sistem bilangan

SISTEM DIGITAL

Sistem Bilangan

Sistem bilangan

• Bilangan dengan basis (radix) r terdiri dari {0,1,2 …, r-1}

Desimal (basis 2)

Biner (basis 2)

Oktal (basis 8)

Heksadesimal (basis 16)

00 0000 00 0

01 0001 01 1

02 0010 02 2

03 0011 03 3

04 0100 04 4

05 0101 05 5

06 0110 06 6

07 0111 07 7

08 1000 10 8

09 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F 2

Sistem bilangan

• Contoh bilangan dengan basis berbeda (243,15)10 = 2 x 102 + 4 x 101 + 3 x 100 + 1 x 10-1 + 5 x 10-2

(243,15)8 = 2 x 82 + 4 x 81 + 3 x 80 + 1 x 8-1 + 5 x 8-2

(243,15)16 = 2 x 162 + 4 x 161 + 3 x 160 + 1 x 16-1 + 5 x 16-2

(110,10)2 = 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2

3

Konversi bilangan utuh (integer) – dari basis 10 ke basis r

• Contoh r = 2 (45)10 = (a5a4a3a2a1a0) 2

(45)10 = (101101) 2

Hasil sisa

45/2 = 22 + 1 a0 =1

22/2 = 11 + 0 a1 =0

11/2 = 5 + 1 a2 =1

5/2 = 2 + 1 a3 =1

2/2 = 1 + 0 a4 =0

1/2 = 0 + 1 a5 =1

4

Konversi bilangan utuh (integer) – dari basis 10 ke basis r

• Contoh r = 8 (210)10 = (a2 a1 a0)8

(210)10 = (322)8

Hasil sisa

210/8 = 26 + 2 a0 =2

26/8 = 3 + 2 a1 =2

3/8 = 0 + 3 a2 =3

5

Konversi bilangan pecahan – dari basis 10 ke basis r

• Contoh r = 2(0,78156)10 = (…)2

integer pecahan

0,71562 x 2 = 1 + 0,56312 a-1 =1

0,56312 x 2 = 1 + 0,12624 a-2 =1

0,12624 x 2 = 0 + 0,25248 a-3 =0

0,25248 x 2 = 0 + 0,50496 a-4 =0

0,50496 x 2 = 1 + 0,00992 a-5 =1

6

Proses perhitungan berakhir jika pecahan = 0 atau jumlah digit yang diperlukan sudah terpenuhi

(0,78156)10 = (0,a-1a-2a-3a-4a-5)2 = (0,11001)2

Konversi bilangan pecahan – dari basis 10 ke basis r

• Contoh r = 16 (0,61265)10 = (…)16

integer pecahan

0,61265 x 16 = 9 + 0,8024 a-1 =9

0,8024 x 16 = 12 + 0,8384 a-2 =C

0,8384 x 16 = 13 + 0,4144 a-3 =D

0,4144 x 16 = 6 + 0,6304 a-4 =6

0,6304 x 16 = 10 + 0,0864 a-5 =A

7

(0, 61265)10 = (0,a-1a-2a-3a-4a-5)2 = (0,9CD6A)16

Konversi bilangan dari basis 2 ke basis r

• 2n=r -> setiap digit bilangan basis r merepresentasikan n digit bilangan biner (bit)

• Contoh: 23=8 -> 1 digit bilangan oktal dikonversikan dalam

3 bit 24=16 -> 1 digit bilangan heksadesimal

dikonversikan dalam 4 bit

8

Konversi bilangan dari basis 2 ke basis r

• Contoh: (1010011010,011100)2 = (1232,34)8

1 2 3 2 3 4 (10110101001,10110110)2 = (5A9,B6)16

5 A 9 B 6

9

Konversi bilangan dari basis r ke basis 2

• Contoh: (376,45)8 = (011111110,100101)2

3 7 6 4 5 (A17,B8)16 = (101000010111,10111000)2

A 1 7 B 8

10

Komplemen bilangan basis r

• Digunakan untuk menyederhanakan operasi pengurangan pada komputer digital

• Tipe komplemen: Komplemen (r-1): mengurangkan semua digit dari (r-1) Komplemen r : menambahkan 1 ke komplemen (r-1)

• Contoh: Bilangan oktal mempunyai komplemen 7 (komplemen (r-

1)) dan komplemen 8 (komplemen r)

11

Komplemen bilangan basis r

• Contoh:– Bilangan desimal

• Komplemen 9 dari 12345 adalah 87654• Komplemen 10 dari 12345 adalah 87655

– Bilangan oktal• Komplemen 7 dari 321 adalah 456• Komplemen 8 dari 321 adalah 457

– Bilangan biner• Komplemen 1 dari 110110 adalah 001001• Komplemen 2 dari 110110 adalah 001010

12

Pengurangan menggunakan komplemen

• Pengurangan bilangan A - B dalam basis r1. Tambahkan A dengan komplemen r dari B2. Terdapat dua kemungkinan

– Jika A >= B, maka didapatkan end carry yang kemudian dihilangkan untuk mendapatkan hasil pengurangan A – B

– Jika A < B, maka tidak ada end carry; hasil pengurangan A – B adalah komplemen r dari hasil penjumlahan dan memberikan tanda negatif pada bilangan tersebut

13


• Contoh: A = (45302)10, B=(2451)10

Hitunglah A – B dan B – A A = 45302

komplemen 10 dari B = 97549 +

jumlah = 142851

hilangkan end carry = 100000 A – B = (42851)10

14


• Hitunglah B – AB = 02451komplemen 10 dari A = 54698 +

jumlah = 57149komplemen 10 dari 57149 = 42851B – A = -(42851)10

15


• Contoh: A = (110101)2, B=(101001)2

Hitunglah A – B dan B – A A = 110101

komplemen 2 dari B = 010111 +

jumlah = 1001100

hilangkan end carry = 1000000 A – B = (001100)2

16


• Hitunglah B – AB = 101001komplemen 2 dari A = 001011 +

jumlah = 110100komplemen 2 dari 110100 = 001100B – A = -(001100)2

17

Kode biner• Pada komputer dan alat digital lainnya, data

disimpan dan diproses dalam bentuk bilangan biner• Kode biner adalah simbol yang merepresentasikan

informasi yang ada• Kode biner dengan panjang n dapat digunakan untuk

merepresentasikan maksimum 2n bilangan 0 dan 1 yang unik

• Contoh kode biner:– BCD (binary-coded decimal)– Excess-3– Gray code

18

BCD code

• 1 digit desimal direpresentasikan dalam 4 bit• n digit desimal memerlukan 4n bit• 0000, …, 1001 digunakan sama dengan

bilangan biner• 1010, …, 1111 tidak digunakan• Contoh:

(235)10 =(11101011)2 =(0010 0011 0101)BCD

(417)10 =(110100001)2 =(0100 0001 0111)BCD

19

Penjumlahan BCD

• Setiap digit tidak lebih dari 9; sehingga hasil penjumlahan tidak lebih dari 9+9+1 (1 adalah carry sebagai hasil dari penjumlahan digit sebelumnya)

• Jika hasil penjumlahan kurang dari atau sama dengan 9, maka hasilnya adalah sama dengan penjumlahan biner

• Jika hasil penjumlahan lebih dari 9, maka hasilnya ditambah dengan (6)10 atau (0110)2, yaitu banyaknya kombinasi bit yang tidak digunakan

20

Penjumlahan BCD

• Contoh 3 = 0011

4 = 0100 +

7 = 0111

8 = 10007 = 0111 +

15 = 1111

0110 +

10101

1135= 0001 0011 0101316= 0011 0001 0110

+

0100 0101 1011

0110 +

451= 0100 0101 0001

21

Kode yang lainDesimal BCD 2421 8,4,-2,-1 Excess-3

0 0000 0000 0000 0011

1 0001 0001 0111 0100

2 0010 0010 0110 0101

3 0011 0011 0101 0110

4 0100 0100 0100 0111

5 0101 1011 1011 1000

6 0110 1100 1010 1001

7 0111 1101 1001 1010

8 1000 1110 1000 1011

9 1001 1111 1111 1100

Tidak digunakan

1010 0101 0001 0000

1011 0110 0010 0001

1100 0111 0011 0010

1101 1000 1100 1101

1110 1001 1101 1110

1111 1010 1110 1111 22

Kode yang lain

• Gray code– Kode yang berurutan

berbeda 1 bit– Contoh:

• 11 = 1110• 12 = 1010

Desimal Gray code

0 0000

1 0001

2 0011

3 0010

4 0110

5 0111

6 0101

7 0100

8 1100

9 1101

10 1111

11 1110

12 1010

13 1011

14 1001

15 1000 23

Kode yang lain

• ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

• Setiap kode direpresentasikan oleh 7 bit • Terdiri dari:

– 94 karakter yang dapat dicetak (26 huruf besar, 26 huruf kecil, 10 angka, 32 karakter khusus)

– 34 karakter yang tidak dapat dicetak (digunakan untuk fungsi kontrol)

24

Referensi

• Morris Mano, Digital Design 5th Edition, Pearson Prentice Hall, 2011

25

Latihan1. Konversikan bilangan berikut:

a) (10010110)2 = (…..)8 = (….)16

b) (1A8)16 = (…..)8 = (….)10

c) (127)8 = (…..)16 = (….)2

2. Hitunglah:a) (157 + 341 + 561)8

b) (11101 + 10101 + 110100)2 c) (A13 + 2B)16

3. Carilah komplemen-1 dan komplemen-2 dari bilangan berikut:a) 1101 1110b) 1000 0111

26

Latihan

5. A = (231)8; B = (421)8. Dengan menggunakan komplemen r, hitunglah:a) A – Bb) B – A

6. Tuliskan dalam kode ASCII:Teknik Informatika ITS

7. Hitunglah:a) (10011010 + 10001110)2

b) (10011010 + 10001110)BCD

27

sistem bilangan

Documents