slide himpunan bagi 1

logo

HIMPUNAN

Kusbudiono

Fakultas Matematika dan ILmu Pengetahuan AlamJurusan Matematika

2011

logo

Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian

Outline

1 Definisi dan Jenis-jenis HimpunanDefinisi HimpunanJenis-jenis HimpunanSoal-soal Latihan

2 Relasi HimpunanSoal-soal Latihan

3 Operasi HimpunanOperasi Dasar HimpunanSifat-sifat Operasi HimpunanOperasi Jumlah dan Selisih HimpunanSoal-soal Latihan

4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian

logo


Definisi Himpunan

Definisi Himpunan

Berikut adalah beberapa hal tentang himpunan:Himpunan pada dasarnya adalah kumpulan objek.Dalam himpunan ‘tradisional’ kumpulan ini dibatasi denganjelas, dalam arti dengan jelas dapat ditentukan apakahsuatu objek termasuk dalam suatu kumpulan atau tidak.Dalam himpunan ‘tradisional’ tidak ada perbedaan tingkatkeangggotaan suatu objek pada suatu himpunan.Himpunan sering juga disebut gugus.

logo


Definisi Himpunan

Definisi Himpunan

DefinisiHimpunan adalah kumpulan objek-objek yang dibatasi dengantegas.

logo


Definisi Himpunan

Cara menuliskan himpunan dan unsur himpunan

Himpunan pada umumya dinotasikan dengan huruf besar.Objek yang menjadi angggota ditulis diatara kurungkurawal, {}. Objek yang menjadi anggota suatu himpunandisebut unsur atau elemen.Unsur-unsur suatu himpunan dapat dinyatakan denganmenulis keseluruhannya (disebut cara tabulasi ataudengan menulis aturan yang menjadi ciri (disebut cararumusan atau deskripsi).

logo


Definisi Himpunan

Cara menuliskan himpunan dan unsur himpunan

ContohA = {2,3,5,7,11,13,17}, maka dengan jelas dapat ditentukan

i 2 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 ∈ A.

ii 3 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 3 ∈ A.

iii 4 bukan merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 4 6∈ A.

Himpunan A dapat juga dinyatakan sebagai himpunan bilanganprima sama atau dibawah 17, dalam notasi matematika

A = {x |x ≤ 17 ∧ x : prima} atau

A = {x : x ≤ 17 dan x adalah prima} atau

A = {x ; x ≤ 17 dan x adalah prima}

Antara x dan deskripsinya umumnya digunakan tanda “|”, namun adajuga yang menggunakan tanda “:” dan “;”.

logo


Definisi Himpunan

Contoh himpunan

ContohG adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara150 cm sampai dengan 165 cm dan dengan berat badan dari50kg sampai dengan 60 kg. Dalam kumpulan ini jelas kriteriauntuk menjadi anggota, dalam arti, setiap kita mengambilseorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur dengan pasti,dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah diatermasuk dalam kategori dimaksud. Jadi G adalah suatuhimpunan.

logo


Definisi Himpunan

Contoh bukan himpunan

ContohM adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan initidak jelas kriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukanmerupakan suatu himpunan, karena jika kita mengambilseorang gadis, tidak jelas apakah dia termasuk gadis manisatau tidak.

logo


Jenis-jenis Himpunan

Himpunan Semesta

DefinisiHimpunan semesta, dinotasikan dengan S atau U adalahhimpunan dari semua objek yang dibicarakan (menjadipembicaraan)

Himpunan semesta disebut juga himpunan universal (universalset).

ContohBeberapa contoh himpunan semesta misalnya

i U adalah himpunan bilangan riil,ii U adalah himpunan manusia.

logo



Kardinal suatu himpunan

DefinisiKardinal suatu himpunan adalah banyaknya unsur darihimpunan tersebut. Kardinal himpunan A dinotasikan dengan#(A)

ContohUntuk A = {1,3,5,7,9}, maka #(A) = 5.

logo



Jenis himpunan berdasarkan kardinalnya

Dilihat dari kardinalnya himpunan dapat dibedakan menjadihimpunan kosong, himpunan berhingga dan himpunantakhingga.

DefinisiHimpunan kosong atau empty set atau void set, dinotasikandengan ∅ atau {} adalah himpunan yang tidak memiliki unsurdengan kata lain

A = ∅ jika dan hanya jika #(A) = 0

logo



Jenis himpunan berdasarkan kardinalnya

DefinisiHimpunan berhingga atau finite set adalah himpunan yangkardinalnya 0 atau merupakan bilangan asli tertentu

A himpunan berhingga jika dan hanya jika 0 ≤ #(A) <∞

DefinisiHimpunan takhingga adalah himpunan yang kardinalnya takhingga

A himpunan takhingga jika dan hanya jika #(A) =∞

logo



Contoh jenis-jenis himpunan

ContohH adalah himpunan manusia berkaki lima adalah merupakanhimpunan kosong.

ContohA = {2,3,5,7} adalah merupakan himpunan berhingga.

ContohN himpuan seluruh bilangan bulat adalah merupakanhimpunan takhingga.

logo



A

S = U

Gambar: Contoh Diagram Venn

Himpunan dapat diilustrasikan dengan diagram yang disebutdiagram Venn. Diagram Venn terdiri atas persegi panjanguntuk mengambarkan himpunan semesta, kurva tertutup untukmenggambarkan himpunan dan titik-titik untukmenggambarkan unsur-unsur himpunan seperti pada Gambar1.

logo


Soal-soal Latihan

1. Tuliskan himpunan berikut menurut cara tabulasi,1 A = {x |x2 = 16}2 B = {x |x − 2 = 5}3 C = {x |x positif dan x negatif}4 D = {x |x huruf dalam kata “gunung”}

2. Tuliskan himpunan berikut menurut cara deskripsi,1 E = {a,b, c,d ,e}2 F = {2,4,8,16,32, . . .}3 G = {3}4 H = himpunan bilangan riil x yang memenuhi x2 − 2 ≤ 0 ={x | −

√2 ≤ x ≤

√2, x ∈ R}

logo


Soal-soal Latihan

3. Diantara himpunan pada soal nomer 1 dan 2 diatas,tunjukkanlah mana yang merupakan himpunan kosong,himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga.

logo


Outline

1 Definisi dan Jenis-jenis HimpunanDefinisi HimpunanJenis-jenis HimpunanSoal-soal Latihan

2 Relasi HimpunanSoal-soal Latihan

3 Operasi HimpunanOperasi Dasar HimpunanSifat-sifat Operasi HimpunanOperasi Jumlah dan Selisih HimpunanSoal-soal Latihan

4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian

logo


Himpunan saling lepas

Definisi (Himpunan Saling lepas)Dua himpunan dikatakan saling lepas disjoint set jika keduahimpunan itu sama sekali tidak memiliki unsur bersama.

A||B jika dan hanya jika ∀x , (x ∈ A→ x 6∈ B) ∧ (x ∈ B → x 6∈ A)

logo


Himpunan sama dan himpunan salingberpotongan

Definisi (Himpunan berpotongan)Dua himpunan dikatakan berpotongan (dinotasikan G) jikakedua himpunan itu memiliki beberapa unsur bersama.

A G B jika dan hanya jika ∃x 3 x ∈ A ∧ x ∈ B

Definisi (Himpunan sama)Dua himpunan dikatakan sama jika semua unsurmasing-masing himpunan merupakan unsur bersama.

A = B jika dan hanya jika ∀x , x ∈ A↔ x ∈ B

logo


Himpunan ekuivalen dan Himpunan bagian

Definisi (Himpunan ekuivalen)Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika keduanya memilikikardinal yang sama.

A ≡ B ↔ #(A) = #(B)

Definisi (Himpunan bagian)Suatu himpunan dikatakan himpunan bagian (subset) darihimpunan lain, jika seluruh unsurnya merupakan unsurhimpunan lain tadi.

A ⊆ B ↔ ∀x , (x ∈ A⇒ x ∈ B)

logo


Kesamaan dua himpunan

Teorema (Kesamaan dua himpunan)

A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

ContohJika A = {2,3,5} dan B = {1,2,3,4,5} maka A ⊆ B.

logo


U=S

B

A

C

D

Gambar: Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan

Ilustrasi himpunan bagian, himpunan lepas dan himpunanberpotongan diberikan pada Gambar 2. Pada gambar tersebutdiilustrasikan A ⊆ B, A maupun B masing-masing lepasdengan C maupun D, namun C berpotongan dengan D.

logo


Teorema

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga yangbersifat A ⊆ B dan A ≡ B, maka A = B

Definisi (Keluarga himpunan)Keluarga himpunan adalah himpunan yang unsur-unsurnyaadalah himpunan-himpunan.

logo


Definisi (Himpunan kuasa)Himpunan kuasa dari suatu himpunan adalah keluargahimpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunantadi.

PA = {B|B ⊆ A}

logo


ContohJika A = {1,3,5} dan B = {2,4,6,8}, maka A||B.

ContohJika C = {4,5,7,9} dan D = {5,7,11,12,15}, maka Cberpotongan dengan (G)D

ContohA = {2,3,5} dan B = {3,2,5} adalah merupakan himpunanyang sama.

logo


ContohJika A = {2,3,4},B = {2,3,5},C = {a,b, c} maka

i A ≡ B ≡ Cii A G B

iii A||C dan B||C

ContohJika A,B,C adalah suatu himpunan, maka K = {A,B,C}adalah keluarga himpunan.

ContohJika A = {1,2}, maka PA = {{}, {1}, {2}, {1,2}}. JikaB = {a,b, c} makaPB = {{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a, c}, {b, c}, {a,b, c}}

logo


TeoremaJika #(A) = n maka #(PA) = 2n.

logo


Soal-soal Latihan

Jawablah pertanyaan berikut dan jelaskanlah!1 Jika A = {2, {4,5},4}, apakah pernyataan berikut benar?

1 {4,5} ⊆ A;2 {4,5} ∈ A3 {{4,5}} ⊆ A4 5 ∈ A5 {5} ∈ A6 {5} ⊆ A

2 Jika A = {3, {1,4}}, tentukanlah keluarga semuahimpunan bagiannya, yakni PA

slide himpunan bagi 1

Documents