Sistem Bilangan

i.1 Kimpunan Bilangan

Bilangan yang digunakan untuk matematika seperti terlihat dalam diagram ini :

Keterangan :

Berdasarkan prinsip diagram venn, maka himpunan yang palng kecil daerah

cakupannya himpunan bilangan Asli (N) dan merupakan himpunan bagian dari

himpunan luarnya. Jadi dapat dikatakan bahwa N merupakan himpunan bagian K.

Bagaimana menyatakan suatu bilangan asli juga merupakan suatu bilangan bilangan

kompleks.

Misalnya :

N 1,2,3,…

2 – 3i ; -3 +5i

R

58

327

Q = {|a,bI,b≠0}

¾; 1,23535 0,245

0,24342…; 3,14

0

C

…,-3,-2,-1Bilangan Bulat 1,2,…

K = {a +bi;a,b}

N : Himpunan Bilangan AsliI : Himpunan Bilangan Bulat : Himpunan Bilangan Real

C : Himpunan Bilangan CacahQ : Himpunan Bilangan RasionalK : Himpunan Bilangan Kompleks

101 adalah bilangan asli, maka

101 = 101 + 0i atau (101,0) sebagai bilangan kompleks.

1.2 Sifat – Sifat Bilangan Real

Untuk operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*) pada himpunan bilangan real

berlaku sifat :

i). Sifat Tertutup

a,b maka a + b dan a*b

ii). Sifat Asosiatif

a,b,c maka a + (b + c) = (a + c) + b dan a*(b*c) = (a*b)*c

iii). Memuat unsure Identitas

a 0 a + 0 = 0 + a = a dan 1 a*1 = 1*a = 1,

0 disebut identitas penjumlahan dan 1 disebut identitas perkalian.

iv). Memuat Invers Setiap Unsurnya

a , a-1 a + a-1 = a-1 + a = 0 maka a-1 = -a dan a* a-1 = a-1 *a = 1,

maka a-1 =

v). Bersifat Komutatif

a,b maka a + b = b + a dan a*b = b*a

vi). Bersifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

a,b,c maka a*(b+c) = a*b + a*c ( distributif kiri ) dan

(b+c)*a = b*a + c*a ( distributif kanan )

vii). Tidak Memuat unsure pembagi Nol

Untuk a dan b bilangan real, jika a*b = 0, maka a = 0 atau b = 0.

Dalam kalkulus semesta pembicaraan bilangan yang digunakan himpunan bilangan

real. Himpunan bilangan real secara geometris dinyatakan sebagai himpunan titik –

titik pada suatu garis lurus dan disebut garis bilangan.

1.3 Urutan Pada Himpunan Bilangan Real

Urutan pada himpunan bilangan real dalam arti terdapat relasi yang dinyatakan

dengan lambing

ii. “ < “ dibaca kurang dari

iii. “ < “ dibaca kurang dari sama dengan

iv. “ > “ dibaca lebih dari

v. “ > “ dibaca lebih dari sama dengan

Ada beberapa definisi dan sifat relasi urutan yang digunakan dalam penyelesaian

problem pertaksamaan.

Definisi a,b

i) a < b jika dan hanya jika b – a positif

ii) a > b jika dan hanya jika a – b positif

iii) a < b jika dan hanya jika a < b atau a = b

iv) a > b jika dan hanya jika a > b atau a = b

Sifat – sifat

1) a > 0 jika dan hanya jika a positif

2) a < 0 jika dan hanya jika a negatif

3) jika a > 0 dan b > 0, maka a + b > 0 dan a*b > 0

4) a,b,c

0

4.1) jika a > b, maka a + c > b + c

4.2) jika a > b dan c > 0, maka a*c > b*c

4.3) jika a > b dan c < 0, maka a*c < b*c

4.4) jika a < b dan c > 0, maka a*c < b*c

4.5) jika a < b dan c < 0, maka a*c > b*c

4.6) jika a < b, maka a + b < b + c

5) a,b,c , jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d

1.4 Selang atau Interval

Ada beberapa cara menyatakan suatu himpunan bilangan, diantaranya dengan selang

atau interval. Suatu himpunan bilangan real {x | a < x < b} dapat dinyatakan dengan

suatu selang, yakni (a,b)

Jadi x | a < x < b} = (a,b)

Selang (a,b) disebut selang terbuka, sedangkan [a,b] disebut selang tertutup. Selang

terbuka dan tertutup secara geometris dapat dinyatakan dengan garis bilangan seperti

berikut ini :

( ) [ ]

Selang yang tidak tertutup bukan berarti selang terbuka dan selang yang tidak terbuka

bukan berarti selang tersebut tertutup.

Misalnya {x | c < x < d} = [c,d) selang ini tidak terbuka juga tidak tertutup.

Disamping itu ada selang yang tak hingga, misalnya

i. {x | a < x < }= [a, ) [

ii. {x | < x < b } = (-,b) )

1. 3x – 2 > 43x + (-2 + 2) > 4 + 23x + 0 > 63x > 6 atau x > 2HJ1 = (2, )

2. 3x – 2 < 103x < 12x < 4HJ2 = (-,4]

1.5 Pertaksamaan

Difinisi dan sifat – sifat urutan bilangan real digunakan dalam menyelesaikan suatu

pertaksamaan, yakni mencari himpunan jawab dari suatu pertaksamaan.

Contoh :

Carilah himpunan jawab dari 4 < 3x -2 < 10

Penyelesaian :

Cara 1

Pertaksamaan 4 < 3x -2 < 10 dipecah menjadi dua pertaksamaan yaitu

HJ = HJ1 HJ2 = (2, ) (-,4] = (2,4]

Cara 2

4 < 3x -2 < 10, semua ruas ditambah dengan 2

6 < 3x < 12, selanjutnya semua ruas dikali

2 < x < 4, jadi HJ = (2,4]

1.6 Nilai Mutlak

Konsep nilai mutlak dari himpunan bilangan real banyak digunakan dalam beberapa

definisi dalam kalkulus.

Definisi

x , nilai mutlak x yang dilambangkan dengan |x| didefinisikan dengan

|x| =

Misalnya : |5| = 5 dan |-3| = 3

Sifat – sifat : untuk a > 0

1. |x| < a jika dan hanya jika –a < x < a

2. |x| < a jika dan hanya jika –a < x < a

3. |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a

4. |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a

5. a,b jika dan hanya jika |a| < |b|, maka a2 < b2

6. a,b , maka

i) |a*b| = |a||b|

ii)

iii) |a + b| < |a| + |b|

iv) |a - b| < |a| - |b|

v) |a| - |b| < |a - b|

Contoh 1 :

Carilah himpunan jawab dari |2x – 5| < 3

Penyelesaian

|2x – 5| < 3

-3 < 2x -5 < 3

2 < 2x < 8

x, jika x > 0

-x, jika x < 0

1 < x < 4

HJ = (1,4)

Contoh 2 :

Carilah himpunan jawab dari

i.

HJi = (-3, + ]

ii.

Hjii = (-,-3) [ ,+)

Jadi HJ = HJi Hjii =

-3

- - - - - + + + + + + + + + - - - - - -

-3

- - - - - - + + + + + + + + + - - - - - - -