sistem linier4

7/31/2019 Sistem Linier4

1/19

Sistem waktu Diskrit

Sistem waktu diskrit yaitu sebuah sistem yang mengubahmasukan waktu-diskrit kedalam keluaran waktu-diskrit

Sistem waktu-kontinu merupakan sistem dimanasinyal masukan waktu-kontinu diterapkan dan

menghasilkan sinyal keluaran waktu-kontinu

Sistem waktudiskrit

x(n)

y(n)

x[n] y[n]

Sistem waktukontinu

x(n)

y(n)

x[t] y[t]


2/19

Sistem waktu diskrit linier

Sistem waktu diskit linier mentransformasikan barisan masukanuk kedalam barisan keluaran yk, menurut suatu rumus atau

persamaan beda.Contoh

21 32 kkkk uuuy

Artinya

Carilah harga keluaran yk dengan menjumlahkan secarabersama-sama masukan sekarang (uk) dengan dua kali masukansebelumnya(2u k-1) dan tiga kali masukan yang tertunda dua kalisebelumnya (3u k-2). Sehingga untuk barisan masukan{1,0,1,2,0,0,} diperoleh keluaran sebagai berikut :

I. PERSAMAAN BEDA LINIER


3/19

Persamaan beda akan lebih mudah dipahami denganmenggunakan blok atau diagram aliran sinyal. Skema terdiridari 3 komponen yaitu :- Unit tunda yang berfungsi untuk menyimpan berbagai masukanyang lalu

- Pengganda- PenjumlahGambar skema untuk 21 32 kkkk uuuy

tsdy

y

y

y

k

k

k

k

..40.31.22

41.30.21

20.31.20

10.30.21

4

3

2

1


4/19

knknkkk uybybyby .....211

Ada dua pemecahan jika persamaan tak homogen uk 0 yaitu:- Y(h) untuk pemecahan homogen dan- Y(p) untuk pemecahan non homogen

Ada beberapa metode yang digunakan untuk mencari keluarandari sebuah system waktu diskrit dari barisan masukan. Salahsatunya dengan menyelesaikan persamaan beda. Bentukpersamaan beda seperti dibawah ini, dan dikatakan homogen jikauk = 0.

II. PEMECAHAN PERSAMAAN HOMOGEN

Untuk persamaan umum 0.....211 nknkkk ybybyby

rnrrahterdapatmakabrbrbr

ataurbrbrb

rbrbrbr

rbrbrbr

ry

nnnn

n

n

n

n

k

nk

n

kkk

k

k

,...,arg0......

0....1

0....1

0....

212

21

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

Maka apabila


5/19

k

nn

kk

nnhk

rcrcrc

kyckyckycy

)(.....)()(

)(.....)()(

2211

2211)(

Maka pemecahan homogennya

CONTOH 1

Sebuah persamaan beda 065 21 kkk yyy

Carilah penyelesaian homogennya dan gambarlah skemanya

065 21 kkk yyy

065 21 kkk rrr

0651 21 rrrkkkh

ccy

rr

rr

32

3;2

065

21

)(21

2

Penyelesaian


6/19

Gambar blok diagram sbb:

T T

Uk

Yk

5

ATURAN-ATURAN PEMECAHAN PERSAMAAN HOMOGEN(terbatas untuksystem orde 2)

kkh

k rcrcy )()( 2211)(

kccry khk 211

)()(

)coscos)(( 21)(

kckcyh

k

a

bba 122 tan;

1. Untuk tiap-tiap akar riel r1 dan r2 maka

2. Untuk tiap-tiap akar riel rangkap r1 maka

3. Untuk tiap-tiap akar kompleks r1 dan r2 maka

Jika r1= a + b ndan r2 = a jb maka

6

-+


7/19

CONTOH 2

Carilah tegangan-tegangan v1,v2,,vN di titik-titik simpul sepertiyang diperlihatkan pada gambar dibawah ini.

Penyelesaian

Pada titik ke-k dipergunakan arus kirchoff

aR

v

R

vv

R

vv

iii

kkkkk

11

321


8/19

Disamakan suku-sukunya

0)12(

02

11

11

11

321

kkk

kkkk

kkkkk

avvaav

avvavavaR

v

R

vv

R

vv

iii

Untuk k = 1,2,.,N-1 dengan syarat batas Vo = E dan VN = 0

Misal a = 1, maka

38,0;62,2

03

0)31(

03

03

21

2

21

21

11

rr

rrr

rrr

rrr

vvv

k

kkk

kkk

)38,0()62,2( 21)(

ccvkh

k

Jadi


9/19

)2(..............................)38,0()62,2(0

)1........(....................

)38,0()62,2(

21

21

0

2

0

1

NN

N

o

ccV

ccE

ccEv

Untuk mencari nilai c1 dan c2 dapat digunakan syarat-syarat batas

Setelah dieliminasi akan diperoleh

kk

k

NN

N Ecdan

Ec

)38,0()62,2(

)62,2(

)62,2()38,0(

)38,0(

21

Jadi

kNkNkkk

Ev )38,0()62,2()62,2()38,0(

)38,0()62,2(


10/19


11/19

Barisan paksaanOperator Pemusnah Bentuk Khusus Pemusnah

U LA

ak 1-as-1 cak

Sin k atau cos k (1-ej

s-1

)(1-e-j

s-1

) c1 sin k+ c2 cos k

kn (1-s-1)n+1 c0+c1k+c2k2+.+cnk

n

kn ak (1-as-1)n+1 ak[c0+c1k+c2k2+.+cnk

n]

aksin k atau akcos

k

(1-aejs-1)(1-ae-js-

1)

c1 aksin k+c2 a

kcos k

ksinkatau k cos

k[(1-ejs-1)(1-e-js-

1)]2c1 sin k+ c2 cos k+ c3 k sin

k+ c4 k cos k

ejk (1-ejs-1) c1ak+c2e

jk

TABELMenemukan Bentuk Khusus Pemecahan


12/19

T TUk

Yk

5/6

1/6

Penyelesaian

k

ykkk

k

ykkk yyatauyy 36/16

536/1

6

52121

kkyss 3)(

6

1

6

51 21

Persamaan beda untuk system diatas adalah

Dalam notasi operator

A. Penyelesaian persamaan homogen

3

1

2

1,0

6

1

6

521

2

rdanrakarnyaakarrrPersamaan Bantu

-+


13/19

kk

h

k ccy

3

1

2

121

)(Sehingga pemecahan homogennya

0)3(0)( k

AkA LuL

Dari table diperoleh untuk ak=3k, bentuk pecahan khususnya)( p

ky

20

27

154

1

18

5

336

13

6

53

33

6

13

6

53

3

333

2

3

1

33

2

3

1

33

C

CCC

CCC

CCC

kk

kkkk

Substitusikanke persamaan bedamenjadi

kp

ky 320

27)( Jadi penyelesaian partikulirnya

0320

27

3

1

2

121

)()(

kuntukcc

yyy

k

kk

p

k

h

kkPersamaan umum

B. Penyelesaian persamaan nonhomogen

kp

k Cy 33)(


14/19


15/19

2

)2(cos

2

)2(sin

kb

ka

2sin5

k

17

6

17

7 bdana

2cos6

2sin7

17

1)( kky p

k

Gunakan Identitas Trigonometri

Diperoleh hasil akhir

Jadi pemecahan tunaknya

CATATANRumus Identitas Trigonometri

sin(a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b

sin(a-b) = sin a.cos b cos a.sin bcos(a+b) = cos a.cos b - sin a.sin bcos(a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b


16/19

TANGGAPAN FREKUENSI DARI SISTEM WAKTU DISKRIT

jke

jkj

eeH )(

)(j

eH

jkk eu

Tanggapan frekuensi merupakan ciri khas dari system-sistemlinier. Kebanyakan persyaratan system linier dinyatakan dalam

pernyataan tanggapan frekuensi.

Jika diberi masukan suatu eksponensial kompleks, misalnya

maka tanggapan tunaknya selalu berbentuk

Besaran sebagai fungsi dari adalah tanggapan frekuensi dari sy

untuk menentukan tanggapan frekuensi dari system.

Dalam system waktu diskrit, hanya perlu mencari pemecahantunak bagi masukan

jkjpk

jkk eeHYeu )(

)(


17/19

CONTOH 1

Carilah tanggapan frekuensi untuk system orde pertama

kkk uayy 1

Penyelesaianjk

k eu 11 seL jA

jkkp

k ecacy 21)(

Bila , maka sesuai table

berarti tanggapan tunaknya berbentuk

Substitusi ke persamaan awal diperoleh :

j

jkjkj

jkjjkkjkk

jkkjkjkk

aec

eeaec

eeeacacecac

eecacaecac

11

1

2

2

2121

)1(

2

1

121

jk

j

p

ke

aey

1

1)(

j

j

ae

eH

1

1)(

Jadi pemecahan tunaknya


18/19

Tanggapan frekuensi adalah tanggapan tunak terhadap suatumasukan berbentuk sinus dari system. Tanggapan ini menentukanpenguatan (gain).Dan tanggapan fase system terhadap masukan sinusoida pada

semua frekuensi.Untuk menggambarkan

)( jeH , perlu dihitung amplitude dan fasenya

2

2222

22

1

cos21

1

sincoscos21

1

sin)cos1(

1

sincos11

cos1

sintan(arg;

sincos1

1(

aa

aaa

aa

jaa

a

aeH

jaaeH

jj


19/19

sistem linier4

Documents