skripsi · 2010-02-10 · skripsi ruang lp lebesgue sebagai salah satu syarat untuk memperoleh...

SKRIPSI

RUANG PL LEBESGUE

ISMAIL 02/154094/PA/08715

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA 2007

SKRIPSI

RUANG PL LEBESGUE

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana S1 Program Studi Matematika pada Jurusan Matematika

ISMAIL 02/154094/PA/08715

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA 2007

Takut akan TUHAN adalah permulaan pengetahuan, tetapi orang bodoh menghina hikmat dan didikan. (Amsal 1:7) Serahkanlah perbuatanmu kepada TUHAN, maka terlaksanalah segala rencanamu

TUHAN membuat segala sesuatu untuk tujuannya masing-masing. (Amsal 16: 3-4a)

Dan ajarlah mereka melakukan segala sesuatu yang Kuperintahkan kepadamu. Dan ketahuilah Aku menyertai kamu sampai kepada akhir zaman. (matius 28: 20)

Persembahan Terindah Untuk : Bapak dan mama tercinta,

Kak Nina, kak Jusy, kak Eda, adikku Ade, serta Yuni, Askar dan Hans.

Yang selalu memberi kepercayaan, kesempatan, dukungan, doa serta cinta.

Hadiah terindah dari Allah buatku adalah keluarga ini.

iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah yang Maha kuasa, atas berkat serta penyertaan-

Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Skripsi dengan judul “ Ruang Lebesgue” disusun sebagai salah satu

syarat untuk memperoleh gelar sarjana strata 1 di Program Studi Matematika

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Gadjah Mada.

pL

Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak

yang telah membantu penulisan skripsi ini:

1. Bapak Yusuf M.A Math sebagai dosen pembimbing yang telah

bersedia meluangkan waktu dan pikiran dengan penuh kesabaran

hingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Mochammad Tari, M.si selaku dosen wali akademik

atas segala pengarahan selama penulis belajar di Fakultas MIPA

Universitas Gadjah Mada.

3. Dosen pengajar di Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada yang

telah membimbing penulis dalam proses belajar.

4. Bapak dan Mama tercinta.

5. Kakak-kakakku: Kak Nina dan keluarga, Kak Jusy, Kak Eda dan

keluarga dan dukungan yang sangat berarti dari adikku Ade Amran

Lolo serta ponakan-ponakanku: Yuni, Askar dan Hans.

6. Mbak Nalvin dan Wenda.

iv

7. Om dan tante serta sepupu-sepupu di kampung.

8. Teteh, Mpoq, Nuri, Mas Udhin dan semua mahasiswa matematika

angkatan 2002.

9. Anak kost Pangkur dan Blimbing Sari.

10. (Alm.) Nancy, Astry, Lidia, Wika, Iis dan Sesilia terima kasih telah

berbagi banyak hal tentang kehidupan dan memberi semangat saat

pengerjaan skripsi ini.

11. Semua teman-teman KKN, terutama Sub-Unit Jatiroto: Maber,

Paber, tante Tuty, Brtot, sesilia.

12. Semua teman-teman relawan Gerakan Kemanusiaan Indonesia,

salut buat kalian . Tuhan memberkati.

Penulis menyadari penulisan Skripsi ini masih jauh dari sempurna.

Karenanya penulis mengharapkan saran dan kritik yang sifatnya

membangun sehingga skripsi ini dapat memberi manfaat.

Yogyakarta, Juni 2007

penulis

v

INTISARI

RUANG LEBESGUE pL

Oleh:

ISMAIL 02/154094/PA/08715

Dalam skripsi ini dipelajari mengenai ruang Lebesgue, dimulai dengan mendefinisikan kelas-kelas dalam ruang Lebesgue, yang dibentuk berdasarkan fungsi terintegral Lebesgue dan essensial supremum suatu fungsi dalam . Kemudian mendefinisikan norma dalam , ruang tersebut merupakan ruang Banach menurut norma yang telah didefinisikan sebelumnya.

pLpL

pLpL

vi

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………..i

LEMBAR PENGESAHAN……………………………………………………….ii

LEMBAR PERSEMBAHAN…………………………………………………….iii

KATA PENGANTAR……………………………………………………………iv

INTISARI…………………………………………………………………………vi

DAFTAR ISI…………………………………………………………………..…vii

DAFTAR SIMBOL………………………………………………………………..x

BAB I PENDAHULUAN…………………………………………………………1

II.1 Latar Belakang …………………...……………………………………..1

II.2 Maksud dan Tujuan………………………………………………………2

II.3 Batasan Masalah………………………………………………………….2

II.4 Tinjauan Pustaka…………………………………………………………2

II.5 Metode Penulisan………………………………………………………...2

II.6 Sistematika Penulisan…………………………………………………….2

BAB II DASAR TEORI…………………………………………………………...4

II.1 Himpunan……………..…………………………………………………4

II.2 Beberapa Konsep Dalam …………………………………………….6

II.3 Supremum dan Infimum………………………………………………...9

II.4 Barisan Dalam dan Kekonvergenannya..…………………………...10

II.5 Kekontinuan Fungsi …………………………………………………...14

II.6 Ruang Linear…………………………………………………………...17

vii

II.7 Ruang Metrik dan Ruang Bernorma…………………………………...21

BAB III HIMPUNAN TERUKUR, FUNGSI TERUKUR DAN INTEGRAL

LEBESGUE……………………………………………………………30

III.1 Himpunan Terukur……………………………………………………..30

III.2 Fungsi Terukur………………………………………………………...42

III.3 Integral Lebesgue……………………………………………………...49

BAB IV RUANG LEBESGUE………………………………………………56 pL

IV.1 Kelas-kelas …………………………………………………………56 pL

IV.2 Pertidaksamaan Holder dan Minkowski……………………………….61

IV.3 Ruang Banach ……………………………………………………...70 pL

IV.4 Kekonvergenan Rata-rata………………………………………………74

IV.5 Sifat-sifat Ruang ……………………………………………………77 pL

IV.6 Fungsional Linear Terbatas dalam …………………………………80 pL

BAB V KESIMPULAN………………………………………………………...90

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………92

viii

DAFTAR SIMBOL

∈ : elemen/anggota

∉ : bukan anggota

∅ : himpunan kosong

⊆ : himpunan bagian

∪ : gabungan atau union

∩ : irisan atau intersection

∃ : terdapat

∀ : untuk semua

: himpunan semua bilangan real

: himpunan semuan bilangan asli

: himpunan semua bilangan kompleks

■ : bukti selesai

:f A B→ : fungsi atau pemetaan dengan domain A dan range B

f g∼ : f ekuivalen g

( )N aδ : persekitaran a dengan jari-jariδ

cA : komplemen dari A

A : aljabar himpunan

( )l I : panjang interval I

( )*m E : ukuran luar Lebesgue E

( )m E : ukuran Lebesgue E

ix

Eχ : fungsi karakteristik

Ef∫ : integral Lebesgue fungsi f pada E

. : norma

( ), .X : ruang bernorma

⇒ : implikasi

⇐ : biinplikasi

( )pL E : kelas fungsi yang terintegral (p-integrable) terhadap E

.p

: norma pada pL

( )b

af x dxℜ∫ : integral Reimann fungsi f pada [ ],a b

x

BAB I PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang Masalah

Analisis merupakan salah satu bagian dari matematika, disamping aljabar

kombinatorika, teori himpunan, geometri, topologi dan matematika terapan.

Hal-hal yang dibahas dalam analisis adalah bagian-bagian yang terkait

dengan objek-objek abstrak, seperti: himpunan-himpunan bilangan, titik-titik

geometri atau himpunan fungsi-fungsi yang memetakan bilangan ke bilangan atau

titik ke titik.

Dalam analisis telah banyak dibahas mengenai ruang dan sifat-sifatnya,

misalnya ruang fungsi-fungsi terukur dan norma yang didefinisikan dengan

integral.

Ruang Lebesgue termasuk salah satu ruang yang dibangun dari fungsi-

fungsi terukur dan norma yang didefinisikan dengan integral. Kegunaan ruang

yang dibangun dari fungsi terukur dalam bidang statistik dan beberapa bidang

lainnya mengakibatkan ruang Lebesgue sangat penting untuk dipelajari dan

dibahas.

pL

pL

I.2 Maksud dan Tujuan

Selain untuk memenuhi syarat kelulusan program strata -1 (s1) Program

Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan

1

untuk mempelajari masalah ruang Lebesgue, sifat kelengkapan serta sifat-sifat

yang lainnya.

pL

I.3 Batasan Masalah

Pada penyusunan skripsi ini yang dipelajari adalah kelas-kelas ruang

Lebesgue, sifat-sifat ruang Lebesgue dan fungsional linear terbatas dalam

ruang Lebesgue.

pL

pL

pL

I.4 Tinjauan Pustaka

Himpunan dan beberapa sifatnya serta beberapa konsep dalam himpunan

semua bilangan real sudah banyak dibahas oleh Robert G. Bartle dan Donald

R. Shebert (1982). Selain itu masalah Ruang Linear, sub ruang dibahas oleh

Howart Anton (1992).

Selanjutnya, pengertian tentang ukuran, himpunan terukur, fungsi terukur

dan Integral Lebesgue serta masalah lainnya dibahas oleh P.K. Jain dan V.P.

Gupta (1976) serta Whedee (1977).

I.5 Metode Penulisan

Metode penulisan adalah studi literature. Penulis mempelajari referensi-

referensi yang berkaitan dengan ruang Lebesgue, serta bahan-bahan

pendukung lain yang mendukung penyusunan skripsi ini.

pL

2

I.6 Sistematika Penulisan

Penulisan skripsi ini akan dibagi dalam beberapa bab. Susunan pembagian

bab-bab tersebut adalah:

Bab I: Pendahuluan. Pada bab ini akan dibahas latar belakang, maksud dan

tujuan, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penulisan dan sistematika

penulisan.

Bab II: Dasar teori. Pada bab ini akan dibahas dasar-dasar teori yang akan

digunakan pada bab-bab selanjutnya seperti ruang linear, ruang metrik,

kekonvergenan pada fungsi bernilai real, serta teori-teori lainnya yang membantu.

Bab III: Himpunan terukur, Fungsi Terukur dan Intergral Lebesgue. Pada

bab ini akan dibahas mengenai ukuran Lebesgue, fungsi terukur Lebesgue dan

integral Lebesgue.

Bab IV: Ruang Lebesgue. Pada bab ini akan mengenai kelas-kelas

yang ada dalam ruang Lebesgue, pertidaksamaan Holder dan Minkowski,

ruang Banach , sifat-sifat ruang Lebesgue dan fungsional linear terbatas

dalam ruang Lebesgue.

pL

pL

pL pL

pL

Bab V: Kesimpulan. Bab ini berisi kesimpulan dari materi-materi yang

telah dibahas pada bab sebelumnya.

3

BAB II

DASAR TEORI

Pada bab ini diberikan beberapa definisi dan teorema yang digunakan

sebagai pendukung di dalam penyusunan skripsi ini.

II.1 Himpunan

Dalam sub bab ini dibicarakan pengertian himpunan, operasi dan sifat

yang berlaku pada himpunan, serta pengertian tentang relasi dan fungsi.

Definisi 2.1.1

Himpunan adalah sekumpulan elemen-elemen atau unsur yang memenuhi

suatu aturan keanggotaan tertentu.

Jika x anggota himpunan H, dinotasikan dengan x H∈ .

Definisi 2.1.2

Himpunan K disebut himpunan bagian H, ditulis dengan notasi ,

jika setiap anggota K menjadi anggota H.

K H⊂

Definisi 2.1.3

Irisan (intersection) dua himpunan H dan himpunan K didefinisikan

sebagai himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua anggota yang

sekaligus berada di dalam himpunan H dan di dalam himpunan K.

4

Irisan himpunan H dan himpunan K dinotasikan dengan . H K∩

Definisi 2.1.4

Gabungan (Union) dua himpunan H dan himpunan K didefinisikan

sebagai himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua anggota yang

berada di dalam himpunan H atau didalam himpunan K.

Gabungan himpunan H dan himpunan K dinotasikan dengan . H K∪

Definisi 2.1.5

Diberikan sebarang himpunan A dan Himpunan B.

(i) Relasi dari A ke B adalah perkawanan anggota-anggota

himpunan A dan anggota himpunan B.

(ii) Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memenuhi syarat setiap

anggota himpunan mempunyai tepat satu kawan di himpunan B.

Fungsi f dari A ke B dinotasikan dengan :f A B→ .

Definisi 2.1.6

Diberikan sebarang dua himpunan A dan himpunan B serta fungsi

:f A B→ . Fungsi f dikatakan bijektif jika memenuhi syarat sebagai berikut:

(i) Jika ( ) ( )1 2f x f x= maka 1 2x x= , untuk setiap 1 2,x x ∈ A dan

(ii) Untuk setiap y B∈ terdapat x A∈ sehingga ( )y f x=

Dari Definisi 2.1.6 akan diberikan definisi dua himpunan yang ekuivalen.

5

Definisi 2.1.7

Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika terdapat fungsi bijektif

:f A B→ .

Definisi 2.1.8

Suatu himpunan A dikatakan berhingga (finite) jika A ekuivalen dengan

{ }1, 2,3, n… untuk suatu n∈ , jika tidak demikian disebut tak berhingga

(infinite).

Definisi 2.1.9

Himpuanan A dikatakan terhitung (countable) jika A ekuivalen dengan

, dan jika tidak demikian disebut tak terhitung (uncountable).

II.2 Beberapa Konsep Dalam

Dalam sub bab berikut ini akan dipelihatkan beberapa konsep dalam

seperti: persekitaran, titik limit, kekonvergenan dan konsep-konsep lain yang

berkaitan.

Definisi 2.2.1

Diberikan dan a∈ 0δ > , persekitaran titik a dengan jari-jari

δ didefinisikan sebagai

( ) { }:N a x x aδ δ= ∈ − < .

6

Definisi 2.2.2

Diberikan himpunan A⊂ .

Titik disebut titik limit A jika setiap c∈ ( )N cδ memuat suatu dengan

atau

a∈

a c≠

c titik limit A jika (hanya jika)

( )( ) ( ) { }( )\N c N c c Aδ δ∀ ∩ ≠ ∅ .

Contoh 2.2.3

Diberikan ( ]0,1A = .

Titik 12

c = , dengan 0δ > maka 1 1 1:2 2 2

N x x xδ12

δ δ δ⎧ ⎫⎛ ⎞ = ∈ − < = − < < +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭

dan diantara 12

dan 12

δ+ selalu ada minimal 1 bilangan rasional dan bilangan

irasional, jadi titik 12

c = titik limit A.

Selanjutnya, berdasarkan definisi titik limit tersebut, akan diberikan

definisi-definisi yang terkait dengan titik limit.

Definisi 2.2.4

Titik-titik anggota A⊂ yang bukan titik limit disebut titik terasing.

7

Definisi 2.2.5

Titik disebut titik dalam (interior point) himpunan a∈ A⊂ jika

terdapat 0δ > sehingga ( )N a Aδ ⊂ .

Setelah diberikan definisi titik dalam, akan diberikan definisi himpunan

terbuka, himpunan tertutup dan liput terbuka.

Definisi 2.2.6

Himpunan A⊂ disebut himpunan terbuka jika semua anggotanya

merupakan titik dalam (interior point).

Definisi 2.2.7

Himpunan A⊂ disebut himpunan tertutup jika cA A= − terbuka.

Definisi 2.2.8

Diberikan sebarang himpunan E ⊂ dan keluarga himpunan

terbuka dalam . Keluarga himpunan disebut liput terbuka (open cover)

jika

H

H

1i

i

E G∞

=

⊂∪ dengan iG ∈H , i∀ . Selanjutnya, jika serta liput

terbuka E maka B disebut liput bagian (sub cover) dari untuk E.

⊂B H B

H

8

II.3 Supremum dan Infimum

Berikut ini diberikan definisi batas atas, batas bawah, supremum dan

infimum suatu himpunan.

Definisi 2.3.1

Diberikan himpunan S ⊂ , S ≠ ∅ .

a) Bilangan real u disebut batas atas himpunan S jika x u≤ untuk setiap x S∈ .

Jika S mempunyai batas atas maka A dikatakan terbatas ke atas.

b) Bilangan real v disebut batas bawah himpunan S jika x v≥ untuk setiap

x S∈ .

Jika S mempunyai batas bawah maka A dikatakan terbatas ke bawah.

c) S dikatakan terbatas jika S mempunyai batas atas dan batas bawah.

Definisi 2.3.2

Diberikan himpunan S ⊂ , S ≠ ∅ .

1) Bilangan real M disebut batas atas terkecil (supremum) dari S, ditulis

( )supM S= , jika

(i) x M≤ , x S∀ ∈ .

(ii) M u≤ , batas atas S. u∀

2) Bilangan real m disebut batas bawah terbesar (infimum) dari S, ditulis

, jika ( )infm = S

(i) x m≥ , x S∀ ∈ .

9

(ii) M v≥ , batas bawah S. v∀

Setelah diberikan definisi tersebut, maka sifat-sifatnya akan diberikan

dalam teorema berikut.

Teorema 2.3.3

Diberikan himpunan S ⊂ , S ≠ ∅ berlaku.

(i) Jika S terbatas ke atas, maka S mempunyai supremum.

(ii) Jika S terbatas ke bawah, maka S mempunyai infimum

(iii)Jika ( )supM S= , maka untuk setiap 0ε > 0x S∈ sehingga 0M xε− <

(iv) Jika , maka untuk setiap ( )infm = S 0ε > 1x S∈ sehingga 1M xε+ <

(v) Jika , maka A B⊆ sup supA B≤ dan inf infA B≥ .

(vi) Jika x a≤ , x S∀ ∈ , maka ( )sup S a≤

(vii) Jika x a≤ , x S∀ ∈ , maka ( )sup S a≤

II.4 Barisan Dalam dan Kekonvergenannya

Dalam sub bab berikut akan dibicarakan barisan di dalam serta

kekonvergenannya.

10

Definisi 2.4.1

Barisan bilangan real (singkatnya disebut barisan) adalah fungsi dari

ke , barisan ditulis { }nx dengan nx ∈ , untuk setiap n∈ .

Definisi 2.4.2

Titik x∈ disebut titik limit barisan { }nx jika untuk setiap

0ε > terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap berlaku 0n 0n n≥ nx x ε− < .

Dalam hal ini, dikatakan barisan { }nx konvergen ke x, ditulis lim nnx x

→∞= .

Definisi 2.4.3

Barisan { }nx dikatakan terbatas jika terdapat bilangan sehingga 0M ≥

nx M≤ , untuk setiap . n∈

Teorema 2.4.4

Jika barisan { }nx dengan nx ∈ konvergen maka { }nx terbatas.

Bukti

Dimisalkan { }nx konvergen ke x, diambil 1ε = , maka terdapat sehingga

untuk berlaku

0n ∈

0n n≥ 1nx x− < atau dengan kata lain 01 1x x− < − < atau

01 1x x− < < + x . Karena x x≤ maka untuk berlaku 0n n≥ 1nx x< + .

11

Pandang himpunan { }01 2 1, , , ,1nx x x − +… x .

Dipilih { }01 2 1max , , , ,1nM x x x x−= +… maka untuk setiap . n∈ ■nx M≤

Definisi 2.4.5

Diberikan barisan fungsi { }nf , , dengan . Barisan

fungsi

:nf A⊆ → n∈

{ }nf dikatakan konvergen demi titik pada ke fungsi f jika0A ⊆ A 0x A∀ ∈

berlaku ( ) ( )lim nnf x f x

→∞= . Dengan kata lain, barisan ( ){ }nf x konvergen ke

( )f x .

Contoh 2.4.6

Barisan fungsi { }nf dengan :nf →

( )1f x x=

( )2 / 2f x x=

( )3 / 3f x x=

( ) /nf x x= n

( ) 1lim lim lim 0 0nn n n

xf x x xn n→∞ →∞ →∞

= = = ⋅ =

12

Jadi ( ){ }nxf xn

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

konvergen titik demi titik ke fungsi dengan :f →

( ) 0f x = . x∀ ∈

Definisi 2.4.7

Barisan fungsi { }nf , dikatakan konvergen seragam

(uniformly convergent) ke fungsi pada . Jika untuk setiap

:nf A⊆ →

0:f A A⊆ → 0A

0ε > terdapat , sehingga untuk setiap dan untuk setiap k ∈ n k≥ 0x A∈

berlaku ( ) ( )nf x f x ε− < .

Contoh 2.4.8

Diberikan barisan fungsi { }nf , dengan dan :nf → ( )nxf xn

=

Untuk , maka barisan bilangan real 1x = ∈ ( ){ } 11nf n⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

konvergen ke 0.

Untuk , maka barisan bilangan real 10x = ∈ ( ){ } 1010nf n⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

konvergen ke 0.

Jadi, barisan fungsi { }nf konvergen titik demi titik pada ke fungsi

dengan :f → ( ) 0f x = x∀ ∈ .

Barisan fungsi { }nf tidak konvergen seragam pada sebab untuk 0 1ε = untuk

setiap terdapat dengan kn ∈ ix ∈ kn k= dan knx k= dengan sifat

13

( ) ( ) ( ) ( )k k k kn n n nf x f x f k f k− = −

01 0 1 ε= − = ≥

II.5 Kekontinuan Fungsi

Pada bagian fungsi ini dibicarakan pengertian fungsi kontinu dan sifat-sifat

fungsi kontinu.

Definisi 2.5.1

Suatu fungsi yang didefinisikan pada A dikatakan terbatas jika terdapat

sehingga untuk setiap 0M ≥ x A∈ berlaku ( )f x M≤ .

Definisi 2.5.2

Diberikan A⊂ dan a A∈ .

Fungsi dikatakan Kontinu di a jika untuk setiap :f A→ 0ε > terdapat

0δ > sehingga untuk setiap x A∈ dengan x a δ− < berlaku ( ) ( )f x f a ε− < .

Setelah diberikan pengertian tentang fungsi kontinu, maka akan diberikan

sifat-sifat fungsi kontinu dalam teorema berikut.

14

Teorema 2.5.3

Jika f kontinu di c, maka terdapat ( )N cδ dan sehingga untuk 0M >

( )x N cδ∈ berlaku ( )f x M≤

atau dengan kata lain, jika f kontinu di c, maka f terbatas pada suatu ( )N cδ

Bukti

Ambil 1ε = , terdapat 0δ > sehingga untuk x A∈ dengan x c δ− < berlaku

( ) ( ) 1f x f c− < .

Karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1f x f c f x f c f x f c− ≤ − ≤ − < , maka

( ) ( )1f x f< + c , untuk ( )x A N cδ∈ ∩ . ■

Teorema 2.5.4

Jika fungsi-fungsi kontinu di c, :f g A→ A∈ , maka fungsi-fungsi

, ,f g fg kf+ kontinu di c.

Bukti

(i) Ambil sebarang 0ε > . Karena f kontinu di c, maka terdapat 1 0δ > sehingga

untuk x A∈ dan 1x c δ− < berlaku ( ) ( )f x f c ε− < .

15

Karena g kontinu di c, maka terdapat 2 0δ > sehingga untuk x A∈ dan 2x c δ− <

berlaku ( ) ( )g x g c ε− < .

Untuk x c δ− < dengan { }1 2min ,δ δ δ= .

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f g c f x g x f c g c+ − + = + − −

( ) ( ) ( ) ( )f x f c g x g c≤ − + −

2ε ε ε< + = .

Karena ε sebarang, maka berlaku

( )( ) ( )( )f g x f g c ε+ − + < .

Jadi f g+ kontinu di c.

(ii) Ambil sebarang 0ε > .

Karena f terbatas, maka terdapat ( )1

N cδ dan terdapat sehingga untuk 0M >

( )f x M≤ , ( )x N cδ∀ ∈ .

Karena f kontinu di c, maka terdapat 2 0δ > sehingga untuk x A∈ dan 2x c δ− <

berlaku ( ) ( ) / 2f x f c Mε− < .

Karena g kontinu di c, maka terdapat 3 0δ > sehingga untuk x A∈ dan 3x c δ− <

berlaku ( ) ( ) ( )/ 2g x g c g cε− < .

Pilih { }1 2 3min , ,δ δ δ δ= .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fg x fg c f x g x f c g c− = −

16

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g c f x g c f c g c= − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g c f x g c f c g c≤ − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g c f x f c g c= − + −

( )M g cε ε< +

( )( )M g cε= +

ε=

Jadi fg kontinu di c.

(iii) Ambil 0ε > sebarang. Karena f kontinu di c, maka terdapat 0δ > sehingga

untuk untuk x A∈ dan x c δ− < berlaku ( ) ( ) 1f x f c kε− < +

( ) ( ) ( ) ( )( )kf x kf c k f x f c− = −

( ) ( )k f x f c= −

1k kε< +

Jadi kf kontinu di c. ■

II.6 Ruang Linear

Pada sub bab ini diberikan pengertian tentang ruang linear.

17

Definisi 2.6.1

Himpunan X disebut ruang linear atas lapangan , jika X dilengkapi

dengan operasi jumlahan dan operasi perkalian skalar dan memenuhi aksioma-

aksioma berikut.

1. Jika ,x y X∈ maka x y X+ ∈ .

2. x y y x+ = + ,x y X∀ ∈ .

3. ( ) ( )x y z x y z+ + = + + , ,x y z X∀ ∈ .

4. terdapat 0 X∈ sehingga 0 0u u u+ = + = untuk setiap u X . ∈

5. untuk u terdapat X∈ u X− ∈ yang disebut negative u, sehingga

. ( ) ( ) 0u u u u+ − = − + =

6. jika k adalah sebarang sklar dan u X∈ maka ku X∈ .

7. , . ( )k u v ku kv+ = + ,u v X∀ ∈

8. . ( )k l u ku lu+ = + u X∀ ∈

9. , . ( ) ( )k lu kl u= u X∀ ∈

10. 1 , . u u= u X∀ ∈

Teorema 2.6.2

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u adalah sebuah vektor pada V

dan k sebuah skalar, maka berlaku

a) 0 u u⋅ =

b) 0 0k =

c) ( )1 u u− = −

18

d) Jika maka 0ku = 0k = atau 0u =

Selanjutnya pengertian tentang ruang bagian dinyatakan dalam definisi

berikut.

Teorema 2.6.3

Himpunan bagian W dari sebuah ruang vektor V disebut ruang bagian

(subspace) V jika W merupakan ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan

perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema 2.6.4

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang

vektor V maka W adalah ruang bagian V jika dan hanya jika kondisi-kondisi

berikut berlaku.

a) Jika u dan v adalah vektor pada W maka u v+ terletak di W.

b) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada

W maka ku berada di W.

19

II.7 Ruang Metrik dan Ruang Bernorma

Dalam sub bab ini akan dibicarakan pengertian ruang metrik, ruang

bernorma, barisan Cauchy kemudian didefinisikan ruang Banach untuk digunakan

pada pembicaraan berikunya.

Definisi 2.7.1

Diketahui himpunan kosong X.

Fungsi yang memenuhi :d X X× →

i ( ), 0d x y ≥ ,x y X∀ ∈ .

ii ( ), 0d x y x y= ⇔ = ,x y X∀ ∈ .

iii ( ) ( ), ,d x y d y x= ,x y X∀ ∈ .

iv ( ) ( ) ( ), ,d x y d x z d z y≤ + , , ,x y z X∀ ∈ .

disebut fungsi jarak atau metrik. Himpunan X yang diperlengkapi dengan metrik

d ditulis ( ),X d .

Definisi 2.7.2

Diberikan X ruang linear atas lapangan bilangan real atau bilangan

kompkles. Norma dalam X merupakan fungsi bernilai real . dalam X dengan

sifat-sifat sebagai berikut:

N1. 0x ≥

dan 0 0x x= ⇔ = x X∀ ∈

20

N2. x y x y+ ≤ + ,x y X∀ ∈

N3. ax a x= x X∀ ∈ dan a skalar

Definisi 2.7.3

Ruang linear X yang dilengkapi dengan norma . dinamakan ruang

linear bernorma atau disingkat ruang bernorma.

Ruang bernorma yang didefinisikan di atas dinotasikan dengan ( ),X

yang sering ditulis dengan X saja.

Contoh 2.7.4

Diketahui [ ],X a b= himpunan semua fungsi pada [ ],a b .

Dengan norma ( ) [ ]{ }sup : ,f f x x a b= ∈ [ ],f a b∀ ∈ .

Maka ( ,X ) merupakan ruang bernorma.

Bukti

Karena [ ],X a b= ruang linear maka cukup ditunjukkan bahwa . suatu norma.

1. Jika [ ],f a b∈ maka ( ) [ ]{ }sup : , 0f f x x a b= ∈ ≥ dan

( ) [ ]{ } ( ) [ ]sup : , 0 0 ,f f x x a b f x x a b= ∈ = ⇔ = ∀ ∈

0f⇔ =

21

N1 dipenuhi

2. [ ],f a b∀ ∈ dan skalar a , akan berlaku

( ) [ ]{ }sup : ,af af x x a b= ∈

( ) [ ]{ }sup : ,a f x x a b= ∈

( ) [ ]{ }sup : ,a f x x a b= ∈

a f=

N2 dipenuhi.

3. [ ], ,f g a∀ ∈ b berlaku ( ) ( ) [ ]{ }sup : ,f g f x g x x a+ = + ∈ b

( ) ( ) [ ]{ }sup : ,f x g x x a b≤ + ∈

( ) [ ]{ } ( ) [ ]{ }sup : , sup : ,f x x a b g x x a b≤ ∈ + ∈

f g= +

N3 dipenuhi.

Jadi, . merupakan norma pada X, dan ( ),X merupakan ruang bernorma. ■

Teorema 2.7.5

Jika ( ),X ruang bernorma maka X merupakan metrik terhadap d

dengan ( ),d x y x y= − ,x y X∀ ∈ .

22

Bukti

Diambil sebarang , ,x y z X∈ sehingga berlaku

1) ( ), 0d x y x y= − ≥

( ), 0 0d x y x y x y x y= − = ⇔ − = ⇔ =

2) ( ) ( )( ), 1d x y x y y x= − = − −

1 y x= − −

y x= −

( ),d y x=

3) ( ) ( ) ( ),d x y x y x z z y= − = − + −

x z z y≤ − + −

( ) ( ), ,d x z d z y= +

Terbukti d merupakan metrik terhadap X. ■

Dengan demikian, terbukti bahwa ( ),X merupakan ruang metrik terhadap d

yang didedfinisikan dengan ( ),d x y x y= − ,x y X∀ ∈ .

23

Definisi 2.7.6

Barisan { }nx didalam ruang bernorma X dikatakan konvergen ke x X∈ ,

jika diberikan 0ε > , terdapat bilangan asli sehingga berlaku N

nx x ε− < untuk setiap n N≥

Dalam hal ini ditulis nx x→ atau lim nnx x

→∞= .

Definisi 2.7.7

Barisan { }nx didalam ruang bernorma X disebut barisan Cauchy jika diberikan

0ε > , terdapat bilangan asli sehingga berlaku N

n mx x ε− < untuk setiap ,n m N≥

Definisi 2.7.8

Suatu ruang bernorma dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy yang

terdapat didalamnya konvergen, jelasnya untuk setiap barisan Cauchy { }nx

dalam X, terdapat elemen x dalam X sehingga nx x→ .

Definisi 2.7.9

Ruang bernorma yang lengkap disebut ruang Banach.

24

Contoh 2.7.10

Ruang dan ruang (himpunan semua bilangan real dan bilangan

kompleks) merupakan ruang Banach dengan norma . didefinisikan sebagai

x x= , ( atau ). x∈

Definisi 2.7.11

Barisan { }nx dalam ruang bernorma X dikatakan terjumlah (summable)

ke suatu jumlahan s jika { }ns yaitu jumlahan parsial dari deret 1

kk

x∞

=∑ konvergen

ke . s X∈

Atau

0ns s− → jika n →∞

1

0n

kk

x s=

− →∑ jika n →∞

Definisi 2.7.12

Barisan { }nx dalam ruang bernorma X dikatakan terjumlah absolute

(absolutely summable) jika

1k

kx

∞

=

< ∞∑ .

25

Teorema 2.7.13

Ruang bernorma X lengkap jika dan hanya jika setiap barisan yang

terjumlah absolute (absolutely summable) dalam X juga terjumlah (summable).

Bukti

⇒ Diketahui ruang bernorma X lengkap.

Diberikan { }nx barisan yang terjumlah absolute dalam X maka

1n

nx M

∞

=

= < ∞∑

Karena itu, untuk setiap 0ε > , terdapat N sehingga

1n

nx ε

∞

=

<∑ .

Katakan 1

n

nk

s=

= kx∑ merupakan jumlahan parsial dari 1

nn

x∞

=∑ . Untuk

diperoleh

n m N≥ >

1

n

n m kk m

s s x= +

− = ∑

1

n

k kk m k N

x x ε∞

= + =

≤ ≤ <∑ ∑ .

Jadi barisan { }ns merupakan barisan Cauchy dalam X, karena X lengkap maka

{ }ns pasti akan konvergen ke suatu s X∈ . Karena itu { }nx terjumlah dalam X.

26

⇐ Diketahui setiap barisan terjumlah absolute dalam X memiliki sifat terjumlah.

Diberikan { }nx barisan Cauchy dalam X maka untuk setiap k, diberikan

1 02kε = > , terdapat sehingga kn

12n m kx x− < , kn m n∀ > .

Dipilih dengan , maka kn 1kn + > kn { }knx merupakan sub barisan dari { }nx , di

bentuk

11 ny x=

2 12 n ny x x= −

1k kk n ny x x−

= −

Diperoleh

1. , 1

k

t nt

y x=

=∑

2. 12t ky < , , 1k >

berakibat

11 1

1 22 1k

kk k

y y y∞ ∞

−

= =

< + = + <∑ ∑ ∞

Jadi, barisan { }nx terjumlah absolute dan karena itu terjumlah ke suatu x X∈ .

27

Karena { }nx berisan Cuchy, diberikan 0ε > terdapat N sehingga

2n mx x ε− < ,n m N∀ >

Lebih lanjut, karena knx konvergen ke x, terdapat K sehingga

2knx x ε− < k K∀ >

Dipilih k sangat besar dan . Karena itu k N> kn N>

k kn n n nx x x x x x− ≤ − + −

2 2ε ε ε< + < n K∀ > . ■

Berikut ini akan diberikan definisi fungsional linear dan fungsional linear

terbatas.

Definisi 2.7.14

Diberikan X ruang bernorma atas lapangan (atau ). Pemetaan

(atau ) disebut fungsional linear pada X jika :f X →

( ) ( ) ( )f x y f x f yα β α β+ = + , untuk setiap ,x y X∈ dan ,α β ∈ (atau ).

Definisi 2.7.15

Suatu fungsional linear f pada ruang bernorma X dikatakan terbatas jika

terdapat sehingga 0K >

28

( )f x K x≤ . x X∀ ∈ (1)

Nilai terkecil K sehingga pernyataan (1) berlaku disebut norma f, ditulis dengan

f . Selanjutnya, diperoleh

( )sup : 0 dan

f xf x x

x

⎧ ⎫⎪ ⎪= ≠⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

X∈

atau

( ){ }sup : dan 1f f x x X x= ∈ =

dan juga

( )f x f≤ x x X∀ ∈ .

29

BAB III

HIMPUNAN TERUKUR, FUNGSI TERUKUR

DAN INTEGRAL LEBESGUE

Pada bab ini diberikan definisi himpunan terukur, fungsi terukur dan integral

Lebesgue, yang digunakan sebagai pendukung dalam pembahasan skripsi ini.

III.1 Himpunan Terukur

Pada bagian ini dibicarakan himpunan terukur dan beberapa sifat-sifatnya.

Definisi 3.1.1

Diketahui X ≠ ∅

Koleksi { : }A A X⊆A = disebut aljabar himpunan

jika

i. ,A B A B∀ ∈ ⇒ ∪ ∈A A

ii. cA A∀ ∈ ⇒ ∈A A

Dengan menggunakan hukum De Morgan jika X ≠ ∅ dan aljabar himpunan

diperoleh

A

,A B A B∈ ⇒ ∩ ∈A A

Definisi 3.1.2

Diberikan dan koleksi X ≠ ∅ { : }A A X⊆A = disebut aljabar_σ jika

i. 1

i ii

A A∞

=

∀ ∈ ⇒ ∈∪A A

30

ii. cA A∀ ∈ ⇒ ∈A A

Pengertian tentang ukuran luar suatu himpunan, diberikan dalam definisi

berikut.

Definisi 3.1.3

Diberikan interval terbatas , dengan titik-titik ujungnya a dan b,

katakan a . Panjang interval I, ditulis l(I) dengan

I ⊆

b≤

( ) l I b a= −

Definisi 3.1.4

Diberikan himpunan { }= / interval terbukaI IJ dan himpunan E ⊂

Ukuran luar Lebesgue atau ukuran luar E didefinisikan sebagai

( ) ( )*

1 1

inf / ,i i ii i

m E l I I E I∞∞

= =

⎧ ⎫= ∈ ⊂⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∪J

Berdasarkan pengertian di atas, dapat ditunjukkan beberapa sifat yang

berkaitan dengan ukuran luar, yang dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema 3.1.5 (Gupta 1976, hal 56)

Diberikan himpunan ,A B ⊂

a) ( )* 0m A ≥ , untuk semua himpunan A.

31

b) ( )* 0m ∅ =

c) Jika diberikan himpunan A dan B dengan A B⊂ maka . ( ) ( )* *m A m B≤

d) ( )* 0m A = untuk setiap himpunan A singleton.

e) Fungsi m* bersifat translasi invariant artinya ( ) (* *m A x m A+ = ) untuk

setiap himpunan A dan x∈ .


Ukuran luar dari suatu interval adalah panjang dari interval tersebut.

Dalam teorema berikut, diperlihatkan bahwa bersifat countable

subadditivity.

*m


Diberikan koleksi terhitung himpunan-himpunan { }nE maka berlaku

( )* *

11n n

nn

m E m E∞ ∞

==

⎛ ⎞≤⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪

Akibat 3.1.8

Jika E himpunan terhitung (countable), maka ( )*m E .

Bukti

Karena himpunan E terhitung, maka dapat dinyatakan dengan

32

{ }1 2, , , ,nE a a a= … …

Diberikan ε > 0, untuk setiap terliput dalam ia iI dengan 1( ) 2l I ε−=

( 1,2, )i = …

diperoleh

( ) ( )* 1

1 1

2ii i

m E l I ε ε∞ ∞

−

= =

≤ = =∑ ∑

Jadi, . ( )* 0m E = ■

Berdasarkan pengertian ukuran luar di atas diperoleh pengertian ukuran

Lebesgue dan pada bagian berikut akan dibicarakan beberapa sifat himpunan

terukur.

Definisi 3.1.9

Himpunan dikatakan terukur Lebesgue selanjutnya dikatakan

terukur jika untuk setiap himpunan

E ⊂

A⊂ berlaku

( ) ( ) ( )* * * cm A m A E m A E= ∩ + ∩

Karena ( ) ( )cA A E A E= ∩ ∪ ∩ dan bersifat countable subadditivity,

maka jelas berlaku

*m

( ) ( ) ( )* * * cm A m A E m A E≤ ∩ + ∩

Oleh karena itu, untuk membuktikan bahwa suatu himpunan E terukur hanya

perlu dibuktikan bahwa berlaku

33

( ) ( ) ( )* * * cm A m A E m A E≥ ∩ + ∩

Pada teorema-teorema berikut diberikan beberapa sifat himpunan terukur.

Teorema 3.1.10

a) Jika E terukur maka juga terukur. cE

b) dan merupakan himpunan terukur. ∅

Bukti

a) Diketahui E terukur berarti untuk A⊂ berlaku

( ) ( ) ( )* * * cm A m A E m A E= ∩ + ∩

( )( ) ( )* *cc cm A E m A E= ∩ + ∩

( ) ( )( )* * cc cm A E m A E= ∩ + ∩

Jadi terukur. cE

b) Terlebih dahulu akan dibuktikan ∅ terukur

Ambil sebarang A⊂

Karena ( maka )A∩∅ ⊂∅ ( ) ( )* * 0m A m∩∅ ≤ ∅ =

Karena ( )cA A∩∅ ⊂ maka ( ) ( )* *cm A m A∩∅ ≤

Diperoleh ( ) ( ) ( )* * * cm m A m A∅ ≥ ∩∅ + ∩∅

∅ terukur

Menggunakan sifat a) diperoleh terukur. ■

34

Teorema 3.1.11

Jika , maka E terukur. ( )* 0m E =

Selanjutnya setiap subset E terukur.

Bukti

Diberikan A sebarang himpunan,

Karena A E E∩ ⊂ diperoleh ( ) ( )* * 0m A E m E∩ ≤ =

dan ( )cA E∩ ⊂ A diperoleh ( ) ( )* *cm A E m A∩ ≤

dan berlaku

( ) ( ) ( )* * * cm A m A E m A E≥ ∩ + ∩

( ) ( ) ( )* * *m A m E m A≥ +

( ) ( )* *0m A m A≥ +

( ) ( )* *m A m A≥ +

Terbukti E terukur. Kemudian akan dibuktikan setiap subset E juga terukur.

Diambil sebarang B E⊂

Maka * *( ) ( )m B m E≤

Akibatnya m* (B) ≤ 0, jadi m* (B) = 0

Menurut bukti sebelumnya, B terukur. ■

Teoreme 3.1.12 (gupta 1976. hal 66)

Jika dan himpunan terukur maka terukur. E 2E 1E E∪ 2

35

Bukti

Diambil sebarang himpunan A⊂

Akan ditunjukkan ( ) [ ]( ) [ ]( )* * *1 2 1 2

cm A m A E E m A E E≥ ∩ ∪ + ∩ ∪

Diketahui himpunan terukur, maka untuk setiap 2E A⊂ berlaku

( ) ( ) ( )* * *2 2

cm A m A E m A E= ∩ + ∩

Akibatnya untuk 1cA E∩ diperoleh

( ) ( ) [ ]( )* * *1 1 2 1c cm A E m A E E m A E E⎡ ⎤∩ = ∩ ∩ + ∩ ∩⎣ ⎦ 2

c (1)

Karena ( ) ( ) ( )1 2 1 2A E E A E A E∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

( ) [ ]( )1 2 1cA E E A E E⎡ ⎤= ∩ ∩ ∪ ∩ ∩⎣ ⎦ 2

2

( ) ( )1 1cA E A E E⎡ ⎤= ∩ ∪ ∩ ∩⎣ ⎦

maka diperoleh

[ ]( ) ( ) ( )* * *1 2 1 1 2

cm A E E m A E m A E E⎡ ⎤∩ ∪ ≤ ∩ + ∩ ∩⎣ ⎦ (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

[ ]( ) [ ]( )* *1 2 1 2

cm A E E m A E E∩ ∪ + ∩ ∪

( ) ( ) [ ]( )* * *1 1 2 1

ccm A E m A E E m A E E⎡ ⎤≤ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∪⎣ ⎦ 2

( ) ( ) ( )* * *1 1 2 1

c cm A E m A E E m A E E⎡ ⎤= ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩⎣ ⎦ 2c

( ) ( ) ( )* * *1 1 2 1

c cm A E m A E E m A E E⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2c

( ) ( )* *1 1

cm A E m A E= ∩ + ∩

36

( )*m A=

Terbukti terukur. 1E E∪ 2 ■

Teorema 3.1.13

Jika himpunan-himpunan terukur Lebesgue yang

saling asing, maka untuk setiap

1 2 , , , nE E E ⊂…

A⊂ berlaku

( )* *

11

n n

i iii

m A E m A E==

⎛ ⎞⎡ ⎤∩ = ∩⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

∑∪

Bukti (dengan induksi matematika)

Untuk n = 1 teorema jelas berlaku karena

( ) ( )* *1 1m A E m A E∩ = ∩

Diandaikan benar untuk n – 1 maka berlaku

( )1 1

* *1

11

n n

iii

m A E m A E− −

==

⎛ ⎞⎡ ⎤∩ = ∩⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

∑∪

selanjutnya akan dibuktikan benar untuk n.

Karena saling asing maka 1 2 , , , nE E E…

( )1 1

*

11

n n

i nii

iA E E m A E− −

==

⎛ ⎞⎡ ⎤∩ ∩ = ∩⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

∑∪

dan

1

1 1

n nc

i ni i

iA E E A E−

= =

⎛ ⎞⎡ ⎤∩ ∩ = ∩⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠∪ ∪

Oleh karena itu

37

1

* * *

1 1 1

n n nc

i i n ii i i

m A E m A E E m A E E−

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∩ = ∩ ∩ + ∩ ∩⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝∪ ∪ ∪ n

⎞⎟⎠

)

( )1

* *

1

n

n ii

m A E m A E−

=

⎛ ⎞= ∩ + ∩⎜ ⎟

⎝ ⎠∪

( ) (1

* *

1

n

n ii

m A E m A E−

=

= ∩ + ∩∑ .

. ■ ( )*

1

n

ii

m A E=

= ∩∑

Teorema 3.1.14

Jika koleksi semua himpunan terukur dalam dinamakan M , maka M

merupakan Aljabar_σ.

Definisi 3.1.15

Diketahui fungsi [ ].: 0m +→ = ∞M .

Untuk setiap , E∈M ( ) ( )*m E m E=

m disebut ukuran Lebesgue.

Teorema 3.1.16

Jika {E} merupakan barisan himpunan terukur, maka

( )11

i iii

m E m E∞ ∞

==

⎛ ⎞≤⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪

Lebih lanjut lagi jika {E} saling asing, maka

38

( )11

i iii

m E m E∞ ∞

==

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ .

Bukti

Dengan mengambil A = menurut Teorema 3.1.7 diperoleh

( )11

i iii

m E m E∞ ∞

==

⎛ ⎞≤⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪

Jika { }iE barisan berhingga himpunan terukur saling asing dengan

mengambil A = di dalam Teorema 3.1.13 diperoleh

( )11

n n

i iii

m E m E==

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪

Jika barisan { }iE infinite dari himpunan terukur saling asing maka

1 1

n

i ii i

E E∞

= =

⊇∪ ∪

Akibatnya

( )11 1

n n

i iii i

m E m E m E∞

== =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑∪ ∪ i

i

i

Jadi

( )11

n

iii

m E m E∞

==

⎛ ⎞≥⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ (i)

Karena ruas kiri (i) tidak tergantung pada n, maka

( )11

iii

m E m E∞ ∞

==

⎛ ⎞≥⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ . (ii)

Menurut Teorema 3.1.7 diperoleh

39

( )11

iii

m E m E∞ ∞

==

⎛ ⎞≤⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ i / (iii)

Dari (ii) dan (iii) diperoleh

( )11

i iii

m E m E∞ ∞

==

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ . ■


Jika { }iE barisan himpunan terukur turun monoton yaitu ; 1i iE E+ ⊆

i = 1, 2, … dan terdapat i dengan ( )im E < ∞ , maka

( )1

limn

i nni

m E E→∞

=

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∩

Akibat 3.1.18 (Gupta 1976, hal 76)

Jika { }iE barisan himpunan terukur turun monoton dan ,

maka

( )im E < ∞

( )1

limi nni

m E E∞

→∞=

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ .

Teorema 3.1.19

Diberikan E himpunan terukur, maka untuk suatu translasi E + y juga

terukur dan

m (E + y) = m (E).

40

Bukti

Diberikan sebarang himpunan A. karena E terukur maka berlaku

( ) ( ) ( )* * * cm A m A E m A E= ∩ + ∩ .

Diketahui bahwa bersifat translasi invariant maka diperoleh *m

( ) [ ]( ) ( )* * * cm A y m A E y m A E y⎡ ⎤+ = ∩ + + ∩ +⎣ ⎦

Karena

[ ] ( ) ( )A E y A y E y∩ + = + ∩ +

dan

( ) ( )c cA E y A y E y⎡ ⎤∩ + = + ∩ +⎣ ⎦

maka

( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )* * * cm A y m A y E y m A y E y⎡ ⎤+ = + ∩ + + + ∩ +⎣ ⎦

Karena A sebarang maka A dapat diganti dengan A – y maka diperoleh

( ) ( ) ( )* * * cm A m A E y m A E y= ∩ + + ∩ +

karena ( )ccE y E y+ = +

jadi E + y terukur. Karena bersifat translasi invarian maka benar bahwa *m

m (E+ y) = m (E). ■

Definisi 3.1.20

Himpunan terukur E dikatakan berukuran nol jika m (E) = 0. Suatu sifat

dikatakan berlaku hampir di mana-mana (almost everywhere) jika sifat tersebut

berlaku pada E kecuali pada himpunan bagian E yang berukuran nol.

41

III.2 Fungsi Terukur

Pada bagian ini dibicarakan pengertian fungsi terukur, yang mempunyai

peranan yang sangat penting untuk mendefinisikan integral Lebesgue.

Definisi 3.2.1

Fungsi bernilai real yang diperluas f yang didefinisikan pada E dikatakan

terukur Lebesgue atau terukur pada E, jika himpunan

( ) ( ){ }:E f a x E f x a> = ∈ > terukur, untuk setiap a∈ .

Berikut ini akan diberikan beberapa operasi dan sifat yang berlaku pada

fungsi terukur.


Diberikan fungsi bernilai real yang diperluas f yang didefinisikan pada E,

maka pernyataan-pernyataan di bawah ini equivalent:

a. Untuk setiap a∈ , E (f > a) terukur.

b. Untuk setiap a∈ , E (f ≥ a) terukur.

c. Untuk setiap a∈ , E (f < a) terukur.

d. Untuk setiap a∈ , E (f ≤ a) terukur.


Diberikan f dan g fungsi-fungsi terukur pada E, dan konstanta c. maka

setiap fungsi di bawah ini terukur

a. f ± c

b. cf

42

c. f + g

d. f – g

e. f

f. 2f

g. fg

h. f / g dengan g (x) ≠ 0, x E∀ ∈ .


Fungsi kontinu yang didefinisikan pada himpunan terukur merupakan

fungsi terukur.


Jika g fungsi terukur pada himpunan terukur E dan didefinisikan fungsi f

kontinu pada range g maka f g merupakan fungsi terukur pada E.

Definisi 3.2.6

Diberikan f fungsi bernilai real. f + bagian positif f dan f − bagian

negatif f. Keduanya didefinisikan sebagai fungsi non-negatif

dengan

f + = max (f, 0),

dan f − = max (-f, 0).

Diperoleh

43

f f f+ −= +

dan

f f f+ −= +

Definisi 3.2.7

Diberikan barisan fungsi { }if dengan if didefinisikan pada E.

sup nn

f menyatakan supremum ( ) ( ){ }1 2, ,f x f x … dengan x E∈ . Demikian halnya

dengan inf nnf .

Selanjutnya, limsup nn

f menyatakan ( ) ( ){ }1 2limsup , ,n

f x f x … dengan x E∈ .

Atau dapat dinyatakan dengan

limsup inf supn n kn n Kf f

≥

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

inf supn nn nf f= −

( ) ( )lim inf limsup sup infn nn kn nkn

f f f≥

= − − = .

Comtoh 3.2.8

Untuk setiap , didefinisikan fungsi n∈ ( ): 0,1f →

( )1 jika 0

10 jika 1n

n xnf x

xn

⎧ < ≤⎪⎪= ⎨⎪ < <⎪⎩

untuk 10 xn

< ≤

( ) ( ){ } { }1 2sup sup , , sup 1,2,3,nn

f f x f x= =… …

44

maka limsup inf supn n kn n Kf f

≥

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∞

( ) ( ){ } { }1 2inf inf , , inf 1, 2,3,nnf f x f x= =… …

maka ( )liminf sup inf 1n kn k nnf f

≥= =

untuk 1 1xn< < ,

( ) ( ){ } { }1 2sup sup , , sup 0,0,0,nn

f f x f x= =… …

maka limsup inf sup 0n n kn n Kf f

≥

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ){ } { }1 2inf inf , , inf 0,0,0,nnf f x f x= =… …

maka ( )liminf sup inf 0n kn k nnf f

≥= =


Jika f fungsi terukur pada E, maka f , ( )0pf p > , ( )cfe , f + dan f −

merupakan fungsi terukur pada E.

Teorema 3.3.3 (Gupta 1976, hal 106) ga keliru ta?bukan Teorema 3.2.10?

Diketahui f dan g fungsi-fungsi yang didefinisikan pada himpunan terukur

e sehingga f g= hampir di mana-mana (almost everywhere) pada E. Jika g

terukur maka f terukur.


45

Jika fungsi f didefinisikan pada himpunan terukur E dan kontinu hampir di

mana-mana (almost everywhere) pada E, maka f terukur pada E.

Definisi 3.2.12

Barisan fungsi { }nf yang didefinisikan pada E dikatakan konvergen

hamper di mana-mana ke fungsi f jika

( ) ( )lim nnf x f x

→∞= ,

Untuk setiap 1x E E∈ − dengan dan 1E E⊂ ( )1 0m E = .


Jika barisan fungsi terukur { }nf konvergen hampir di mana-mana (almost

everywhere) ke fungsi f, maka f terukur.

Berikut ini akan diberikan definisi fungsi tangga. Fungsi tangga akan

sangat berguna dalam pengintegralan.

Definisi 3.2.14

Fungsi [ ]: ,a bρ → disebut fungsi tangga jika terdapat partisi

{ } [ ]0 1 2 ,na x x x x b a b= < < < < = ⊆

sehingga untuk setiap subinterval ( )1,i ix x− , fungsi ρ bernilai konstan

46

( ) ix cρ = , ( )1,i ix x x−∀ ∈ , 1,2, ,i n= …

Contoh 3.2.15

Fungsi [ ]: ,f a b → dengan

( ) jika jika

a x cf x

c x bαβ

≤ <⎧= ⎨ ≤ ≤⎩

Jika α dan β konstan, maka fungsi f merupakan fungsi tangga.

Fungsi karakteristik yang akan didefinisikan berikut ini, merupakan bagian

yang sangat penting dalam mendefinisikan integral Lebesgue.

Definisi 3.2.16

Diberikan himpunan E ≠ ∅ dan . Fungsi karakteristik E X⊆ Eχ untuk E

adalah fungsi bernilai real pada X dengan

( )1 jika 0 jika .E

x Ex

x Eχ

∈⎧= ⎨ ∉⎩

Beberapa sifat sederhana fungsi karakteristik akan diberikan pada teorema

berikut.


Diberikan ,A B E⊂ berlaku

47

(a) 0χ∅ = dan 1Eχ = .

(b) Jika A B⊂ maka A Bχ χ≤ ..

(c) A B A B A Bχ χ χ χ∪ ∩= + − .

(d) .A B A Bχ χ χ∩ =

(e) Jika { }iE merupakan koleksi himpunan bagian E yang saling asing

maka

1

1i

ii

EE i

χ χ∞

=

∞

=

= ∑∪

Selanjutnya akan diberikan definisi fungsi sederhana. Teori ini sangat

berguna dalam membahas masalah fungsi terukur dan juga integral Lebesgue.

Definisi 3.2.18

Fungsi disebut fungsi sederhana, jika terdapat

dan dan dengan sifat

:f E → 1 2, , , nE E E…

nE E⊆ 1 2, , , nc c c…1

ii

E E∞

=

=∪ dan

( ) if x c= , ix E∈ ; 1,2, ,i n= …

atau

(i) ( ) ( )1

i

n

i E xi

f x c χ=

=∑

Bentuk (i) tidaklah tunggal. Jika i jE E∩ =∅ untuk setiap , maka fungsi

sederhana

i ≠ j

1i

n

i Ei

f c χ=

=∑ dikatakan berbentuk kanonik.

48


Diketahui f fungsi terukur pada E maka terdapat barisan fungsi sederhana { }nf

yang konvergen ke f E∈ . Untuk f ≥ 0, barisan { }nf dapat dipilih sehingga

10 n nf f +≤ ≤ , n∀ ∈ .

III.3 Integral Lebesgue

Dalam sub bab ini akan dibahas Integral Lebesgue dan beberapa sifatnya,

serta teorema yang lain yang mendukung dan akan digunakan pada bagian

berikutnya. Dimulai dengan definisi integral Reimann.

Definisi 3.3.1

Diketahui [ ]: ,f a b → suatu fungsi bernilai real pada interval [a,b].

Himpunan bagian { }0 1, , , nP x x x= … di dalam interval [a,b] dengan sifat :

0 1 2 nx a x x x b= < < < < =

disebut partisi pada [a,b]. Untuk setiap partisi P pada [a,b], dibentuk jumlahan

( ) ( )11

n

i ii

S P x x M−=

= −∑ i

dan

49

( ) ( )11

n

i ii

s P x x m−=

= −∑ i

Dengan ( ) [ ]{ }1sup : .i i i {M f x x x x−= ∈ dan ( ) [ ]}1inf : .i i ix x x x−= ∈m f , untuk

setiap { }1, 2,3, ,i n∈ … .

Integral Reimann atas fungsi f pada [a,b] didefinisikan dengan

( ) ( )infb

af x dx S Pℜ =∫

dan integral bawah fungsi f pada [a,b] didefinisikan dengan

( ) ( )supb

af x dx s Pℜ =∫

Fungsi f dikatakan terintegral Reimann pada [a,b], jika

( ) ( )b b

a af x dx f x dxℜ =ℜ∫ ∫ .

Selanjutnya dinotasikan dengan ( )b

af x dxℜ∫ .

Definisi 3.3.2

Diberikan fungsi sederhana : Eϑ → dengan reprensetasi

kanonik : Eϑ → dan 1

n

ii

E E=

=∪ , E himpunan terukur.

Jika jumlahan ada maka( )1

n

i ii

a m E=∑ ϑ dikatakan terintegral, yang ditulis

( )E

x dxϑ∫ dengan nilai integral

( ) ( )1

n

i iEi

x dx a m Eϑ=

=∑∫

50

Teorema 3.3.3 (Wheeden 1977, hal 65)

Diberikan f fungsi non-negatif yang didefinisikan pada himpunan terukur

E.

Ef∫ ada jika dan hanya jika f terukur.


Diketahui [ ]: ,f a b → suatu fungsi bernilai real pada interval [a,b].

Jika f terintegral Reimann pada [a,b] maka f terintegral Lebesgue pada [a,b]

dengan

( ) ( )[ ],

b

a a bf x dx f x dxℜ∫ ∫

Kebalikan dari Teorema 3.3.3 belum tentu berlaku.

Contoh 3.3.5

Diberikan fungsi [ ]: 0,1f → ,dengan

( )1 untuk rasional0 untuk irasional

xf x

x⎧

= ⎨⎩

Jelas bahwa fungsi f terbatas dan terukur pada [0, 1]. Menurut Teorema

3.3.4 f terintegral Lebesgue pada [0, 1]. Fungsi f tidak terintegral Reimann pada

[0, 1] karena ( )1

01f x dxℜ =∫ dan ( )

1

00f x dxℜ =∫

Dalam teorema berikut diberikan beberapa operasi dan sifat yang berlaku

pada integral Lebesgue.

51


Diberikan f dan g fungsi terukur terbatas yang terdefinisi pada himpunan

E dengan m (E) < ∞, maka

(i) untuk semua E

af a f=∫ ∫E a∈ .

(ii) ( )E E E

f g f+ = +∫ ∫ g∫

(iii) Jika f g= hampir di mana-mana (almost everywhere) maka

E Ef g=∫ ∫

(iv) Jika f g≤ hampir di mana-mana (almost everywhere) maka

E Ef g≤∫ ∫

(v) Jika ( )f xα β≤ ≤ maka

( ) ( ) ( )E

m E f x dx m Eα β≤ ≤∫

(vi) Jika dan himpunan bagian dari E yang saling asing maka 1E 2E

1 2 1 2E E E Ef f f

∪= +∫ ∫ ∫


Diberikan E himpunan dengan ukuran berhingga dan { }nf barisan fungsi

terukur yang didefinisikan pada E. Diketahui terdapat M sehingga ( )nf x M≤

untuk semua x dan n. Jika ( ) ( )lim nnf x f

→∞= x untuk setiap x E∈ , maka

lim nE Enf f

→∞=∫ ∫ .

52


Jika kf , k = 1, 2, … fungsi-fungsi non-negatif dan terukur maka

1 1k kE E

k kf f

∞ ∞

= =

=∑ ∑∫ ∫

Teorema 3.3.9 (Lemma Fatou’s) (Gupta 1976, hal 146)

Diberikan barisan fungsi terukur non-negatif { }nf dan nf konvergen ke f

hampir di mana-mana pada E maka

liminf nE Enf f

→∞≤∫ ∫


Diberikan barisan fungsi terukur non-negatif yang naik monoton { }nf

dan lim nnf f

→∞= , maka

lim nnf f

→∞=∫ ∫ .


Diberikan f fungsi terukur pada E. f terintegral pada E jika dan hanya

jika f terintegral pada E.

53


(Lebesgue Dominated Convergence Theorem)

Diberikan g fungsi terintegral pada E dan { }nf barisan fungsi terukur

pada E dengan nf g≤ dan lim nnf f

→∞= hampir di mana-mana (almost

everywhere), maka

lim nE Enf f

→∞=∫ ∫ .


Fungsi dikatakan kontinu mutlak (absolutely continuous) jika

untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap koleksi berhingga interval

terbuka yang saling asing

:f A→

( ) [ ]{ }, , : 1, 2,i i ,x x a b i′ ⊂ = … n dengan 1

n

i ii

x x δ=

′ − <∑

berlaku ( ) ( )1

n

i ii

fx f x ε=

′ − <∑ .

Definisi 3.3.14

Fungsi f terintegral pada [a,b] dan f juga terintegral pada setiap

interval[ , . Didefinisikan fungsi F dengan ] [ , ]a x a b⊂

( ) ( )x

aF x f t dt c= +∫ , c konstan

F dikatakan indefinite integral (integral tak tentu) f.

54


Jika F fungsi kontinu absolute pada [a,b], maka berlaku

( ) ( )x

aF x f t dt= +∫ c

dengan f = F’ dan c konstan.

Atau dapat dikatakan bahwa

Jika f fungsi kontinu absolute pada [a,b], maka F’ terintegral pada [a,b]

dan . ( ) ( ) ( )x

a

F t dt F x F a′ = −∫

55

BAB IV

RUANG LEBESGUE pL IV.1 Kelas-kelas pL

Berikut ini akan dibicarakan kelas-kelas yang terbagi berdasarkan p.

Definisi 4.1.1

Kelas dari semua fungsi terintegral-p pada E ditulis ( )pL E ,

dengan

0 p< < ∞

( ) { }: ppL E f f= < ∞ .

Contoh 4.12

1. Diberikan [ ]0,16E = dan fungsi yang didefinsikan dengan :f E →

( ) 1/ 4f x x−= , kemudian ( )1f L E∈ tapi ( )4f L E∉ .

2. Diberikan 10,2

E ⎡= ⎢⎣ ⎦⎤⎥ dan dengan :f E → ( )

12 1log

2f x x

−⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

,

maka ( )1f L E∈ .

3. Diberikan dan dengan , maka (0,E = ∞) :f E → ( ) ( ) 1/ 21f x x −= +

( )pf L E∈ untuk semua p, 2 p< < ∞ .

Dapat ditunjukkan bahwa ( )pL E merupakan ruang linear pada ,

56

1. , ( ) ( )p pf g L E f g L E∈ ⇒ + ∈

{ }2 max ,p pp pf g f+ ≤ g

{ }2 ,p pp f g≤

2. ( )pf L E∈ dan ( )pf L Eα α∈ ⇒ ∈

Lebih lanjut, jika f (E), mengingat pertidaksamaan berikut

0

0

f f

f f

+

−

⎧ ≤ ≤⎪⎨

≤ ≤⎪⎩

Maka f + , f − dan f juga ( )pL E∈ .

Untuk mendapatkan definisi ( )L E∞ , jika f bernilai real dan merupakan fungsi

terukur pada E dengan m(E) > 0, bilangan real M dikatakan batas esensial untuk

fungsi f jika

( )f x M≤ ,

hampir di mana-mana (almost everywhere) pada E.

Fungsi f dikatakan terbatas esensial jika mempunyai batas esensial, dengan

kata lain, fungsi f terbatas esensial pada E jika f terbatas kecuali pada himpunan

dengan ukuran sama dengan nol. Supremum esensial f pada E dedifinisikan

sebagai berikut

( )sup ( ) inf{ : , }ess f x M f x M x E= ≤ ∀ ∈ .

57

Jika f tidak mempunyai batas esensial maka supremum esensialnya sama dengan

∞.

Kelas untuk semua fungsi terukur yang terbatas esensial pada E dinotasikan

sebagai , dengan ( )L E∞

( ) { } = : sup L E f ess f∞ < ∞ .

Dapat ditunjukkan bahwa ( )L E∞ merupakan ruang linear pada .

Contoh 4.1.3

1. Semua fungsi terbatas pada E anggota ( )L E∞ .

2. Fungsi dengan :[ , ]f a b →

1 jika irasional ( )

jika rasionalx

f xx

⎧= ⎨∞⎩

f anggota ( )L E∞ .

Definisi 4.1.4

Didefinisikan fungsi ( ): pp

L E⋅ → 0 p< ≤ ∞ sebagai berikut

( )1/ pp

p Ef f= ∫ untuk 0 < p < ∞

supf ess f∞= .

Lemma 4.1.5

Diberikan ( )f L E∞∈ , maka :

58

(a) ( )f x f∞

≤ , hampir di mana-mana (almost everywhere) pada E.

(b) ( ){ }( ){ }sup : : 0f M m x X f x M∞= ∈ ≥ ≠ .

Bukti

(a) Misalkan fη∞

= maka

( ){ } ( )1

1: :n

i

x E f x x E f xn

η η=

⎧ ⎫∈ ≥ = ∈ > +⎨ ⎬⎩ ⎭∪

Karena gabungan dari koleksi terhitung himpunan ukuran nol mempunyai

ukuran nol, diperoleh

( ){ }( ): 0m x E f x f∞

∈ ≥ =

Ini berakibat untuk himpunan yang tidak berukuran nol berlaku

( )f x f∞

≤ hampir di mana-mana.

(b) Jelas dari definisi f∞

. ■

Hubungan antara p

f (0 )p< < ∞ dan f∞

akan diperlihatkan pada Teorema

4.1.6 berikut.

Teorema 4.1.6

Jika E himpunan terukur dengan ( )m E < ∞ , maka ( ) (p )L E L E∞ ⊂ untuk

setiap p pada 1 . Lebih lanjut, jika p≤ < ∞ ( )f L E∞∈ maka,

limpp

f f∞ →∞=

59

Bukti

Misalkan ( )f L E∞∈ dan fη∞

= maka

( )f x f∞

≤

( ) p pf x η≤ hampir di mana-mana pada E

( ) ( )p p

Ef x mη≤ ⋅∫ E

( ) ( )p p

Ef x m Eη≤ ⋅ <∫ ∞ (i)

Sehingga ( )pf L E∈ jadi ( ) ( )pL E L E∞ ⊂ .

Pertidaksamaan (i) mengakibatkan

( )( ) ( )( )1/ 1/p pp p

Ef x m Eη≤ ⋅∫

( ) 1/ p

pf m Eη≤ ⎡ ⎤⎣ ⎦

Untuk p → ∞ maka [m(E)]→ 1, sehingga diperoleh

lim suppp

f η→∞

≤

Di lain pihak, misalkan ( )f x α≥ , dengan α ∈ , pada himpunan sebarang F

dengan , maka ( ) 0m F >

( )f x α≥

( ) p pf x α≥ hampir di mana-mana pada E

( ) ( )p p

Ef x mα≥ ⋅∫ F

( )( ) ( )(1/ 1/p pp p

Ef x m Fα≥ ⋅∫ )

60

( ) 1/ p

pf m Fα≥ ⎡ ⎤⎣ ⎦

Dengan cara yang sama seperti yang dilakukan pada himpunan E

lim infpp

f α→∞

≥

Menurut Lemma 4.1.5

( ){ }( ){ }sup : : 0 lim infpp

m x E f x fα α→∞

∈ ≥ ≠ ≤

Diperoleh

lim inf lim supp pp p

f fη η→∞ →∞

≤ ≤ ≤

Jadi

limpp

f f∞ →∞= . ■

IV.2 Pertidaksamaan Holder dan Minkowski

Dalam mempelajari ruang , juga diperlukan definisi ruang , dengan q

diperoleh dari

pL qL

1 1 1p q+ = , dengan p dan q bilangan real non-negatif.

Sebelumnya telah didefinisikan bahwa p

⋅ adalah norma pada , akan

dibuktikan pertidaksamaan yang akan digunakan pada pembicaraan selanjutnya.

pL

Lemma 4.2.1

Diberikan 0 1λ< < maka

( )1 1λ λα β λα λ− ≤ + − β .

61

Berlaku untuk setiap pasangan bilangan real non-negatif α & β jika dan hanya

jika α = β.

Bukti

Jika α =0 atau β=0, maka pertidaksamaan jelas berlaku, karena itu diasumsikan

α > 0 dan β > 0. Didefinisikan fungsi non-negatif dengan p

( ) ( )1 t tλλ λ= − + −p t

Maka dan hanya t=1 yang merupakan titik ekstrim untuk ini

membuktikan mencapai maksimum pada t =1

( ) ( 11 tλλ −′ = −p t ) p

p

( ) ( )1 0p t p≥ =

Dengan mengambil t αβ= , diperoleh persamaan

1 t tλλ λ− + ≥

Persamaan berlaku hanya jika t = 1, diperoleh α = β. ■

Teorema 4.2.2 (Pertidaksamaan Riesz-Holder)

Diberikan p dan q bilangan real non-negatif dengan 1 1 1p q+ = . Jika

pf L∈ dan qf L∈ maka 1f g L⋅ ∈ dan

p qfg f g≤∫

Pertidaksamaan berlaku jika dan hanya jika untuk bilangan konstan tidak nol A

dan B, diperoleh p qA f B g= .

62

Bukti

Jika 1p = , maka q . = ∞

Misalkan g M∞= , maka g M≤ hampir di mana-mana dan juga

fg M f≤ x E∀ ∈ .

Dapat dibentuk fg M f<∫ ∫ .

Karena 1f L∈ , berarti pf < ∞∫ , akibatnya

fg < ∞∫ .

Jadi 1f g L⋅ ∈

kemudian dengan integral, diperoleh

1fg M f f g

∞≤ ≤∫ ∫ .

Sekarang diasumsikan 1 berakibat 1p< < ∞ q< < ∞ . Pertidaksamaan berlaku jika

hampir di mana-mana (atau 0f = 0g = hampir di mana-mana). Karena itu

diasumsikan hampir di mana-mana dan 0f ≠ 0g ≠ hampir di mana-mana,

diperoleh 0p

f > dan 0q

g > . Dengan menggunakan Lemma 4.2.1 dengan

mengambil

63

( )

( )

1p

p

p

q

q

f tf

g tg

λ

α

β

⎧⎪⎪ =⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟=⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪

⎛ ⎞⎪⎜ ⎟=⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

diperoleh

( ) ( ) ( )

( )( )

( )1 1

p q

pp q

p q

q

f t g t f t g tf g p qf g

≤ + . (2)

Pertidaksamaan (2) dapat diubah menjadi

( ) ( ) ( )

( )( )

( )1 1

p q

p q p q

p q

f t g tf x g x f g

p qf g

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Karena ( )

( )( )

( )1 1

p q

p q p q

p q

f t g tf g

p qf g

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤+ < ∞⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

maka diperoleh ( ) ( )f x g x < ∞∫ .

Jadi didapatkan 1f g L⋅ ∈ . Kemudian dengan mengintegralkan kedua ruas

diperoleh

1 1 1p q

fg

f g p q≤ + =∫ .

Karena itu

64

p qfg f g≤∫ . (3)

Pertidaksamaan (2) akan berlaku jika α β= dan akibatnya jika α β=

pertidaksamaan (3) berlaku hampir di mana-mana. Dengan lain kata jika

mengambil q

qA g= dan p

pB f= diperoleh

( ) ( )p qq p

q pg f t f g t= . ■

Teorema 4.2.3 (Pertidaksamaan Riesz-Minkowski)

Jika 1 , maka untuk setiap pasangan p≤ ≤ ∞ , pf g L∈ , berlaku

p p pf g f g+ ≤ .

Bukti

Untuk 1p =

Diketahui bahwa

+ gf g f+ ≤

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

+ gf g f+ ≤∫ ∫ ∫ untuk semua anggota E.

atau 1 1

+ gf g f+ ≤1.

Untuk p = ∞

f f a e

g g a e∞

∞

⎧ ≤ ⋅⎪⎨

≤ ⋅⎪⎩

65

+ gf g f f g a∞ ∞

+ ≤ ≤ + ⋅e

Dan f g f g∞

+ ≤ + .

Selanjutnya, dibuktikan untuk 1 p< < ∞ .

Karena ruang linear maka pL pf g L+ ∈ , akibatnya

( ) 1 1p p pf g f g f f g− −+ ≤ + + +∫ ∫ ∫ g

1 q< < ∞ dengan 1 1 1p q+ = , maka karena ( )1p q p− = maka diperoleh

( )1 qp pf g f−+ = +∫ ∫ g

dan lebih lanjut 1p qf g −+ ∈L , menurut Teorema 4.2.2, maka

pf g f+ dan 1pf g g−+ kedua-duanya anggota dari 1L

dan sesuai dengan pertidaksamaan Riesz-Holder diperoleh

( )1 1p p

p qf g f f f g− −+ ≤ +∫

dan

( )1 1p p

p qf g g g f g− −+ ≤ +∫

karena ( )1p q p− = , maka diperoleh

( ) ( )( ) ( )1 1 p qp p q

pqf g f g f g− −+ = + = +∫

Akibatnya

( )( ) p qp

p p pf g f g f g+ ≤ + +∫

66

atau

( )( ) p q

p p p pf g f g f g+ ≤ + + .

jika 0p

f g< + < ∞ , hasil akan berdasarkan p q

pf g+ .

Dalam kasus 0p

f g+ = , sangat jelas.

Jika p

f g+ = ∞ , maka f = ∞ atau p

g = ∞ dilihat dari relasi

f g f g+ ≤ + . ■

Untuk , Teorema 4.2.2 dan Teorema 4.2.3 belum tentu berlaku,

maka diperlukan teorema yang lain yaitu:

0 p< <1

Teorema 4.2.4 (Pertidaksamaan Riesz-Holder untuk 0 1p< < )

Diberikan dan q diperoleh dari 0 p< <1 1 1 1p q+ = . Jika pf L∈ dan

qf L∈ , maka

( ) ( )1 1p qp qf g f g+ ≥∫ ∫ ∫ .

Asalkan

0qg ≠∫ .

67

Bukti

Ingat bahwa karena 0q < 1p < dan 1 1 1p q+ = . Dibentuk

1pP

= dan 1pq Q

− = .

Kemudian dan 1, 1P Q> >1 1 1P Q+ = .

Lebih lanjut lagi, dibentuk

Pfg F= dan q Qg G=

karena itu pf FG= , diperoleh bahwa PF L∈ dan QG L∈ , Teorema 4.2.2 dapat

digunakan pada F dan G sehingga diperoleh

P QFG F G≤∫

( ) ( ) p qpP qf fg g−

≤∫ ∫ ∫

( ) ( )11 qp qfg f g≥∫ ∫ ∫

Dengan 0qg ≠∫ dalam Teorema 4.2.4 karena 0q < .■

Teorema 4.2.5 (Pertidaksamaan Riesz-Minkowski untuk 0 1p< < )

Diberikan dan 0 1p< < , pf g L∈ dengan dan maka 0f ≥ 0g ≥

p p pf g f g+ ≥ + .

68

Bukti

Perhatikan bahwa

( ) ( ) ( )1 1p pf g f f g g f g p− −+ = + + +

dan

( ) ( ) ( )1 1p pf g f f g g f g p− −+ ≤ + + +

serta

( ) ( ) ( )1 1p pf g f f g g f g p− −+ ≤ + + +∫ ∫ ∫ .

Karena ruang linear maka pL pf g L+ ∈ ,

( ) ( )1 1p p pf g f g f f g− −+ ≤ + + +∫ ∫ ∫ g .

Menurut teorema 4.2.2 1pf f g −+ dan ( ) 1pg f g

−+ adalah anggota dari

akibatnya sesuai dengan Reisz-Holder untuk

1L

0 1p< < diperoleh

1 1p p

p qf g f f f g− −+ ≥ +∫

dan

1 1p p

p qf g g g f g− −+ ≥ +∫ .

Karena ( )1p q p− = , maka diperoleh

( ) ( )( ) ( )1 1 p qp p q

pqf g f g f g− −+ = + = +∫

akibatnya

( )( ) p q

p p p pf g f g f g+ ≥ + + .

69

Jika 0p

f g< + < ∞ , hasil akan berdasarkan p q

pf g+ .

Dalam kasus 0p

f g+ = , sangat jelas

Jika p

f g+ = ∞ , maka f = ∞ atau p

g = ∞

p p pf g f g+ ≥ +

∞ ≥ ∞+∞

∞ ≥ ∞ . ■

IV.3 Ruang Banach pL

Dalam sub bab berikut ini akan diperlihatkan bahwa merupakan ruang

Banach, dengan kata lain merupakan ruang bernorma yang lengkap.

pL

pL

Pertama, untuk 1 , fungsi p≤ ≤ ∞ . : pp

L → , memenuhi kondisi-kondisi

berikut ini:

1. 0p

f ≥ .

2. 0p

f = jika dan hanya jika 0f = hampir di mana-mana.

3. p p

af a f= a, ∈

4. p p p

f g f g+ ≤ +

Syarat (1) dan (3) jelas dipenuhi berdasarkan definisi .p

. Untuk syarat (2)

dipenuhi dengan tidak membedakan antara fungsi-fungsi dalam yang sama

hampir di mana-mana. Jadi, elemen nol dalam adalah fungsi-fungsi yang sama

dengan nol hampir di mana-mana. Untuk syarat (4) dipenuhi menurut

pL

pL

70

pertidaksamaan Reisz-Minkowski yang dijelaskan dalam Teorema 4.2.3. Berarti

.p

adalah norma dalam dan adalah ruang bernorma. pL pL

Teorema 4.3.1 (Teorema Reisz-Fischer)

Ruang bernorma lengkap ; untuk 1pL p≤ ≤ ∞ .

Bukti

Untuk p = ∞ . Diketahui bahwa suatu fungsi lebih besar dari esensial

supremumnya berlaku hanya pada himpunan dengan ukuran nol. Katakan

( ) ( ){ }, :m n n m n mA x f x f x f f∞

= − > − dan ( ){ }:n n nB x f x f∞

= > . Namakan

, maka diperoleh ,1

n m kn m k

E A∞ ∞

≠ =

= ∪∪ ∪B ( ) 0m E = . Ambil sebarang { }nf barisan

Cauchy dalam . Akibatnya jika diberikan L∞ 0ε > , terdapat N sehingga berlaku

n mf f ε− < untuk . ,n m N>

Kemudian untuk cx E∈ berlaku ( ) ( )n m n mf x f x f f ε− ≤ − < . Karena

lim n m mnf f f f ε

→∞− = − < , akibatnya mf f ε≤ + hampir di mana-mana. Karena

f L∞∈ dan cx E∈ diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )supm mf x f x ess f x f x− ≤ −

( ) ( )mf x f x∞

= −

( ) ( )lim mnf x f x ε

∞→∞= − <

71

Dengan kata lain ( ) ( )mf x f x ε∞

− < .

Sekarang diasumsikan 1 p≤ < ∞ . Untuk menunjukkan bahwa setiap

barisan Cauchy dalam konvergen, cukup dengan menunjukkan bahwa setiap

barisan terjumlah absolute dalam terjumlah ke suatu elemen dalam .

pL

pL pL

Jika diberikan barisan { }nf dalam , maka pL

1n p

nf M

∞

=

= < ∞∑ .

Kemudian didefinisikan barisan fungsi { }ng dengan

( ) ( )1

n

n kk

g x f x=

= ∑ .

Didapatkan bahwa untuk setiap x∈ , barisan ( ){ }ng x naik monoton,

dan akan konvergen ke suatu ( )g x , dengan kata lain ( ) (ng x g x→ ) untuk setiap

[ ],x a b∈ .

Karena fungsi terukur maka fungsi g juga terukur. ng


( )1

n

n kpk p

g f=

= ∑ x

1

n

k pk

f M=

≤ <∑ , sehingga

( ) [ ]

1/

,

pp

n a bg M≤∫ ∫

[ ]( ),p png M m a b≤∫

72

( )p png M b a≤ −∫

Karena , menurut lemma Fatou’s, diperoleh 0ng ≥

( )p pg M b a≤ −∫

Ini menandakan bahwa terintegral dan pg ( )g x berhingga hampir di mana-mana

pada [ ],a b . Akibatnya barisan ( ){ }nf x terjumlah absolute dan pasti terjumlah ke

suatu bilangan real . Misalkan ( )s x

( ) 0s x =

untuk x dengan . Didefinisikan fungsi s sebagai limit dari setiap

jumlahan parsial

( )g x = ∞

( ) ( )1

n

n kk

s x f x=

= ∑

dan hampir di mana-mana, karena itu s fungsi terukur. Lebih lanjut ( ) ( )ns x s x→

( ) ( )1

n

n kk

s x f x=

≤∑

( )ng x=

( )g x≤

Akibatnya ( ) ( )ns x g x≤ . Karena itu , ps L∈ sebab pg L∈ , dan

( ) ( ) ( )( )2p pp

ns x s x g x− ≤

Tapi fungsi terintegral dan 2 p pg ( ) ( ) 0p

ns x s x− → hampir di mana-mana.

Menurut Lebesgue Dominated convergence Theorem, diperoleh

73

0pns s− →∫

0n ps s− →

Karena barisan { }nf terjumlah ke s dalam akibatnya barisan {pL }nf konvergen

ke s dalam dengan 1 . pL p≤ < ∞

pL∴ lengkap. ■

Akibat 4.3.2

Jika 0 , maka adalah ruang metric lengkap dengan metrik p

didefinisikan dengan

1p< < pL

( ), p

pp f g f g= − , , pf g L∀ ∈ .

IV.4 Kekonvergenan Rata-rata (Convergence in the Mean)

Pada bab II telah dibahas pengertian kekonvergenan pada barisan fungsi

bernilai real: konvergen, konvergen titik demi titik, konvergen seragam,

konvergen hampir di mana-mana. Akan didefinisikan kekonvergenan dalam ruang

, 1 , yang sesuai dengan konsep norma. pL p≤ ≤ ∞

74

Definisi 4.4.1

Barisan fungsi { }nf dalam 1pL , p≤ ≤ ∞ dikatakan konvergen ke pf L∈ ,

jika untuk setiap 0ε > , terdapat bilangan bulat positif N sehingga 0n pf f− → .

Kekonvergenan ini sering disebut sebagai konveregn rata-rata order p

(convergence in the mean) jika 1 p≤ < ∞ dan konvergen hampir seragam jika

p = ∞ .

Teorema 4.4.2

Diberikan barisan { }nf dalam yang konvergen rata-rata order p

(convergence in the mean) ke f dalam , maka:

pL

pL

a) Jika barisan { }nf dalam yang konvergen rata-rata ke g, maka pL

f g= hampir di mana-mana (almost everywhere) dalam pL .

b) Barisan { }nf merupakan barisan Cauchy rata-rata p (p-mean Cauchy

sequence).

c) lim n pp pf f

→∞= , khususnya dengan barisan { }nf terbatas terhadap

norma p

⋅ .

Kebalikan dari belum tentu berlaku. ( )c

Contoh 4.4.3

Untuk setiap , didefinisikan n∈ ( ): 0,1nf →

75

( )1 jika 0

10 jika 1n

n xnf x

xn

⎧ < ≤⎪⎪= ⎨⎪ < <⎪⎩

Diperoleh bahwa ( )lim 0nnf x

→∞= untuk setiap ( )0,1x∈ , sedangkan n p

f →∞

bilamana dan n →∞ 1p > .

Teorema 4.4.4

Diberikan barisan { }nf dalam 1pL , p≤ ≤ ∞ , sehingga nf f→ hampir di

mana-mana (almost everywhere) dan pf L∈ . Jika lim n pn pf f

→∞= maka

lim 0n pnf f

→∞− = .

Bukti

Dengan tidak mengurangi keumuman, setiap hampir di mana-mana

maka , diperoleh hasil secara umum karena mengingat

0nf ≥

0f ≥ f f f+ −= − .

Untuk setiap pasangan non negatif a dan b, berlaku

( )2p ppa b a b− ≤ + p , 1 p≤ < ∞ .

Dimisalkan na f= dan b diperoleh f=

( )2 p p ppn nf f f f+ − − ≥ 0 hampir di mana-mana.

Menggunakan lemma Fatou dan hipotesis-hipotesis dari lemma tersebut,

diperoleh

76

( )12 lim 2p p pp pn nn

pf f f f f−

→∞= + −∫ ∫ −

( )1lim inf 2 p p ppn nn

f f f f−

→∞⎡ ⎤≤ + − −⎣ ⎦∫

( )1 12 lim 2 lim infp pp pn nn n

pf f f− −

→∞ →∞= + + −∫ ∫ ∫ f−

2 lim supp ppnn

f f f→∞

= − −∫ ∫ .

Karena pf < ∞∫ , akibatnya

lim sup 0pnn

f f→∞

− ≤∫

Karena nf f→ hampir di mana-mana (almost everywhere) maka berlaku

lim sup lim inf 0p pn nn n

f f f f→∞ →∞

− = − =∫ ∫

Karena itu

lim 0pnn

f f→∞

− =∫

Akibatnya

lim 0nnf f

→∞− = . ■

IV.5 Sifat-sifat Ruang pL

Dalam sub bab ini akan dibicarakan sifat-sifat yang menyertai ruang . pL

77

Teorema 4.5.1

Jika diberikan , maka terdapat konstanta sehingga

dan berlaku

0 q p< < ≤ ∞ 0K >

pL L⊂ q

q pf K f≤ , pf L∀ ∈ .

Bukti

Untuk p = ∞ dengan . 0 q< < ∞

Dengan tidak mengurangi keumuman, diberikan E himpunan terukur dengan

. Misalkan ( )m E < ∞ ( )pf L E∈

diperoleh

f f∞

≤ hampir di mana-mana

p pf f∞

≤ hampir di mana-mana


( )p p

Ef f m E

∞≤ ⋅∫

( ) ( )( )1/ 1/p pp p

Ef f m E

∞≤ ⋅∫

( ) 1/ pp

pf f m E

∞≤ ⎡ ⎤⎣ ⎦

Terbukti dengan mengambil ( ) 1/ pK m E= ⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Asumsikan 0 q p< < < ∞ . Untuk pf L∈ , maka /q p qf L∈ . Bentuk pqλ = , jelas

1λ > dan pilih μ sehingga 1 1 1μ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, maka

78

1b bq q

a af f= ⋅∫ ∫

( ) ( )1 1

1b b qq

a af

λλ≤ ⋅∫ ∫

( ) ( )1/q

b pp q

af b a= −∫ .

Akibatnya qf L∈ , ini berarti . Selanjutnya, jika dibentuk

maka

pL L⊂ q aqK b= −

q p

f K f≤ , pf L∀ ∈ . ■

Contoh 4.5.2

Diberikan (1,E )= ∞ , kemudian didefinisikan fungsi dengan :f E →

( ) 1/ qf x x−= , 1 q≤ < ∞ .

Jika p q> , jelas bahwa ( )pf L E∈

Teorema 4.5.3

Jika 0 q p< < < ∞ dan p qf L L∈ ∩ , maka rf L∈ untuk semua q . r p< <

Bukti

Untuk r, dengan q r dapat ditemukan p< < 0 t 1< < , sehingga

( )1r tq t p= + − .

Perhatikan bahwa

79

dan p q p qf L L f L f L∈ ∩ ⇒ ∈ ∈

( ) ( )1 1// 1 1/p t qi t tf L f L− −∈ ∈ .

Selanjutnya, diketahui 1/ dan pasangan eksponen 1/ dan saling

konjugasi. Oleh karena itu menurut pertdaksamaan Reisz-Holder, diperoleh

1t > t (1/ 1 t− )

( )1r tq t p tf f f L−= ∈ . ■

IV.6 Fungsional Linear Terbatas Dalam Ruang pL

Diberikan p dan q konjugasi eksponen. Jika qg L∈ , dengan 1 ,

menurut pertidaksamaan Reisz-Holder maka

q≤ ≤ ∞

1f g L⋅ ∈ untuk setiap pf L∈ .

Karena itu elemen tertentu qg L∈ , dapat didefinisikan dengan : pgF L →

( )gF f fg= ∫ .

Jelas bahwa gF adalah fungsional linear dalam ruang Banach . pL

Teorema 4.6.1

Diberikan p dan q ( )1 ,p q≤ ≤ ∞ konjugasi eksponen dan maka

fungsional linear yang didefinisikan berikut

qg L∈

( )gF f fg= ∫

merupakan fungsional linear terbatas dalam , akibatnya pL g qF g= .

80

Bukti

(i) Anggap p = ∞ dan 1q = , perhatikan pertidaksamaan Reisz-Holder bahwa

( ) 1gF f g f∞

≤ pf L∀ ∈ .

Karena itu gF fungsional linear terbatas dalam , akibatnya pL

1gF g≤ . (1)

Untuk membuktikan kebalikannya diberikan sgnf g= ,dengan

( )( )( )

1 jika 0sgn

1 0

g xg x

jikag x

≥⎧⎪= ⎨− <⎪⎩

Jelas pf L∈ dan 1f∞= , karena itu

( ) 1gF f fg g g= = =∫ ∫

1gF g≥ (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

g qF g=

(ii) Sekarang perhatikan 1 , menurut pertidaksamaan Reisz-Holder p< < ∞

( )g qF f g f≤

p pf L∀ ∈ .

Karena itu gF fungsi linear dalam dan memenuhi pL

g qF g≤

Selanjutnya, untuk membuktikan kebalikannya, diberikan

1 sgnqf g g−=

81

Jelas, f fungsi terukur dalam dan pL ( )1p p q qf g −= = g . Ini memperlihatkan

bahwa pf L∈ , juga karena ( )1 sgnq qf g g g g g−⋅ = ⋅ =

diperoleh

( ) qgF f fg g= =∫ ∫

( ) ( )1/ 1/p qq qg g= ∫ ∫

( ) ( )1/ 1/p qp qf g= ∫ ∫

p qf g=

yang berakibat

g qF g≥ . ■

Lemma 4.6.2

Jika g fungsi terintegral dalam [a,b] dan K konstan sehingga

pfg K f≤∫

untuk setiap fungsi terukur terbatas f, maka qg L∈ dan q

g K≤ .

82

Bukti

Untuk 1p = dan q , diberikan = ∞ 0ε > dan

[ ] ( ){ }, :E x a b g x K ε= ∈ ≥ +

Bentuk ( )sgn Ef g χ= , maka f fungsi terukur terbatas sehingga ( )1f m E= .

Karena itu

( ) 1Km E K f fg= ≥ ∫

( )sgn Eg g χ= ∫

( ) ( )E

g k m Eε= ≥ +∫

( ) ( ) ( )Km E k m Eε≥ +

Karena diambil sebarang 0ε > , diperoleh ( ) 0m E = ,

Akibatnya g K∞≥ .

Asumsikan 1 p< < ∞ . Didefinisikan barisan fungsi terukur terbatas { }ng , dengan

( )

( ) ( )( )

jika 0

0 jika 0n x

g x g xg

g x

⎧ ≤⎪= ⎨>⎪⎩

Jika / sgnq pn n nf g= g , maka setiap nf fungsi terukur terbatas sehingga

83

( ) /q p

n np qf g= dan q

n n n ng f g f g= ⋅ = ⋅

Karena itu

( ) ( ) /q q

n n n nq pg f g K f K g= ≤ =∫

p

q

dengan membagi kedua ruas dengan ( ) /q p

n qg , diperoleh

( ) /q q p

n qg K

−≤

Karena q-q/p=1, didapatkan ( )n qg K≤ ,

Kemudian kedua ruas diintegralkan dan dipangkatkan dengan q, diperoleh

q qng K≤∫

Mengingat qng → qg hampir di mana-mana dan lemma Fatou, diperoleh

lim infq q qnn

g g→∞

≤ ≤∫ ∫ K

Akibatnya qg L∈ dan q

g K≤ . ■

Teorema 4.6.3

Jika F fungsional linear terbatas dalam dengan 1pL p≤ < ∞ , maka

terdapat fungsi g dalam , sehingga berlaku qL

( )F f fg= ∫ dan q

F g= .

84

Bukti

Pembuktian akan dibagi dalam empat langkah.

Langkah 1

Anggap tf χ= , [ ],t a b∈ dengan tχ merupakan fungsi karateristik dari interval

[a,t]. Dibentuk ( ) ( )tt F tρ χ= . Jelas bahwa ρ merupakan fungsi bernilai real

pada [a,b]. Pertama diperlihatkan bahwa ρ fungsi kontinu absolute pada [a,b].

Diberikan koleksi berhingga { },t tx x⎡ ⎤′⎣ ⎦

dengan [,t t ],x x a⎡ ⎤′ ⊆⎣ ⎦

b yang saling asing,

sehingga t tt

x x δ′ − <∑ , 0δ > . Jika dibentuk

( ) ( ) ( ){ }sgntt

x txt

tf x xχ χ ρ ρ′′= − −∑

( )tt

pp

xxt

f χ χ′= −∑

Kemudian dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

[ ] ( )[ ], , tt

pp

xxa b a bt

f χ χ′= −∑∫ ∫

Akibatnya

85

[ ] ( ) ( )[ ], ,

1

pnp

t ta b a bt

f m x m x=

′= −∑∫ ∫

Menurut definisi nilai , yaitu jika E interval, maka nilai m(E) sama dengan

panjangnya, akibatnya diperoleh

( )m E

[ ],1

pnp

t ta bt

f x a x a=

′= − − −∑∫

[ ],1

pnp

t ta bt

f x x=

′= −∑∫

maka ( ) p

pf δ<

Dan

( ) ( ) ( )t tt

x x F fρ ρ′ − =∑

p

F f≤ ⋅

1/ pF δ< ⋅

Akibatnya dengan mengambil nilai p

pFεδ

⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟

maka berlaku

( ) ( )t tt

x xρ ρ ε′ − <∑

Jadi ρ kontinu absolute pada [a,b].

86

Menurut Teorema 3.3.15, terdapat g fungsi terintegral pada [a,b], sehingga

( )0

ttρ = g∫ [ ],t a b∀ ∈

Karena itu

( )t tF x gx= ∫

Langkah 2

Fungsi f yang telah dibentuk sebelumnya merupakan fungsi tangga.

Karena setiap fungsi tangga pada [a,b] dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dan F fungsional linear, diperoleh ii tc x∑

( )F f gf= ∫ .

Langkah 3

Anggap f merupakan fungsi terukur terbatas pada [a,b] menurut Teorema

3.2.13, terdapat barisan { }nϕ dari fungsi tangga sehingga n fϕ → , karena barisan

{ }pnf ϕ− terbatas dan 0nf ϕ− → . Menurut Teorema 3.3.7 untuk

berakibat

n →∞

0n pf ϕ− → , karena itu

( ) ( ) ( )n nF f F F fϕ ϕ− = −

( )n pF f ϕ≤ −

Diperoleh ( ) ( )lim nnF f F ϕ

→∞=

87

lim nngϕ

→∞= ∫

Menurut Teorema 3.3.12 (Lebesgue Dominated Convergence Theorem),

diperoleh

lim nnfg gϕ

→∞=∫ ∫

Karena itu, ( )fg F f=∫ , untuk setiap f fungsi terukur terbatas. Lebih lanjut,

karena ( ) pF f F f≤ ⋅ , dengan memperhatikan Lemma 4.6.2 diperoleh

dan pg L∈q

g F≤ .

Langkah 4

Diambil pf L∈ fungsi sebarang. Diberikan 0ε > , maka terdapat fungsi tanggaϕ

sehingga f ϕ ε− < , karena ϕ terbatas akibatnya

( )F gϕ ϕ= ∫ .

Karena itu

( ) ( ) ( )F f fg F f F g fgϕ ϕ− = − + −∫ ∫ ∫

( ) ( )F f f gϕ ϕ≤ − + −∫

p qF f g f

pϕ ϕ≤ ⋅ − + ⋅ −

( )qF g ε< +

Karena sebarang 0ε > , dengan mengambil 0ε →

88

( )F f fg= ∫

Menurut Teorema 4.6.1 diperoleh g qF g= . ■

89

BAB V

KESIMPULAN

Setelah pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal

sebagai berikut:

1. Kelas-kelas dalam terdiri dari pL

( ) { }: ppL E f f= < ∞ untuk 0 p< < ∞

dan

( ) { } = : sup L E f ess f∞ < ∞

pL merupakan ruang bernorma lengkap dengan norma ( ): pp

L E⋅ →

dengan

( )1/ pp

p Ef f= ∫ , 0 < p < ∞ dan pf L∈

dan

supf ess f∞= untuk f L∞∈

2. Untuk sebarang fungsi berlaku :f E → ( )f x f∞

≤ , hampir di mana-mana

(almost everywhere) pada E.

3. Hubungan antara p

f (0 )p< < ∞ dan f∞

terlihat dengan limpp

f f∞ →∞= .

4. Untuk 0 , berlaku q p< < ≤ ∞q p

f K f≤ , pf L∀ ∈ .

5. Jika 0 dan q p< < < ∞ p qf L L∈ ∩ , maka rf L∈ untuk semua q r p< < .

90

6. Jika didefinisikan , maka F fungsional linear terbatas dalam dan

berlaku

( )gF f fg= ∫ pL

g qF g= .

7. Jika F fungsional linear terbatas dalam dengan 1pL p≤ < ∞ , maka terdapat fungsi

, sehingga berlaku qg L∈

( )F f fg= ∫ dan q

F g= .

91

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H.1994, Elementary Linear Algebra, seventh ed. Canada: John Willey and

Sons, Inc.

Bartle, R.G. dan Donald R.S. 1982. Introduction to Real Analysis. Canada. John

Willey and Sons, Inc.

Jain, P.K. dan V.P. Gupta. 1976. Lebesgue Measure and Integration. New Delhi:

Wiley Eastern Limited.

Wheeden, R.L. dan Antoni, Z. 1977. Measure and Integral. New York: Marcel

Dekker, Inc.

92

skripsi · 2010-02-10 · skripsi ruang lp lebesgue sebagai salah satu syarat untuk memperoleh...

Documents