PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

“Matematika adalah ratu ilmu,,,,,,” pendapat ini dinyatakan oleh Carl Fried Gauss,

pernyataan ini dapat dikatakan benar, karena hamper semua cabang ilmu

pengetahuanberpedoman pada ilmu matematika.Salah satu contoh, penemuan

konstanta pi (Л). Pi (Л) adalah rasio antara keliling lingkaran dibagi diameter

lingkaran tersebut. Pencarian nilai terakurat dan perumusan nilai pi dilakukan oleh

paraa ilmuwan matematika, sehingga mendapatkan nilai paling mendekati yaitu

3.14 yang dilakukan oleh Archimedes. Pengaplikasian nilai pi (Л) dapat kita temukan

dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan lain, misalnya fisika, astronomi dll. Pi (Л)

adalah unsure dari sebuah lingkaran, maka setiap pembahasan pada cabang ilmu

pengetahuan lain yang berhubungan dengan lingkaran tentu akan menggunakan

konstanta pi (Л). Contohnya, pada fisika menghitung jari- jari atom, gerak melingkar

(gerak rotasi), gerak harmonis dll.mengaplikasikan konstanta pi(Л) dalam beberapa

rumus, karena berhubungan dengan lingkaran.

“Matematika adalah pelajaran yang sulit dipelajari dan sulit dipahami”

pernyataan ini dikemukaakan oeh

BAB II.

ISI

2.1 Memahami Apa itu pi (Л)

Siapa itu pi?? Ketika pertanyaan ini diajukan kepada beberapa orang, spontan

akan menjawab 22/7 atau 3.14,sekarang pertanyaannya, benarkah pi adalah

22/7 atau 3.14? Dari manakah ditemukan angka tetapan itu??

pi merupakan unsur yang terdapat pada lingkaran, dan memiliki nilai berupa

rasio antara keliling lingkaran dibagi diameter lingkaran tersebut. Untuk lebih

memahami, perhatikan tabel berikut:

Tabel ini, beisi keliling lingkaran, diameter lingkaran dan rasio kelilinglingkaran

dibagi diameter lingkaran

Perhatikan nilai keliling : diameter pada k empat lingkaran

Lingkaran I= K/d=3.1428…..

Lingkaran II= K/d= 3.1417….

dst

Dari ke 4 lingkaran tersebut memiliki nilai perbandingan yang hampir mendekati

sama yaitu nilai pi (Л), jika diambil 2 angka dibelakang koma mendekati 3.14.

Nilai 22/7 sendiri dipakai karena nilai 22/7=3.1428… nilainya mendekati nilai pi.

Nilai 22/7 biasanya hanya digunakan untuk limgkaran dengan nilai kelipatan 7,

hanya untuk mempermudah perhitungannya saja.

Beberapa buku Matematika SMP, SD, ataupun SMA, sering kita jumpai

nilai Л=22/7 atau Л=3.14, lambang “=” itu sebenarnya salah, seharusnya tanda

yang dipakai adalah ‘≈’ sebagai tanda bahwa nilai itu hanya mendekati bukan

tepat 22/7 atau 3.14.

Kesalahan inilah yang membuat salah pemahaman dari sejak awal yang

tertanam dalam benak siswa yang dihapal dengan nilai itu.

Jadi, tidak heran ketika sampai pelajar SMA pun, jika ditanya apa yang dia

ketahui tentang pi (Л) adalah 22/7 atau 3.14.

2.2 Penemu nilai pi (Л) yang paling akurat.

Jika membicarakan tentang penemu pi, semua orang pasti mengingat

Archimedes, padahal sebelum Archimedes pun, banyak para ilmuwan yang

memberi atau sudah memperhitungkan nilai pi, Sejak 2000 tahun sebelum Masehi

para insinyur di Babilon sudah menggunakan bilangan Pi = 3.125 (3 +1/8). Begitu

pula arsitek Mesir purba yang membangun piramid sudah menggunakan bilangan

Pi = 3.16405. Sebuah ayat Bible (1Kings 7:23) yang ditulis sekitar 550 sebelum

Masehi menceritakan raja Solomon yang membuat bak mandi bundar yang

kelilingnya 3 kali diameter (Pi = 3). Sejak itu ratusan orang melakukan

perhitungan dan menentukan Pi yang "diyakini" masing-masing. Semua

perhitungan Pi ini dilakukan secara empiris, dengan pengukuran secara fisik,

sampai jaman Archimedes. Archimedes lah orang yang pertama kali melakukan

perhitungan Pi secara teoritis, tanpa mengukur benda di lapangan.

Beginilah cara berpikir Archimedes pada saat itu:

Keliling lingkaran terletak diantara "inscribed polygon" (polygon dalam, yang

sudut sudutnya terletak pada keliling lingkaran) dan "circumscribing polygon"

(poligon luar, yang sisi-sisinya menyentuh keliling lingkaran).

Keliling poligon yang teratur (panjang sisi sama) lebih mudah dihitung, dan ini

yang kemudian dipakai sebagai pendekatan (pembatas) keliling lingkaran

didalamnya. Makin besar jumlah sisi poligon, makin dekat kedua poligon

tersebut pada lingkaran, dan pada akhirnya keduanya konvergen menjadi

lingkaran.

Pada jaman Archimedes, perhitungan yang kelihatannya "sepele" ini ternyata

luar biasa repot, mengingat ilmu yang ada waktu itu baru geometri (ilmu ukur)

saja. Jangankan kalkulator, trigonometry (ilmu ukur sudut) dan aljabar masih

belum ada, bahkan notasi desimal pun masih belum diciptakan manusia. Harap

diingat, Archimedes ini hidup di tahun 287 sampai 212 ... sebelum Masehi!

Karena itulah Archimedes "hanya" sempat menghitung sampai polygon dengan

sisi 96, dan mendapatkan nilai Pi diantara keliling kedua poligon pembatas, yaitu

223/71 < Pi < 22/7

Contoh gambar lingkaran dan polygon luar dan dalam lingkaran yang digunakan

Archimedes :

Jadi, nilai pi (Л) hasil Archimedes, bukan lah nilai pi yang pertama kali ditemukan, tapi

nilai pi yang untuk saat ini paling akurat.

2.3. Pendekatan terhadap nilai pi (Л) menurut para ilmuwan- ilmuwan

1. Rhind Papyrus (ca.1650 SM), terdapat bukti bahwa orang Mesir

menghitung luas lingkaran dengan formula yang memberikan nilai

perkiraan untuk pi 3,1605.

2. Liu Hui, ahli matematika di zaman Tiga Kerajaan mengemukakan cara untuk

menghitung nilai pi dengan “Metode Memotong Lingkaran”. Berdasarkan

penelitian Liu Hui kemudian Zu meneliti kembali “Metode Memotong

Lingkaran” dan menyimpulkan bahwa nilai pi, melalui lebih dari 1000 kali

perhitungan, berada di antara 3.1415926 dan 3.1415927.Dia juga berpendapat

bahwa nilai pi kira-kira sebesar 355/133, yang disebut "Milu" dan kemudian

mendorong perhitungan pi ke fase baru. Perhitungan nilai pi oleh Zu Chongzhi

dilakukan 1000 tahun lebih awal dibandingkan matematikawan barat. Dengan

demikian nilai pi juga disebut "Zu Lu" sebagai penghargaan atas jasanya

3. Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh

hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama phi.

4. Al-Kasyi yang berhasil menghitung bilangan π hingga 16 desimal (terbanyak

hingga zamannya) menulisnya dengan huruf “tho”, huruf ke-16 dalam huruf

Arab

5. Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo Ia menemukan

sebanyak 6442450000 tempat desimal Pi dengan computer

6. Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk

menghitung nilai phi, yaitu :

/ 4 = 4 * arc tan (1 / 5) - arc tan (1 / 239).

7. Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh

hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama pi.

8. Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Pi adalah sebuah bilangan

irasional.

9.

2.4 Rumus- rumus menentukan nilai pi menurut beberapa orang

1. Rumus menentukan nilai pi, menurut Calvin Clawson, Mathematical Mysteries, 1996

2. Rumus menentukan njilai pi, menurut Leonhard Euler, J. Sondow “problem 88”, Math

Horionz, (September, 1997)

3. Rumus menentukan njilai pi, menurut James Gregory (1638- 1675) dan Gettfried

Lerbniz (1646-1716)

4. Rumus menentukan njilai pi, menurut Srinivasa Ramanunjan (1887-1997)

5. Rumus menentukan njilai pi, menurut Isaac Newton in 1666

6. Rumus menentukan nilai pi lainnya

7) Rumus menentukan njilai pi, menurut Chodnovsky brothers

8) Rumus menentukan njilai pi, menurut Simon Plouffe

Dimana k= bilangan ganjil, dan a,b,c bilangan bulat, dan q= e π (Gelfond's constant)

2.5 Sifat- sifat istimewa dari pi (π)

1) Luas beberapa bidang datar yang menggunakan nilai π untuk perhitungan luas, ellips

dengan sumbu mayor 2a dan minor 2b adalah πab. Luas lingkaran = πr2, luas pemukaan

bola= 4πr2, volum bola = 4/3.πr3

2)180 derajat = π radian. Nilai radian ditemukan oleh Arhcimedes.

3) π irrasional, sebelumnya Al-Biruni pada abad ke-11 telah menyarankan sifat

irasionalitas π berdasarkan argumentasi geometric, kemudian Sifat irasionalitas π ini

pertama kali dibuktikan dengan jelas oleh Lambert tahun 1767, lalu diikuti oleh bukti

yang lebih baik oleh Legendre.

4) π transcendental,

Bilangan Transcedental transcendental number adalah bilangan yang bukan merupakan

akar dari fungsi polynomial berkoefisien bilangan rasional. Misalkan kita punya

fungsi polynomial

dengan

adalah bilangan rasional. Sebagai contoh

9 Л4 - 240 Л2^2 + 1492 ≈ -0.023237, tetapi dijamin polinom seperti itu tidak akan pernah

bernilai tepat 0. Dengan terjawabnya sifat transendental π ini maka berakhir pula

perburuan pemecahan atas masalah klasik sejak 20 abad sebelumnya, yaitu bagaimana

melukis dengan jangka dan penggaris sebuah lingkaran yang memiliki luas sama dengan

persegi yang diberikan (squaring of the circle).

5) π (diduga kuat) bersifat normal, distribusi angka-angkanya merata

6) π2/6 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 +....

7) π/2 = (2x2x4x4x6x6x.....)/(1x1x3x3x5x5x

8) Bilangan π dikenal dengan berbagai lambang pada zaman dahulu.

Al-Kasyi yang berhasil menghitung bilangan π hingga 16 desimal (terbanyak hingga

zamannya) menulisnya dengan huruf “tho”, huruf ke-16 dalam huruf Arab.

Secara mengejutkan, lambang π yang kita gunakan sekarang juga huruf ke-16

darialfabeYunani.

Lambang π pertama kali digunakan oleh William Jones tahun 17