.920 − 1.800)

= 8(2.120)= 16.960