sistem persamaan linier -...

19
Sistem Persamaan Linier Djoko Luknanto Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM

Upload: truongtu

Post on 21-Aug-2019

215 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Sistem Persamaan LinierDjoko Luknanto

Jurusan Teknik Sipil dan LingkunganFT UGM

Page 2: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 2

Kuda-kuda dalam bentuk matriks

4

3

3 4

1 3

2 4

3

1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0

tan0 0 2 0 0 0csc0 0 0 1 1 0sec0 0 0 1 1 000 0 0 0 cos 1

A

A

B

H PV PV P Pp Pp Pp

P4

P3

HA

VA

C

BA

1 2

3

VB

Page 3: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Penyelesaian dalam bentuk matriks

[A]23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 3

4

3

3 4

1 3

2 4

3

1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0

tan0 0 2 0 0 0csc0 0 0 1 1 0sec0 0 0 1 1 000 0 0 0 cos 1

A

A

B

H PV PV P Pp Pp Pp

{x}={B}

Page 4: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Eliminasi Gauss

23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 4

Baris 1

3/43/4

2/42/4

1/41/4

motivasi

pengurang

hasil

Page 5: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

23/10/2013 Djoko Luknanto ([email protected]) 5

[A] {x}={B}{x}= ?[A]-1{x}= {B}

Hindari!

Page 6: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Dengan eliminasi Gauss

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 6

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

a a a x ba a a x ba a a x b

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

00 0

a a a x bc c x d

c x d

12 13 1 1

23 2 2

3 3

10 10 0 1

d d x fd x f

x f

1 2

Page 7: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

1. Dengan menggunakan matriks invers

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 7

11 12 13 1 1 1 1

21 22 23 2 2 2 2

31 32 33 3 3 3 3

atau ataua a a x b c da a a x b c da a a x b c d

1 11

2 2

3 3

[ ]x bx A bx b

1 11

2 2

3 3

[ ]x cx A cx c

1 11

2 2

3 3

[ ]x dx A dx d

Page 8: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Cara mencari matrik invers Matriks invers sebaiknya dihindari; cara yang

lebih efisien akan dijelaskan kemudian.

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 8

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

[ ][ ] { }

1 0 00 1 00 0 1

IA B

a a a ba a a ba a a b

1

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

[ ] [ ]{ }

1 0 00 1 00 0 1

I Ax

c d d dc d d dc d d d

1. Bentuk [A]{B}[I]2. Ubah menjadi

[I]{C}[A]-1

dengan cara• Eliminasi Gauss:

ubah [A][I]maka:1) {B}{C}2) [I][A]-1

Page 9: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

2. Dekomposisi [A] = [L][T]

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 9

[ ]{ } { }A x B[ ][ ]{ } { }L T x B

[ ]{ } { }L y B[ ]{ } { }T x y

[ ][ ]L T

{ }y{ }x

Page 10: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

2. Dekomposisi [A] = [L][T]

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 10

11 12 13 1 1 1 1

21 22 23 2 2 2 2

31 32 33 3 3 3 3

atau ataua a a x b c da a a x b c da a a x b c d

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

{ } { }

[ ]

1 0 01 0 0

1 0 0

L T

A

T T T x bL T T x bL L T x b

Page 11: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Dekomposisi [A] = [L][T]

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 11

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

{ }

{ } { }

1 0 01 0 0

1 0 0Y

L T

T T T x bL T T x bL L T x b

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

{ } { }

[ ]

1 0 01 0 0

1 0 0

L T

A

T T T x bL T T x bL L T x b

Page 12: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

1 1

21 2 2

31 32 3 3

{ }

{ }

1 0 01 0

1Y

L

Y bL Y bL L Y b

Dekomposisi [A] = [L][T]

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 12

1 2 3 1 1 11 0 0Y Y Y b Y b

21 1 2 3 2 2 2 21 11 0L Y Y Y b Y b L Y

31 1 32 2 3 3 3 3 31 1 32 21L Y L Y Y b Y b L Y L Y

Page 13: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

00 0

T T T x YT T x Y

T x Y

Dekomposisi [A] = [L][T]

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 13

31 2 33 3 3 3

33

0 0 Yx x T x Y xT

2 23 31 22 2 23 3 2 2

22

0 Y T xx T x T x Y xT

1 12 2 13 311 1 12 2 13 3 1 1

11

Y T x T xT x T x T x Y xT

Page 14: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Matriks Tridiagonal

Dalam dunia ketekniksipilan banyak dijumpai matriks tridiagonal terutama dalam penyelesaian numerik persamaan diferensial.

Matriks tridiagonal A = [aij] jikaaij = 0 untuk |i - j| > 1

Bentuk matriksnya dapat dilihat dalam tayangan berikut

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 14

Page 15: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Matriks Tridiagonal

Matriks yang anggotanya hanya terdapat pada diagonal, bawah dan atas diagonal.

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 15

1 1

2 2 2

3 3 2

1 1 1

0 0 00

00 0

0n n n

n n

a cb a c

b a c

b a cb a

Page 16: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Matriks Tridiagonal

A = LU

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 16

1 1

2 2 2

3 3

1

0 10 0 1

01

0 0 0 1n

n n

bb

b

Page 17: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Matriks TridiagonalDengan mengalikan LU = A diperoleh: a1 = 1 dan c1 = 11 ai = i + bii-1 untuk i = 2, 3, …, n ii = ci untuk i = 2, 3, …, n-1dari persamaan di atas diperoleh langkah hitungan berikut ini: 1 = a1 dan 1 = c1/1 i = ai – bii-1 i = ci/i untuk i = 2, 3, …, n n = an – bnn-1Koefisien dan disimpan untuk hitungan-hitungan lanjutan …

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 17

Page 18: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Matriks Tridiagonal

Nilai x dihitung dari [A]{x} = {f} yang diubah menjadi

[LU]{x} = {f}dengan [U]{x} = {z} dan [L]{z} = {f} sehingga {z} dihitung terlebih dahulu baru kemudian {x}:

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 18

1 11

1

2,3,...,i i ii

i

f f b zz z i n

1 1, 2,...,1n n i i i ix z x z x i n n

Page 19: Sistem Persamaan Linier - luk.tsipil.ugm.ac.idluk.tsipil.ugm.ac.id/numerik/SistemPersamaanLinier.pdf · Penyelesaian dalam bentuk matriks [A] 23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)

Matriks Pita

Metoda penyelesaian untuk matriks tridiagonal ini dikenal dengan nama Algoritma Thomas.

Untuk matriks pita yaitu matriks yang anggota bernilai tidak nol berada di sekitar diagonal, maka teknik yang sama dapat dilakukan dan secara umum disebut metoda sapuan ganda.

23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 19