Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 11

2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuadrat (PK) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Akar-Akar PK

𝑥1 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 atau 𝑥2 =

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎 𝑥1𝑥2 =

𝑐

𝑎

Selisih Akar-Akar PK

|𝑥1 − 𝑥2| =√𝑏2−4𝑎𝑐

𝑎=

√𝐷

𝑎

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

𝑥1

2 ± 𝑥22 = (𝑥1 ± 𝑥2)2 ∓ 2𝑥1𝑥2

𝑥12 − 𝑥2

2 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2)

𝑥13 ± 𝑥2

3 = (𝑥1 ± 𝑥2)3 ∓ 3(𝑥1𝑥2)(𝑥1 ± 𝑥2)

𝑥14 ± 𝑥2

4 = (𝑥12 ± 𝑥2

2)2 ∓ 2(𝑥1𝑥2)2

1

𝑥1±

1

𝑥2=

𝑥1 ± 𝑥2

𝑥1𝑥2

1

𝑥12

+1

𝑥22

=𝑥1

2 + 𝑥22

(𝑥1𝑥2)2

𝑥1

𝑥2±

𝑥2

𝑥1=

𝑥12 ± 𝑥2

2

𝑥1𝑥2

Halaman 12 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menyusun bentuk simetri akar-akar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan). Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:

𝑥12 + 𝑥2

2 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥1 + 𝑥2)2 = 𝑥1

2 + 2𝑥1𝑥2 + 𝑥22, maka diperoleh:

𝑥12 + 𝑥2

2 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)2 − 2𝒙𝟏𝒙𝟐 Selisih Kuadrat Akar-Akar PK

𝑥12 − 𝑥2

2 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥1 − 𝑥2)2 = 𝑥1

2 − 2𝑥1𝑥2 + 𝑥22, maka diperoleh:

𝑥12 − 𝑥2

2 = (𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)2 + 2𝒙𝟏𝒙𝟐 Atau ingat bentuk (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2) = 𝑥1

2 − 𝑥12, maka diperoleh:

𝑥12 − 𝑥2

2 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐) Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK

𝑥13 + 𝑥2

3 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥1 + 𝑥2)3 = 𝑥1

3 + 3𝑥12𝑥2 + 3𝑥1𝑥2

2 + 𝑥23

= 𝑥13 + 3(𝑥1𝑥2)(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑥2

3

maka diperoleh: 𝑥1

3 + 𝑥23 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)3 − 3(𝒙𝟏𝒙𝟐)(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)

Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:

𝑥14 + 𝑥2

4 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥2 + 𝑥2

2)2 = 𝑥14 + 2𝑥2𝑥2 + 𝑥2

4, maka diperoleh:

𝑥14 + 𝑥2

4 = (𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟐

𝟐)2

− 2(𝒙𝟏𝒙𝟐)2

= [(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)2 − 2𝒙𝟏𝒙𝟐]2 − 2(𝒙𝟏𝒙𝟐)2

Dan lain-lain ….

Contoh: Persamaan kuadrat −2𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 memiliki akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2, maka nilai 𝑥1

2 + 𝑥22 = ....

Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝑏

𝑎= −

3

−2=

3

2

𝒙𝟏𝒙𝟐 =𝑐

𝑎=

−2

−2= 1

Kedua, cari bentuk identik dari 𝑥1

2 + 𝑥22 yang memuat bentuk 𝑥1 + 𝑥2 dan 𝑥1

2 + 𝑥22.

𝑥1

2 + 𝑥22 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)2 − 2𝒙𝟏𝒙𝟐

= (3

2)

2− 2(1)

=9

4− 2

=1

4

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 13

Menyusun PK Baru

Diketahui: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 adalah PK Lama

𝒙𝟏 dan 𝒙𝟐 adalah akar-akar PK Lama 𝜶 dan 𝜷 adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan! Apakah 𝜶 dan 𝜷 identik atau tidak?

Jika 𝛼 dan 𝛽 identik Jika 𝛼 dan 𝛽 tidak identik Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama 𝜷−𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 dan 𝒙𝟏𝒙𝟐

Substitusi 𝜷−𝟏 ke PK Lama

cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru 𝜶 + 𝜷 dan 𝜶𝜷

menggunakan nilai 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 dan 𝒙𝟏𝒙𝟐

Rumus PK Baru adalah Rumus PK Baru adalah 𝑎(𝜷−𝟏)

2+ 𝑏(𝜷−𝟏) + 𝑐 = 0 𝑥2 − (𝜶 + 𝜷)𝑥 + (𝜶𝜷) = 0

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan artinya koefisien 𝑏 juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, maka:

1. PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 + 𝒏) dan (𝛽 + 𝒏) 𝑎(𝑥 − 𝒏)2 + 𝑏(𝑥 − 𝒏) + 𝑐 = 0

2. PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 − 𝒏) dan (𝛽 − 𝒏) 𝑎(𝑥 + 𝒏)2 + 𝑏(𝑥 + 𝒏) + 𝑐 = 0

3. PK Baru yang akar-akarnya (𝒏𝛼) dan (𝒏𝛽) 𝑎𝑥2 + 𝒏𝑏𝑥 + 𝒏𝟐𝑐 = 0

4. PK Baru yang akar-akarnya (𝟏

𝜶) dan (

𝟏

𝜷)

𝒄𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝒂 = 0

5. PK Baru yang akar-akarnya (−𝛼) dan (−𝛽) 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Halaman 14 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh 1: Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥2 − 12𝑥 + 2 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2) adalah …. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (𝑥 + 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (𝑥 + 2).

Invers dari (𝑥 + 2) adalah (𝒙 − 𝟐). Ketiga, Substitusikan (𝒙 − 𝟐) menggantikan variabel 𝑥 pada PK Lama:

3(𝒙 − 𝟐)2 − 12(𝒙 − 𝟐) + 2 = 0

⇔ 3(𝑥2 − 4𝑥 + 4) − 12𝑥 + 24 + 2 = 0

⇔ 3𝑥2 − 12𝑥 + 12 − 12𝑥 + 24 + 2 = 0⇔ 3𝑥2 − 24𝑥 + 38 = 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2) adalah 3𝑥2 − 24𝑥 + 38 = 0.

Contoh 2: Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 − 4𝑥 + 8 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝛼

𝛽 dan

𝛽

𝛼 adalah ….

Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru 𝛼

𝛽 dan

𝛽

𝛼, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.

𝜶 + 𝜷 = −−4

2= 2

𝜶𝜷 =8

2= 4

Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai 𝜶 + 𝜷 dan 𝜶𝜷 .

𝛼

𝛽+

𝛽

𝛼=

𝛼2 + 𝛽2

𝛼𝛽

=(𝜶 + 𝜷)2 − 2𝜶𝜷

𝜶𝜷

=𝟐2 − 2 ∙ 𝟒

𝟒

=4 − 8

4

= −4

4= −1

𝛼

𝛽

𝛽

𝛼= 1

Keempat, rumus PK Baru adalah:

𝑥2 − (jumlah akar-akar PK baru)𝑥 + hasil kali akar-akar PK baru = 0

𝑥2 − (−1)𝑥 + 1 = 0

𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya 𝛼

𝛽 dan

𝛽

𝛼 adalah 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 15

Contoh 3 Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 + 3) dan (𝛽 + 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (𝑥 − 3). Jadi, PK Baru adalah: 2(𝑥 − 3)2 − 5(𝑥 − 3) + 3 = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 4 Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥2 + 12𝑥 − 1 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 − 2) dan (𝛽 − 2) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (𝑥 + 2). Jadi, PK Baru adalah: 3(𝑥 + 2)2 + 12(𝑥 + 2) − 1 = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 5 Akar-akar persamaan kuadrat −4𝑥2 + 2𝑥 − 7 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2𝛼 dan 2𝛽 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: −4𝑥2(20) + 2𝑥(21) − 7(22) = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 7𝑥2 − 5𝑥 + 13 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝛼

5 dan

𝛽

5 adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: 7𝑥2(55) − 5𝑥(51) + 13(50) = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 − 𝑥 + 5 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1

𝛼 dan

1

𝛽 adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 𝑥2 dengan konstanta. Jadi, PK Baru adalah: 5𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0

Halaman 16 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat −𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya −𝛼 dan −𝛽 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 𝑥 dikalikan (−1). Jadi, PK Baru adalah: −𝑥2 + 2𝑥(−1) + 4 = 0

−𝑥2 − 2𝑥 + 4 = 0

Contoh 7

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2𝛼 − 3) dan (2𝛽 − 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi (𝑥 + 3). Jadi, PK Baru adalah: 2𝑥2(20) − 5𝑥(21) + 3(22) = 0

2𝑥2 − 10𝑥 + 12 = 0

Dilanjutkan dengan substitusi (𝑥 + 3). 2(𝑥 + 3)2 − 10(𝑥 + 3) + 12 = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 17

Berlawanan Berkebalikan 𝑏 = 0 𝑎 = 𝑐

Sifat-Sifat Akar-Akar PK

Perbandingan Selisih 𝑛𝑏2 = (𝑛 + 1)2𝑎𝑐 𝐷 = (𝑛𝑎)2 Keterangan: Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.

Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya. TRIK SUPERKILAT Sifat akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 yang mungkin keluar di soal:

1. Jika akar yang satu kelipatan 𝑛 dari akar yang lain (𝑥1 = 𝑛𝑥2), maka 𝑛𝑏2 = (𝑛 + 1)2𝑎𝑐 2. Jika selisih akar-akarnya adalah 𝑛 (|𝑥1 − 𝑥2| = 𝑛), maka 𝐷 = (𝑛𝑎)2 3. Jika akar-akarnya berlawanan (𝑥1 = −𝑥2 atau 𝑥1 + 𝑥2 = 0), maka 𝑏 = 0

4. Jika akar-akarnya berkebalikan (𝑥1 =1

𝑥2 atau 𝑥1𝑥2 = 1), maka 𝑎 = 𝑐

Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 + 𝑚𝑥 + 16 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Jika 𝛼 = 2𝛽 dan 𝛼, 𝛽 positif maka nilai 𝑚 = …. Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.

Karena 𝛼 = 2𝛽, maka jelas nilai 𝑛 = 2.

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. 𝑛𝑏2 = (𝑛 + 1)2𝑎𝑐

⇔ 2𝑚2 = (2 + 1)2 ∙ 2 ∙ 16

⇔ 𝑚2 = 32 ∙ 42 ⇔ 𝑚 = ±12

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:

𝑥1 + 𝑥2 > 0 ⇒ −𝑏

𝑎> 0

⇔ −𝑚

2> 0

⇔ 𝑚 < 0

Sehingga pilih nilai 𝑚 yang negatif. Jadi, 𝑚 = −12.

Halaman 18 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Akar-akar persamaan kuadrat 042 axx adalah p dan .q Jika ,82 22 aqpqp maka nilai a

....

A. −8

B. −4

C. 4

D. 6

E. 8

2. Persamaan kuadrat 05)1(2 xmx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika

,82 21

2

2

2

1 mxxxx maka nilai m ....

A. −3 atau −7

B. 3 atau 7

C. 3 atau −7

D. 6 atau 14

E. −6 atau −14

3. Persamaan kuadrat 0442 pxx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika ,322

2

1

2

21 xxxx maka nilai

p ....

A. −4

B. −2

C. 2

D. 4

E. 8

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

𝑥12 + 𝑥2

2 − 2𝑥1𝑥2 = 8𝑚

⇒ (𝑥1 + 𝑥2)2 − 4𝑥1𝑥2 = 8𝑚

⇔ (−𝑚 + 1)2 + 20 = 8𝑚

⇔ 𝑚2 − 10𝑚 + 21 = 0⇔ (𝑎 − 3)(𝑎 − 7) = 0⇔ 𝑎 − 3 = 0 atau 𝑎 − 7 = 0⇒ 𝑎 = 3   𝑎 = 7

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑚 + 1 𝑥1. 𝑥2 = −5

𝑝 + 𝑞 = −𝑎 𝑝. 𝑞 = −4

𝑝2 − 2𝑝𝑞 + 𝑞2 = 8𝑎

⇒ (𝑝 + 𝑞)2 − 4𝑝𝑞 = 8𝑎

⇔ 𝑎2 + 16 = 8𝑎⇔ 𝑎2 − 8𝑎 + 16 = 0⇔ (𝑎 − 4)(𝑎 − 4) = 0⇒ 𝑎 = 4

𝑥1𝑥22 + 𝑥1

2𝑥2 = 32

⇒ 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) = 32

⇔ 4(−4𝑝) = 32⇔ −16𝑝 = 32

⇔ 𝑝 =32

−16⇔ 𝑝 = −2

𝑥1 + 𝑥2 = −4𝑝 𝑥1. 𝑥2 = 4