Sistem Bilangan

Sistem Bilangan

Format bilangan PLC / komputer

Tipe :

Desimal

Biner

Oktal

Heksadesimal

Biner

Bahasa biner merupakan bahasa mesin yang dimengerti

oleh komputer, bahasa biner berbasis angka dua (2).

Untuk memahami bahasa biner ini maka terlebih dahulu

kita harus mengetahui perpangkatan bilangan dua (2)

yang sudah tidak asing lagi. Jika kita ingin

menerjemahkan bahasa kita ke dalam bahasa mesin,

maka kita harus mengonversikannya menjadi bilangan-

bilangan biner.

Bilangan biner atau binary digit (bit) adalah bilangan

yang terdiri dari : 1 dan 0.

Biner

20 = 1 28 = 25621 = 2 29 = 51222 = 4 210 = 102423 = 8 211 = 204824 = 16 212 = 409625 = 32 Dst..

26 = 64

27 = 128

Biner

Sistem bilangan dasar sebuah komputer

Basis/radiks 2 :

0 : logik rendah (low L)

1 : logik tinggi (high H)

Level :

MSB(Most Significant Bit) : bit dengan nilai paling tinggi

LSB(Least Significant Bit) : bit dengan nilai paling rendah

Konversi ke desimal :

Mengalikan suku ke-N dengan 2N

Contoh :

11002 = (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (0 x 20)

= 8 + 4 + 0 + 0

= 12

Biner

Konversi ke desimal :

Biner

Konversi ke desimal :

Biner ( Penjumlahan )

Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan

dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati

adalah aturan pasangan digit biner berikut :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 menyimpan 1

sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :

1 + 1 + 1 = 1 dengan menyimpan 1

Biner ( Penjumlahan )

Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan

pada slide sebelumnya, kita dapat melakukan penjumlahan

biner seperti ditunjukkan di bawah ini :

01011011 --> bilangan biner untuk 91

01001110 --> bilangan biner untuk 78

------------+

10101001 --> Jumlah dari 91 + 78 = 169

Biner ( Pengurangan )

Bentuk Umum pengurangan sebagai berikut :

0 0 = 0

1 0 = 1

1 1 = 0

0 1 = 1 meminjam 1 dari digit disebelah kirinya

Contoh :

1111011 desimal 123

101001 desimal 41

---------- -

1010010 desimal 82

Pada contoh di atas tidak terjadi konsep peminjaman.

Biner ( Pengurangan )

Perhatikan contoh berikut!

111101 desimal 61

10010 desimal 18

-------- -

101011 Hasil pengurangan akhir 43

Oktal

Basis/radiks 8 = 07

Konversi ke desimal :

Mengalikan suku ke-N dengan 8N

Contoh :

2768 = (2 x 82) + (7 x 81) + (6 x 80)

= 128 + 56 + 6

= 190

Oktal Pengurangan & Penjumlahan

A. Octal adalah bilangan berbasis delapan yang terdiri dari delapanangka yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7. Karena hanya memiliki delapanangka maka penjumlahan 7+1 = 10 (bukan 8 seperti halnyabilangan Decimal karena tidak mempunyai angka 8).

Ketika kita melakukan pengurangan secara berurutan (dimulaidari digit sebelah kanan) pada bilangan Decimal misalnya 25-7, akan terjadi borrow (pinjam 1 dari angka 2) karena 5 lebihkecil dari 7 sehingga angka 5 kini menjadi 15 yaitu dari 5+10karena nilai 1 pada bilangan Decimal adalah 10, demikian jugapada penjumlahan bilangan Decimal dimana carry 1 bernilai 10.

Jika borrow 1 terjadi pada pengurangan bilangan Octal, maka

angka 1 bernilai 8, demikian juga jika terjadi carry 1 pada

penjumlahan Octal akan bernilai 8.

Oktal ( Penjumlahan )

Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit sebelahkanan. Untuk dua bilangan yang dijumlahkan, jikahasil penjumlahan lebih dari 7 maka akanterjadi carry 1 yang akan ikut dijumlahkan dengandigit di sebelah kirinya, kemudian hasil penjumlahandikurangi 8 yang akan disimpan sebagai hasilpenjumlahan Octal. Perhatikan contoh di bawah!Langkah-langkah penyelesaian:

a. 100(8) + 200 (8) = ..........(8)

Langkah-langkah penyelesaian:Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit

paling kanan.

0 + 0 = 0

0 + 0 = 0

1 + 2 = 3

Jadi 100(8) + 200(8) = 300(8)

Oktal ( Penjumlahan )

1. 7 + 5 = 12, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahanOctal adalah 4 (dari 12 - 8 = 4)

2. 1 + 6 + 6 = 13, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasilpenjumlahan Octal adalah 5 (dari 13 - 8 = 5)

3. 1 + 4 + 2 = 7, angka ini akan langsung ditempatkan sebagai hasilpenjumlahan Octal karena tidak lebih dari 7 (tidak ada carry).

4. 4 + 7 = 11, karena lebih dari 7 maka terjadi carry 1 dan hasil penjumlahanOctal adalah 3 dari (11 - 8 = 3)

5. 1 = carry dari penjumlahan terakhir yang akan langsung ditempatkansebagai hasil penjumlahan Octal

Hasil akhir adalah, jadi 4467(8) + 7265(8) = 13754(8)

b. 4467(8) + 7265(8) = ...........(8)

Langkah-langkah penyelesaian:4467

7265

------(+)

Oktal ( Pengurangan )

Lakukan pengurangan secara berurutan mulai dari digit

sebelah kanan. Jika bilangan yang dikurangi lebih besar, maha

hasilnya akan langsung ditempatkan sebagai hasil pengurangan

Octal, tetapi jika bilangan yang dikurangi lebih kecil, maka

akan terjadi borrow(pinjam) 1 dari digit di sebelah kirinya.

Pada bilangan Decimal, angka satu yang dipinjam bernilai 10

sedangkan pada bilangan Octal angka 1 ini bernilai 8.

Perhatikan contoh di bawah!

a. 7654(8) - 4321(8) = ..........(8)

Langkah-langkah penyelesaian:7654

4321

----- (-)

Jadi 7654(8) - 4321(8) = 3333(8)

Oktal ( Pengurangan )b. 5432(8) - 1456(8) = ..........(8)

Langkah-langkah penyelesaian

2 - 6 = 4, karena 2 lebih kecil dari 6 maka terjadi borrow 1 sehingga menjadi 10 (dari 8+2) dan 10-6 = 4

2 - 5 = 5, angka 3 menjadi 2 karena sudah dipinjamsebelumnya. 5 adalah hasil dari (8+2)-5

3 - 4 = 7, angka 4 menjadi 3 karena sudah dipinjamsebelumnya. 7 adalah hasil dari (8+3)-4

4 - 1 = 3, angka 5 menjadi 4 karena sudah dipinjamsebelumnya. Karena 4 lebih besar dari 3 maka 3 akanlangsung ditempatkan sebagai hasil pengurangan Octal.

Hasil akhir adalah 5432(8) - 1456(8) = 3754(8)

Desimal

Bilangan sehari-hari

Basis/radiks 10 = 09

Heksadesimal

Paling banyak dipergunakan dalampemrograman

Basis/radiks 16 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Konversi ke desimal : Mengalikan suku ke-N dengan 16N

Contoh :

3116 = (3 x 161) + (1 x 160)

= 48 + 1

= 49

Heksadesimal ( Penjumlahan )

Jumlahkan secara berurutan mulai dari digit paling

kanan. Untuk dua bilangan yang dijumlahkan, jika hasil

penjumlahan lebih dari 15 akan terjadi carry 1, kemudian

hasil penjumlahan dikurangi 16 yang akan disimpan

sebagai hasil penjumlahan Hexadecimal. Perhatikan

contoh di bawah!

A. 153(16) + 234(16) = .......... (16)

Langkah-langkah penyelesaian:

153

234

---- (+)Karena tidak terdapat carry, maka 153(16) + 234(16) = 387(16)

Heksadesimal ( Penjumlahan )

B. 1A7(16) + D89(16) = .......... (16)Langkah-langkah penyelesaian:1A7D89---- (+)

1. 7 + 9 = 16, karena lebih dari 15, maka terjadi carry 1 dan hasil

penjumlahan adalah 0yaitu dari 16-16.

2. 1 + A + 8, angka 1 adalah carry dari penjumlahan sebelumnya.

A=10 pada bilanganDecimal, jadi 1 + A + 8 = 1 + 10 + 8 = 19, hasil

penjumlahan adalah 3 yaitu dari 19-16 dan carry 1.

3. 1 + 1 + D = 1 + 1 + 13 = 15, hasil penjumlahan adalah F karena 15

= F pada bilangan Hexadecimal.

Hasil penjumlahan adalah 1A7(16) + D89(16) = F30(16)

Heksadesimal ( Pengurangan )

Lakukan pengurangan secara berurutan mulai dari digitpaling kanan. Jika bilangan yang dikurangi lebih kecildari pengurang, maka akan terjadi borrow 1 (pinjam 1 kebilangan di sebelah kirinya). Borrow 1 ini bernilai16. Perhatikan contoh di bawah!

A. FBC(16) - 321(16) = ..........(16)

Langkah-langkah penyelesaian:FBC3 2 1----- (-)

Hasil pengurangan Hexadecimal adalah; jadi FBC(16) -

321(16) = C9B(16)

Heksadesimal ( Pengurangan )B. F30(16) - D89(16) = .......... (16)

Langkah-langkah penyelesaian:F30D89----- (-)

1. 0 - 9, karena 0 lebih kecil dari 9, maka terjadi borrow 1 yang bernilai 16sehingga angka 0 kini menjadi 16 yaitu dari 0 + 16. Hasilpengurangan Hexadecimal adalah 16 - 9 = 7.

2. 2 - 8, karena sebelumnya terjadi borrow 1, maka angka 3 dikurangi 1menjadi 2. Karena 2 lebih kecil dari 8, maka terjadi borrow lagi padabilangan F sehingga angka 2 menjadi 18 yaitu dari 2 + 16. Hasilpengurangan Hexadecimal adalah 18 - 8 = 10 atau A.

3. E - D = 14 - 13 = 1, E adalah dari F yang telah dikurangi 1 karena terjadiborrow sebelumnya.

Hasil pengurangan Hexadecimal adalah F30(16) - D89(16) = 1A7(16)

Konversi Desimal ke Radiks r

Aturan umum :

Gunakan pembagian dengan radiks r

secara suksesif (berulang) sampai

dengan hasil pembagian = 0

Sisa pembagian merupakan hasil

konversi mulai dari LSB sampai dengan

MSB

0hex = 0dec = 0oct 0 0 0 0

1hex = 1dec = 1oct 0 0 0 1

2hex = 2dec = 2oct 0 0 1 0

3hex = 3dec = 3oct 0 0 1 1

4hex = 4dec = 4oct 0 1 0 0

5hex = 5dec = 5oct 0 1 0 1

6hex = 6dec = 6oct 0 1 1 0

7hex = 7dec = 7oct 0 1 1 1

8hex = 8dec = 10oct 1 0 0 0

9hex = 9dec = 11oct 1 0 0 1

Ahex = 10dec = 12oct 1 0 1 0

Bhex = 11dec = 13oct 1 0 1 1

Chex = 12dec = 14oct 1 1 0 0

Dhex = 13dec = 15oct 1 1 0 1

Ehex = 14dec = 16oct 1 1 1 0

Fhex = 15dec = 17oct 1 1 1 1

Konversi Desimal ke Radiks r

Konversi 17910 ke biner:

179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB)

/ 2 = 44 sisa 1

/ 2 = 22 sisa 0

/ 2 = 11 sisa 0

/ 2 = 5 sisa 1

/ 2 = 2 sisa 1

/ 2 = 1 sisa 0

/ 2 = 0 sisa 1 (MSB)

17910 = 101100112

Contoh: Konversi 17910 ke oktal:

179 / 8 = 22 sisa 3 (LSB)

/ 8 = 2 sisa 6

/ 8 = 0 sisa 2 (MSB)

17910 = 2638

Contoh: Konversi 17910 ke hexadesimal:

179 / 16 = 11 sisa 3 (LSB)

/ 16 = 0 sisa 11 (dalam bilangan hexadesimal berarti B)MSB

17910 = B316

Konversi Biner ke Oktal

Aturan umum :

Kelompokkan 3 digit bilangan biner mulaidari LSB sampai dengan MSB

Contoh :

Konversikan 101100112 ke bilangan oktal

Jawab : 10 110 011

2 6 3

Jadi 101100112 = 2638

Konversi Biner ke

Heksadesimal

Aturan umum :

Kelompokkan 4 digit bilangan biner mulai dari LSB sampai dengan MSB

Contoh :

Konversikan 101100112 ke bilangan heksadesimal

Jawab : 1011 0011

B 3

Jadi 101100112 = B316

Konversi Oktal ke Biner

Aturan umum : Terjemahkan tiap digit oktal ke 3 digit biner

Contoh :

Konversikan 2638 ke bilangan biner

Jawab : 2 6 3

010 110 011

Jadi 2638 = 0101100112 Karena 0 didepan tidak

ada artinya kita bisa menuliskan 101100112

BCD ( Binary Coded Decimal )

BCD menggunakan 4 bit biner ( nible ) untuk masing masing digitnya

Hal ini berarti 1 byte ( 8 bit ) dapat merepresentasikan angka dari

00 sampai dengan 99 sedangkan dalam binernya dapat

menyimpan angka dari 0 sampai dengan 255

Konversi Heksadesimal ke Biner

Aturan umum : Terjemahkan tiap digit heksadesimal ke 4 digit biner

Contoh :Konversikan 26316 ke bilangan binerJawab : 2 6 3

0010 0110 0011Jadi 26316 = 0010011000112 Karena 0 didepantidak ada artinya kita bisa menuliskan10011000112

Konversi Heksadesimal ke Desimal

Konversi Desimal ke Heksadesimal

KOMPLEMEN 1 dan KOMPLEMEN 2

Komplemen 1 bilangan biner

Sebenarnya Komplemen

0 1

1 0

Contoh :

Hitung komplemen 1 dari :

a. (11001)2 (110)2b. (1000110)2 (111001)2c. (11101100)2 (10011)2

Komplemen 2 bilangan biner

Komplemen 2 bilangan biner diperoleh dari

komplemen 1 ditambah dengan 1.

Contoh :

Hitung komplemen 2 dari (10101)2 !

Pertama, hitung komplemen 1 dari (10101)2Hasil komplemen 1 : (01010)2

Kedua, hasil komplemen 1 ditambah dengan 1

Hasil komplemen 2 : (01010)2 + (1)2: (1011)2

Hitung komplemen 2 dari :

a. (11001)2 (111)2b. (1000110)2 (111010)2c. (11101100)2 (10100)2

Untuk mendapatkan komplemen 1 dari bilangan heksadesimal,

langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Ubah heksadesimal biner2. Tentukan komplemen 1 dari biner tsb

3. Ubah komplemen 1 dalam bentuk biner heksadesimal

Contoh :

Hitung komplemen 1 dari (58B)16 !

1. Heksa biner

(58B)16 = (010110001011)2

2. Tentukan komplemen 1

(010110001011)2 (101001110100)2

3. Ubah komplemen 1 biner heksa

(101001110100)2 = (A74)16

Komplemen 2 heksadesimal

Komplemen 2 heksadesimal diperoleh

dari penjumlahan komplemen 1

heksadesimal dengan 1.

Contoh :

Hitung komplemen 2 dari (58B)16 !

Komplemen 1 dari (58B)16 = (A74)16

Komplemen 2 dari (58B)16 = (A74)16 + (1)16= (A75)16

Komplemen 1 dan 2 heksadesimal

Selain menggunakan cara sebelumnya,

komplemen 1 bilangan heksadesimal dapat

juga diperoleh dari tabel berikut.

Angka Komplemen 1

0 F

1 E

2 D

3 C

4 B

5 A

6 9

7 8

8 7

9 6

A 5

B 4

C 3

D 2

E 1

F 0

MENGHITUNG KOMPLEMEN

DARI TABEL

Untuk komplemen 2 tetap diperoleh dengan

menambahkan komplemen 1 dengan angka 1

Contoh :

Hitung komplemen 1 dan 2 dari (7BA)16 !

Komplemen 1-nya = (845)16

Komplemen 2-nya = (846)16

Bilangan Bertanda dan Tidak

Bilangan bertanda (signed number) :

Memiliki arti plus (+) dan minus (-)

Menggunakan seluruh digit angka yang tersedia untuk merepresentasikan angka positif dan negatif

Indikator dari Sign Flag(SF) :

SF = 0 : bilangan positif

SF = 1 : bilangan negatif

Bilangan tidak bertanda (unsigned number) :

Tidak mengenal minus (-)

Menggunakan seluruh digit angka yang tersedia untuk merepresentasikan angka positif saja

Tidak Bertanda Bertanda Biner

+3 +3 0000 0011

+2 +2 0000 0010

+1 +1 0000 0001

0 0 0000 0000

+255 -1 1111 1111

+254 -2 1111 1101

+253 -3 1111 1100

Konversi Signed Number ke

Biner Aturan umum :

Konversi nilai absolut bilangannya ke biner yang diorganisasikan sebagai byte, word, ataupun double word

Komplemenkan hasilnya

Tambahkan LSB dengan 1

Contoh :

Konversikan -21 ke biner

Jawab :

Absolut -21 = 21 = 000101012Komplemen 000101012 = 111010102Tambahkan LSB dengan 1 = 000000012Hasil = 111010112Jadi -21 = 111010112

Cara cepat : Representasi Signed Number = maksimal cacahan +

Signed Number

Contoh :

Konversikan -21 ke biner

Jawab :

8bit biner(byte) dengan maksimal cacahan

256 (28) muat untuk merepresentasikan -21,

maka

Representasinya = 256 + (-21)

= 235

= 111010112Jadi -21 = 111010112

Floating Point Number

Angka pecahan => desimal mudah tapi binari

memerlukan interpretasi berbeda

Semua sistem bilangan menggunakan sistem Fixed

Point Numbers untuk merepresentasikan angka pecahan

Contoh :

15.3

1110.0011

DE.2A

Keuntungan : mudah dalam kalkulasi

Kerugian : bentuk terlalu panjang untuk representasi

angka yang amat besar atau angka yang amat kecil

Metode = notasi ilmiah (scientific notation)

Contoh :

0.000 000 000 000 023 = 2.3 x 10-14

0.0000 0111 0010 = 110010 x 2-12

Floating point = bilangan dalam bentuk

a x re

a = mantisa

r = radiks

e = eksponen atau pangkat

Kalkulasi menggunakan FP, maka bilangan perlu dinormalisasikan dalam bentuk

0.1 x re

Untuk bilangan bertanda, maka perlu ditambahkan sign bit :

1 = bilangan negatif

0 = bilangan positif

Operasi FP harus menyamakan dulu eksponennya

Organisasi Data

Merupakan cara untuk merepresentasikan bit data

menjadi beberapa pengelompokan

Tipe :

Bit = 1 bit

Nibble = 4 bit

Byte = 8 bit

Word = 16 bit

Double word = 32 bit

Bit

"Unit" paling kecil dari data pada komputer biner adalah satu bit tunggal.

Satu bit tunggal mampu merepresentasikan hanya dua nilai yang berbeda (secara tipikal nol atau satu)

Anda bisa merepresentasikan dua item data apapun yang berbeda dengan satu bit tunggal. Contoh meliputi nol atau satu, benar atau salah, on atau off, pria atau wanita. Anda tidak dibatasi untuk merepresentasikan jenis data biner (yaitu, objek yang hanya mempunyai dua nilai yang berbeda).

Nibble

nibble adalah satu koleksi empat bit. Ia bukan merupakan jenis data yang menarik kecuali dua item: bilangan BCD (binary coded decimal) dan bilangan berbasis enambelas.

Ia menggunakan empat bit untuk merepresentasikan satu BCD tunggal atau digit hexadecimal. Dengan suatu nibble, kita bisa merepresentasikan sampai dengan 16 nilai berbeda.

Dalam kasus bilangan berbasis enambelas, nilai dapat berupa 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F direpresentasikan dengan empat bit. BCD menggunakan sepuluh angka berbeda (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Byte

Struktur data terpenting yang digunakan oleh mikroprosesor 80x86 adalah byte. Sebuah byte terdiri dari delapan bit dan adalah datum addressable paling kecil (data item) pada mikroprosesor 80x86.

Memori Utama dan alamat I/O pada 80x86 adalah semua alamat byte. Artinya bahwa item paling kecil yang mungkin diakses secara individu oleh satu program 80x86 adalah nilai delapan-bit.

Bit dalam satu byte secara normal dinomori dari nol sampai tujuh menggunakan konvensi di dalam gambar 1.1.

Bit 0 adalah urutan bit terendah atau bit paling tidak berarti (kurang signifikan), bit 7 adalah urutan bit paling berarti (signifikan) dari byte. Kita akan mengacu pada penomoran semua bit lain.

Gambar 1.1: Penomoran Bit dalam satu Byte

Perhatikan bahwa satu byte juga berisi persis

dua nibble (lihat gambar 1.2).

Gambar 1.2: Dua Nibbles dalam satu Byte

Word

Sebuah word adalah kelompok 16 bit. Kita akan

menomori bit dalam word mulai dari nol sampai

dengan lima belas. Penomoran bit muncul di

gambar 1.3.

Gambar 1.3: Nomor Bit dalam Word

Seperti byte, bit 0 adalah urutan bit terendah dan

bit 15 adalah urutan bit tertinggi.

Perhatikan bahwa satu word berisi persis dua

byte. Bit 0 sampai 7 membentuk urutan byte

terendah, bit 8 hingga 15 membentuk urutan

byte tertinggi (lihat gambar 1.4).

Gambar 1.4: Dua Bytes dalam Word

Secara alami, satu word mungkin saja dipecah

ke dalam empat nibble seperti diperlihatkan di

dalam gambar 1.5.

Gambar 1.5: Nibble dalam Sebuah Word

Nibble nol adalah nibble urutan terendah dalam word dan

nibble tiga adalah nible urutan tertinggi dari word. Dua nibble

lain adalah nibble satu atau nibble dua.

Dengan 16 bit, bisa direpresentasikan 216 (65,536) nilai

yang berbeda. Ini bisa menjadi nilai dalam jangkauan

0..65,535 (atau, sebagai kasus biasanya, -

32,768..+32,767) atau jenis data lain apapun tanpa lebih

dari 65,536 nilai.

Double Word

Merupakan kelompok 32 bit dengan penomoran bit dari

0 31

1 double word = 2 word = 4 byte = 8 nibble = 32 bit

Cacahan maksimal = 232 = 4294967296 (biasa disebut

sebagai 4Gbyte)

Perkalian

Prosedur sama

dengan perkalian

desimal

Contoh : 9 x 11

1 0 0 1 9

1 0 1 1 11

1 0 0 1

1 0 0 1

0 0 0 0

1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 1 99

Pembagian

Prosedur sama dengan pembagian desimal

biasa

Data Dalam PLC

Menggunakan 16bit / word :

0 - +65535 : UINT

-32768 - +32767 : INT

-128 - +127 : SINT

0 - +255 : USINT

-231 - +231-1 : DINT

0 - +231-1 : UDINT

-263 - +263-1 : LINT

0 - +263-1 : ULINT

16bit pecahan dengan eksponen = REAL

32bit pecahan dengan eksponen = LREAL

Binari 1/0 = BOOL

Durasi Timer :

Standar : IEC(International Electrotechnical Commission)

d = hari, h = jam, m = menit, s = detik, ms = milidetik

Contoh :

T#12d2h5s3ms atau TIME#12d2h5s