sistem persamaan linear dua variabel (spldv), … · variabel (spltv), dan sistem persamaan linear...

1 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi SPLDV, SPLTP, dan SPLK SIMAK UI

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV), SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA

VARIABEL (SPLTV), DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT (SPLK)

1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009

Diketahui sistem persamaan:

24

185 18

2

8 63

2

yx z

yx y z

x z x y z

Nilai dari 2 22y x xz z adalah ....

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 10

Solusi: [A]

Misalnya 2

ax z

dan 6

2b

x y z

4....(1)

5 3 18....(2)

4 3....(3)

y a

y b

a b

Persamaan (2) + 3 Persamaan (3) menghasilkan

5 12 27y a .... (4)

Dari persamaan (1) dan persamaan (4) diperoleh

5 12 4 27y y

7 48 27y

21

37

y

4y a

3 4a

1a

2

1ax z

2x z

4 3a b


4 1 3b

1b

6

12

bx y z

2 6x y z

2 6x y z

6x y x z

3 2 6x

1x

2x z

1 2z

1z

2 2 2 22 3 1 2 1 1 1 3 0 3y x xz z


Jumlah x dan y dari solusi ,x y yang memenuhi sistem persamaan

2 5 2

x y a

x x y

adalah ....

A. 12 B. 10 C. 6 D. 6 E. 10

Solusi: [B] 2 5 2y x a x x y

2 5 2x x x a

2 4 2 0x x a

Diasumsikan sistem mempunyai satu solusi, sehingga 2 4 0D b ac

24 4 1 2 0a

4 2 0a

6a 2 4 6 2 0x x 2 4 4 0x x

2

2 0x

2x 2 6 8y

2 8 10x y


Titik-titik ,x y yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear kuadrat

2 3

3 2 1 6 0

x y

x y x y

(1) 1, 1 (2) 1,1 (3) 1, 5 (4) 1,5

Solusi: [D]

I. 2 3

3 2 1 0

x y

x y

II.

2 3

6 0

x y

x y


Dari persamaan I diperoleh

3 2 3 2 1 0y x x y

3 2 3 2 1 0x x

3 6 4 1 0x x

7 7x

1x

3 2 1 1y

Penyelesaiaanya adalah 1,1

Dari persamaan II diperoleh

3 2 6 0y x x y

3 2 6 0x x

3 3x

1x

3 2 1 5y

Penyelesaiaanya adalah 1,5

Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).


Empat tahun yang lalu, jumlah umur kakak dan adiknya dalam sebuah keluarga adalah empat

kali selisihnya. Sekarang umur kakak adalah 9

7 umur adiknya. Maka 10 tahun yang akan dating

umur kakak dan adiknya adalah ....

A. 17dan19 B. 20dan18 C. 18dan 20 D. 19dan17 E. 21dan19

Solusi: [D]

Misalnya umur kakak dan adik masing-masing k dan a tahun.

4 4 4 4 4k a k a

8 4 4k a k a 3 5 8k a .... (1)

9

7k a .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

9

3 5 87

a a

27 35 56a a

8 56a

7a

9

7 97

k

Sepuluh tahun yang akan datang umur kakak dan adiknya masing-masing 19 dan 17 tahun.


Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat

2

2 2

2 6

2 3 20

y x

x y

adalah....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

Solusi: [A]


2 2 22 6 2 3 20x y x y

22 2 6 3 20y y

23 4 32 0y y

3 8 4 0y y

84

3y y

2 8 22 6

3 3x

(ditolak) atau

2 2 4 6 14x (ditolak)

Jadi, banyak penyelesainya 0.

6. SIMAK UI Matematika IPA 924, 2009

Jika x, y, dan z memenuhi sistem persamaan

3 2 3

2 3 4

2 1

x y z

x y z

x y z

maka nilai 2 2 3 ....x y z

A. 8 B. 4 C. 2 D. 4 E. 8

Solusi: [B]

3 2 3x y z ....(1)

2 3 4x y z .... (2)

2 1x y z ....(3)

Persamaan (2) + Persamaan (3) menghasilkan

3 3x z .... (4)

Persamaan (1) – Persamaan (4) menghasilkan:

2 0y

0y

0 2 3 4y x y z

2 3 4x z 2 2 3 2 2 0 3 2 3 4x y z x z x z


Jawab dari sistem persamaan

2 3 19

2 7

2 4 20

x y z

x y z

x y z

adalah ....

(1) ada jawab (2) jawab banyak (3) jawab tunggal (4) tidak ada jawab

Solusi: [B]

2 3 19x y z ....(1)

2 7x y z .... (2)

2 4 20x y z ....(3)

Persamaan (1) + Persamaan (2) menghasilkan

3 5 26x z .... (4)

2 Persamaan (2) + Persamaan (3) menghasilkan:


34x

34 3 34 5 26x z

5 76z

76

5z

7634 2 7

5y

152 1727

5 5y



Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

2

7

3 10

x y

y x x

adalah 1 1 2 2, , ,x y x y . Nilai 1 2y y adalah....

A. 16 B. 2 C. 8 D. 12 E. 20

Solusi: [A] 27 3 10x y y x x

2

7 3 7 10y y y

2 14 49 3 21 10y y y y

2 16 60 0y y

1 2 16y y


Jika 2x y z k , 2x y z k , dan 2x y z k , 0k , maka 2 2 2x y z jika dinyatakan

dalam k adalah ....

A. 2

16

k B.

23

16

k C.

24

17

k D.

23

8

k E.

22

3

k

Solusi: [B]

2x y z k .... (1)

2x y z k ....(2)

2x y z k .... (3)

Hasil penjumlahan ketiga persamaan tersebut adalah

4 4 4 3x y z k

3

4

kx y z .... (4)


32

4

kk z z

4

kz


32

4

kk y y


4

ky


32

4

kx k x

4

kx

2 2 2 22 2 2 3

4 4 4 16

k k k kx y z


Diketahui sistem persamaan berikut.

2 3

3 2 1 6 0

x y

x y x y

Jika 1 1 2 2, dan ,x y x y adalah penyelesaian dari system persamaan tersebut, maka nilai dari

1 1 2 2 ....x y x y

A. 6 B. 8 C. 4 D. 5 E. 6

Solusi: [E]

I. 2 3

3 2 1 0

x y

x y

II.

2 3

6 0

x y

x y


3 2 3 2 1 0y x x y

3 2 3 2 1 0x x

3 6 4 1 0x x

7 7x

1 1x

1 3 2 1 1y


3 2 6 0y x x y

3 2 6 0x x

3 3x

2 1x

2 3 2 1 5y

1 1 2 2 1 1 1 5 6x y x y


Jumlah nilai x dan y yang merupakan bilangan bulat dari sistem persamaan berikut

2 2

2 3 1 0

2 4 2 0

x y

x xy y x y

adalah ....

A. 7 B. 1 C. 1 D. 3 E. 7

Solusi: [B]

2 3 1 0x y

2 23 12 4 2 0

2 2

yx x xy y x y


223 1 3 1 3 1

2 4 2 02 2 2 2 2 2

y y yy y y

2 2 21 1 19 6 1 3 2 3 1 4 2 0

4 2 2y y y y y y y

2 2 29 6 1 6 2 8 6 2 16 8 0y y y y y y y

27 18 9 0y y

7 3 3 0y y

3

(ditolak)atau 3(diterima)7

y y

3 1 3 3 1 84

2 2 2 2 2

yx

4 3 1x y


Zakiya membeli x tangkai bunga seharga y rupiah, dengan x dan y adalah bilangan bulat, y dalam

ribuan (misalnya 2 adalah Rp2.000,00). Saat hendak meninggalkan toko, pramuniaganya berkata,

“Jika Anda membeli lagi 18 tangkai bunga, saya akan menjualnya dengan harga 6 sehingga Anda

hemat 0,6 per lusin tangkai bunga”. Nilai x dan y yang memenuhi kondisi ini adalah ....

A. 10, 4x y C. 12, 4x y E. 15, 5x y

B. 12, 3x y D. 10, 3x y

Solusi: [B]

“Jika Anda membeli lagi 18 tangkai bunga, saya akan menjualnya dengan harga 6 sehingga Anda

hemat 0,6 per lusin tangkai bunga”

6 0,6

18 12

y

x x

Jadi, 12, 3x y


Jika sistem 2 3

3 1

x y k

x ky

dan sistem

2

1

1

kx y

x y

mempunyai satu penyelesaian yang sama, maka

hasil kali semua nilai k yang memenuhi adalah ....

A. 3

2 B.

1

2 C. 1 D.

1

2 E.

3

2

Solusi: [B]

Perhatikan sistem persamaan II.

2

1II.

1

kx y

x y

1kx y

1y kx .... (1) 2 1....(2)x y

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh 2 1 1x kx 2 0x kx

0x x k

0x x k

Perhatikan sistem persamaan I.


2 3I.

3 1

x y k

x ky

2 3x k x y k

2 3k y k

2y k

Substitusikan dan 2x k y k ke persamaan 3 1x ky , sehingga diperoleh

3 2 1k k k

22 3 1 0k k

3 2 1k k k

1 2

1

2k k

Solusi 2: [B]

Perhatikan system persamaan I:

2 3I.

3 1

x y k

x ky

2 3x y k

3 2 ....(1)x k y

3 1....(2)x ky


3 3 2 1k y ky

9 6 1k y ky

6 9 1k y k

9 1

6

ky

k

2 29 1 3 18 18 2 3 23 2

6 6 6

k k k k kx k

k k k

Penyelesaian dari sistem persamaan I adalah 23 2 9 1

,6 6

k k

k k

.

Perhatikan sistem persamaan II.

2

1II.

1

kx y

x y

1kx y

1y kx .... (1) 2 1....(2)x y

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh 2 1 1x kx 2 0x kx

0x x k

0x x k

Penyelesaian dari sistem persamaan II adalah 20, 1 ; , 1k k

Karena penyelesaian dari system persamaan I dan II sama, maka


Jika x k , maka 23 2

6

kk

k

, sehingga

2 23 2 6k k k 24 6 2 0k k

1 2

2 1

4 2k k .


Jika diketahui 1 1

,2 3 2 3

x y y z

, maka nilai 2 2 2 ....x y z xy yz xz

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 25

Solusi: [C]

2 21 12

2 3 7 4 3x y x y xy

.... (1)

2 21 12

2 3 7 4 3y z y z yz

.... (2)

1 1

2 3 2 3x y y z

2 24 2 16x z x z xz .... (3)

Penjumlahan persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:

2 2 2 1 12 2 2 2 2 2 16

7 4 3 7 4 3x y z xy xz yz

2 2 22 2 2 2 2 2 14 16x y z xy xz yz

2 2 2 15x y z xy xz yz


Jika memenuhi system persamaan berikut:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 4 5 9

41 2

4 2 1 1

21 2

3 6 21

1 2

zx y

zx y

zx y

maka nilai dari 2 2 21 2 ....x y z

A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 E. 16

Solusi: []

Misalnya

2 2 2

1 1 1, ,dan

1 2a b c

zx y

8 16 20 9a b c .... (1)

8 4 2 1a a c .... (2)

3 6 2 1a b c .... (3)

Persamaan (1) + 10 Persamaan (2) menghasilkan

88 24 19a b .... (4)

Persamaan (2) Persamaan (3) menghasilkan

5 10 0a b

2a b .... (5)



88 2 24 19b b

152 19b

1

8b .... (6)

Dari persamaan (5) dan (6) menghasilkan

1 12 2

8 4a b

Dari persamaan (3), (6), dan (7) diperoleh

1 13 6 2 1

4 8c

12 42 1

8 8c

1

4c

2 2 2 1 1 1

1 2 4 8 4 16x y za b c


Dua mobil menempuh jarak 450 km. Kecepatan mobil kedua setiap jamnya 15 km lebih daripada

kecepatan mobil pertama. Jika waktu perjalanan mobil kedua 1 jam lebih pendek dari waktu

perjalanan mobil pertama, maka rata-rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah .... (dalam

km/jam)

A. 97,5 B. 92,5 C. 87,5 D. 85 E. 82,5

Solusi: [E]

Misalnya S = jarak tempuh, 1v = Kecepatan mobil pertama, 2v = Kecepatan mobil kedua, 1t =

waktu mobil pertama, 2t = waktu mobil kedua.

2 1 15v v dan 2 1 1t t

1 1 2 2450S v t v t

11

450t

v .... (1)

Selanjutnya,

1 1 1 115 1v t v t

1 1 1 1 1 115 15v t v t v t

1 115 15v t .... (2)


11

45015 15v

v

21 16750 15v v

21 115 6750 0v v

1 190 75 0v v

1 190 75v v

1 2 175 15 75 15 90v v v

Jadi, rata-rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah 1 2 75 9082,5

2 2

v v



Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi sistem persamaan berikut.

2 1 3

2 2 5 15

x y

x y

adalah....

A. 4 B. 3 C. 3 D. 4 E. 5

Solusi: [B]

2 1 3x y

2 2 3xy x y

2 1xy x y

2 2 4 2xy x y .... (1)

2 2 5 15x y

2 5 4 10 15xy x y

2 5 4 25xy x y .... (2)


3 8 23x y

3 23

8

xy

3 232 1

8

xy xy x y

3 23 3 232 1

8 8

x xx x

23 23 8 6 46 8x x x x 23 9 54 0x x

1 2

93

3x x


Diketahui 2 3 12

2 3 6 48

a b c

ab ac bc

, maka nilai ....a b c

A. 7

3 B.

8

3 C.

10

3 D.

22

3 E. 6

Solusi: [D]

2 3 6 48ab ac bc

2 3 6 4 2 3ab ac bc a b c

2 4 3 12 6 8 0ab a ac c bc b

2 2 3 4 2 3 4 0a b c a b c

Persamaan ini akan dipenuhi jika 4

2, 4,dan3

b a c

4 224 2

3 3a b c


Diketahui 2 2 2 2 1

4022

x y z yz

x y z

dengan , , 0x y z anggota bilangan bulat positif. Nilai z yang

memenuhi persamaan tersebut adalah ....


A. 1 B. 2 C. 1005 D. 2010 E. 2011

Solusi: [D] [E]

4022x y z

4022x y z

2 2 24022 2 1x y z x y z yz

2 2 24022 2 1y z y z yz

2 2 2 2 24022 8044 8044 2 2 2y z y z yz y z yz

2 2 24022 2 2 8044 8044 2y z y z

2 2 22011 2 4022 4022 1y z y z

2 2 2 24022 2011 4022 2011 1y y z z

2 2

2011 2011 1y z

2011, 2010atau 2010, 2011y z y z


Sebuah keluarga mempunyai 5 orang anak. Anak tertua berumur 2 kali dari umur anak termuda,

sedangkan 3 anak yang lainnya masing-masing berumur kurang 3 tahun dari anak tertua, lebih 4

tahun dari anak termuda, dan kurang 5 tahun dari anak tertua. Jika rata-rata umur mereka adalah

16 tahun, maka kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah ....

A. 4 B. 6,25 C. 9 D. 12,25 E. 20,25

Solusi: [D]

Misalnya umur pertama, ke dua, ketiga, ke empat, dan ke lima masing-masing a, b, c, d, dan e

tahun.

Anak tertua berumur 2 kali dari umur anak termuda: 2a e .... (1) Anak kedua berumur kurang 3 tahun dari anak tertua: 3b a .... (2)

Anak ketiga berumur lebih 4 tahun dari anak termuda: 4c e .... (3)

Anak ke empat berumur kurang 5 tahun dari anak tertua: 5d a .... (4)

Jumlah semua persamaan adalah 2 3 4a b c d a e

Rata-rata umur mereka adalah 16 tahun

165

a b c d e

2 3 416

5

a e e

2 4 4 80a e

2 4 84a e

2 42a e .... (5)


2 2 42e e

4210,5

4e

2 2 10,5 21a e

Anak kedua berumur kurang 3 tahun dari anak tertua: 21 3 18b

Anak ketiga berumur lebih 4 tahun dari anak termuda: 10,5 4 14,5c

kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah 2

18 14,5 12,25


Jika jumlah dua buah bilangan riil positif berbeda adalah P dan selisihnya adalah 2

ndari

bilangan terkecil, maka bilangan terbesar adalah ....


A. 2 1

Pn

n B.

2

2 1

P n

n

C.

1

Pn

n D.

1

2 2

P n

n

E.

2

1

P n

n

Solusi: [B]

Misalnya bilangan-bilangan real tersebut adalah a dan b, dengan a b .

a b P

b P a .... (1)

2

a b bn

.... (2)

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh:

2

a P a P an

2 2

2a

a P Pn n

22 2 P nn

an n

2

2 1

P na

n


Jika diketahui 2 2 2

2

18

756

a b c

a b c

a bc

, maka ....a

A. 18 B. 12 C. 1 D. 12 E. 18

Solusi: [B] 2 2 2 756a b c

2

2 756a b c ab ac bc

2

18 2 756ab ac bc

216ab ac bc

Dari soal diketahui bahwa 2a bc , sehingga 2 216ab ac a

216a b c a

18 216a

12a


Apabila k x y , maka 2 1k k dan apabila k x y , maka 2 1k k , maka ....x y

(1) 1 1

52 2 (2)

1

2 (3)

1 15

2 2 (4)

15

2

Solusi: [B] 2 1k x y k k

2

1x y x y

2 2 2 1x y xy x y .... (1) 2 1k x y k k

2

1x y x y


2 2 2 1x y xy x y .... (2)


4 2 0xy x

2 2 1 0x y

1

02

x y

2 20 2 1x x y xy x y

2 1 0y y

1 1 4 1 1

52 2 2

y

Sehingga 1 1

52 2

x y

2 212 1

2y x y xy x y

2 1 11

4 2x x x

2 5

4x

1

52

x

Sehingga1 1

52 2

x y

Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).


Diketahui bahwa 2 22 2 13x xy y dengan x dan y adalah bilangan bulat. Nilai x y yang

mungkin dengan 0x dan 0y adalah ....

(1) 4 (2) 1 (3) 4 (4) 1

Solusi: [D] 2 22 2 13x xy y 2 2 22 13x xy y y

2 2 2 23 2x y y

Karena x dan y adalah bilangan bulat dengan 0x dan 0y , sehingga yang memenuhi

persamaan tersebut adalah 1x dan 2y .

Jadi, 1 2 1x y .

Pernyataan yang benar hanya pernyataan (4) saja.


Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi system persamaan berikut.

2 23 2 5 4 0

2 4

x xy y x y

x y

maka 2 2 ....x y

A. 6 B. 3 C. 0 D. 3 E. 6

Solusi: [D] 2 24 2 3 2 5 4 0x y x xy y x y


2 24 2 4 2 3 2 4 2 5 4 0y y y y y y

2 2 216 16 4 4 2 3 8 4 5 4 0y y y y y y y

29 29 20 0y y

9 20 1 0y y

20(ditolak)atau 1

9y y

1 4 2 4 2 1 2y x y

2 2 2 22 1 3x y


Dikethaui x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi 33xy x y dan 2 2 162x y xy .

Nilai x y adalah ....

A. 3 B. 6 C. 9 D. 11 E. 12

Solusi: [E]

33xy x y

33x y xy .... (1)

2 2 162x y xy

162xy x y .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

33 162xy xy

2

33 162 0xy xy

27 6 0xy xy

27 6xy xy

27 33 33 27 6xy x y xy

6 27x x

2 6 27 0x x

9 3 0x x

9 3x x

6 9 6 3y x 6 3 6 9y x

6 33 33 6 27xy x y xy

27 6x x

2 27 6 0x x (akar-akarnya tidak bulat)

Sehingga 9, 3atau 3, 9x y x y

Jadi, 9 3 12 3 9 12x y atau x y


Diberikan sebuah sistem persamaan 2 2 7 dan 1x xy y x xy y , maka ....x y

(1) 5 (2) 3 (3) 2 (4) 2 2

Solusi: [B]

1x xy y

1xy x y .... (1)

2 2 7x xy y


2

3 7x y xy .... (2)


2

3 1 7x y x y

2

3 10 0x y x y

5 2 0x y x y

5 2x y x y



Banyak pasangan bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut.

2 3 4 0

2 2 5 7 0

x y x y

x y x y

adalah ....

A. 2 B. 3 C. 4 D. 16 E. tak terhingga

Solusi: [B]

Dari sistem persamaan tersebut dapat dijabarkan menjadi sistem persamaan berikut ini.

2 0I.

2 0

x y

x y

2 0II.

2 5 7 0

x y

x y

3 4 0III.

2 0

x y

x y

3 4 0IV.

2 5 7 0

x y

x y

Dari sistem persamaan I diperoleh penyelesaian: 0, 2

Dari sistem persamaan II diperoleh penyelesaian: 1,1

Dari sistem persamaan III diperoleh penyelesaian: 1,1

Dari sistem persamaan IV diperoleh penyelesaian: 13 29

,17 17

Jadi, banyak pasangan bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaantersebut adalah 3.


Diberikan sebuah sistem persamaan sebagai berikut.

2 4 12

4 2 22

6

x y z

xy yz xz

xyz

Dengan demikian, ....x y z

(1) 1

52

(2) 6 (3) 1

62

(4) 8

Solusi: []

2 4 12....(1)

4 2 22....(2)

6....(3)

x y z

xy yz xz

xyz

Dari persamaan (1) diperoleh 4 12 2 ....(4)x z y

Dari persamaan (3) diperoleh 6

....(5)xzy

Dari persamaan (2), (4), dan (5) diperoleh

4 2 22xy yz xz

4 2 22x z y xz

12 2 2 22y y xz


2 612 2 2 22y y

y

2 36 6 11y y y 3 26 11 6 0y y y

21 5 6 0y y y

1 2 3 0y y y

1 2 3y y y

Substitusikan 1 2 3y y y ke persamaan (4) dan (5) diperoleh

1

I. 4 10

6

y

x z

xz

2

II. 4 8

3

y

x z

xz

3

III. 4 6

2

y

x z

xz


10 4 6z z

24 10 6 0z z 22 5 3 0z z

2 3 1 0z z

31

2z z

4 6x x

3 1

4 1 62 2

x y z atau 6 1 1 8x y z


8 4 3z z

24 8 3 0z z

2 1 2 3 0z z

1 3

2 2z z

6 2x x

1 1

6 2 82 2

x y z atau 3 1

2 2 52 2

x y z

Dari persamaan III diperoleh

6 4 2z z

24 6 2 0z z 22 3 1 0z z

2 1 1 0z z

11

2z z

4 2x x

1 1

4 3 72 2

x y z atau 2 3 1 6x y z

Semua pernyataan adalah benar.


Untuk setiap x dan y anggota bilangan real berlaku sebuah sistem persamaan sebagai berikut.

2 22 3

4

x x y

y xy

Nilai ....x y

1 1 6 11 6

1 5 6

1 5 6 0


(1) 0 (2) 1 1

64 12 (3)

1

2 (4)

1 16

4 12

Solusi: [B]

4y xy

4 0xy y

4 1 0y x

10

4y x

2 20 2 3 0y x x

22 0x x

2 1 0x x

10

2x x

Penyelesaiannya adalah 1

0,0 , ,02

, sehingga 1 1

0 0 0dan 02 2

x y x y

2 212 3

4x x x y

2

21 12 3

4 4y

24 2 48y

2 1

24y (nilai y tidak real)



Perhatikan sistem persamaan linier berikut

7 5 2 20

5 8 11 13

15 10 50

x y z

x y z

x y z

Nilai dari 3 2x y z adalah ....

A. 33 B. 23 C. 19 D. 17 E. 13

Solusi: [D]

7 5 2 20....(1)

5 8 11 13....(2)

15 10 50....(3)

x y z

x y z

x y z

Persamaan (3) (Persamaan (1) + Persamaan (2)) menghasilkan:

15 10 7 5 2 5 8 11 50 20 13x y z x y z x y z

3 2 17x y z


Diketahui sistem persamaan linear berikut.

13 11 700

1

x y

mx y

Agar pasangan bilangan bulat ,x y memenuhi sistem persamaan linear tersebut, banyaknya

nilai m yang memenuhi adalah ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 6


Solusi: [B]

13 11 700x y .... (1)

1mx y

11 11 11mx y .... (2)

Persamaan (1) + Persamaan (2) menghasilkan:

13 11 711m x

711

13 11x

m

Agar x adalah bilangan bulat, maka haruslah 13 11m adalah faktor dari 711.

Faktor dari 711 adalah 1, 3, 9, 79, 237, 711 .

Nilai m yang menyebabkan x dan y bulat adalah 2 dan 6.

Jadi, banyaknya nilai m yang memenuhi adalah 2.


Misalkan 1x dan 3y merupakan salah satu solusi dari sistem persamaan berikut.

2

1 10 3

ax by a b

c x cy a b

Nilai ....a b c

A. 2b B. 9

4

b C.

5 9

4

b D.

9 9

4

b E.

3 9

4

b

Solusi: [B]

Substitusikan 1x dan 3y ke persamaan 2ax by a b dan 1 10 3c x cy a b , sehingga

diperoleh

1 3 2a b a b

2a b .... (1)

1 1 3 10 3c c a b

1 3 10 3c c a b

4 9 3c a b

9 3

4

a bc

.... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 9 2 3 9 5

4 4

b b bc

.... (3)

Faktor dari 711 m 711

13 11x

m

700 13

11

xy

1 12 14dan

11 11

711x tidakbulaty

3 10 16dan

11 11

237x tidakbulaty

9 4dan 2

11

79x 157y

79 926dan

11

9x 53y

237 224 250dan

11 11

3x tidakbulaty

711 698 724dan

11 11

1x tidakbulaty


Jadi, 9 5 4 9 5 9

24 4 4

b b b ba b c b b


Diketahui dua sistem persamaan linier berikut mempunyai solusi yang sama:

2 1

3

ax y b

x y

dan

22 2

3 3

x y a

x y

maka nilai a b adalah ....

A. 9 B. 5 C. 0 D. 5 E. 9

Solusi: [A]

Karena mempunyai solusi yang sama, maka solusi itu dapat ditentukan dari dua persamaan

berikut ini.

3....(1)x y

3 3....(2)x y

Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan

2 0y

0y

0 3x

3x

Penyelesainnya adalah 3,0

3,0 22 2x y a

22 3 0 2a

2 4a

2a

3,0 2 1ax y b

2 3 2 0 1b

5atau 7b b

Jadi, 2 5 3atau 2 7 9a b a b


Berapakah nilai a sehingga solusi ,x y dari sistem persamaan

2

2

2 1

3 2 2 7 5

x y a

x y a a

memenuhi 3 0?x y

A. 1 3a C. 1 3a E. 3a

B. 1 3a D. 1 3a

Solusi: [] 22 1x y a

24 2 2 2x y a .... (1)

23 2 2 7 5x y a a .... (2)

Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan

7 7 7x a

1x a .... (3)



24 1 2 2 2a y a

2 21 2 2 2 1y a a a a

3 0x y

21 2 1 3 0a a a

2

1 1 3 0a a

1 1 3 0a a

1. Jika 1 0a , maka 2

1 3 0a , pertidaksamaan ini dipenuhi oleh semua a bilangan real.

2. Jika 1 0a , maka 2

1 3 0a atau 2

1 3 0a , sehingga

1 3 1 3 0a a

1 3 1 3a


Jika diketahui sistem persamaan

2 2

3

1

y ax

x y

mempunyai dua pasang penyelesaian ,x y , syarat untuk nilai a adalah ....

A. 2 2 2 2a C. 0a E. semua bilangan riil

B. 2 2 atau 2 2a a D. 2 2a

Solusi: [B] 2 23 1y ax x y

22 3 1x ax

2 2 2 6 9 1x a x ax

2 21 6 8 0a x ax

2 4 0D b ac

2 26 4 1 8 0a a

2 29 8 8 0a a 2 8 0a

2 2 2 2 0a a

2 2 atau 2 2a a

37. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2014

Jumlah kuadrat tiga bilangan positif adalah 100. Salah satu bilangan adalah jumlah dari dua

bilangan lainnya. Selisih antara dua bilangan terkecil adalah 3. Selisih dari pangkat tiga dua

bilangan terkecil adalah....

A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 E. 150

Solusi: [E]

Misalnya ketiga bilangan tersebut adalah x, y, dan z, dengan x y z .

2 2 2 100x y z .... (1)

x y z .... (2)

3y x .... (3)


Dari persamaan (2) diperoleh x y z

2 2 22x y xy z .... (4)

Dari persamaan (3) diperoleh

3y x

2 2 2 9x y xy .... (5)

Jumlahkan persamaan (4) dan persamaan (5) diperoleh 2 2 22 2 9x y z

2 2 21 9

2 2x y z .... (6)


2 21 9100

2 2z z

2 29 2 200z z 23 191z

2 191

3z .... (7)


2 2 191100

3x y

2 2 109

3x y ....(8)


1092 9

3xy

109 822 9

3 3xy

41

3xy

3 3 2 2 109 413 150

3 3y x y x y xy x


Jika , ,x y a b adalah penyelesaian dari system persamaan

22 5 20 0

3 2 3 0

xy y x

x y

maka jumlah semua a b di mana a dan b bukan bilangan bulat adalah ....

A. 8

21 C.

24

21 E. semua penyelesaian berupa pasangan bilangan bulat

B. 4

21 D.

42

21

Solusi: [B]

3 2 3 0x y

221 2 5 20 0

3x y xy y x


22 22 1 5 1 20 0

3 3y y y y

2 24 6 3 10 15 60 0y y y y

27 4 75 0y y

27 4 75 0y y

7 25 3 0y y

25(diterima)atau 3(ditolak)

7y y

2 2 25 50 711 1 1

3 3 7 21 21x y

71 25 4

21 7 21a b


Diketahui selisih rusuk dari dua kubus adalah 5 dan selisih volumenya adalah 1385. Misalkan y

menyatakan selisih dari kuadrat rusuk-rusuk kedua kubus tersebut dan z menyatakan kuadrat

jumlah dari rusuk-rusuk kedua kubus tersebut, maka 5 ....z y

A. 95 B. 261 C. 271 D. 276 E. 361

Solusi: [C]

Misalnya panjang rusuk besar dan kecil masing-masing a dan b.

Selisih rusuk dari dua kubus adalah 5:

5a b 5a b .... (1)

Selisih volumenya: 3 3 1385a b

2 2 1385a b a ab b .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2 25 5 5 1385b b b b

2 2 210 25 5 277b b b b b 23 15 252 0b b

2 5 84 0b b

12 7 0b b

12(ditolak)atau 7(diterima)b b

5 7 5 12a b 2 2 2 212 7 95y a b

2 2

12 7 361z a b

Jadi, 5 361 95 5 271z y

40. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2015

Diberikan sistem persamaan 2 3

2 3

x y y

y x x

Banyaknya pasangan bilangan real ,x y yang memenuhi sistem di atas adalah ....


A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. tak hingga

Solusi: [D]

Sistem persamaan tersebut berbentuk simetri.

Misalnya solusi dari sistem persamaan tersebut adalah t, sehingga 2 3t t t

21 0t t t

20 1 0t t t

1 50

2t t

Karena itu, solusinya 1 5 1 5 1 5 1 5

0,0 , , , ,2 2 2 2

Banyaknya pasangan bilangan real ,x y yang memenuhi sistem di atas adalah 3.

Semoga bermanfaat....

sistem persamaan linear dua variabel (spldv), … · variabel (spltv), dan sistem persamaan linear...

Documents