sistem persamaan linear

Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 17

SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

Salah satu masalah yang paling penting dalam matematika adalah menyelesaikan sistem

persamaan linear. Lebih dari 75% dari semua masalah matematika yang dijumpai dalam

aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem linear hingga tahap

tertentu. Dengan menggunakan metode-metode matematika modern, sering kali kita dapat

mereduksi suatu masalah yang rumit menjadi suatu sistem persamaan linear. Sistem-sistem

linear muncul dalam penerapan bidang-bidang seperti perdagangan, ekonomi, sosiologi,

ekologi, demografi, genetika, elektronika, teknik, kimia, dan fisika.

1. SPL dan Variabel

SPL sudah diajarkan sejak pendidikan menengah, biasanya SPL sederhana yang dapat

diselesaikan dengan metode dasar. Berikut akan diberikan contoh masalah sederhana

yang dapat diselesaikan dengan SPL.

Contoh 1 :

Dua buah toko elektronik, toko I dan II, sama-sama membeli dari satu agen yang sama,

dua merk notebook dengan tipe yang sama, sebut saja notebook A dan B. Toko I

membeli 2 unit A dan 5 unit B seharga Rp 30.000.000,00. Toko II membeli 3 unit A

dan 2 unit B seharga Rp 23.000.000,00. Berapa harga masing-masing notebook

tersebut ? ∎

Untuk memudahkan perhitungan, nilai-nilai yang belum diketahui biasanya dimisalkan

oleh huruf-huruf. Huruf-huruf inilah yang dalam matematika disebut sebagai variabel

(peubah/pengganti). Misalnya, pada contoh di atas variabel yang digunakan adalah :

harga notebook A = x

harga notebook B = y

Sehingga, permasalahan di atas dapat dibentuk dalam suatu model matematika yang

disebut persamaan.

2 unit 𝐴 + 5 unit 𝐵 = 30 juta ⇔ 2𝑥 + 5𝑦 = 30

3 unit 𝐴 + 2 unit 𝐵 = 23 juta ⇔ 3𝑥 + 2𝑦 = 23

Karena kedua persamaan tersebut saling berkaitan membentuk suatu sistem, maka

keseluruhannya dinamakan sistem persaman linear (SPL). Linear menunjukkan

bahwa pangkat tertinggi variabelnya adalah 1.


2𝑥 + 5𝑦 = 303𝑥 + 2𝑦 = 23

𝑆𝑃𝐿

x dan y disebut variabel; 3, 2, dan 5 disebut koefisien dari x dan y, 30 dan 23 disebut

konstanta.

SPL di atas secara khusus disebut SPL 2 × 2 karena terdiri dari 2 persamaan dan 2

variabel.

2. Penyelesaian SPL dan Metode Dasar Penyelesaian SPL

Penyelesaian atau solusi SPL adalah pasangan nilai-nilai dari variabel-variabel yang

memenuhi semua persamaan dalam sistem.

Perhatikan SPL pada contoh 1, x = 5 dan y = 4 memenuhi kedua persamaan. Jadi, (5, 4)

adalah penyelesaian SPL tersebut. Selain (5, 4) bukanlah penyelesaian SPL, seperti :

(10, 2) : penyelesaian untuk persamaan pertama saja

(3, 7) : penyelesaian untuk persamaan ke dua saja

Untuk mendapatkan (5, 4), metode paling dasar yang biasanya digunakan adalah

metode eliminasi, substitusi, atau campuran.

Dengan metode yang sama, SPL dengan persamaan dan variabel yang lebih banyak

masih dapat dicari penyelesaiannya, namun memerlukan perhitungan yang jauh lebih

panjang. SPL yang masih bisa dikerjakan dengan metode dasar tersebut biasanya SPL

3 × 3.

Contoh 2 :

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 92𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 13𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 = 0

Penyelesaian SPL di atas adalah x = 1, y = 2, dan z = 3, atau (1, 2, 3). ∎

Tidak semua SPL mempunyai penyelesaian. SPL yang mempunyai penyelesaian hanya

memiliki dua kemungkinan, yaitu memiliki penyelesaian tungga l, atau tak hingga

banyaknya penyelesaian. Pembahasan tentang ada tidaknya penyelesaian serta

banyaknya penyelesaian SPL akan dibahas pada bagian akhir.

Contoh 1 dan 2 merupakan SPL dengan penyelesaian tunggal.

3. Bentuk Umum SPL 𝑚 × 𝑛

SPL yang terdiri dari m buah persamaan dan n bilangan yang tidak diketahui (variabel),

atau disebut SPL 𝑚 × 𝑛, dapat dituliskan sebagai


𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

di mana 𝑥1,𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah bilangan-bilangan yang tidak diketahui (variabel) dan a

dan b yang berindeks bawah menyatakan konstanta-konstanta.

Karena dalam penulisan SPL, variabel-variabel harus dituliskan dalam urutan (orde)

yang sama dalam setiap persamaan, maka suatu SPL dapat diubah menjadi persamaan

matriks sebagai berikut :

𝑎11 𝑎12 …𝑎21 𝑎22 …⋮ ⋮ ⋮

𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

=

𝑏1

𝑏2

⋮𝑏𝑚

atau dapat ditulis sebagai

𝐴𝑚 ×𝑛 𝑋𝑛 = 𝐵𝑚

Di mana 𝐴𝑚 ×𝑛 =

𝑎11 𝑎12 …𝑎21 𝑎22 …⋮ ⋮ ⋮

𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

disebut matriks koefisien, dengan banyak

persamaan sebagai baris (m) dan banyak variabel sebagai kolom (n).

Contoh 3 : SPL dengan banyak persamaan = variabel (m = n)

𝑥1 − 2𝑥2 = 32𝑥1 − 𝑥2 = 9

Contoh 4 : SPL dengan banyak persamaan > variabel (m > n)

𝑥1 − 2𝑥2 = 32𝑥1 + 𝑥2 = 1

−5𝑥1 + 8𝑥2 = 4

Contoh 5 : SPL dengan banyak persamaan < variabel (m < n)

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8

2𝑥2 + 3𝑥3 = 5

∎

4. SPL 𝑛 × 𝑛

SPL 𝑛 × 𝑛 adalah SPL yang terdiri atas n buah persamaan dan n buah variabel.

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

atau

𝑎11 𝑎12 …𝑎21 𝑎22 …⋮ ⋮ ⋮

𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

=

𝑏1

𝑏2

⋮𝑏𝑛


SPL 𝑛 × 𝑛 dapat pula dituliskan ke dalam sebuah matriks gabungan antara matriks A

dan B, yang disebut matriks yang diperbesar (augmented matrix) 𝐴|𝐵 , yaitu :

𝐴|𝐵 =

𝑎11 𝑎12 …𝑎21 𝑎22 …⋮ ⋮ ⋮

𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

⋮

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

𝑏1

𝑏2

⋮𝑏𝑛

Perhatikan kembali bentuk : 𝐴𝑋 = 𝐵 . Pada SPL 𝑛 × 𝑛, matriks koefisien A adalah

sebuah matriks persegi-n. Sifat sebuah matriks persegi hanya ada dua kemungkinan,

yaitu dapat dibalik/mempunyai invers dan tidak dapat dibalik/tidak mempunyai invers.

Jika matriks A mempunyai invers 𝐴−1, maka :

𝐴−1(𝐴 𝑋) = 𝐴−1𝐵 ⇔ (𝐴−1𝐴) 𝑋 = 𝐴−1𝐵

𝐼𝑋 = 𝐴−1𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1𝐵

Dengan demikian, SPL 𝑛 × 𝑛 akan mempunyai penyelesaian jika A dapat dibalik

(mempunyai invers), dan tidak mempunyai penyelesaian jika A tidak dapat dibalik. Jadi,

penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dapat diperoleh dengan mengalikan invers matriks koefisien A

dengan matriks konstanta B dari kiri.

Sedangkan untuk mencari 𝐴−1 dapat digunakan metode OBE (eliminasi Gauss-Jordan)

atau matriks adjoin yang sudah dipelajari pada pembahasan aljabar matriks dan

determinan.

Metode penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dengan invers matriks koefisien ini akan cukup

berbelit-belit jika digunakan pada matriks berukuran besar, khususnya penggunaan

matriks adjoin dari A. Sedangkan metode OBE pada A memang jauh lebih efisien,

namun kita masih harus mengalikan hasilnya dengan matriks B. Untuk itu akan dibahas

suatu metode penyelesaian SPL yang jauh lebih efisien dan tidak terbatas hanya untuk

SPL 𝑛 × 𝑛 saja, tapi juga dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL 𝑚 × 𝑛.

5. Menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss

Metode ini dilakukan dengan menerapkan OBE pada 𝐴|𝐵 agar A menjadi bentuk

segitiga atas (eselon baris). Selain itu, OBE dapat terus dilanjutkan hingga A tereduksi

menjadi I (eliminasi Gauss-Jordan).

Jika A tereduksi menjadi bentuk segitiga atas, maka harus dilakukan substitusi balik

untuk mendapatkan penyelesaian akhir. Jika A tereduksi menjadi I, maka matriks B

yang juga berubah setelah diterapkan OBE yang sama, merupakan penyelesaian dari

SPL tersebut.


Pada bagian ini hanya akan dibahas penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dengan eliminasi Gauss.

Contoh 6 :

Misalkan suatu matriks diperbesar dari SPL 3 × 3 telah direduksi menjadi bentuk

segitiga atas, yang kemudian diubah kembali menjadi bentuk SPL :

3 2 10 1 −10 0 2

124 ⇔

3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1 𝑥2 − 𝑥3 = 2 2𝑥3 = 4

Untuk menyelesaikan SPL tereduksi ini dapat digunakan substitusi balik (back-

substitution) mulai dari baris terbawah.

2𝑥3 = 4 ⇔ 𝑥3 = 2

𝑥2 − 2 = 2 ⇔ 𝑥2 = 4

3𝑥1 + 2.4 + 2 = 1 ⇔ 𝑥1 = −3

Jadi penyelesaian SPL di atas adalah (-3, 4, 2). ∎

Contoh 7 :

Selesaikan sistem berikut

2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 1 𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥4 = 2 4𝑥3 + 3𝑥4 = 3 4𝑥4 = 4

Dengan substitusi balik diperoleh penyelesaian (1, -1, 0, 1). ∎

Contoh 8 :

Selesaikan sistem berikut

𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3 3𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = −1 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 4

Buatlah matriks diperbesar 𝐴|𝐵 kemudian lakukan OBE untuk mereduksinya.

1 2 13 −1 −32 3 1

3

−14

−3𝑏1+𝑏1−2𝑏1+𝑏3

1 2 10 −7 −60 −1 −1

3

−10−2

𝑏2−7𝑏3

1 2 10 −7 −60 0 1

3

−104

Operasi baris di atas sudah menghasilkan bentuk segitiga atas, yang dapat dilanjutkan

dengan substitusi balik, atau meneruskan OBE hingga A tereduksi menjadi I, seperti

berikut ini :

1 2 10 -7 -60 0 1

3

-104

6𝑏3+𝑏2−𝑏3+𝑏1

1 2 00 -7 00 0 1

−114 4

−1

7 𝑏2


Tak Hingga

Penyelesaian

1 2 00 1 00 0 1

−1−2 4

−2𝑏2+𝑏1

1 0 00 1 00 0 1

3−2 4

⇒ 𝑥1 = 3 𝑥2 = −2 𝑥3 = 4

Jadi, penyelesaian SPL di atas adalah (3, -2, 4). ∎

6. Konsistensi SPL

SPL yang mempunyai penyelesaian dinamakan SPL konsisten (consistent), sedangkan

SPL yang tidak mempunyai penyelesaian dinamakan SPL tak-konsisten (inconsistent).

SPL konsisten memiliki dua kemungkinan banyak penyelesaian, yaitu penyelesaian

tunggal (satu penyelesaian) atau tak hingga banyaknya penyelesaian.

SPL tak-konsisten umumnya dapat diketahui dari bentuk eselon baris matriks yang

diperbesar [𝐴|𝐵]. Jika bentuk eselon barisnya mengandung baris berbentuk

0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0

maka sistem yang bersangkutan tak-konsisten.

Sedangkan, jika bentuk eselon barisnya mengandung

0 0 0 … 0 0

maka SPL tersebut konsisten dengan tak-hingga banyaknya penyelesaian.

Selain bentuk tersebut, ciri lain suatu SPL memiliki tak hingga penyelesaian adalah

sistem tersebut kekurangan persamaan, sehingga kelebihan variabel (SPL 𝑚 × 𝑛

dengan m < n). Banyak variabel melebihi persamaan dapat menyebabkan munculnya

variabel bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya dapat dipenuhi oleh

semua bilangan. Sedangkan variabel yang hanya dipenuhi oleh satu nilai disebut

variabel utama. Variabel utama ditandai oleh 1 utama pada matriks tereduksinya.

Konsistensi SPL biasanya tergantung pada banyak persamaan dan banyak variabel.

Akan tetapi, hal ini harus tetap diselidiki dengan melihat bentuk eselon barisnya.

SPL

SPL Konsisten SPL Tak-Konsisten

Satu

Penyelesaian


a. SPL 𝑛 × 𝑛

1. Jika bentuk eselon baris dari A pada 𝐴 𝐵 berbentuk segitiga atas, maka SPL

mempunyai penyelesaian tunggal.

Contoh 9 :

Perhatikan kembali contoh, dengan substitusi balik diperoleh

3 2 10 1 −10 0 2

124

⇔ 𝑥1 = −3𝑥2 = 4𝑥3 = 2

Jelaslah bahwa SPL mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu (-3, 4, 2). ∎

2. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung

0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0

maka SPL tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh 10 :

1 1 00 1 00 0 0

321

⇔

𝑥1 + 𝑥2 = 3 𝑥2 = 2 0.𝑥3 = 1

Jelaslah bahwa tidak ada x3 yang memenuhi, sehingga SPL tersebut tidak

mempunyai penyelesaian. ∎


0 0 0 … 0 0

Maka SPL tersebut mempunyai tak-hingga penyelesaian.

Contoh 11 :

1 1 00 1 00 0 0

320

⇔ 𝑥1 + 𝑥2 = 3 𝑥2 = 2 0.𝑥3 = 0

Karena 0. 𝑥3 = 0 ⇔ 𝑥3 = semua bilangan. Untuk itu x3 dimisalkan oleh suatu

parameter yang menunjukkan bahwa nilainya tidak terbatas di himpunan bilangan

real, misalnya 𝑥3 = 𝑡. Jadi, SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian yaitu

1,2, 𝑡 dengan t adalah semua bilangan Real. ∎

b. Sistem Kekurangan Persamaan (Underdetermined Systems)

Sistem linear ini adalah SPL 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑚 < 𝑛 (lebih banyak variabel daripada

persamaan). SPL ini mempunyai dua kemungkinan, tak-konsisten, atau konsisten

dengan tak terhingga banyaknya penyelesaian.



0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0


Contoh 12 :

1 2 12 4 2

13 →

1 2 10 0 0

11 ⇒

𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 10𝑥3 = 1

Jelaslah bahwa tidak ada x3 yang memenuhi, jadi SPL tersebut tidak mempunyai

penyelesaian (tak-konsisten). ∎

2. Jika tiap baris dari 𝐴 𝐵 tereduksi mempuyai 1 utama, maka pasti sistem

memiliki sejumlah variabel bebas. Karena sistem hanya mempunyai m baris,

maka matriks tereduksinya hanya mempunyai m buah 1 utama atau kurang dari

itu. Ini berarti, hanya ada m buah (atau kurang) variabel utama, sisanya adalah

variabel bebas. Sehingga penyelesaiannya menjadi tak terhingga.

Contoh 13 :

1 1 10 0 00 0 0

0 01 00 1

12

−1 ⇒

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1 ⇔ 𝑥1 = −𝑥2 − 𝑥3 + 1𝑥4 = 2

𝑥5 = −1

Karena hanya ada 3 persamaan, maka hanya ada 3 variabel utama yaitu x1 , x3 ,

dan x5. Sedangkan x2 dan x3 adalah variabel bebas (nilainya bebas / dapat

dipenuhi oleh semua bilangan real). Jadi, SPL tersebut mempunyai tak hingga

penyelesaian. Dengan memisalkan : x2 = s dan x3 = t, maka penyelesaiannya

adalah : ([−𝑠− 𝑡 + 1] ,2,−1) dengan 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙 . ∎

c. Sistem Kelebihan Persamaan (Overdetermined Systems)

Sistem Linear ini adalah SPL 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑚 > 𝑛 (lebih banyak persamaan

daripada variabel). Bentuk eselon baris dari [𝐴|𝐵] akan selalu menghasilkan baris

nol pada matriks tereduksi A.


0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0


Contoh 14 :

1 11 −1

−1 2

13

−2

→ 1 10 10 0

1

−11

Baris terakhir menunjukkan bahwa sistem di atas adalah tak-konsisten. ∎


2. Jika banyak baris bukan nol sama dengan banyak persamaan (baris-baris bukan

nol dari matriks tereduksi A membentuk sistem segitiga), maka SPL tersebut

mempunyai penyelesaian tunggal.

Contoh 15 :

1 2 10 1 20 0 10 0 0

10-10

⇔

𝑥1 = −3 𝑥2 = 2 𝑥3 = −1

Baris terakhir tidak mempengaruhi penyelesaian, dan baris-baris lainnya

membentuk sistem segitiga. Sehingga SPL di atas mempunyai penyelesaian

tunggal, yaitu (-3, 2, -1). ∎

3. Jika banyak baris bukan nol kurang dari persamaan, maka SPL tersebut

mempunyai tak terhingga banyaknya penyelesaian.

Contoh 16:

1 2 12 −1 14 3 33 1 2

1243

→

1 2 10 1 1/50 0 00 0 0

1000

⇒ 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1

𝑥2 + 0,2𝑥3 = 0

Karena hanya ada dua buah 1 utama, maka hanya ada dua variabel utama yaitu x1

dan x2 , sedangkan x3 adalah variabel bebas. Dengan memisalkan x3 = t kemudian

melakukan substitusi balik diperoleh :

𝑥2 = −0,2𝑥3 = −0,2𝑡

𝑥1 = 1 − 2𝑥2 − 𝑥3 = 1 − 0,6𝑡

Sehingga penyelesaiannya adalah 1− 0,6𝑡 , −0,2𝑡 ,𝑡 dengan 𝑡 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙 . ∎

7. Metode Cramer

Salah satu metode penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 , khususnya jika telah diketahui SPL

tersebut konsisten, adalah metode/aturan Cramer. Konsistensi SPL ini dapat diketahui

dengan menghitung determinan matriks koefisiennya.

Teorema : Aturan Cramer

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri atas n persamaan linear dan n buah variabel (SPL

𝑛 × 𝑛) sehingga det(𝐴) ≠ 0, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal,

yaitu :

𝑥1 =det(𝐴1)

𝐴, 𝑥2 =

det(𝐴2)

𝐴 , …… , 𝑥𝑛 =

det(𝐴𝑛)

𝐴


Di mana 𝐴𝑗 adalah matriks yang didapat dengan menggantikan entri-entri dalam kolom

ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks B.

Contoh 17 :

Gunakanlah aturan Cramer untuk menyelesaikan

𝑥1 + 2𝑥3 = 6−3𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 30− 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 8

Penyelesaian :

𝐴 = 1 0 2

−3 4 6−1 −2 3

𝐴1 = 6 0 2

30 4 68 −2 3

𝐴2 = 1 6 2

−3 30 6−1 8 3

𝐴3 = 1 0 6

−3 4 30−1 −2 8

Maka,

𝑥1 =det(𝐴1)

𝐴=

−40

44= −

10

11 ; 𝑥2 =

det(𝐴2)

𝐴=

152

44=

18

11; 𝑥3 =

det(𝐴3)

𝐴=

72

44=

38

11∎

Latihan 3

1. Carilah matriks yang diperbesar untuk setiap SPL berikut

a. 𝑥1 + 𝑥2 = 4𝑥1 − 𝑥2 = 2

b. 𝑥1 + 2𝑥2 = 4−2𝑥1 − 4𝑥2 = 4

c. 2𝑥1 − 𝑥2 = 3

−4𝑥1 + 2𝑥2 = −6

d. 𝑥1 = 1𝑥2 = 2

e. 𝑥1 − 2𝑥2 = 0

3𝑥1 + 4 𝑥2 = −12𝑥1 − 𝑥2 = 3

f. 𝑥1 + 𝑥3 = 1−𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 3

g. 𝑥1 + 𝑥3 = 1

2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥5 = 22𝑥3 + 𝑥4 = 3

2. Carilah sebuah SPL yang bersesuaian dengan setiap matriks diperbesar berikut.

a. 3 21 5

87

b. 1 −30 2

26

c. 2 1 44 −2 35 2 6

−1 4−1

d. 1 0 −12 1 10 −1 2

234

e. 5 −2 12 3 −4

30

f. 1 0 0 11 −1

001

g. 1 2 35 4 3

42 51

h.

1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 00 1

1234


3. Gunakan substitusi balik untuk menyelesaikan masing-masing SPL berikut.

a. 𝑥1 − 3𝑥2 = 2 2𝑥2 = 6

b. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8 2𝑥2 + 𝑥3 = 5

3𝑥3 = 9

c.

𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 5 3𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 = 1

−𝑥3 + 2𝑥4 = -1 4𝑥4 = 4

d.

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 5 2𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = 1 4𝑥3 + 𝑥4 − 2𝑥5 = 1 𝑥4 − 3𝑥5 = 0 2𝑥5 = 2

4. Misalkanlah bahwa matriks yang diperbesar untuk suatu SPL telah direduksi menjadi

bentuk eselon baris tereduksi yang diberikan. Selesaikanlah sistem berikut.

a. 1 0 00 1 00 0 1

432

b. 1 0 00 1 00 0 1

−253

c. 1 4 00 0 10 0 0

231

d. 1 2 00 0 10 0 0

001

e. 1 −3 00 0 10 0 0

2−2 0

f. 0 1 00 0 10 0 0

2

−10

g. 1 2 00 0 0

13 54

h. 1 0 00 1 00 0 1

3

−11

242

5. Misalkanlah bahwa matriks yang diperbesar untuk suatu SPL telah direduksi menjadi

bentuk eselon baris yang diberikan. Selesaikanlah sistem berikut.

a. 1 20 10 0

431

b. 1 30 10 0

1−1 0

c. 1 −2 20 1 −10 0 1

232

d. 1 2 −40 1 −20 0 1

2−1 2

e. 1 3 20 0 10 0 0

−2 4 1

f. 1 2 20 1 30 0 0

231


g. 1 −2 20 1 −10 0 1

232

h.

1 −1 30 1 20 0 10 0 0

8720

i. 1 10 10 0

000

j. 1 −2 40 0 10 0 0

130

6. Selesaikan setiap sistem persamaan linear berikut.

a. 𝑥1 − 2𝑥2 = 53𝑥1 + 𝑥2 = 1

b. 2𝑥1 + 𝑥2 = 8

4𝑥1 − 3𝑥2 = 6

c. 4𝑥1 + 3𝑥2 = 42

3𝑥1 + 4𝑥2 = 3

d.

𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 12𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 7

e.

2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 14𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 1

6𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 = −3

f. 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0−2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2

2𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = −1

7. Untuk setiap SPL berikut, carilah penyelesaiannya (jika konsisten). Gunakanlah

eliminasi Gauss dan substitusi balik, atau gunakan eliminasi Gauss-Jordan.

a. 𝑥1 − 2𝑥2 = 32𝑥1 − 𝑥2 = 9

b. 2𝑥1 − 3𝑥2 = 5

−4𝑥1 + 6𝑥2 = 8

c. 𝑥1 − 2𝑥2 = 32𝑥1 + 𝑥2 = 1

−5𝑥1 + 8𝑥2 = 4

d.

2𝑥1 − 3𝑥2 = −22𝑥1 + 𝑥2 = 13𝑥1 + 2𝑥2 = 1

e.

4𝑥1 − 8𝑥2 = 123𝑥1 − 6𝑥2 = 9

−2𝑥1 + 4𝑥2 = −6

f. 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 = 1−𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 = 6

−2𝑥1 − 4𝑥2 + 7𝑥3 − 𝑥4 = 1

g.

𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 32𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 8

𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥4 = 5

sistem persamaan linear

Documents