simulasi numerik konfigurasi vorteks …staff.uny.ac.id/sites/default/files/penelitian/supardi,...

LAPORAN PENELITIAN

HIBAH PENELITIAN KERJASAMA ANTAR PERGURUAN TINGGI

(HIBAH PEKERTI)

TAHUN ANGGARAN 2005

Ketua Peneliti:

Supardi, M.Si

Penelitian ini dibiayai oleh Proyek Peningkatan Penelitian Pendidikan Tinggi (P4T), Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Departemen Pendidikan Nasional, sesuai

dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Penelitian Kerjasama Antar Perguruan Tinggi Nomor: 035/SPPP/PP/DP3M/IV/2005

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2005

1

SIMULASI NUMERIK KONFIGURASI VORTEKS SUPERKONDUKTOR MESOSCOPIC BERLANDASKAN

MODEL GINZBURG-LANDAU

LEMBAR IDENTITAS DAN PENGESAHANARTIKEL ILMIAH HASIL PENELITIAN HIBAH PEKERTI

A. Judul Penelitian : Simulasi Numerik Konfigurasi Voteks Superkonduktor Mesoscopic Berlandaskan Model Ginzburg-Landau

B. Ketua Peneliti a. Nama Lengkap dan Gelar : Supardi, M.Si b. Jenis Kelamin : Laki-laki c. Pangkat /Golongan / NIP : Asisten Ahli / III a / 132 206 562 d. Bidang Keahlian : Fisika Komputasi e. Fakultas / Jurusan : MIPA / Fisika f. Perguruan Tinggi : Universitas Negeri Yogyakarta

C. Tim Peneliti Pengusul (TPP)Nama Bidang Keahlian Fakultas /

JurusanPerguruan

TinggiSupardi, M.Si. Fisika Komputasi MIPA Fisika UNYFuad Anwar, M.Si. Fisika Komputasi MIPA Fisika UNS

D. Tim Peneliti Mitra (TPM)

Nama Bidang Keahlian Fakultas / Jurusan

Perguruan Tinggi

Dr. Pekik Nurwantoro, M.S. Fisika Komputasi MIPA Fisika UGMDr. Agung B.S.U., S.U. Fisika Komputasi MIPA Fisika UGM

E. Pendanaan dan Jangka Waktu Penelitian Jangka Waktu Penelitian yang diusulkan : 2 Tahun Biaya total yang diusulkan : Rp. 132.000.000,- Biaya yang disetujui tahun II : Rp. 60.000.000,-

Yogyakarta, 4 Nopember 2005Ketua TPM Ketua TPP

Dr. Pekik Nurwantoro, M.S. Supardi, M.Si.NIP. 131 787 930 NIP. 132 206 562

Mengetahui: Menyetujui:Dekan Fakultas MIPA UNY Ketua Lembaga Penelitian UNY

Drs. H. Sukirman, M.Pd Prof. Dr. SukardiNIP. 130 340 113 NIP. 130 693 813

2

SIMULASI NUMERIK KONFIGURASI VORTEKS PADA SUPERKONDUKTOR BERLANDASKAN MODEL GINZBURG-LANDAU

Intisari

Telah dilakukan penelitian mengenai munculnya distribusi parameter benahan (ordered parameter) bahan superkonduktor bentuk lempengan dan silinder. Distribusi parameter benahan dalam bahan tersebut diperoleh dari pengenaan medan magnet luar H yang sejajar terhadap permukaan bahan. Ketika medan magnet luar diturunkan secara perlahan-lahan, maka distribusi parameter benahan akan muncul SAAT melewati harga tertentu yang disebut 3cH .

Metode yang digunakan untuk mempeoleh distribusi parameter benahan dalam bahan superkonduktor ini adalah metode elemen hingga. Untuk memudahkan langkah komputasi dengan metode tersebut, maka digunakan perangkat lunak FEMLAB yang bekerja di bawah MATLAB karena prinsip-prinsip metode elemen hingga telah diwadahi dalam perangkat lunak tersebut.

Hasil yang diperoleh melalui simulasi ini menunjukkan adanya kesesuain antara dugaan awal oleh peneliti dengan hasil perhitungan. Jika dibandingkan dengan hasil yang diperoleh oleh peneliti lain sebelumnya, hasilnya tidak menyimpang jauh

Kata kunci : parameter benahan, FEMLAB, metode elemen hingga

NUMERICAL SIMULATION OF VORTEX CONFIGURATION ON SUPERCONDUCTOR MATTER BASED ON

GINZBURG-LANDAU MODEL

ABSTRACT

Investigation of creation of ordered parameter distribution on superconductor material, specially slab and silinder form have been conducted. Distribution of ordered parameter inside the material is obtained by applying external magnetic field parallel to the surface of the material. When the external magnetic field is reduced carefully, ordered parameter distribution will create at a certain value called 3cH .

The method applied to obtain the ordered parameter distribution is finite element method. To make easy in computation work, be applied FEMLAB software. The software works under MATLAB running . Principles of finite element method have been covered in FEMLAB.

The result of the numerical simulation show in line between the beginning hipotesa of researcher and computaion result. Compared with previous result, the result does not deviate significantly.

Keyword : order parameter, FEMLAB, finite element method

3

PRAKATA

Dengan mengucapkan puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan

rahmatNya, penulis telah dapat menyelesaikan penelitian Hibah Pekerti dengan judul

Simulasi Numerik Konfigurasi Vorteks Pada Superkonduktor Berlandaskan Model

Ginzburg-Landau.

Penelitian ini dilakukan bersama-sama dengan bimbingan tim peneliti dari Lab.

Fisika Komputasi Universitas Gadjah Mada. Penulis menyadari sepenuhnya atas

terselenggaranya dan keberhasilan penelitian ini berkat dukungan semua pihak baik di

Institusi asal dan Institusi host. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1. Direktur Penelitian dan Pengabdian Pada Masyarakat Departemen Pendidikan

Nasional Republik Indonesia yang telah mendanai penelitian ini.

2. Rektor Universitas Negeri Yogyakarta, Bapak Prof. Dr. Suyanto.

3. Ketua Lembaga Penelitian Universtas Universitas Negeri Yogyakarta

4. Ketua Lembaga Penelitian Universitas Gadjah Mada

5. Dekan Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada

6. Bapak Dr. Pekik Nurwantoro, M.S. dan Bapak Dr. Agung BSU, S.U. sebagai

Pembimbing.

7. Ketua Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

8. Ketua Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada

9. Semua pihak yang tak dapat kami sebutkan satu persatu

Penulis menyadari bahwa hasil penelitian ini belum sempurna dari harapan, oleh

karena itu kritik dan saran dari semua pihak sangat diharapkan.

4

Yogyakarta, 4 Nopember 2005

Peneliti

DAFTAR ISI

LEMBAR IDENTITAS DAN PENGESAHAN ii

RINGKASAN DAN SUMMARY iii

PRAKATA iv

DAFTAR ISI v

BAB I PENDAHULUAN 1

Tujuan Penelitian 2

Manfaat Penelitian 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 4

BAB III METODE PENELITIAN 8

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 16

BAB V KESIMPULAN 23

DAFTAR PUSTAKA 24

LAMPIRAN

Kode sumber untuk Superkonduktor slab 25

5

Kode sumber untuk Superkonduktor silinder 59

6

BAB I

PENDAHULUAN

Simulasi numerik munculnya parameter benahan di daerah dekat medan kritis

3cH pada bahan superkonduktor menggunakan landasan model Ginzburg-Landau telah

dilakukan. Parameter benahan (ordered parameter) didefinisikan sebagai parameter fisis

yang kehadirannya bertanggung jawab terhadap fase dari suatu bahan superkonduktor.

Bahan superkonduktor yang berada dalam keadaan superkonduktif memiliki harga

parameter benahan diantara 10 << ψ . Di bawah medan kritis 1cH bahan berada dalam

keadaan superkonduktif murni sehingga harga parameter benahan bernilai 1. Bahan

superkonduktor yang hanya memiliki satu macam medan kritis saja disebut sebagai

superkonduktor jenis-I. Sedangkan superkonduktor yang memilki dua buah medan kritis

yaitu 1cH dan 2cH disebut sebagai superkonduktor jenis-II. Hal yang menarik tentang

superkonduktor jenis-II adalah adanya keadaan campuran (mixed state) antara keadaan

superkonduktif dan keadaan normal pada ranah 2c1 HHH <<c . Dalam daerah ini

muncul apa yang dinamakan sebagi vortex. Vortex merupakan filamen-filamen berukuran

kecil yang terbentuk akibat pengenaan medan magnet luar H pada sampel

superkonduktor jenis ke-II dalam ranah 2c1 HHH <<c sehingga terjadi terobosan

parsial fluks magnet pada bahan tersebut (Cyrot dan Pavuna, 1992; Tinkham, 1996).

Secara teori, munculnya vorteks pada superkonduktor jenis ke-II telah diramalkan oleh

Abrikosov. Menurut Abrikosov, pola kisi dengan bentuk bujursangkar merupakan pola

kisi stabil vorteks. Dalam kenyataannya, pola kissi stabil pada vorteks adalah kisi dengan

bentuk segitiga. Bentuk kisi ini selanjutnya disebut dengan kisi Abrikosov.

7

Simulasi ini didasarkan pada model Ginzbug-Landau yaitu sebuah teori yang

mengungkapkan gejala fisis yang terjadi pada bahan superkonduktor berdasar pada intuisi

fisis yang ada. Salah satu pencetus model ini yaitu Vitally L. Ginzburg, pada tahun 2003

ini telah memenangkan hadiah Nobel di bidang fisika.

Penelitian tentang munculnya parameter benahan dari bahan dalam keadaan

superkonduktif hingga berada pada keadaan normal sulit dilakukan dengan pengamatan

secara langsung. Oleh sebab itu, diperlukan cara lain untuk memperolehnya, yaitu dengan

simulasi numerik. Simulasi numerik mengenai munculnya parameter benahan pada bahan

superkonduktor dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan Ginzburg-Landau

terkopelnya. Untuk mengkaji keadaan superkonduktif di daerah dekat medan kritis 3cH

dapat dilakukan dengan mengabaikan suku non liniernya, sehingga bentuk persamaan

diferensialnya menjadi bentuk linier.

Dugaan peneliti bahwa munculnya parameter benahan mulai nampak pada

permukaan bahan yang sejajar dengan medan magnet luar. Selanjutnya, parameter

benahan secara berangsur-angsur akan menghilang di daerah yang semakin menjauhi

permukaan. Metode yang digunakan oleh peneliti untuk memperoleh distribusi parameter

benahan di dalam bahan adalah metode elemen hingga. Pemilihan metode ini mengingat

metode ini dibangun untuk menyelesaiakan persamaan diferensial disamping metode

beda hingga. Dibandingkan dengan metode beda hingga, metode elemen hingga memiliki

banyak kelebihan terutama keluwesannya dalam memecahkan masalah geometri bahan

yang lebih rumit.

8

TUJUAN PENELITIAN

Tujuan umum dari penelitian ini adalah mencari hubungan antara perbandingan

medan magnet kritis 2cH dengan medan kritis 3cH terhadap besarnya sudut antara

medan magnet luar dengan permukaan bahan, tujuan yang lain adalah menentukan

distribusi parameter benahan ( )ψ r untuk dua bentuk geometri bahan, antara lain bentuk

slab semi tak berhingga, silinder pejal dan silinder berongga di daerah medan kritis 3cH .

MANFAAT PENELITIAN

Manfaat yang dapat disumbangkan dari hasil penelitian ini meliputi dua hal.

Pertama, setelah hasil penelitian diperoleh maka selanjutnya akan dapat ditentukan

karakteristik superkonduktor jenis ke-II di bawah pengaruh medan magnet luar H. Kedua,

melalui hasil penelitian ini, eksperimen tentang masalah terkait dapat dipandu sehingga

dapat ditekan sekecil mungkin kesalahan yang terjadi.

9

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Perkembangan di bidang teknologi mikrofabrikasi, akhir-akhir ini telah membuat

superkonduktor mesoscopic menjadi sangat populer untuk bahan kajian. Superkonduktor

mesoscopic merupakan superkonduktor yang memiliki ukuran ketebalan bahan sebanding

dengan panjang koherensiya ( )Tξ dan kedalaman penetrasi medan magnet ( )Tλ .

Banyak eksperimen dan kajian teoritis dilakukan untuk mengkaji tanggap magnetik dari

berbagsai bentuk bahan mesoscopik tersebut. Contoh aplikasi superkonduktor suhu tinggi

antara lain sebagai piranti pelindung magnetik, sistem pencitraan medis, piranti

interferensi kuantum superkonduktif (SQUIDS), sebagai pembangkit medan magnet

super tinggi dalam MRI (magnetic resonance imaging) dan lain sebaginya.

Mengingat begitu besar prospek yang dijanjikan bahan ini di waktu mendatang,

maka tidak mengherankan jika hadiah Nobel di bidang fisika tahun 2003 ini diberikan

kepada dua dari tiga fisikawan yang telah memberikan sumbangan penting dalam

menjelaskan fenomena fisika tentang superkonduktivitas. Mereka adalah Vitally L.

Ginzburg dan Abrikosov yang telah memberikan kontribusi penting dalam menjelaskan

fenomena superkonduktivitas pada bahan superkonduktor jenis ke-II melalui dua

persamaan Ginzburg-Landau terkopel.

Oleh karena begitu pentingnya peranan dua persamaan Ginzburg-Landau ini dalam

mengungkap gejala superkonduktivitas bahan superkonduktor, maka pengusulan riset ini

didasarkan pada model Ginzburg-Landau. Dengan dilandasi model inilah, selanjutnya

4

akan dapat digambarkan konfigurasi vortex pada bahan superkonduktor di bawah

pengaruh medan magnet luar H dalam ranah 1 2c cH H≤ ≤H .

Menurut teori Ginburg-Landau, keadaan superkonduktif bahan diwakili oleh dua

besaran yaitu parameter benahan (order parameter) ( )ψ r dan potensial vektor ( )A r .

Dua besaran ini diperoleh dari penyelesaian terhadap dua persamaan tak-linier terkopel

[ ] 22 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 02

T T i em

α ψ β ψ ψ ψ+ + − ∇ − =r r r A r rh (1-2)

0

1( ) ( )µ

= ∇ ×j r B r

24( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e

im mψ ψ ψ ψ ψ ψ∗ ∗ ∗ = ∇ − ∇ − r r r r r r A rh (2-2)

dengan syarat batas yang sesuai adalah

[ ]2 ( ) ( ) 0i e ψ⋅ − ∇ − =n A r rh (2-3)

pada permukaan bahan yang memiliki vektor normal n dan yang memisahkan antara

superonduktor dengan insulator. Dalam persamaan tersebut ( )ψ r adalah parameter

benahan superkonduktif yang berupa besaran skalar dan secara umum merupakan fungsi

kompleks, ( )A r adalah potensial vektor magnet yang berupa fungsi real, sedangkan

( )Tα dan ( )Tβ adalah koefisien ekspansi dalam beda rapat tenaga Gibbs yang secara

berurutan memiliki harga negatip untuk cT T< dan bernilai tetapan untuk cT T≈ , e dan

m masing-masing adalah muatan dan massa electron, 0µ adalah permeabilitas ruang

hampa dan akhirnya h adalah tetapan Planck dibagi 2π .

5

Penyelesaian terhadap persamaan (1-2) dan (2-2) atau yang lebih umum dikenal

dengan persamaan Ginzburg-Landau pertama kali dirintis oleh Abrikosov. Hasil

penyelesaian terhadap persamaan tersebut memunculkan jenis baru yaitu superkonduktor

jenis ke-II (Tinkham, 1996). Superkonduktor jenis ke-II ini memiliki dua buah medan

kritis yaitu 1cH yang dikenal dengan medan kritis bawah dan 2cH atau medan kritis atas.

Prospek yang menjanjikan dari superonduktor jenis-II ini didasarkan pada tanggap bahan

tersebut terhadap medan magnet luar H. Jika superkonduktor jenis ke-I hanya mampu

mempertahankan sifat superkonduktifnya hingga sampai dengan medan magnet luar 1cH ,

maka superkonduktor jenis ke-II ini mampu mempertahankan sifat superkonduktifnya

hingga medan magnet luar 2cH bahkan dapat mempertahankan sifat superkonduktifnya

hingga medan magnet luar lebih tinggi dari 2cH yang disebut medan nukleasi 3cH . Hal

inilah yang menjadi dasar mengapa superkonduktor jenis ke-II ini memberikan prospek

teknologi yang luas. Pada medan magnet di atas 1cH , arus super tidak sepenuhnya

mampu menahan terobosan fluks magnet sehingga di dalam bahan terbentuk filamen-

filamen berukuran kecil yang berupa keadaan normal dikelilingi keadaan superkonduktif

yang disebut dengan vortex (Cyrot dan Pavuna, 1992). Untuk mensimulasikan secara

numerik konfigurasi vortex pada pengenaan medan magnet luar H, maka diperlukan

suatu teknik penyelesaian untuk memecahkan pasangan persamaan Ginzburg-Landau

terkopel tersebut. Tetapi, oleh karena sifat bawaan yang dimiliki persamaan ini adalah

terkopel, maka penyelesaiannya akan menjadi sangat rumit. Mengingat tingkat kerumitan

penyelesaian persamaan inilah, maka tujuan umum dari penelitian ini adalah menentukan

konfigurasi vortex pada superkonduktor jenis ke-II dibawah pengaruh medan magnet luar

6

H pada ranah 21 cc HHH ≤≤ dengan cara menyelesaikan persamaan Ginzburg-Landau

yang utuh.

Tahun ini peneliti dari perguruan tinggi mitra sedang melakukan riset tentang

implemetasi model Ginzburg-Landau untuk pengkajian dinamika vortex pada

superkonduktor mesoscopic. Pengkajian tersebut diarahkan pada penjelasan masalah

dinamika terbentuknya vortex dalam bahan superkonduktor yang dibangkitkan dari

minimisasi terhadap fungsional Ginzburg-Landau. Hubungannya dengan penelitian yang

diusulkan sangat erat, karena model yang digunakan untuk memerikan fenomena

superkonduktivitas sama yaitu dengan menggunakan model Ginzburg-Landau. Perbedaan

usulan riset ini dengan yang telah dilakukan oleh TPM terletak pada proses pembentukan

vortex. Penelitian yang diusulkan oleh TPP akan mengkaji secara numerik fenomena

statis konfigurasi vortex pada bahan superkonduktor bergeometri silinder. Berhubungan

dengan usulan riset yang diajukan TPP ini, Yampolskii et.al (2002) telah memberikan

penjelasan tentang vortex giant dalam cakram mesoscopic. Morelle et. al. (2002) juga

telah menyumbangkan pemikirannya dalam penelitiannya tentang nukleasi

superkonduktovitas dalam bahan segitiga mesoscopic. Simulasi numerik masalah

superkonduktor ini juga telah menarik perhatian banyak peneliti pada beberapa tahun

terakhir ini (Alvarez et.al, 1998; Chibotaru et.al, 2000; Crabtree, 2000).

Mengingat keterbatasan waktu yang dimiliki oleh peneliti TPP yang disebabkan

oleh keterlambatan pencairan dana tahap kedua ini, maka yang dapat diperoleh dari

simulasi numerik ini hanyalah gejala munculnya distribusi parameter benahan di sekitar

medan kritis 3cH . Distribusi parameter benahan yang berhasil dismulasikan meliputi

7

superkonduktor bentuk lempengan semi tak berhingga, siliner pejal, dan silinder

berongga.

BAB III

METODE PENELITIAN

Sifat superkonduktivitas suatu bahan superkonduktor dapat ditentukan oleh

bentuk fungsional sistem. Bentuk fungsional yang berpadanan dengan persamaan

Ginzburg-Landau adalah apa yang disebut beda rapat tenaga bebas Gibbs antara keadaan

superkonduktif dan keadaan normal. Ungkapan beda rapat tenaga Gibbs tersebut

diberikan oleh (Tinkham,1996; Cyrot dan Pavuna, 1992)

8

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

−+−∇−+

+=−≡∆ ∫ ∫

Ω Ω

20

0

2

42

212

21

21,

HrBrrA

rrA

µµ

ψ

ψβψαψ

eim

TTfgG ns

(3-1)

Distribusi parameter benahan dan arus di dalam bahan superkonduktor dapat

diperoleh dengan melakukan minimisasi terhadap ungkapan fungsional rapat beda tenaga

Gibbs tersebut. Minimisasi fungsional dilakukan terhadap ( )rψ atau ( )r*ψ dan ( )rA .

Dengan menggunakan kalkulus variasi minimisasi fungsional tersebut menghasilkan

persamaan Euler-Lagrange (Nurwantoro, 1998)

( ) ( )( ) 0/**

3

1=

∂∂∂

∂∂

∂−∂

∂ ∑= j

s

j j

s

xG

xG

rr ψψ(3-2)

dan

( ) ( )( ) 0/

3

1=

∂∂∂

∂∂

∂−∂

∂ ∑= ji

s

j ji

s

xAG

xAG

rr, dengan 3,2,1=i . (3-3)

Variabel jx dengan 3,2,1=j menyatakan sumbu-sumbu koordinat yaitu yx, dan

z, sedangkan ( )riA dengan i = 1, 2, 3 menyatakan sebagai komponen-komponen

kartesan dari potensial vektor A(r).

Jika persamaan Euler-Lagrange (3-2) dan (3-3) diekspansikan, maka akan

diperoleh ungkapan-ungkapan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

+

∂∂++=

∂∂ 3

1

22

2 2* j

jj

js A

me

xA

meiT

Grrrrr

rψψψψβψα

ψ

(3-4)

( )( )( ) ( )∑∑

∂

∂−∂

∂=

∂∂∂

∂∂

∂= j

jjj

s

j j xA

mei

xmxG

xrr

rψψ

ψ

2

223

1 2/* (3-5)

9

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiii

s Ame

xxmei

AG

rrrrrrr

ψψψψψψ ∂+

∂

∂−∂

∂−=∂

∂*4** 2

(3-7)

Apabila ungkapan (3-4), (3-5) dan (3-6) disubstitusikan ke persamaan (3-2), maka

diperoleh persamaan Ginzburg-Landau pertama yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 02212 =−∇−++ rrArrr ψψψβψα eim

T (3-8)

Apabila digunakan ungkapan persamaan Maxwell jB 0µ=×∇ dengan j adalah rapat

super arus dan disubtitusi ungkapan (3-5) dan (3-6) ke persamaan (3-3), maka diperoleh

persamaan Ginzburg-Landau kedua yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) iAme

ime rrrrrrrBrj ψψψψψψ

µ∂−∇−∇=×∇= *4**1 2

0

(3-9)

Syarat batas yang diberikan untuk kedua persamaan Ginzburg-Landau terkopel tersebut

di daerah antarmuka antara insulator dan permukaan superkonduktor adalah

( )[ ] ( ) 02 =−∇−⋅ rrAn ψei (3-10)

Ketika efek permukaan bahan diperhitungkan, yang berarti bahwa superkonduktor

bukan lagi berbentuk bongkahan, maka sifat superkonduktivitas bahan tidak lagi musnah

pada ( )THH c2> . Efek permukaan ini akan memodifikasi transisi fase antara keadaan

superkonduktif dengan keadaan normalnya. Medan kritis bahan superkonduktor biasanya

akan berharga lebih besar dibandingkan dengan harga medan kritis 2cH . Ketika medan

magnet luar yang dikenakan pada bahan mula-mula berharga besar, kemudian secara

berangsur-angsur diturunkan, maka keadaan superkonduktif bahan akan sedikit demi

sedikit muncul ketika melewati suatu harga tertentu yang disebut dengan 3cH . Analisa

10

teoritis dari medan nukleasi permukaan ini pertama kali dikenalkan oleh Saint dan de

Gennes padatahun 1963.

Di daerah dekat dengan fase transisi antara keadaan normal dengan keadaan

superkonduktif, harga parameter benahan sangat kecil. Oleh sebab itu, dapat diabaikan

suku non-linier dari persamaan Ginzburg-Landau yaitu suku ( ) 2rψ dan ( ) ( )rr ψψ 2 .

Proses linierisasi dari persamaan Ginzburg-Landau terkopel ini akan mereduksi

persamaan tersebut menjadi bentuk yang linier

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0221 =−∇−+ rrAr ψψα eim

T (3-11)

atau

( )[ ] ( ) ( ) ( )rrrA ψαψ Teim

−=−∇− 221

(3-12)

Formulasi Fungsional Ginzburg-Landau untuk Bahan Berbentuk Slab Semi Tak

Hingga

Ditinjau sebuah bahan superkonduktor berbentuk lempengan (slab) semi tak

berhingga yang dikenai oleh medan magnet luar H dengan sudut θ (lihat gambar 1).

Dalam kasus ini, potensial vektor pada persamaan (12) bersifat linier sehingga koreksi

terhadap medan magnet yang masuk ke dalam bahan tidak ada. Oleh sebab itu dipilih

bentuk potensial vektor ( ) ( )0,sincos,0 00 θµθµ HzHx −=rA . Dengan pemilihan

bentuk potensial tersebut, maka bentuk persamaan Ginzburg-Landau terlinierisasinya

adalah

11

SuperkonduktorInsulator

H

Gambar 1. Superkonduktor jenis-II berbentuk slab semi tak berhingga yang dikenai medan magnet luar H

( ) ( )ψαψψθθµψ Tzm

zxHey

iHmxm

=∂∂−

−−

∂∂−+

∂∂− 2

222

02

22

2sincos2

21

2 (3-13)

dengan syarat batas yang diberikan adalah

00

=∂

∂

=xxψ

(3-14)

Dengan memilih ungkapan parameter benahan berbentuk

( ) ( )zxfezyx yik y ,,, cosθψ = akan diperoleh bentuk baru persamaan (3-13) berbentuk

( )[ ] ( ) fTfzxHekmz

fx

fm y αθθµθ =−−+

∂∂+

∂∂− 2

02

2

2

22

sincos2cos21

2

(3-15)


00

=∂∂

=xxf

(3-16)

Salah satu langkah penting untuk perhitungan secara numerik adalah membuat

variabel-variabel dalam ungkapan (3-15) menjadi variabel tak berdimensi. Oleh sebab itu

diplih variabel-variabel sebagai berikut

12

HekXHezZHexX y

00

00 cos,sin4

,cos4

µθ

θµθµ

≡≡≡

( )H

TH c

22∈ ≡ (3-17)

Apabila ungkapan (3-17) disubstitusikan ke persamaan (3-15) maka akan diperoleh

ffXfZX

fXXfXZfXX

fZZ

= ∈++

−−

−

∂∂−

−

∂∂−

42sin

2cos

2sincos

4cos

4sin

200

02

2

2

2

θ

θθθθθ(3-18)


00

=∂∂

=XXf

pada 0=X (3-19)

Sedangkan di daerah yang jauh dari permukaan bahan sifat superkonduktivitas bahan

semakin menghilang, sehingga syarat batas yang cocok untuk keadaan ini adalah

( ) 0, →ZXf pada ∞→X (3-20)

Bentuk diskritisasi dalam bentuk elemen hingga dapat dilihat pada gambar 3.

Formulasi Fungsional Ginzburg-Landau untuk Bahan Berbentuk Silinder

13

Gambar 2. Diskritisasi bahan dengan metode elemen hingga

Ditinjau sebuah bahan superkonduktor berbentuk silinder dengan panjang jari-jari

a dengan panjang tak berhingga dikenai oleh medan magnet luar H yang arahnya sejajar

dengan sumbu z (lihat gambar 2).

Dalam koordinat polar silindris ( )z,,ϕρ diasumsikan bahwa medan magnet

luar H berarah paralel dengan sumbu z silinder, sehingga potensial vektor A dapat dipilih

sedemikian hingga

ρHA ×= 021 µ (3-21)

Dengan menggunakan ungkapan div A = 0, maka diperoleh ungkapan persamaan

Ginzburg-Landau terlinierisasi

( ) ( ) +∂

∂−

∂

∂∂∂− 2

222 ,,2

,,12 z

zm

zm

ϕρψρ

ϕρψρρρ

14

H

a

y

x

z

Gambar 3. Bahan superkonduktor jenis-II berbentuk silinder pejal yang dikenai medan magnet luar sejajar dengan sumbu z

( ) ( ) ( )zTzHeim

,,,,21

2

0 ϕρψαϕρψρµϕρ

=

−∂∂− (3-22)


( ) 0,, =∂

∂

= a

z

ρρϕρψ

(23)

Untuk langkah komputasi numerik, maka diperlukan bentuk variabel tak berdimensi yang

sesuai berbentuk

( )( )T

aaTmHah

ar

azZ 2

2

2

2

00

2 2,2,,

ξα

εµπρ ≡≡Φ

≡≡≡

(3-24)

dengan e/0 π≡Φ menyatakan kuantum fluks dan ( ) ( )TmT αξ 2/2≡ adalah

panjang koherensi. Jika ungkapan (3-24) disubstitusikan ke dalam ungkapan (3-22), maka

akan diperoleh persamaan

( ) ( )zrzrhrri

zrrr,,,,

221

2

2

2

2

2

ϕε ψϕψϕ

=

+

∂∂+

∂∂−

∂∂−

∂∂− (3-25)

dengan syarat batas

( ) 0,,

1

=∂

∂

=rrzr ϕψ

(3-26)

Untuk menyederhanakan persamaan (3-25), maka diperlukan ungkapan untuk

parameter benahan berbentuk ( ) ( ) ϕϕϕψ ikZik eerfzr z=,, . Untuk menjamin harga

( )zr ,,ϕψ adalah tunggal saat ϕ bertambah dengan nπ2 , maka disyaratkan bahwa

nk =ϕ dengan ...,2,1,0 ±±=n

(3-27)

Hasil substitusi ungkapan ( ) ( ) ϕϕϕψ ikZik eerfzr z=,, terhadap persamaan (3-25)

diperoleh

15

( ) ( ) ( ) ( )rfrfrhhkrk

rrf

rrrf εϕ

ϕ =

+−+

∂∂−

∂∂− 22

2

2

2

2

411

(3-28)

dengan syarat batas

( ) 01

=∂

∂

=rrrf

(3-29)

Jika diperhatikan pada ungkapan (3-28) tampak bahwa persamaan Ginzburg-Landau

terlinierisasi untuk bahan bergeometri silinder dengan panjang tak berhingga hanya

bergantung pada satu koordinat saja yaitu r. Hal ini akan memudahkan dalam penaganan

komputasinya.

16

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Melalui penelitian ini telah diperoleh hasil baik secara numerik maupun grafis

distribusi parameter benahan pada superkonduktor jenis ke-II. Dalam penelitian ini,

proses pencarian distribusi parameter benahan dilakukan dengan menggunakan paket

prgram komputer FEMLAB yang berjalan di bawah perangkat lunak MATLAB.

Disamping disajikan distribusi parameter benahan pada berbagai arah sudut antara

medan magnet luar dengan bahan berbentuk slab semi tak berhingga, peneliti juga

melengkapinya dengan distribusi parameter benahan bahan berbentuk silinder. Pada

gambar (4), (5) dan (6) terlihat distribusi parameter benahan pada bahan superkonduktor

berbentuk lempengan yang dikenai medan magnet luar H dengan membentuk sudut

tertentu..

17Gambar 4. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan

magnet luar H dengan membentu sudut 0o

18

Gambar 5. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan

magnet luar H dengan membentu sudut 10o

Gambar 6. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan magnet luar H dengan membentu sudut 15o

Dari hasil analisa terhadap persamaan Ginzburg-Landau terlinierisasi (18) dengan

mengingat syarat batas yang sesuai untuk kasus ini maka diperoleh hasil yang mendekati

sama dengan hasil yang telah diperoleh sebelumnya. Untuk sudut medan magnet H

dengan dengan bahan sama dengan 0o terlihat bahwa harga eigennya adalah

584763.0=λ , untuk sudut 10=θ 687297.0=λ dan untuk 15=θ , 797795.0=λ .

Dari gambar (4), (5) dan (6) ditunjukkan bahwa munculnya sifat

superkonduktivitas bahan mula-mula di permukaan bahan ketika medan magnet luar

diturunkan secara perlahan-lahan. Sifat tersebut semakin menghilang di daerah yang

semakin menjauhi permukaan bahan. Hasil yang diperoleh ini sesuai dengan dugaan

peneliti.

Gambar (7), (8), (9) dan (10) diperlihatkan fungsi gelombang ( )rf dari

persamaan Ginzburg-Landau pada bahan superkonduktor dengan geometri silinder.

Dipilih harga-harga dari ϕk atau n yang berharga bulat. Di dalam gambar dicontohkan

untuk harga-harga n berturut-turut 0, 1, 2, dan 10.

19Gambar 7. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai

medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 0

f(r)

panjang jejari r

20Gambar 9. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 2

panjang jejari r

f(r)

Gambar 8. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 1

panjang jejari r

f(r)

Untuk memperoleh distribusi parameter benahan pada superkonduktor silinder

diperhatikan beberapa aspek, diantaranya adalah pemilihan terhadap parameter h.

Parameter h menyatakan ukuran dimensi bahan yang dinyatakan sebagai Hah 00

22 µπΦ

≡ .

Dengan mengambil harga h sangat kecil, itu berarti ukuran dimensi superkonduktor

silinder sangat tipis karena jejari silinder sangat kecil. Dengan panjang jejari sangat kecil,

maka seluruh parameter benahan akan terdistribusikan secara merata ke seluruh bagian

dalam bahan seperti terlihat pada gambar (7). Hal ini ditunjukkan dengan pemilihan

harga n = 0 yang bersesuaian dengan harga h sangat kecil.

21


f(r)

panjang jejari r

Jika dilihat pada gambar (8), (9) dan (10), maka dapat kita peroleh kesimpulan

bahwa semakin besar ukuran dimensi bahan superkonduktor, maka distribusi parameter

benahan semakin tidak merata. Sebagai contoh, perhatikan gambar (10), distribusi

parameter benahan terkonsentrasi di daerah permukaan antara 15.0 << r , sedangkan

untuk daerah 5.00 << r distribusinya praktis sama dengan nol.

Distribusi Parameter Benahan Untuk Silinder Berongga Di Sekitar Medan Kritis

Distribusi parameter benahan untuk superkonduktor berongga di sekitar medan

kritis 3cH disajikan pada gambar (1), (12), (13) dan (14). Hasil yang diperoleh ini

melengkapi karakteristik dari bahan superkonduktor silinder tak berongga. Ditribusi

parameter benahan yang tampak pada mirip dengan superkonduktor tak berongga.

Dalam penelitian ini jari-jari rongga silinder diambil 0.2. Harga ini merupakan

harga perbandingan antara jari-jari r terhadap panjang jejari sebenarnya yaitu a. dengan

kata lain jari-jari silinder sudah ternormalkan, sehingga berharga maksimal sama dengan

22

Gambar 11. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder berongga yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 0

1. Jika diperhatikan pada gambar (1) dimensi silinder sangat kecil yang ditengarahi

dengan harga n = 0. Karena kecilnya kecilnya dimensi bahan, maka praktis seluruh

bahan bersifat superkonduktor seperti halnya pada superkonduktor silinder tak berongga.

Gambar (12) diambil ukuran jejari silinder lebih besar dari (11). Oleh karena ukuran

dimensi lebih besar dari (11), maka sifat superkonduktivitas tidak lagi serba sama di

seluruh bahan.

23



Gambar (14) dan (15) diambil n = 10 dan n = 19. Terlihat dengan jelas pada

gambar tersebut bahwa sifat superkonduktor menukleasi di daerah permukaan bahan.

Kemudian sifat tersebut berangsur-angsur menghilang di daerah yang agak jauh dengan

permukaan bahan. Sedangkan pada daerah antara r = 0 hingga r = 0.2 tidak tergambar

distribusi parameter benahan. Hal ini dikarenakan pada daerah tersebut berongga atau

lebih tepatnya berisi insulator.

BAB V

24



BAB V

KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan di atas, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan antara lain :

Harga perbandingan antara 2cH dengan 3cH pada superkonduktor jenis-II

berbentuk lempengan bergantung kepada besarnya sudut antara medan magnet

luar H dengan permukaan bahan. Harga perbandigan ini menunjukkankesesuaian

dengan hasil perhitungan dengan metode variasi yang telah dilakukan oleh

peneliti lain sebelumnya.

Distribusi parameter benahan pada superkonduktor berbentuk silinder di dekat

medan kritis 3cH bergantung kepada ukuran dimesi dari bahan. Bahan dengan

dimensi kecil menyebabkan seluruh bahan berada dalam keadaan superkonduktif.

Sedangkan untuk bahan dengan jejari sangat panjang, maka distribusi parameter

benahan hanya terkonsentrasi di daerah permukaan saja.

Distribusi parameter benahan pada silinder berongga mirip dengan distribusi

parameter benahan pada superkonduktor tak berongga.

25

DAFTAR PUSTAKA

Alvarez, J.J.V., Balserio, C. dan Buscaglia, G.C., 1998. Votex Structure in d-wave Superconductor, Phys. Rev. B, 58, 11181.

Chibotaru, L.F., Ceulemans, A., Bruyndoncx, V. dan Moshchalkov, V.V., 2000. Superconductivity: Geometry Spawns Vortices, Nature, 408, 833.

Crabtree, G.w., Gunter, D.O., Kaper, H.G., Koshelev, A.E., Leaf, G.K. dan Vinokur, V.M., 2000. Numerical Simulation of Driven Vortex System, Phys. Rev. B, 61, 1446

Cyrot, M dan Pavuna, M., 1992. Introduction to Superconductivity and High Tc Material, Singapore: World Scientific Publication co. Ptc. Ltd.

Morelle, M., Teniers, G., Chibotaru, L.F., Ceulemans, A. dan Moschalkov, V.V., 2002 , Nucleation of Superconductivity in a Mesoscopic Triangle, Physica C, 369, 351-355.

Nurwantoro, P. 1998. A Theoritical Study of The Surface Nucleation Field at Hc3 and of Superconducting Surface Sheats in Isotropic Type-II Superconductors. Ph.D’s Theisis,University of Birmingham.

Tinkham M., 1996, Introduction to Superconductivity, Singapore: McGraw-Hill Inc.

Yampolskii, S.V. dan Peeters, F.M., 2002, Giant Vortices in Small Mesoscopic Disks: an Approximate Description, Physica C, 369, 347-350.

26

LAMPIRAN

28

simulasi numerik konfigurasi vorteks …staff.uny.ac.id/sites/default/files/penelitian/supardi,...

Documents