aritmetika sistem bilangan
TRANSCRIPT
AritmatikaSistem Bilangan
Unit aritmetika dan logika (arithmetic-logic unit, disingkat ALU) merupakan bagian pengolah bilangan dari sebuah komputer.
Artinya bahwa selain melakukan operasi aritmetika, bagian komputer ini juga melaksanakan operasi logika
Apa itu Unit Aritmetika dan Logika?
Empat metoda komputasi dasar yang dilakukan oleh ALU komputer : penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Rangkaian ALU dasar terdiri atas gerbang OR, AND, dan rangkaian full adder 1 bit.
Rangkaian full adder 1 bit pada rangkaian ALU dasar pada awalnya hanya melakukan penjumlahan unsigned number.
Pengembangan lebih lanjut pada rangkaian ALU dasar mampu melakukan operasi pengurangan.
PENDAHULUAN
+
0
1
2
A
B
Op
C
Cin
Cout
+
0
1
2
A
B 0
1
Binver
Op
Cin
Cout
C
RANGKAIAN ALU DASAR KOMPUTER
Tanpa Fungsi Pengurangan Dengan Fungsi Pengurangan
Operasi Aritmatika Dasar
• Addition / Penjumlahan
•Complements
•Subtraction / Pengurangan
Penjumlahan Biner 0+ 0 0
0+ 1 1
1+ 0 1
1+ 11 0
Carry Bit
(a) (b)
(c) (d)
Contoh Penjumlahan Biner dengan operand lebih dari 1 bit
10011001+ 101100 11000101
101 + 1001 1110
1011 + 101 10000
1010 + 100 1110
1011 + 1100 10111
(a) (b) (c)
(d) (e)
Metode untuk menyatakan bit bertanda digunakan sistem komplement kedua (2’s complement form)
Komplemen ke 2
Komplemen ke 1Biner 0 diubah menjadi 1Biner 1 diubah menjadi 0
1 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 1 0 1
Misal
Biner Awal
Komplemen pertama
Membuat Komplemen ke 21. Ubah bit awal menjadi komplemen pertama2. Tambahkan 1 pada bit terakhir (LSB)
1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0
1
0 1 0 0 1 1
Misal
Biner Awal = 45
Komplemen 1
Tambah 1 pada LSB
Komplemen 2
Pengurangan BinerPengurangan Biner diimplementasikan dengan menjumlahkan Two’s complement bilangan yang akan dikurangkan.Example
1101 1101 -1001 +0111
10100
Carry yang dihasilkan dapat diabaikan. Sehingga, hasilnya adalah 0100.
Two’s complemen
t of 1001
Menyatakan Bilangan Bertanda dengan Komplemen ke 2
1. Apabila bilangannya positif, magnitude dinyatakan dengan biner aslinya dan bit tanda (0) diletakkan di depan MSB.
2. Apabila bilangannya negatif, magnitude dinyatakan dalam bentuk komplemen ke 2 dan bit tanda (1) diletakkan di depan MSB
0 1 0 1 1 0 1 Biner = + 45
1 0 1 0 0 1 1 Biner = - 45
Bit Tanda
Bit Tanda Biner asli
Komplemen ke 2
Negasi
Operasi mengubah sebuah bilangan negatif menjadi bilangan positif ekuivalennya, atau mengubah bilangan positif menadi bilangan negatif ekuivalennya.Hal tersebut dilakukan dengan meng-komplemenkan ke 2 dari biner yang dikehendakiMisal : negasi dari + 9 adalah – 9
+ 9 = 01001 Biner awal- 9 = 10111 Negasi (Komplemen ke 2)+ 9 = 01001 Di negasi lagi
Dua Buah bilangan biner dapat dikalikan dengan metoda yang sama dengan metoda perkalian pada bilangan desimal.
Sebagai pengantar akan ditunjukkan operasi perkalian konvensional dengan bilangan tak bertanda (unsigned number).
Sebagai contoh akan ditunjukkan operasi perkalian untuk operand Multiplicand (M) = 1110 dan Multiplier (Q) = 1011.
RANGKAIAN PERKALIAN
Gambaran Proses Perkalian 4 Bit
11101011x1110
11100000
1110+
10011010
Multiplicand (M)Multiplier (Q)
Product (P)
(14)(11)
(154)
11101011x1110
1110
0000
Multiplicand (M)Multiplier (Q)
(14)(11)
+
10101+010101110+
10011010
Partial Product 0
Partial Product 1
Partial Product 2
Product (P) (154)Konsep dasar perkalian konvensional
Perkalian Konvensional Implementasi HW
Pembagian biner dilakukan dengan cara yang sama dengan bilangan desimal.
Dalam pembagian bilangan biner pembagian dengan digit biner 0 tidak akan mengandung arti sehingga :0 : 1 = 01 : 1 = 1
Operasi Pembagian Bilangan Biner
Proses pembagian pada sistem biner menggunakan proses pembagian berekor yaitu sebagai berikut:◦ Kurangi bilangan yang dibagi dengan kelipatan
pembagi yang berbobot tertinggi◦ Jumlah kelipatan x bobot yang merupakan hasil
bagin dijumlahkan dengan hasil bagin-1◦ Bila sisa bagi (bilangan yang dibagi – kelipatan
pembagi berbobot tertinggi) >= pembagi, lakukan step 1 dan 2 hingga diperoleh kelipatan pembagi berbobot tertinggi < pembagi
◦ Hasil Bagi dan sisa bagi telah ditemukan
Operasi Pembagian Bilangan Biner
1. 1 1 2 / 1 0 0 0 0 1 2 \ 1 0 1 1 2
1 1 __ - 0 0 1 0 0 1 1 1 - 0 0 1 1 0 1 1 - 0 2
2. 1 1 0 0 2 / 1 0 0 1 0 0 0 0 2 \ 01 1 0 0 2
1 1 0 0 - 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 02
Contoh
Menyelesaikan suatu aritmatika bilangan desimal sudah biasa dilakukan, karena bilangan desimal dalam sistem komputer digunakan untuk merepresentasikan bilangan yang lazim digunakan oleh pengguna berdasarkan sepuluh jari.
Operasi Penjumlahan Aritmatika Desimal
1. 2 0 5 6 7 10 2. 1 2 3 4 5 10
6 5 2 1 3 10 + 6 7 8 9 0 10 +
8 5 7 8 0 10 8 0 2 3 5 10
Contoh
Perkalian bilangan desimal dalam ALU juga dilakukan dengan menjumlahkan beberapa kali angka yang harus dikalikan dengan pengalinya.
Operasi Perkalian pada Aritmatika Desimal
1 2 3 10
4 1 10 x
1 2 3 4 9 2 + 5 0 4 3 10
Contoh
16 10 / 208 10 \ 1 3 10
16 -
4 8 4 8 - 0
Operasi Pembagian pada Aritmatika Desimal
Penjumlahan bilangan oktal memiliki hal yang serupa dengan penjumlahan desimal dimana jumlah bilangan yang didapatkan harus < 8.
Bila terdapat hasil penjumlahan yang ≥ 8 maka lakukan pengurangan dengan bilangan 8 sampai dengan bilangan tersebut tidak dapat lagi dikurangi dengan bilangan 8
Banyaknya pengurangan terhadap bilangan tersebut disebut juga dengan carry (pembawa).
Penjumlahan dimulai dari LSB ke MSB.
Operasi Penjumlahan Aritmatika Oktal
Penjumlahan tanpa carry
4 3 8 3 + 1 = 4
2 1 8+ 4 + 2 = 6
6 4 8
Penjumlahan dengan carry
4 5 6 8 6 + 2 = 8 – 8 = 0 carry 1
3 7 2 8+ 5 + 7 + 1 = 13 – 8 = 5 carry
1050 8 4 + 3 + 1 = 8 – 8 = 0 carry 1
Contoh :
Pengurangan bilangan oktal dilakukan dengan peminjaman pada bilangan yang berada didepannya sama dengan pengurangan bilangan desimal.
Adapun bilangan yang dipinjam dari bilangan tersebut setiap 1 digit peminjaman adalah 8.
Pengurangan dilakukan dari LSB.
Operasi Pengurangan pada Aritmatika Oktal
Pengurangan tanpa peminjaman 6 5 4 8 4 – 4 = 0
3 2 4 8 - 5 – 2 = 3
3 3 0 8 6 – 3 = 3
Pengurangan dengan peminjaman 5 2 6 1 8 1 + 8 – 2 = 7
3 4 7 2 8 - 5 + 8 – 7 = 6
1 5 6 7 8 1 + 8 – 4 = 5
4 – 3 = 1
Contoh
Perkalian bilangan oktal dilakukan sama dengan bilangan desimal.
Seperti halnya perkalian biner, perkalian oktal pun dalam ALU akan dilakukan dengan operasi penjumlahan sebanyak perkalian yang diinginkan.
Operasi Perkalian pada Aritmatika Oktal
Tidak terjadi carry pada perkalian tetapi terjadi carry pada penjumlahannya.
Aritmatika Perkalian 4 5 8 1 x 5 = 5
1 1 8 x 1 x 4 = 4
4 5 1 x 5 = 5 4 5 + 1 x 4 = 4 5 15 8
Aritmatika Penjumlahan 5 + 0 = 5 4 + 5 = 9 – 8 = 1 carry 1 4 + 1 (carry) = 5
Contoh
Terjadi carry pada perkalian tapi tidak untuk penjumlahan Aritmatika Perkalian
4 5 8 7 x 5 = 35 – 8 = 27 – 8 = 19 – 8 = 11 – 8 = 3 carry 4
2 7 8 x 7 x 4 = 28 + 4 (carry)
= 32 – 8 = 24 – 8 = 16 – 8 = 8 – 8 = 0 carry 4 4 0 3 2 x 5 = 10– 8 = 2 carry 1 1 1 2 + 2 x 4 = 8 + 1 (carry)= 9 – 8 = 1 carry 1 1 5 2 3 8
Aritmatika Penjumlahan 3 + 0 = 3 0 + 6 = 6 4 + 1 = 5 1 + 0 = 1
Contoh
Terjadi carry pada perkalian dan penjumlahan
Aritmatika perkalian 7 6 8 6 x 7 = (42)10 – ( 8 x 5 ) = 2 carry 5
1 7 8 x 7 x 7 = (49 + 5)10
= (54)10 – ( 8x6 )= 6 carry 6 6 6 2 1x 6 = 6 7 6 + 1 x 7 = 7 1 6 4 2 8
Aritmatika penjumlahan 2 + 0 = 2 6 + 6 = 12 – 8 = 4 carry 1 6 + 7 = 13 + 1 = 14 – 8 = 6 carry 1 1 + 0 = 1
Contoh
Pembagian bilangan oktal dilakukan seperti biasa (sama) dengan bilangan desimal.
Operasi Pembagian pada Aritmatika Oktal
76 8 / 1 6 4 2 8 \ 1 7 8
7 6 - 6 6 2 6 6 2 - 0 Uraian Aritmatika Perkalian: 7 6 8
1 8 x
7 68
7 6 8 6 x 7 = (42) – ( 8 x 5 ) = 2 carry 5
7 8 x 7 x 7 = 49 + 5 = 54 – ( 8x6 )= 6 carry 6
6 6 2 8
Contoh
45 8 / 1 5 2 3 8 \ 2 7 8
1 1 2 - 4 0 3 4 0 3 - 0 Uraian Aritmatika Perkalian : 4 5 8 5 x 2 = 10 – 8 = 2 carry 1 2 8 x 4 x 2 +1 = 9 – 8 = 1 carry 1 112 8
4 5 8 5 x 7 = 35 – ( 8 x 4 ) = 3 carry 4 7 8 x 4 x 7 = 28 + 4 = 32 – ( 8x4 )= 0 carry 4 4 0 3 8
Contoh
Penjumlahan bilangan heksadesimal memiliki hal yang serupa dengan penjumlahan desimal dimana jumlah bilangan yang didapatkan harus < 16.
Bila terdapat hasil penjumlahan yang ≥ 16 maka lakukan pengurangan dengan bilangan 16 sampai dengan bilangan tersebut tidak dapat lagi dikurangi dengan bilangan 16
Banyaknya pengurangan terhadap bilangan tersebut disebut juga dengan carry (pembawa).
Penjumlahan dimulai dari LSB ke MSB.
Operasi Penjumlahan Aritmatika Heksadesimal
Penjumlahan tanpa carry
4 5 16 5 + 2 = 7
3 2 16+ 4 + 3 = 7
7 7 16
1 A 16 3 + 10 = 13
= D
B 3 16+ 1 + 11 = 12 = C
C D 16
Contoh
Penjumlahan dengan carry
6 7 9 16 9 + 7= 16 – 16 = 0 carry 1
4 8 7 16 + 7 + 8 + 1 = 16 – 16 = 0 carry 1
B 0 0 16 6 + 4 + 1 = 11 = B
A 5 E 16 14 + 9 = 23 – 16 = 7 carry 1
6 F 9 16+ 5 + 15 + 1 = 21 – 16 = 5 carry 1
1 1 5 7 16 10 + 6 + 1 = 17 – 16 = 1 carry 1
Contoh
Pengurangan bilangan heksadesimal dilakukan dengan peminjaman pada bilangan yang berada didepannya sama dengan pengurangan bilangan desimal.
Adapun bilangan yang dipinjam dari bilangan tersebut setiap 1 digit peminjaman adalah 16.
Pengurangan dilakukan dari LSB.
Operasi Pengurangan Aritmatika Heksadesimal
Pengurangan tanpa peminjaman 9 4 5 16 5 – 4 = 1
3 2 4 16 - 4 – 2 = 2
6 2 1 16 9 – 3 = 6
A B C 16 12 – 4 = 8
5 1 4 16 - 11 – 1 = 10 = A
5 A 8 16 10 – 5 = 5
Contoh
Pengurangan dengan peminjaman
9 2 5 416 4 + 16 – 6 = 14 = E
3 7 7 6 16- 4 + 16 – 7 = 13 = D
5 A D E 16 1 + 16 – 7 = 10 = A
8 – 3 = 5
Contoh
Perkalian bilangan heksadesimal dilakukan sama dengan bilangan desimal.
Seperti halnya perkalian biner, perkalian heksadesimal pun dalam ALU akan dilakukan dengan operasi penjumlahan sebanyak perkalian yang diinginkan.
Operasi Perkalian Aritmatika Heksadesimal
Tidak terjadi carry pada perkalian tetapi terjadi carry pada penjumlahannya.
Aritmatika Perkalian 8 9 16 1 x 9 = 9
1 1 16 x 1 x 8 = 8
8 9 1 x 9 = 9 8 9 + 1 x 8 = 8 9 1 9 16
Aritmatika Penjumlahan 9 + 0 = 9 8 + 9 = 17 – 16 = 1 carry 1 8 + 1 (carry) = 9
Contoh
Terjadi carry pada perkalian dan penjumlahan
Aritmatika Perkalian 4 A 16 5 x 10 = 50 – 16 = 34 – 16 = 18 – 16 = 2 carry 3 3 5 16x 5 x 4 = 20 + 3 (carry) = 23 – 16 = 7 carry 1 1 7 2 3 x 10 = 30– 16 = 14 = E carry 1 D E + 3 x 4 = 12 + 1 (carry)= D F 5 2 16
Aritmatika Penjumlahan 2 + 0 = 2 14 + 7 = 21 – 16 = 5 carry 1 1 + 13 + 1 (carry) = 15 = F Aritmatika perkalian A 6 16 6 x 12 = 72 – ( 16 x 4 ) = 8 carry 4 1 C 16x 12 x 10 = 120 + 4 = 124 – ( 16x7)= 12 = C carry 7 7 C 8 1x 6 = 6 A 6 + 1 x 10 = 10 = A 1 2 2 8 16
Aritmatika penjumlahan 8 + 0 = 8 12 + 6 = 18 – 16 = 2 carry 1 7 + 10+1 = 17 + 1 = 18 – 16 = 2 carry 1
Pembagian bilangan heksadesimal cukup rumit dan dilakukan seperti halnya dengan pembagian bilangan desimal.
Operasi Pembagian Aritmatika Heksadesimal
11 16 / 919 16 \ 89 16
88 -
9 9 9 9 - 0 Uraian : 1 1 16 1 1 16
8 16 x 9 16 x
8 88 9 9 16
Contoh
35 16 / F 5 2 16 \ 4 A 16
D4 - 2 1 2 2 1 2 - 0 Uraian : Aritmatika Perkalian 3 5 16 5 x 4 = 20 – 16 = 4 carry 1 4 16 x 4 x 3 +1 = 13 = D D E 16 Aritmatika Perkalian 3 5 16 5 x 10 = 50 – ( 16 x 3 ) = 2 carry 3 A 16 x 3 x 10 = 30 + 3 = 33 – ( 16x2 )= 1 carry 2 2 1 2 16
Contoh
A6 16 / 1 2 2 8 16 \ 1 C 16
A 6 -
7 C 8 7 C 8 - 0 Uraian : Aritmatika Perkalian A 6 16 6 x 1 = 6
1 16 x 1 x 10= 10 = A
A 6 16
Aritmatika Perkalian A 6 16 6 x 12 = 72 – ( 16 x 4 ) = 8 carry 4
C 16 x 10 x 12 = 120 + 4 =124 – ( 16x7)= C carry 7
7 C 8 16
Contoh
Kerjakan Latihan. Dikumpulkan pekan depan
PR Individu