sesi 6 matematika modul ke: bisnis... · bunga tunggal, bunga majemuk dan ... himpunan adalah...
TRANSCRIPT
SESI 6 MATEMATIKASESI 6 MATEMATIKAModul ke:
SESI 6 MATEMATIKA SESI 6 MATEMATIKA BISNISBISNIS
Fakultas
P St di
Viciwati STl MSi.EKONOMIBISNIS
Program Studi
Manajemen dan Akuntansi
DESKRIPSI MATA KULIAHDESKRIPSI�MATA�KULIAH• Mata�kuliah ini merupakan alat untuk
menyederhanakan penyajian dan pemahamanmenyederhanakan penyajian dan pemahamanmasalah dengan menggunakan bahasamatematik,�suatu masalah dapat menjadilebih sederhana untuk disajikan,�dipahami,�dianalisa dan dipecahkan.
KOMPETENSI• Mahasiswa mampu menerapkan konsep�
konsep matematika dalam bidang ekonomi.
REFERENSIREFERENSI• Dumairy.1999.Matematika�Terapan�Untuk�Bisnis dan Ekonomi Yogyakarta BPFE UGMBisnis�dan�Ekonomi, Yogyakarta,�BPFE��UGM
METODE�PEMBELAJARAN1. Masing�masing�mahasiswa�diwajibkan�membawa�
buku�yang�sama�dengan�buku�yang�dipakai�oleh�dosen�supaya�transfer�ilmu�bisa�berjalan�lebih�baik.�
2. Mahasiswa�diharapkan�siap�untuk�berpartisipasi�aktif�dalam�kuliah�dan�diharapkan�juga�untuk�secara�mandiri aktif menemukan (discover) pengetahuan.mandiri�aktif�menemukan�(discover)�pengetahuan.�
3. Di�luar�kelas,�mahasiswa�diharapkan�aktif�berdiskusi�dengan�teman�temannya.�
4 M h i di jibk ik h il4. Mahasiswa�diwajibkan�mempresentasikan�hasil�diskusi�mengenai�materi�sesuai�dengan�pembagian�kelompok.
5. Dosen�akan�memberikan�kuis�mendadak�di�awal�atau�akhir�kuliah.�
6 Mahasiswa diwajibkan membuat seluruh tugas yang6. Mahasiswa�diwajibkan�membuat�seluruh�tugas�yang�diberikan.
Sesi MATERI KULIAH
MATERI PERKULIAHAN
1 Pengantar, Kontrak Perkuliahan/Silabus .Kegunaan Matematika
secara umum, Sistem Himpunan dan sistem Bilangang
2 Deret Hitung dan Ukur dalam Ekonomi dan Bisnis
3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan
Pertumbuhan penduduk
4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis
5 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis
(Keseimbangan pasar, pajak dan subsidi)
6 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (BEP dan
fungsi konsumsi)
7 Fungsi Kuadrat
8 MIDTEST
9 Penerapan Fungsi Non Linier dalam Ekonomi dan Bisnis
10 Fungsi Diferensial Sederhana dan Majemuk
11 Penerapan Fungsi Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis
12 Fungsi Integral Tak Tentu dan Tentu
( )13 Penerapan Integral (surplus produsen dan konsumen)
14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse)14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse)
15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming)15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming)
16 U A S
PENILAIANPENILAIAN• UTS/Mid�Tes� � 20%
/ i l � %• UAS/Final�Tes�� 30%• Presentasi�Materi�berupa�teori,�contoh�soal,�
dan�jawaban � 40%• Kehadiran � 10%
PENUGASAN�DAN�OUTPUTTugas Presentasi Kelompok• Kelompok yang bertugas presentasi membuat :Kelompok yang�bertugas presentasi membuat :• Rangkuman materi untuk setiap topic�bahasan
yang�berisi:y g• Teori• Contoh Soal dan Jawaban• Bahan presentasi dalam bentuk power�point• Dikumpulkan dalam bentuk hardcopy (cetak) danDikumpulkan dalam bentuk hardcopy (cetak)�dansoftcopy (melalui email:�[email protected])�paling�lambat 1�hari sebelum presentasi
TATA�TERTIB�PERKULIAHAN
• Perkuliahan dimulai tepat waktu sesuaiPerkuliahan�dimulai�tepat�waktu sesuai�dengan�jadwal�atau�kesepakatan�kelas.
• Toleransi keterlambatan 15 menit• Toleransi�keterlambatan�15�menit.�• Apabila�mahasiswa�terlambat�tetap�di b l hk k k ik idiperbolehkan�masuk untuk�mengikuti�perkuliahan�namun�dianggap�tidak�hadir
l (b l ) d l itanpa�alasan�(bolos)�dalam�presensi.�
• Apabila�dosen�terlambat�maka�mahasiswa�yang�datang�sebelumnya�mendapatkan�point�bonus�5.
• Jumlah�kehadiran�minimal�75% dari�tatap�muka�(tatap�muka�minimal�12�kali�dan�maksimal�14�kali).�
• Apabila�mahasiswa tidak�dapat�memenuhi�maka�tidak�akan�mendapatkan�nilaip(walaupun�mengikuti�seluruh�perkuliahan).
B l (tid k k t iji )� k i l 3• Bolos�(tidak�masuk�tanpa�ijin)��maksimal�3�kali
• Tidak�masuk�karena�sakit�atau�ijin�menggunakan�surat�� tidak�dianggap�bolos
• Apabila�dosen�tidak�dapat�hadirmaka�perkuliahan�tetap�ada�dengan�diberikan�tugas�yang�dikerjakan�oleh�mahasiswa.�Bagi�mahasiswa�yang�masuk�(menandatangani�daftar�hadir)�serta�mengumpulkan�tugas�akan�diberi�point�bonus�10
• .Ketentuan�ini�berlaku�apabila�dosen�sudah�tidak�hadir�lebih�dari�25%�tatap�muka�minimal�(tatap�muka�minimal�12�kali�dan�maksimal�14�kali).
• Menggunakan�kemeja�atau�kaos�berkerah,�gg j ,bercelana�panjang�atau�rok,�bersepatu,�dan�tidak�mengenakan�topi�selama�perkuliahan�g p pberlangsung
• Dosen�wajib�menyerahkan�nilai�akhir sesuai�j ydengan�tanggal�pengumuman�nilai�di�kalender�akademik.�Apabila�ada�pertanyaan�mengenai�p p y gnilai,�dilayani�sampai�dengan�1�(satu)�minggu�setelah�tanggal�tersebut.gg
• Pengajuan�ujian�susulan,�baik�UTS�maupun�UAS hanya dilayani apabila mahasiswaUAS,�hanya�dilayani�apabila�mahasiswa�mengajukan�surat�permohonan�yang�disetujui�oleh Ketua Jurusan S�1 Manajemen FE UMBoleh�Ketua�Jurusan�S 1�Manajemen�FE�UMB.�Alasan�tidak�dapat�mengikuti�ujian�yang�diterima adalah:diterima�adalah:
kit ( l i i t k t d kt t• sakit�(melampiri�surat�keterangan�dokter�atau�bukti�mondok�di�rumah�sakit)
• keluarga�sakit�keras/meninggal�dunia�(surat�keterangan�dari�pengurus�RT)
• INFORMASI�TAMBAHANBila ada pertanyaan dapat menghubungi:Bila�ada�pertanyaan�dapat�menghubungi:
Viciwati021 [email protected]
PendahuluanPendahuluanDalam�kehidupan�sehari�hari,�tentunya�kita�tidak akan pernah terlepas dari kegiatantidak�akan�pernah�terlepas�dari�kegiatan�ekonomi.�B b i il h i il h d l k iBeberapa�istilah�istilah�dalam�perekonomian�keuangan�perlu�dipahami�diantaranya�bunga�
l di k l b j ktunggal,�diskonto�tunggal,�bunga�majemuk,�system�kredit�cicilan,�dan�anuitas.
Sebelum membicarakan tentang bahasanSebelum membicarakan tentang bahasanbunga tunggal, bunga majemuk danseterusnya akan diberikan defenisiseterusnya akan diberikan defenisimatematika dan pembahasan tentang prinsip�prinsip matematika yang digunakan dalamprinsip matematika yang digunakan dalamekonomi dan bisnis.
DEFENISI�MATEMATIKA• ASAL�KATA�
A l k t MATHEIN ti l j i t• Asal�kata�:�MATHEIN�artinya�mempelajari�atau�belajar.�Dengan�mempelajari�matematika,�seseoran akan terbiasa men at r jalanseseorang�akan�terbiasa�mengatur�jalan�pemikirannya�dgn�sistematis.�
• Berpikir�matematis:�Seseorang�yg�hendak�menem�puh�jarak�2�mil�akan�MEMILIH�naik�mobil�dari�pada�jalan�kaki,�kecuali�jika�waktunya�banyak�terluang�atau�sedang�berolah�raga.�
• Untuk dapat mengenderai mobil harusUntuk�dapat�mengenderai�mobil,�harus�belajar�menyupir.�Untuk�dapat�supir�mobil�yang baik dia perlu pengetahuan matematikayang�baik,�dia�perlu�pengetahuan�matematika.�Matematika,�merupakan�sarana�=�pendekatan�untuk suatu analisa Dengan mempelajariuntuk�suatu�analisa.�Dengan�mempelajari�matematika,�membawa�seseorang�kepada�kesimpulan dalam waktu yang singkatkesimpulan�dalam�waktu�yang�singkat.
DEFENISI�EKONOMI• EKONOMI ATAU ECONOMIC BERASAL DARI• EKONOMI�ATAU�ECONOMIC�BERASAL�DARI�
BAHASA�YUNANI�YAITU�KATA�“OIKOS�ATAU�OIKU” DAN “NOMOS”OIKU �DAN� NOMOS
• OIKOS�=�HOUSE,�NOMOS=LAW�ATAU�CUSTOM.• EKONOMI�BERARTI�ILMU�SOSIAL�YANG�
MEMPELAJARI�TENTANG�PRODUKSI,�DISTRIBUSI�DAN�KOMSUMSI�BARANG�DAN�PELAYANANNYA.
PENGGOLONGAN�DAN�JENIS�ANALISA�PADA�ILMU�EKONOMIJENIS�ANALISA�PADA�ILMU�EKONOMI�
1. ILMU DESKRITIF.1.�ILMU�DESKRITIF.GAMBARAN�TENTANG�SUATU�KONDISI�ATAUKEADAAN DENGAN SEBENARNYAKEADAAN�DENGAN�SEBENARNYA.CONTOH�:�TURUN�NILAI�KURS�RUPIA�TERHADAP�US�DOLLAR.
2.�TEORI�ILMU�EKONOMI.(TEORI�EKONOMI).DIDASARKAN�PADA�KONDISI�NYATA�YANG�TERJADI�PADA�MASYARAKAT�TERUTAMA�SIFAT�SIFAT�HUBUNGAN�EKONOMI.CONTOH : PERMINTAAN BARANG AKAN NAIK,CONTOH�:�PERMINTAAN�BARANG�AKAN�NAIK,�HARGA�AKAN�TURUN,�SEBALIKNYA�PERMINTAAN AKAN TURUN, HARGA AKANPERMINTAAN�AKAN�TURUN,�HARGA�AKAN�NAIK.
3 TEORI EKONOMI APLIKASI3.�TEORI�EKONOMI�APLIKASI.MENGANALISA�DAN�MENELAAH�TENTANG�HAL HAL YANG PERLU DILAKUKAN MENGENAIHAL�HAL�YANG�PERLU�DILAKUKAN�MENGENAI�SUATU�KEJADIAN�DALAM�PEREKONOMIAN.
Ekonomi dan Matematika EkonomiEkonomi�dan�Matematika�Ekonomi�
Analisis ekonomi tidak berbeda jikaAnalisis ekonomi tidak berbeda jikamenggunakan pendekatan matematisdibanding dengan tanpa pendekatandibanding dengan tanpa pendekatanmatematis.�Bedanya/keuntungannya:
a Dengan pendekatan matematis persoalana. Dengan pendekatan matematis,�persoalanatau pokok bahasan menjadi sederhana.
b D d k i b ib. Dengan pendekatan matematis,�berartimengaktifkan logika dengan asumsi�
iasumsinya.
Dapat memakai sebanyak n variabel dalamDapat�memakai�sebanyak�n�variabel�dalammenggambarkan�sesuatu�(hubungan�antar
i b l)variabel)Mis�Qd =�f(Pr,�Inc,�Pi,�…�),�dimana:Pr�=�harga�komoditi�yang�bersangkutanInc = pendapatanInc� �pendapatan,�Pi�=�harga�komoditi��substitusi�
Kelemahannya pendekatan matematis:a. Bahasa matematis tidak selalu mudah
dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga seringd e ge t o e a e o o se gga se gmenimbulkan kesukaran.
Contoh Y = f(X) dalam ilmu ekonomi bagaimanaContoh Y�=�f(X),�dalam ilmu ekonomi bagaimanamengartikan persamaan matematistersebut,misal dalam:�permintaan,�produksi,pendapatan nasional,�dan lain�lain�sehingga ahliekonomi sulit memetik keuntungan darimatematikamatematika.
S hli k i ilikia. Seorang ahli ekonomi yang�memilikipengetahuan dasar matematika,�adakecenderungan:1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan
persoalan secara matematis2 Membuat beberapa asumsi yang kurang tepat2. Membuat beberapa asumsi yang�kurang tepat
demi memudahkan pendekatan matematis ataustatistis Artinya lebih banyak berbicarastatistis.�Artinya,�lebih banyak berbicaramatematika dan statistika dari pada prinsip/�teori ekonomiteori ekonomi.
Kesimpulan dari bahasa adalah:Kesimpulan�dari�bahasa�adalah:1.�Matematika�merupakan�pendekatan�bagi�ilmu�
ekonomiekonomi.2.�Pendekatan�matematis�merupakan�“�mode�of�
i ” i b ikitransportation”�yaitu�membawa�pemikiran�kepada�kesimpulan�dengan�singkat�(model)
PRINSIP�PRINSIP MATEMATIKA YANGPRINSIP PRINSIP�MATEMATIKA�YANGDIGUNAKAN�DALAM�EKONOMI�DAN�BISNIS
D l il ik dik lk kDalam�ilmu�matematika,�dikenalkan�konsep�barisan�dan�deret�aritmetika�dan�geometri.�Konsep�dari�barisan�dan�deret�tersebut�dalam�bidang�ekonomi�antara�lain�digunakan�dalam�membahas�tentang:�model�perkembangan�usaha,�model�pertumbuhan�penduduk,�bunga�majemuk,�nilai�masa�datang�dari�anuitas,�dan�cadangan,�nilai�sekarang�dari�anuitas,�dan�penyisihan�pinjaman
• Jika�perkembangan�variable�variable�tertentu�dalam�kegiatan�usaha�(misalnya:�produksi,�biaya,pendapatan,penggunaan�tenaga�kerja,penanaman�modal)�berpola�seperti�barisan�aritmetika,�maka�prinsip�prinsip�barisan�aritmetika�dapat�digunakan�untuk�menganalisa�perkembangan�variabel�tersebut.
• Penerapan�deret�ukur�yang�paling�konvensional�dibidang�ekonomi�adalah�dalam�hal�penghitungan�pertumbuhan�penduduk,karena�penduduk�dunia�tumbuh�mengikuti�pola�deret�ukur.
HIMPUNAN dan�BILANGAN
Definisi HimpunanDefinisi�Himpunan• Konsep himpunan adalah suatu konsep yang palingmendasar bagi Ilmu Matematika modern pada
d di bid il k i d bi i dumumnya dan di bidang ilmu ekonomi dan bisnis padakhususnya.
• Dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalamhal pembentukan model kita harus menggunakanhal pembentukan model kita harus menggunakansehimpunan atau sekelompok data observasi darilapanganapa ga
HIMPUNANHIMPUNANPengertian HimpunanHimpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas
Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, p g g p y…,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma
Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atauYang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu
Contoh:
A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10
A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunanpembentuk himpunan
1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15atau sama dengan 15
2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan
5 t t i k d i 10
3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20
-5 tetapi kurang dari 10
J b
1. B = { x | 3 < x � 15 , x � A}
Jawaban :
2. C = { x | -5 � x < 10 , x � B }3. D = { x | x < 20 , x � A }
Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya
Jawaban:Ja aba
= { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }1. B = { x | 3 < x � 15 , x � A}
= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }2. C = { x | -5 � x < 10 , x � B }
{ , , , , , , , , , , , , , , }
= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }3. D = { x | x < 20 , x � A }
{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }
Keanggotaan Suatu Himpunan
Contoh:Co to
A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
1 � A 1 � B 2 � B 2 � A�3 � A 3 � B5 � A 5 � B7 A 7 � B
4 � B 4 � A6 � B 6 � A8 � B 8 � A7 � A 7 � B
9 � A 9 � B8 � B 8 � A
10 � B 10 � A12 � B 12 � A
Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5
Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6
Catatan: Lambang � dibaca “elemen” atau anggotaLambang � dibaca “bukan elemen” atau bukan anggotaLambang n(A) n(B) disebut bilangan kardinalLambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal
HIMPUNAN KOSONGDEFINISI:
Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau �dan dilambangkan dengan { } atau �
Contoh :D�=�{�x�|�x�orang�yang�tingginya�lebih�dari�5�m}
F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }
Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)
Himpunan LepasDefinisi:
D hi tid k k dik t k li l jik k dDua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang samaContoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // Gdan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G
Himpunan Tidak Saling LepasDefinisi:
Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama
Contoh :Contoh :P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai
Qanggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P � Q
Himpunan SemestaDefinisi :Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek p p y g jyang dibicarakan
Contoh :
A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }
C = { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 }
D = { 2,3,5,7,11 }
E = { 0, 2, 4, 6 }C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }
Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?p p gg p p , ,2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan Dp , , p p
Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E dan Himpunan A bukan himpunanmerupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E
HIMPUNAN BAGIANDefinisi:A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggotaA adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A � B
Contoh:
S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A { 0 1 2 3 4 5 6 7 } B { 1 2 3 4 } C { 6 7 8 9 }A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }
a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?
b Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?
Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C
a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggotaa. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B � A
b K d t hi C it 8 d 9 tid k t d t dib. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C � A
Rumus Banyaknya Himpunan Bagian
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknyaJika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)
Contoh:Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut
1. A = { a, b, c }
2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Jawab:
1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8
2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
Himpunan Sama
Definisi:
Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya
Contoh :Contoh :A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }
Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B
Himpunan EkuivalenDefinisi:
Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak samap y y g
Contoh :P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )
Irisan Dua Himpunan (Interseksi)Definisi:
Irisan himpunan A dan B ditulis A � B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B
Contoh:
Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P � Q
P � Q = { d, e }Jawab :
Gabungan Dua Himpunan ( Union)Definisi:
Gabungan himpunan A dan B ditulis A � B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B
Contoh:Contoh:
Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P � Q
Jawab : P � Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }{ , , , , , , g, }
Komplemen (Complement)Komplemen�(Complement)�• Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang
terdiri dari unsur�unsur yang terdapat dalam
AA /'
himpunan semesta U tapi tidak merupakan unsur darihimpunan A.
’ � k AxxA �� /'• Notasi : A’ atau �, maka
U
A’
Gabungan (Union)Gabungan�(Union)�• Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu
himpunan dimana unsur�unsurnya adalah unsur yangberada di A atau di B atau dikeduanya.
U
A B
BA�
Irisan (Intersection)Irisan�(Intersection)�• Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan
yang unsur�unsurnya dimiliki oleh A dan juga dimilikioleh B secara bersamaan.
U
A B
BA�
Selisih Himpunan (Set Difference)Selisih�Himpunan�(Set�Difference)�• Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang semua unsur�unsurnya termasuk di Atetapi tidak termasuk di B.
U
A B
BA �
Diagram VennLangkah-langkah menggambar diagram venna g a a g a e gga ba d ag a e
1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan
2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-samagg p y g
3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah
4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi
5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam
lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana
segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilahsegiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap
Contoh:Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }eta u S { 0, , ,3, ,5,6, ,8,9, 0, , , 3, }
A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas
Jawab:
AS
6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C
0
31
59
12
7 3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C
62 4
8 10
12
C 142,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B
8 10B1113
Contoh 2:
Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?b da be apa o a g s s a ya g a ya ge a e ac. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?Jawab:
N(S) 32 Mi l A { i l ki }N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21B = {siswa gemar menari} n(B) = 16
A � B = {siswa gemar keduanya} n(A � B) = 10
Perhatikan Diagram Venn berikut
a Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis
10
A B
11 6
S a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis
b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari
c Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya5
c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya
Contoh 3:
Diketahui : S = { x | 10 < x � 20, x � B }{ | , }M = { x | x > 15, x � S }N = { x | x > 12, x � S }Gambarlah diagram vennyaGambarlah diagram vennya
Jawab : S = { x | 10 < x � 20, x � B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }
M = { x | x > 15, x � S } = { 16,17,18,19,20}{ | , } { , , , , }N = { x | x > 12, x � S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}M � N = { 16,17,18,19,20 }
S
Diagram Vennya adalah sbb:
16
17
18
1920
MN
1311 13
14 1512
Contoh 4:Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.o a g t da su a edua yaa. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?c da be apa o a g s s a ya g a ya su a s o ay
Jawab: N(S) = 60Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20
B = {siswa suka siomay} n(B) = 46
(A �B)c = {tidak suka keduanya} n((A �B)c) = 5Maka A �B = {suka keduanya} n(A �B) = x
{siswa suka bakso saja} = 20 - x{siswa suka siomay saja} = 46 - x
n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+560 = 71 - x{siswa suka siomay saja} 46 x
Perhatikan Diagram Venn berikut
S
X = 71 – 60 = 11a. Yang suka keduanya adalah x
= 11 orangb. Yang suka bakso saja adalah
xA B20 - x 46 - x
5
b. Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang
c. Yang suka siomay saja adalah 46-x = 46-11= 35 orang
Latihan 1Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb : 64 suka donat, 94 suka bolu, 58 suka kacang, 26 suka donat dan bolu, 28 suka donat dan kacang, 22 k b l d k 14 k k ti j i22 suka bolu dan kacang, 14 suka ketiga jenis makanan tersebut.Berapa orang tidak suka makan semua jenisBerapa orang tidak suka makan semua jenis makanan yang disebutkan di atas ?
PenyelesaianPenyelesaianA = {orang yang suka donat}B = {orang yang suka bolu}C = {orang yang suka kacang }|A B C| = |A| + |B| + |C| – |A � B| – |A � C| –
|B � C| |A � B � C||B � C| + |A � B � C|= 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154= 154
Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang jenis sayur
PenyelesaianPenyelesaian64 suka donat,94 suka bolu58 suka kacang,
DONAT BOLU
26 suka donat & bolu,28 suka donat & kacang,22 suka bolu & kacang14 suka ketiga jenis makanan
b= 12c = 60
a = 24
14 suka ketiga jenis makanan tsb
a + b + d + e = 64b + c + e + f = 94
e = 14
d = 14 f = 8
b + c + e + f = 94d + e + f + g = 58
b + e = 26d + e = 28
g = 22
d + e = 28e + f = 22
e = 14KACANG
yang tidak suka makanan = 270-24-12-60-14-14-8-22 = 116
Latihan 2Latihan 2� Gambarkan sebuah diagram venn untukGambarkan sebuah diagram venn untuk
menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :p p g jU = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7}{ }B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan :(a) A – B (c) A � B (e) A � B (b) B – A (d) A U B (f) B � �
Himpunan BilanganHimpunan�Bilangan�� Himpunan bilangan yang pertama kita kenal adalahhimpunan bilangan bulat positif (himpunan bilanganasli/bilangan alam), yaitu ,1,2,3,... Notasinya adalah N.asli/bilangan alam), yaitu , , ,3,... Notasinya adalah N.
� Himpunan N tertutup terhadap operasi�operasi perkalian danpertambahan. Artinya bila kita lakukan operasi�operasitersebut pada himpunan bilangan asli maka hasilnya jugamerupakan bilangan asli. Tetapi untuk operasi penguranganp g p p p g gdan pembagian tidaklah demikian. Jadi N tidak tertutupterhadap operasi pengurangan dan pembagian. Artinya bilakita operasikan operasi tersebut terhadap himpunan bilangankita operasikan operasi tersebut terhadap himpunan bilanganasli maka akan menimbulkan himpunan bilangan baru.a – b akan menghasilkan bil asli bila a > ba : b akan menghasilkan bil asli bila a mrpk kelipatan dari b
Beberapa operasi himpunan diantaranya :Operasi Himpunan (Set Operation)Beberapa�operasi�himpunan�diantaranya�:1.Operasi�Himpunan�(Set�Operation)�
ABBA ���ABBA ���
2.3.
ABBA ���
� � �CABACBA ������ � ''' BABA ���
4.5
� BABA ��
� ''' BABA ��� � AA �''5.
6
�ABBA ���
Himpunan BilanganAdapun operasi penambahan dan perkalian padabil asli tunduk pada hukum�hukum berikut:
Himpunan�Bilangan�
1. a+b = b+a ; hukum komutasi penjumlahan1.�a b� �b a�;�hukum�komutasi�penjumlahan�2.(a+b)+c=a+(b+c); hukum�asosiasi penjumlahan�3 b b h k k t i k li3.�axb�=�bxa�;�hukum�komutasi�perkalian�4.�(a+b)xc�=�ac+bc�;�hukum�distribusi�perkalian�
K bil li k iHimpunan Bilangan• Karena bilangan asli tertutup untuk operasipengurangan dan pembagian, maka paramatematikawan menciptakan bilangan nol bilangan
Himpunan�Bilangan�
matematikawan menciptakan bilangan nol, bilanganbulat negatif dan bilangan pecahan.
• Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal.Desimalnya selalu berakhir atau berulang.Desimalnya selalu berakhir atau berulang.Misal: ½ = 0,5
13/11 = 1 181818181813/11 = 1.1818181818...2/7 = 0,285714285714... (285714 berulang)
11/13 = 0 846153846153 (846153 berulang)11/13 = 0,846153846153... (846153 berulang)
Himpunan Bilangan• Gabungan bilangan bulat dan bilangan
pecahan disebut bilangan rasional. Ternyata
Himpunan�Bilangan�
pecahan disebut bilangan rasional. Ternyatabilangan rasional juga tidak mampu untukmemenuhi akan bilangan matematika. Makamemenuhi akan bilangan matematika. Makapada tahun 500 SM, Phytagorasmemperkenalkan suatu bilangan yang disebutmemperkenalkan suatu bilangan yang disebutbilangan Irrasional.Misal: = 1 4142135622Misal: = 1,414213562...
= 3,141592654...2�
e = 2,718281828...
• Bilangan riil adalah bilangan yang mungkinBilangan�riil�adalah�bilangan�yang�mungkin�bulat,�mungkin�pecahan�dan�mungkin�irrasionalirrasional.�
Sk Hi BilSkema�Himpunan�BilanganBilangan�Kompleks
Bilangan�Nyata�(Riil) Bilangan�Khayal
Bilangan�Irrasional Bilangan�Rasional
Bilangan Bulat Bilangan PecahanBilangan�Bulat Bilangan�Pecahan
Positif Nol Negatif
Pangkat Akar danPangkat, Akar dan LogaritmaLogaritma
• PangkatK id h k t bil– Kaidah�pemangkatan�bilangan
– Kaidah�perkalian�bilangan�berpangkatKaidah pembagian bilangan berpangkat– Kaidah�pembagian�bilangan�berpangkat
• AkarKaidah pengakaran bilangan– Kaidah�pengakaran�bilangan
– Kaidah�penjumlahan�bilangan�terakar– Kaidah perkalian bilangan terakar– Kaidah�perkalian�bilangan�terakar– Kaidah�pembagian�bilangan�terakar
• LogaritmaLogaritma� Basis�Logaritma� Kaidah�kaidah LogaritmaKaidah kaidah�Logaritma� Penyelesaian�Persamaan�dengan�Logaritma
P k t
• Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu
Pangkat
Pangkat�dari�sebuah�bilangan�ialah�suatu�indeks�yang�menunjukkan�banyaknya�perkalian bilangan yang sama secaraperkalian�bilangan�yang�sama�secara�berurutan.
• Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x• Notasi�xa�:�bahwa�x�harus�dikalikan�dengan�x�itu�sendiri�secara�berturut�turut�sebanyak�a�kalikali.
Kaidah�Pemangkatan�Bilangan
aaxx ���
�
�
6.)0(1.1 0ayx
yxxx ����
����
���
�dimana8003
7..2 1
bcax
abba
acxx
xxxxb
���
��
1.4
dimana8.00.3
aax
acxx
��
5 b aba
a
Xx
x
�.5 Xx
Kaidah�perkalian�bilangan�berpangkat
�� �baba xxx7293333:contoh 64242 ���� �
��� aaa xyyx22515)53(53:contoh 2222 �����
Kaidah�pembagian�bilangan�berpangkat
: � �baba xxx
91333:3:contoh
:
24242 ���
�
��
xxx
9
��a
: ���
����
��aa
yxyx
259
535:3:contoh
222 ��
��
����
AkAkar
• Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakanAkar�merupakan�bentuk�lain�untuk�menyatakan�bilangan�berpangkat.�
• Akar�dari�sebuah�bilangan�ialah�basis�(x)�yang�g ( ) y gmemenuhi�bilangan�tersebut�berkenaan�dengan�pangkat�akarnya�(a).
• Bentuk�umum�:
mxxm aa �� jika
Kaidah�pengakaran�bilangan
bb11
a
bb xx �.1
bb
bb a xx �
3
.2
b
bb
xx
yxxy ��.3
b
b
byx
yx�.4
yy
Kaidah�penjumlahan�(pengurangan)�bilangan�terakar
• Bilangan�bilangan�terakar�hanya�dapat�ditambahkan�atau�dikurangkan�apabila�akar�akarnya sejenisakarnya�sejenis.
b ab ab a xnmxnxm )( ���
Kaidah�perkalian�bilangan�terakar
bildil k kdhP k libilbilkalihasildariakaradalaherakarbilangan t-bilangankaliHasil
sama.berpangkatakarnya-akarapabiladilakukandapathanyaPerkaliana.bilanganny-bilangan
bbb xyyx ��
kalihasilialahakarnyabaru-pangkatan;bersangkutbilangandaribarupangkatakaradalahbilangansebuahdarigandaAkar
bc ac ab xx �
.sebelumnyaakar-akardaripangkat
Kaidah�pembagian�bilangan�terakar
� Hasil bagi bilangan�� Hasil�bagi�bilanganbilangan�terakar�adalah�akar�dari�hasil�bagi� bbilangan�bilangannya.�Pembagian�hanya�dapat�dil k k bil k b
b xx�dilakukan�apabila�akar�
akarnya�berpangkat�sama
bb yy
�sama. yy
Logaritma
Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari k t d / t kproses pemangkatan dan/atau pengakaran.
amxmmx xaa ��� log
LogaritmaBentukakarBentukpangkatBentuk
amxmmx ��� log
Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk
Basis�Logaritma
• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.
g
Logaritma�dapat�dihitung�untuk�basis�berapapun.• Biasanya�berupa�bilangan�positif�dan�tidak�sama�
dengan�satu.g• Basis�logaritma�yang�paling�lazim�dipakai�adalah�10�
(common�logarithm)/(logaritma�briggs)g g gg• logm berarti�10 log�m,�log�24 berarti�10 log�24• Logaritma�berbasis�bilangan�e�(2,72)�disebut�bilangan�g g ( , ) g
logaritma�alam�(natural�logarithm)�atau�logaritma�Napier
• ln�m berarti�elogm
Kaidah�kaidah�Logaritma
nmmnx xxxx � logloglog61log1
nmmnmmnx
xxxx ���
���
logloglog7.01log.2
logloglog.61log.1
xmax
nmn
mxax ��� 1loglog8.log.3
logloglog7.01log.2
xnmmamx
nmxxax ����
l51logloglog9.loglog.4
mmx x �log.5
Penyelesaian�Persamaan�dengan�Logaritma
• Logaritma dapat digunakan untuk mencariLogaritma�dapat�digunakan�untuk�mencari�bilangan�yang�belum�diketahui�(bilangan�anu)�dalam�sebuah�persamaan,�khususnya�persamaan�eksponensial�dan�persamaan�logaritmik.�
• Persamaan�logaritmik�ialah�persamaan�yang�bilangan�anunya�berupa�bilangan�logaritma,�
b i hsebagai�contoh�:�log�(3x�+�298)�=�3
Latihan
• Dengan melogaritmakan kedua ruas hitunglahDengan�melogaritmakan�kedua�ruas,�hitunglah�x�untuk�3x+1 =�27
• Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3• Selesaikan�x�untuk�log�(3x�+�298)�=3
Terima KasihTerima KasihViciwati, STL, MSi.