seminar nasional matematika dan aplikasinya 2013

Prosiding

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN APLIKASINYA 2013

“Peran Matematika dan Sistem Informasi sebagai Basis Pengembangan IPTEK di

Indonesia”

ii

EDITOR KETUA : Fatmawati ANGGOTA : Abdulloh Jaelani

Indah Werdiningsih M.Yusuf S Toha Saifudin Nurul Surtika Sari

PENATA LETAK: Abdulloh Jaelani

DESAIN COVER: Taufik

PENERBIT: Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Kampus C, Jl. Mulyorejo, Surabaya

Cetakan pertama September 2013 ISBN No. 978-602-14413-0-5

iii

Tim Penilai Makalah (Reviewer):

Eridani, Dr .( Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Moh. Imam Utoyo, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Fatmawati, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Windarto, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Herry Suprajitno, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Miswanto, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Liliek Susilowati, M.Si. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Nur Chamidah, M.Si (Prodi Statistik, FST-Universitas Airlangga) Eto Wuryanto, DEA (Prodi Sistem Informasi, FST-Universitas Airlangga)

iv

KATA PENGANTAR

Prosiding ini merupakan hasil dari Seminar Nasional Matematika dan

Aplikasinya 2013 (SNMA 2013) yang diselenggarakan oleh Departemen Matematika

Universitas Airlangga pada hari Sabtu, 21 September 2013 yang bertempat di Kampus

C, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Jl. Mulyorejo Surabaya.

Seminar ini dimaksudkan sebagai sarana untuk publikasi penelitian dan karya

tulis, juga dapat digunakan sebagai sarana dan upaya untuk menjalin komunikasi antar

praktisi, akademisi dan institusi yang turut serta mengoptimalkan dan memanfaatkan

hasil-hasil riset dan inovasi dalam berbagai bidang. Makalah yang dimuat terdiri dari

beberapa topik yang terpilih oleh Tim Penilai dan telah dipresentasikan dalam seminar

tersebut, yaitu dalam bidang Aljabar dan Graf, Analisis, Matematika Terapan, Riset

Operasi dan Komputasi, Statistika, Pendidikan Matematika dan Sistem Informasi.

Makalah yang disusun dalam prosiding ini dicetak sesuai dengan makalah asli

yang dikirimkan oleh masing-masing penulis setelah dilakukan perbaikkan atas saran

reviewer yang ditunjuk oleh Panitia Seminar. Perubahan yang dilakukan oleh Panitia

Seminar hanya terkait dengan format guna keseragaman penulisan dalam prosiding ini.

Walaupun semua makalah yang telah dimuat dalam prosiding telah direview

oleh Tim Penilai Makalah, namun tanggung jawab penulisan makalah dalam prosiding

ini sepenuhnya ada pada penulis.

Surabaya, September 2013

Tim Editor

Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013

v

DAFTAR ISI

Halaman

Judul i

Editor ii

Tim Penilai Makalah (Reviewer) iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi v

Minimisasi Norm Daerah Hasil (Range Norm) Himpunan Bayangan (Image Set) Matriks Atas Aljabar Max-Plus Interval

1 - 6

Siswanto, Ari Suparwanto, M. Andy Rudhito

Seputar Modul Komultiplikasi 7 - 11

Laila Dini Anggraini, Indah Emilia Wijayanti

Graph Cantik 12 - 20

Imam Rofiki

Graf Model Lalu-Lintas Kendaraan Di Persimpangan Jalan Bersinyal Dengan Palang Pintu Kereta Api

21 - 27

Tomi Tristono

Konstruksi Kode Varshmov Biner Berjarak Minimum Rendah 28 - 34

Sugi Guritman, Nur Aliatiningtyas, Teduh Wulandari, Muhammad Ilyas

Invers Matriks Laplace yang Digeneralisasi 35 - 38

Irwan Susanto

Teorema Pemetaan Kontraktif Pada LP([0,∞)) Sebagai Ruang Norm -2 39 - 41

Shelvi Ekariani, Hendra Gunawan

Kekompakan Dan Keterhubungan Dengan Menggunakan Gauge Pada Ruang Topologi 42 - 46

Dewi Kartika Sari, Ch. Rini Indrati

Dual KÖTHE-TOEPLITZ Pada Ruang Barisan Dengan Elemen Barisan Generalisasi Barisan P-Absolutely Summable Dan Barisan Terbatas

47 - 55

Sumardyono, Soeparna D.W., Supama

Mollifier Pada Ruang Bernorma n 56 - 59

Dwi Nur Yunianti


vi

Halaman

Primitif Fungsi Terintegral MALPHA Pada Ruang Berdimensi – n Bersifat ACGALPHA 60 - 64

Muslich

Teorema Representasi Riesz Pada Ruang Barisan Yang Dibangkitkan Oleh Fungsi Orlicz Yang Diperluas

65 - 70

Nur Khusnussa’adah, Supama

Kriteria Cauchy Dari Suatu Fungsi Bernilai Vektor Pada Suatu Sel Di Dalam Ruang Metrik Kompak Lokal

71 - 75

Manuharawati dan Dwi Nur Yunianti

Bifurkasi Hopf Dan Heteroclinic Pada Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II 76 - 80

Ali Kusnanto, M. Buchari Gaib, Paian Sianturi

Analisis dan Kontrol Optimal Model Dinamik Virus Hepatitis B (VHB) dengan Pertumbuhan Logistik Sel Hepatosit

81 - 85

Fatmawati, Adise Putra Indanto, Yayuk Wahyuni

Teknik Pemisahan Sinyal Suara menggunakan Deteksi Puncak pada Scattering Plot 86 - 92

Irwansyah, Dhany Arifianto, Aulia Siti Aisjah

Aplikasi Skema Central Upwind Semidiskrit Order Kedua Pada Persamaan Saint Venant Dimensi-Satu dengan Lebar dan Dasar Saluran Tidak Konstan

93 - 99

Noor Hidayat, Suhariningsih, Agus Suryanto

Model Matematika Penyebaran HIV/AIDS dalam Tubuh Manusia dengan Faktor Respon Imun

100 - 107

Maulida Syarifah, Fatmawati, Yayuk Wahyuni

Generalisasi Barisan Transisi Pada Kode Gray Biner Menjadi Barisan Transisi Blok 108 - 115

Wahidah

Model Matematika Pertumbuhan dan Pemanenan Rumput Gajah Sebagai Pakan Ternak 116 - 120

Windarto, Dini Wulandari, Mahfudhotin

Normalized Differentiation Water Index (NDWI) Spot Untuk Delineasi Tubuh Air 121 - 125

Wiweka

Kestabilan model SIR-SI host-vector transmisi demam berdarah dengue 126 - 131

Jafaruddin, S. W. Indratno, Nuning Nuraini, Asep K Supriatna, E. Soewono


vii

Halaman

Model Estimasi Angka Produktivitas Penuntasan Wajib Belajar Pendidikan Sekolah Dasar Berbasis pada Masyarakat Kelompok Miskin: Studi Kasus di Kabupaten Donggala Sulawesi Tengah

132 - 138

Nursalam, Suwari, Jafaruddin, Ariyanto, Heru Suwardi, Jakobis Johanis M

Peningkatan Unjuk Kerja Pemisahan Bunyi Campuran Melalui Perubahan Konfigurasi Sensor Array Secara Spasial

139 - 143

Muh. Syaifuddin Zuhdi, Dhany Arifianto

Jaringan Syaraf Tiruan dengan Pembelajaran Algoritma Genetika dan Diversitas untuk Deteksi Kelas Penyakit

144 - 148

Abidatul Izzah, Ratih Kartika Dewi

Penentuan Harga Opsi Asia Dengan Model Binomial Dipercepat 149 - 156

Surya Amami Pramuditya, Kuntjoro Adji Sidarto

Penjadwalan Mata Kuliah Sistem Mayor-Minor Di Perguruan Tinggi 157 - 162

Nur Apriandini, Farida Hanum, Amril Aman, Toni Bakhtiar

Model Pengoptimuman Dispatching Bus Pada Transportasi Perkotaan 163 - 170

Nurisma, Amril Aman, Farida Hanum

Penerapan Back Propagation Neural Network dan Linier Programming Dalam Perencanaan Pola Tanam-tanaman Pangan di kabupaten Lombok Tengah

171 - 178

Syaharuddin, M. Isa irawan, Habibi RPN, Ripai

Pemodelan Temporally Weighted Regression Pada Hubungan Angka Insiden DBD Dan Unsur Iklim Di Surabaya

179 - 182

Baharuddin, Brodjol Sutijo Suprih Ulama, Suhariningsih

Penggunaan Metode Value at Risk Untuk Menentukan Tingkat Resiko Investasi Melalui Pendekatan Model Financial Series

183 - 188

Sediono

Pendugaan Curah Hujan, Kelembaban, Dan Suhu Di Surabaya Berdasarkan Metode Ordinary Kriging

189 - 194

Toha Saifudin, Elly Ana, Nur Chamidah, Beta Ghobia Khalmah

Studi Pengembangan Bandara Internasional Ngurah Rai Berdasarkan Prediksi Jumlah Penumpang Pesawat Dalam Rangka Mendukung Potensi Pariwisata Di Bali

195 - 200

Kadek Ary W, Vinny Merlinda H, Renanthera Puspita N, Irmanita Azalia, Heri Kuswanto


viii

Halaman

Pembesaran Citra Wajah berbasis Fungsi Polinomial Menggunakan Metode Least Square Error(LSE)

201 - 205

Qurin Ainun, Cahyo Crysdian

Pemetaan Pencemaran Air Sungai di Surabaya Berdasarkan Indikator Pencemaran Air Secara Kimia (Chemical Oxygen Demand) Sebagai Early Warning System dengan Metode Mixed Geographically Weighted Regression

206 - 213

Rosna Malika, Umi Anifah, Dewi Arfianty ‘azmi, Tahira Eta Adisti, Sutikno

Laju Kekonvergenan Penduga Fungsi Nilai Harapan Pada Proses Poisson Periodek Majemuk

214 - 221

Ruhiyat, I Wayan Mangku, I Gusti Putu Purnaba

Estimasi Konsentrasi Gas Polutan Karbon Monoksida (CO) Dan Nitrogen Dioksida (NO2) Di Surabaya Menggunakan Metode Cokriging

222 - 228

Dian Safrina Putri, Silvia Roshita Dewi, Lauda Septiana, Idayati

Algoritma Expectation-Maximization (EM) untuk Estimasi Distribusi Mixture 229 - 233

Tomy Angga Kusuma, Suparman

Pemodelan Tingkat Kerawanan Penyakit Demam Berdarah Dengue Di Surabaya Dengan Pendekatan Geographically Weighted Logistic Regression

234 - 240

Nur Chamidah, Toha Saifudin, Marisa Rifada, Fitriah Anugrah Gunita

Perbandingan Kinerja Penduga Robust MVE dan MCD dalam Analisis Diskriminan Kuadratik lebih dari Dua Kelompok

241 - 245

Toha Saifudin

Peningkatan Hasil Belajar Matematika melalui Strategi Pembelajaran Holobis Kuntul Baris Berjalan Terbalik Dikemas dalam CD Pembelajaran pada Materi Fungsi Invers Kelas XI IPA SMA Negeri 1 Jatibarang.

246 - 251

Nur Rokhman

Penerapan Algoritma Ant Colony Optimization (Aco) Pada Penjadwalan Vehicle Routing Problem (Vrp) Dengan Batasan Sumber Daya Dan Jarak Tempuh Di Balai Riset Dan Standardisasi Industri Surabaya Penerapan Algoritma Ant Colony Optimization (Aco) Pada Penjadwalan Vehicle

252 - 258

Mahfudhotin, Ratnaning Palupi, Vida Nourma Chakim, Hernanda Lasmana4, Annisa Ayu Utami, Herry Suprajitno

Membangun Fungsi Multivariabel Untuk Studi Parameter Fisik Pada Permasalahan Lendutan Balok Beton Cantilever

259 - 263

Wahyo Hendarto Yoh.


ix

Halaman

Optimalisasi Penggunaan Teknologi Informasi Sekolah ( Sofware KWIKTRIG 3.0.5, CAMTASIA Recorder 8.0 Dan Facebook) Dalam Pembelajaran Trigonometri Siswa SMA

264 - 269

Hilda Nurul Hikmah

Pengembangan Instrumen Penelitian Pembelajaran Kalkulus Diferensial Berbasis Pendekatan Open Ended Untuk Meningkatkan Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa STKIP PGRI Pontianak

270 - 273

Ichsan

Purwarupa Sistem Administrasi Akademik Untuk Perguruan Tinggi Dengan Model Pembelajaran Jarak Jauh

274 - 278

Soetam Rizky Wicaksono, Tri Mariono

Pembelajaran Matematika Saat Ini? 279 - 286

Jackson Pasini Mairing

Menumbuhkan Kreativitas Dan Kemampuan Berfikir Tingkat Siswa Melalui Pengembangan Konjektur Matematika

287 – 293

I Wayan Puja Astawa

Pengetahuan Konten Pedagonik (Pedagogical Content Knowledge) Pembeda Profesi Guru Dari Yang Lain (Kasus Guru Matematika)

294 – 299

Usman HB.

Profil Pemecahan Masalah Geometri Siswa Kelas Akselerasi SMP Ditinjau Dari Tingkat Kemampuan Matematika

300 - 312

Imam Rofiki

Meningkatkan Self-Regulated Learning Melalui Pendekatan Problem-Centered Learning Dengan Hands-On-Activity Pada Siswa Kelas VIII SMP Negeri 3 Cipaku Tahun Pelajaran 2011/2012

313 - 319

Lala Nailah Zamnah

Profil Berpikir Siswa Sekolah Dasar Yang Menggunakan Numeralia Bahasa Biak Dalam Menyelesaikan Soal Operasi Hitung

320 - 325

Mayor M.H. Manurung

Strategi Brain Based Leraning Dalam Pemebalajarn Matematika Untuk Mengembangkan Kemampuan Berfikir Kritis Dan Kreatif Siswa

326 - 330

Ginanjar Abdurrahman, Mukti Sintawati


x

Halaman

Rancang Bangun E-Learning untuk Pembelajaran Aritmatika dalam Bahasa Mandarin bagi Siswa Sekolah Dasar Berbasis Web

331 - 336

Yulius Hari, Darmanto, Budi Hermawan

Konkrit Perkalian Dan Pembagian Dalam Matematika Gasing 337 - 345

Ali Godjali, Josephine Kusuma

Analisis Pekerjaan Siswa Pada Topik Segiempat Berdasarkan Teori Van Hiele 346 - 353

Bettisari Napitupulu

What Wrong With Math ? 354 - 357

Bernaridho Imanuel Hutabarat , Roni F. Sinaga

Abstraksi Konsep Pembagian Pecahan Dengan Topangan 358 - 363

Firman Pangaribuan

Studi Analisa Pembelajaran Matematika Melalui Game Pada Anak Usia SD 364 - 368

Arik Kurniawati

Imputasi Missing Data Menggunakan Algoritma Pengelompokan Data K-Harmonic Means 369 - 373

Abidatul Izzah, Nur Hayatin

Analisis dan Perancangan Sistem Informasi Berbasis Web Sebagai Media Promosi dan Informasi Kain Tenun Daerah Flores

374 - 378

Gregorius Rinduh Iriane

Analisa Dan Perancangan Aplikasi Augmented Reality Pada Lokasi Pariwisata Flores Berbasis Android

379 - 386

Benediktus Y. Bhae, Devi Indriasari, Pranowo

Prototipe Katalog Metadata Informasi Spasial Penginderaan Jauh Berstandar ISO 19115 Menggunakan Software Open Source Geonetwork

387 - 391

Samsul Arifin

Pengembangan Aplikasi Penyusuluhan Pertanian Tanaman Hortikutura Berbasis SMS Gateway Pada Dinas Pertanian Dan Perkebunan Provinsi Nusa Tenggara Timur

392 - 398

Emerensiana Ngaga, Suyoto, Eddy Julianto

Memprioritaskan Kebutuhan Perangkat Lunak Menggunakan Model Kano Dengan Menampilkan Rancagan Antarmuka Perangkat Lunak

399 - 405

Indra Kharisma Raharjana


xi

Halaman

Rancangan Framework Business Intelligent pada Perguruan Tinggi 406 - 410

Henderi , Edi Winarko

Analisis Dan Perancangan Sistem Pendukung Keputusan Penilaian Gabungan Kelompok Tani Berbasis Web

411 - 417

Ernawati, Yudi Dwiandiyanta, Patrisius Batarius

Konsep Pemampatan Intra-Frame Urutan Citra Gerak Tari Hegong Menggunakan Alihragam Gelombng Singkat

418 - 423

Febriyanti Alwisye Wara, Alb. Joko Santoso, B. Yudi Dwiandiyanta

Simulasi Sistem Antrian Pembuatan Surat Ijin Mengemudi (SIM) Di Satpas Polres Jember 424 - 429

Fitria Lusianik, Mahendrawathi ER

Sistem Informasi Manajemen Bea siswa (SIMABEA) Berbasis Sistem Pendukung Keputusan dengan Menggunakan Metode Analytic Hierarchy Process (AHP) dan ELECTRE

430 - 434

Haryanto, Firli Irhamni, Bain Khusnul Khotimah

Implementasi Sistem Pendukung Keputusan Dengan Metode Fuzzy Dalam Menentukan Lahan Potensi Tanaman Pangan Di Propinsi Jawa Timur

435 - 441

Hario Laskito Ardi, Kartono, Purbandini

Aplikasi Sistem Pendeteksi Diabetes Menggunakan Multilayer Dengan Pelatihan Feedward Neural Network

442 -445

Nur Maulidyah, Bilqies Kimmilah, Friday Yosi Prilnambilanti, Fadillah,Shitta Dewi Puspitasari, Aina Nur Af’ida, Melinda Weridianti Yusuf

Rancang Bangun Sistem Pakar Fuzzy Untuk Diagnosa Demam Beradarah 446 - 451

Indah Werdiningsih, Badrus Zaman

Rancang Bangun Sistem Informasi Geografis (SIG) Berbasis Web Untuk Memantau Kualitas SLTP Di Kabupaten Gresik

452 - 457

M. Ainul Yaqin, Muhammad Bisri Musthafa

Visualisasi 3D Rupa Bumi Berbasis Data GDEM Aster 30 Meter 458 - 465

Mochamad Agung Tarecha, Cahyo Crysdian

Analisis Dan perancangan Sistem Untuk mendukung Pengambilan Keputusan Pemberian Beasiswa Di Universitas Katolik Widya Mandiri Kupang

466 - 472

Sisilia Daeng Bakka Mau, Ernawati, Pranowo


xii

Halaman

Data Mining Dengan Metode Soft Clustering Untuk Menganalisa Karakteristik Pelanggan PDAM Kota Surabaya

473 - 478

Taufik

Ekstraksi Ciri Sinyal Electromyograph Statik Pada Ekstensi-Fleksi Telapak Tangan 479 - 484

Triana Rahmawati, Indah Soesanti, Bondhan Winduratna

Optimalisasi Cluster Data Dengan Menggunakan K-Means Clustering Berbobot 485 - 490

Bain Khusnul Khotimah

Segmentasi Citra Biomedis Menggunakan Metode Level Set Local Image Fitting 491 - 495

Lianita Febrihani, Pranowo, B. Yudi Dwiandiyanta

Penggunaan Algoritma Decision Tree Untuk Mendeteksi Penyakit Diabetes 496 - 498

Aditya Prakoso, M.A Danang, Rinaldhi Cahyono, Lukman Hakim, Aditya Suharjono, Rizqy Galan Pradipta

Diagnosis Penyakit Demam Berdarah Melalui metode Feedward Neural Network 499 - 502

Faisal A, A Choliq F, Aldinovi Tito P, Hendra Dwi, Andrianto GP, Ahmadi Soffi S

Diagnosa Penyakit Avian Influenza Pada Ayam Menggunakan Metode Feedforward 503 - 507

K. Wanda P, Delia Putri F, Kiki M W , Dika P H , Nur Hesti P , Masteria W

Analisa Metode Fuzzy Untuk Diagnosa Penyakit Mata (Studi Kasus Rumah Sakit DR.T.C. Hillers Maumere)

508 - 512

Imelda Dua Reja, Alb. Joko Santoso, Ernawati

Pengenalan Kain Sumba Menggunakan Jaringan Syaraf Tiruan Backpropagation 513 - 516

Yustina Rada, Albert Joko Santoso, Patricia Ardanasari

Sistem Rekomendasi Pembelajaran Menggunakan Teknik Collaborative Filtering 517 - 520

Andharini Dwi Cahyani

Penggunaan Korelasi Polikhorik dan Pearson untuk Variabel Ordinal dalam Model Persamaan Struktural

521 - 525

Anita Kesumahati, Zainal Abidin

Rancang Bangun Sistem Pendukung Keputusan Optimasi Alokasi Pasokan Untuk Rantai Pasok Cabai Merah Besar Dengan Metode Fuzzy Multiobjective Optimization Linear Programming (Studi Kasus Koperasi Tani Made Makmur Surabaya)

526 - 533

Ayuningtyas Puspa Karina, Eto Wuryanto, Purbandini

Interval Kepercayaan Rata-rata Respon Model Linier Campuran Berdasarkan Estimator Best Linear Unbiased Prediction

534 - 536

Suliyanto


149

PENENTUAN HARGA OPSI ASIA DENGAN MODEL BINOMIAL DIPERCEPAT

Surya Amami Pramuditya1), Kuntjoro Adji Sidarto2) 1)Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung

Ganesa 10, Bandung 1)[email protected]

2)Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung

Ganesa 10, Bandung 2)[email protected]

Abstract— Penentuan harga opsi Asia yang dikembangkan oleh T.S. Klessen dipelajari sebagai perbaikan atas model binomial Hull-White. Sebagai pembanding, dibahas pula model Costabile Massabo Russo.Letak perbedaan dari ketiga model tersebut adalah pemilihan rata-rata representatif yang berbeda pada setiap nodenya.Rata-rata representatif ini merupakan rata-rata yang dapat mewakili rata-rata sebenarnya pada lintasan harga saham opsi Asia. Setelah diperoleh rata-rata representatif, dengan proses backwardrecursion serta interpolasi linear, harga opsi Asia tipe Eropa maupun Amerika dapat ditentukan. Pada model binomial dipercepat, dilakukan pula ekstrapolasi Richardson terhadap harga opsi.Hal ini dimaksudkan agar dapat mempercepat kekonvergenan terhadap timestep yang cukup besar.Hasil yang diperoleh kemudian dibandingkan dengan metode Monte Carlo teknik reduksi varians.

Keywords— Opsi Asia, Model Binomial, Model

Diskrit, Ekstrapolasi Richardson

I. PENDAHULUAN

Opsi adalah suatu kontrak antara writer dan holder yang memberikan hak, bukan kewajiban, kepada holder untuk membeli atau menjual suatu asset pokok (underlying asset) pada atau sebelum masa jatuh tempo (maturity time) dengan harga pelaksanaan tertentu (strike price).Writer merupakan pihak yang menerbitkan atau mengeluarkan opsi, sedangkan holder adalah pihak pemegang atau pembeli opsi.

Opsi dibedakan menjadi opsi standar dan opsi non-standar.Opsi standar lebih dikenal sebagai opsi vanilla.Opsi yang terkenal untuk jenis ini adalah opsi Eropa dan Opsi Amerika.Perbedaan dari kedua opsi ini adalah waktu pelaksanaan (exercise) haknya.Opsi Eropa memperbolehkan seorang holder untuk melaksanakan haknya (meng-exercise) hanya pada saat waktu jatuh tempo.Sedangkan opsi Amerika memperbolehkan seorang holder untuk melaksanakan haknya selama sembarang waktu selama masa jatuh tempo.Opsi non-standar lebih dikenal sebagai opsi exotic.Salah satu jenis opsi exotic adalah opsi path-dependent.Perbedaan kedua jenis opsi ini

didasarkan atas perhitungan nilai payoff saat maturity time.Nilai payoff adalah nilai keuntungan yang diperoleh seorang holder atas pelaksanaan hak opsinya.Untuk opsi vanilla, payoff opsinya merupakan selisih antara harga saham pada maturity time dengan harga pelaksanaannya (strike price).Sedangkan opsi path dependent, payoff tidak hanya dipengaruhi saat maturity time, tetapi juga dapat dipengaruhi oleh lintasan harga-harga saham selama masa berlaku opsi.Contoh jenis opsi path dependent adalah opsi Asia, opsi Barrier dan opsi lookback.

Opsi Asia merupakan opsi dimana payoffnya ditentukan oleh rata-rata harga saham baik selama sebagian atau seluruh masa berlakunya opsi.

Melalui metode simulasi monte carlo diperoleh solusi yang didasarkan atas the law of large number. Sehingga untuk selang kepercayaan tertentu, solusi metode ini disertai dengan selang yang memperlihatkan keakuratan dari solusi tersebut.Selain menggunakan solusi analitik, harga opsi Asia juga dapat dihitung berdasarkan pendekatan numerik.Salah satu pendekatan numerik ini adalah model binomial.Model binomial merupakan model lattice dimana setiap node harga saham dihubungkan oleh cabang yang dapat bergerak naik atau bergerak turun bergantung pada faktor-faktor binomial tersebut.

Model lattice mempunyai kelemahan yaitu membesarnya jumlah rata-rata secara eksponensial dengan semakin banyaknya timestep (Rahmi, 2011).Hal ini mengakibatkan semakin tidak efisiennya perhitungan ketika semakin besarnya nilai timestep.Oleh karena itu, dikembangkan beberapa metode untuk mewakili rata-rata yang pada pada model lattice.

Hull-White memperkenalkan model binomial untuk menghitung harga opsi Asia dengan berdasarkan pada model binomial Cox, Ross, Rubinstein (CRR) (Hull dan White, 1993).Masalah utama model binomial adalah jumlah rata-rata aritmatika yang bertambah secara eksponensial saat timestep bertambah. Hal ini mengakibatkan proses komputasi yang tidak terkendali. Untuk mengatasinya, Hull-White memandang himpunan rata-rata representatif di


150

tiap node pohon binomial.Rata-rata representatif ini bertujuan untuk tetap mewakili nilai rata-rata sebenarnya.Harga opsi yang berkorespodensi dengan rata-rata aritmatika yang tidak termasuk pada himpunan nilai rata-rata representatif dapat dihitung dengan menggunakan interpolasi linier.

T. R. Klassen mengembangkan model binomial Hull-White melalui pemilihan rata-rata representatif yang berbeda (Klassen, 2001).Model ini dinamakan Accelerated Binomial Asian (ABA) atau model Binomial dipercepat Asia.Model ABA menggunakan himpunan rata-rata representatif terkecil yang dapat mewakili lebih akurat rata-rata sebenarnya. Setelah proses interpolasi perhitungan harga saham, untuk mempercepat kekonvergenan, digunakan ekstrapolasi Richadson. Sebagai benchmark atas model ini, digunakan metode simulasi Monte Carlo Reduksi Varians. Selain itu, digunakan pula hasil penelitian sebelumnya dengan metode Costabile Massabo Russo (CMR) (Rahmi, 2011 serta Basri, 2012).

II. TINJAUAN PUSTAKA

A. Opsi Asia Opsi Asia termasuk pada opsi path dependent

(Rahmi, 2011).Artinya payoff opsi Asia tidak hanya bergantung pada harga saham saat maturity time saja.Di sini payoff opsi Asia merupakan rata-rata harga saham selama masa jatuh temponya dan disimbolkan (average). Tabel1 Rata-rata harga saham untuk model kontinu dan model

diskrit

Model Kontinu untuk selang waktu [0,t]

( ) ∫ ( )

Model Diskrit

( ) ∑

Tabel2 payoff opsi Asia tipe Eropa dan tipe Amerika

Payoff opsi Asia tipe Eropa saat maturity time Fixed Strike Call * +

Fixed Strike Put * +

Floating Strike Call * +

Floating Strike Put * +

Payoff opsi Asia tipe Amerika saat timestep Fixed Strike Call

* + Fixed Strike Put

* + Floating Strike Call

* + Floating Strike Put

* +

B. Model Binomial Opsi Asia dan Masalahnya Perhatikan pohon binomial pada Gambar 1,

untuk mencapai node ( ) terdapat . / lintasan

harga saham yang berbeda, dengan . /

( ) ,

dimana adalah kenaikan harga saham. Sehingga pada saat akan terdapat

lintasan harga saham yang berbeda. Ini berarti saat maturity timeakan ada lintasan berbeda.

Gambar 1. Banyak lintasan harga opsi Asia pada Model Binomial

Jadi banyaknya lintasan binomial untuk time step adalah

20 + 21 + 22 + … 2N = 2N+1 – 1

Akibat dari jumlah lintasan yang meningkat secara eksponensial ini adalah proses komputasi yang tidak efisien ketika banyaknya timestep bertambah saat menghitung harga opsi (Rahmi, 2011). C. Model Binomial CRR dan Masalahnya

Diketahui model harga saham saat waktu adalah untuk . Jika merupakan maturity time (tahun), maka besarnya . Misal timestep , harga saham saat timestep dapat naik menjadi atau turun menjadi dengan peluang dan , dimana

,

dan

√ , √

Gambar 2. Plot harga opsi Binomial CRR untuk timestep ganjil (hijau) dan timestep genap (biru)

Pada binomial CRR, nilai opsi akan berosilasi terhadap timestep ketika time step cukup sedikit, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2. Sedangkan apabila nilai opsi ini ingin konvergen ke nilai Black-Scholes, maka harus diambil timestep (Chance, 2008). Hal ini tentu saja akan membuat proses komputasi tidak efisien untuk spesifikasi komputer rendah. Oleh karena itu, dikembangkanlah model Binomial CRR dimana dengan mengambil timestep yang tidak terlalu besar (bahkan sangat sedikit) akan membuat cepat konvergen ke nilai Black-Sholes.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5008

8.05

8.1

8.15

8.2

8.25

8.3

8.35

8.4

N

put

Opt

ion

Val

ue

Binomial Pricing CRR

2M

22

21

(2.24)

(2.25)


151

(2.35)

D. Modifikasi Model Binomial CRR 1) Binomial Middle of Tree (MOT) Pada binomial CRR, terdapat osilasi yang

disebabkan oleh adanya faktor koreksi ⁄ yang akan semakin membesar setiap perbesaran N. Untuk mengeliminasi koreksi 1/N dapat digunakan metode ektrapolasi Richardson dengan terlebih dahulu pemulusan (smooth) kurva (Klassen, 2001). Hal ini dapat diusahakan dengan selalu meletakkan nilai K di tengah pohon binomial saat maturity time. Dengan demikian, nilai K selalu fix terhadap node (ditengah-tengah) setiap nilai N berubah. Metode ini dikenal sebagai middle of tree (MOT).

Pandang bentuk berikut

( )

. √ √ /

( ) ⁄

dengan memilih

⁄

diperoleh

. √ ⁄

/ , . √

⁄

/

Gambar 3. Plot kurva mulus Binomial MOT

2) Ekstrapolasi Richardson Misalkan nilai V diaproksimasi oleh ( )dan

truncation error dari aproksimasi ini untuk semua (Burden dan Faires, 2005) adalah

( )

untuk suatu koleksi konstanta yang tidak diketahui

Persamaan di atas dapat ditulis kembali dalam bentuk

( )

Karena diasumsikan untuk semua ,

persamaan ini dapat disubtitusi oleh ⁄ , sehingga diperoleh

(

)

Kedua persamaan ini akan menghilangkan suku yang memuat , sehingga

0 .

/ ( .

/ ( ))1 .

/

.

/

Definisikan ( ) ( ), sehingga

( ) .

/ ( .

/ ( ))

Dari sini, diperoleh aproksimasi ( ) untuk

( )

Secara umum, jika V dapat dituliskan oleh bentuk ( ) ∑

( )

maka untuk setiap , diperoleh aproksimasi ( ) dalam bentuk

( ) (

)

( ⁄ ) ( )

Ekstrapolasi dapat digunakan jika truncation error mempunyai bentuk

∑

( ) Tabel 3 aproksimasi ekstapolasi Richardson

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

) (

)

( )

(

) (

) (

)

( )

(

) (

) (

) (

)

( )

Berikut ini merupakan hasil modifikasi binomial CRR dengan MOT dan ekstrapolasi Richardson.

Gambar 4.Pemulusan kurva yang dilakukan oleh MOT sehingga ekstrapolasi Richardson dapat digunakan

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5008

8.05

8.1

8.15

8.2

8.25

8.3

8.35

8.4

N

put

Opt

ion

Val

ue

Binomial Pricing MOT

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2008

8.05

8.1

8.15

8.2

8.25

8.3

8.35

8.4

N

put

Option V

alu

e

Binomial Pricing CRR vs ABE

CRRganjil

CRRgenapMOTganjil

MOTgenap

(2.36)

(2.37)

(2.42)

(2.43)

(2.44)


152

Gambar 5.Nilai opsi yang sudah diekstrapolasi oleh ( )

Terlihat bahwa kurva mulus MOT akan cepat konvergen ke nilai Black-Scholes untuk timestep sekitar 200, bahkan untuk N ganjil nilai opsi sudah konvergen pada timestep kurang dari 20.

Berikut ini merupakan tabel perbandingan hasil CRR, Accelerated Binomial Eropa (ABE) dan Black-Sholes dengan asumsi S0 = 100; K = 70; r = 0.1; T = 4; sigma = 0.5. Tabel 4. Perbandingan hasil CRR, Accelerated Binomial Eropa

(ABE) dan Black-Sholes

N CRR time(s) ABE time(s) B-S

25 8.3871 1.794591 8.2651 1.142326

8.2651

50 8.2923 1.513442 8.2651 1.659653 100 8.2744 1.586280 8.2651 1.948004 225 8.2639 2.273783 8.2651 1.684172 500 8.2552 2.115826 8.2651 2.830770 750 8.2629 2.911436 8.2651 4.779179 1000 8.2681 2.220334 8.2651 6.435075 E. Simulasi Monte Carlo

Berikut algoritma metode Monte Carlo teknik

reduksi varians rata-rata Geometri:

Input : S0, K, r, , T, N, dan M

Bangun lintasan harga saham dengan N selang waktu dan M iterasi

Tentukan nilai opsi geometric average price asian call option

( ) . ( ) ( )/

dengan

.

/ .

/

√

√

Hitung variable (Arithmetic) yang berkorelasi kuat dengan

{

∑ ( )

}

Hitung geometric average price Asian call Option

{(∏ ( )

)

}

Hitung opsi call Asia dengan simulasi Monte Carlo Teknik Reduksi Variansi

( )

Hitung mean(W) dan std(W) Hitung selang kepercayaan 95% F. Model Binomial Hull-White Asia

Hull-White memperkenalkan salah satu metode pendekatan yaitu dengan menggunakan rata-rata representative (Hull-White, 1993). Langkah pertama yaitu dengan memilih nilai , yaitu rata-rata arithmetic harga saham di tiap node dari waktu 0 sampai dengan node ( ) . Hull-White memilih nilai dalam bentuk

( ) dimana adalah konstanta dan adalah bilangan bulat positif atau negatif. Nilai pada waktu harus membangun seluruh kemungkinan rata-ratapada waktu .

Dalam menentukan rata-rata representatif ini, diperlukan pemilihan nilai yang tepat (Basri, 2012). Misalkan dan ( ) ( ) , secara simultan memenuhi persamaan berikut: Rata-rata maksimum pada timestep ke-i

( )

[ ( )

]

.

, -/

Kemudian tentukan nilai yaitu

⌈

(

, -)⌉

Rata-rata minimum pada timestep ke-i

( )

[ ( )

]

.

, -/

Kemudian tentukan nilai yaitu

⌈

.

, -/⌉

Dengan demikian pada timestep ke- pilih dengan ketentuan

* +

Sedemikian sehingga nilai rata-rata maksimum dan minimum dapat terwakili

( ) ( )

Rata-rata representatif lainnya pada

timestep ke-i dihitung setelah bilangan bulat ditemukan dan formulanya berbentuk

dengan didefinisikan semua bilangan bulat pada selang , ( ) ( )- . Jika semua rata-rata representatif pada timestep ke-i sudah diperoleh, maka diperoleh pula himpunan rata-rata representatif yang berlaku di setiap node pada timestep ke-i. G. Model Costabile, Massabo, Russo (CMR) opsi

Asia Costabile, Massabo, Russo (CMR)

memodifikasi binomial Hull-White dengan mengambil kerangka kerja yang sama serta

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48) (2.50)

(2.51)

(2.52)

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)


153

(2.60)

(2.61)

berdasarkan model binomial CRR (Rahmi, 2011). Perbedaannya hanya terletak pada pemilihan rata-rata representatif yang digunakan untuk menghitung opsi Asia.

Secara umum, pada model lattice setiap lintasan menghasilkan rata-rata yang berbeda. Pada binomial Hull-White, rata-rata representatif sama untuk node di setiap timestep yang sama. Untuk CMR, rata-rata representatifnya berbeda di setiap nodetimestepnya.

Algoritma Metode CMR untuk menghitung rata-rata representatif:

1. Hitung rata-rata maksimum, ( ) yang berasosiasi dengan node( ). Rata-rata maksimum ini dihasilkan oleh path dengan langkah naik dan diikuti oleh ( ) langkah turun. Elemen pertama representatif dinyatakan oleh ( ) .

2. Hitung rata-rata minimum, ( ) yang berasosiasi dengan node( ) . Rata-rata minimum ini dihasilkan oleh path dengan ( ) langkah turun dan diikuti oleh langkah naik. Elemen terakhir representatif dinyatakan oleh ( ) .

3. Rata-rata representatif lainnya di node ( ) dinyatakan oleh ( ) yang dihitung secara rekrusif. Lintasan ke- diperoleh dari lintasan ke- dengan mensubtitusi ( ) yaitu harga saham tertinggi yang dicapai saat lintasan ke- dengan nilai ( )

. Prosedur ini dilakukan sampai lintasan terakhir ( ) dicapai.

(0,0)

(1,1)

(1,0)

(2,2)

(2,1)

(2,0)

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(3,0)

(4,4)

(4,3)

(4,2)

(4,1)

(4,0)

(5,5)

(5,4)

(5,3)

(5,2)

(5,1)

(5,0)

0 1 2 3 4 5

Lintasan Maksimum (4,2)

Lintasan Minimum (4,2)

(0,0)

(1,1)

(1,0)

(2,2)

(2,1)

(2,0)

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(3,0)

(4,4)

(4,3)

(4,2)

(4,1)

(4,0)

(5,5)

(5,4)

(5,3)

(5,2)

(5,1)

(5,0)

0 1 2 3 4 5



(0,0)

(1,1)

(1,0)

(2,2)

(2,1)

(2,0)

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(3,0)

(4,4)

(4,3)

(4,2)

(4,1)

(4,0)

(5,5)

(5,4)

(5,3)

(5,2)

(5,1)

(5,0)

0 1 2 3 4 5



(0,0)

(1,1)

(1,0)

(2,2)

(2,1)

(2,0)

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(3,0)

(4,4)

(4,3)

(4,2)

(4,1)

(4,0)

(5,5)

(5,4)

(5,3)

(5,2)

(5,1)

(5,0)

0 1 2 3 4 5



(0,0)

(1,1)

(1,0)

(2,2)

(2,1)

(2,0)

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(3,0)

(4,4)

(4,3)

(4,2)

(4,1)

(4,0)

(5,5)

(5,4)

(5,3)

(5,2)

(5,1)

(5,0)

0 1 2 3 4 5



Gambar 6. Algoritma CMR

H. Perhitungan Opsi setelah Rata-rata Representatif Diperoleh

Setelah himpunan rata-rata representatif diperoleh, selanjutnya hitung nilai opsi yang bersesuaian dengan rata-rata representatif pada

node( ). Namun sebelumnya dihitung terlebih dahulu payoff opsi pada saat maturity time. Selanjutnya, lakukan proses backwardrecursion untuk mendapatkan nilai opsi. Selama proses backward, terdapat mismatch ketika harga saham

naik ( ) ( )

dan harga

saham turun ( ) ( )

.

Untuk mengatasi masalah ini digunakan interpolasi linear sebagai solusi.

Misalkan terletak antara

dan . Sehingga nilai opsi

yang bersesuaian dengan dapat diaproksimasi dengan interpolasi linear,

.

/

Demikian pula untuk nilai opsi dapat dihitung dengan cara yang serupa.

Dengan demikian, nilai opsi yang bersesuaian dapat diperoleh dengan menggunakan formula:

0 ( ) 1

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

T.S. Klassen memodifikasi binomial Hull-White dengan mengambil kerangka kerja yang sama serta berdasarkan model binomial CRR (Klassen, 2001). Perbedaannya hanya terletak pada pemilihan rata-rata representatif yang digunakan untuk menghitung opsi Asia, serta ekstrapolasi nilai opsi sehingga diharapkan akan tanpa timestep yang cukup banyak. Model ini dinamakan model binomial dipercepat.

Dalam pembahasan sebelumnya, telah dikemukakan bahwa model binomial dipercepat ini berhasil untuk mempercepat kekonvergenan nilai opsi binomial Eropa terhadap nilai opsi Black-Scholes.Hal ini, yang menjadi dasar analogi terhadap model binomial dipercepat Asia. Sehingga dengan serangkaian algoritma yang hampir sama, model binomial dipercepat dapat digunakan untuk mempercepat perhitungan nilai opsi Asia Eropa (bahkan Asia Amerika), yaitu tanpa timestep yang cukup banyak sudah mendapat rata-rata perbedaan yang sekecil mungkin terhadap hasil metode Monte Carlo. A. Algoritma Binomial Dipercepat Asia

1) Rata-rata representatif Binomial Dipercepat Asia

Berikut adalah metode binomial dipercepat Asia atau Accelerated Binomial Asian (ABA) sebagai pemodifikasian metode Hull-White.

1. Tentukan himpunan representatif di setiap node (i,j). 1.1 Tentukan semua ( ) dan

( ), nilai rata-rata maksimum dan minimum yang mungkin tiap node (i,j).


154

1.2 Tulis dalam bentuk ( ) ( )

dimana ( ) adalah bilangan bulat terkecil sedemikian sehingga ( ) . Setelah serangkaian percobaan, Klassen

memilih √

⁄, untuk suatu

parameter , volatilitas , maturity time , seta timestep .

2. Tentukan nilai opsi di setiap dengan backward recursion dimulai saat maturity time. 2.1 Untuk tiap yang diperoleh pada

time slice , rata-rata ini akan bergerak naik atau turun pada ( ), dengan

.( ) /

.( ) /

2.2 Nilai opsi saat ( ) di dapat diinterpolasi sehingga diperoleh ( ) . Lakukan pula hal yang sama untuk sehingga diperoleh ( ).

2.3 Nilai Opsi di untuk node ( ) diperoleh dengan rumus

( ) [ ( )

( ) ( )]

2.4 Lakukan hingga diperoleh ( ).

3. Lakukan ekstrapolasi Richardson dengan

.

2) Ekstrapolasi Opsi Binomial Dipercepat Asia Perbedaan metode ABA dengan kedua metode

sebelumnya adalah pada metode ABA, setelah mendapatkan nilai opsi, lakukan ekstrapolasi Richardson harga opsi tersebut.Seperti pada ekstrapolasi saat mencari harga opsi vanilla Eropa, maka secara analogi ektrapolasi ini dapat digunakan untuk opsi Asia Eropa.

Setelah mendapatkan nilai opsi saat untuk maturity time dan timestep , maka nilai opsi ini kemudian dapat diekstrapolasi dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson. Nilai opsi merupakan nilai aproksimasi ( ) untuk nilai

opsi eksak dengan

. Oleh karena itu,

mempunyai truncation error

∑

( )

sehingga dapat dituliskan dalam bentuk Tabel 5. Tabel 5.Aproksimasi ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

) (

)

( )

(

) (

)

(

)

( )

(

) (

)

(

) (

)

( )

B. Hasil Model Binomial Berikut merupakan hasil dari perhitungan nilai

opsi Asia fixed striketipe Eropa untuk ketiga model dengan asumsi harga saham awal adalah 50, strike price 35, free interest rate 10%, volatilitas 30%, serta maturity time selama 1 tahun. Model Hull-White menggunakan nilai . Pada baris terakhir tiap timestep diberikan nilai opsi yang dihitung dengan metode Monte Carlo teknik reduksi varians rata-rata Geometri (standard error di dalam tanda kurung).

Tabel 6.Asian Call Fixed Strike tipe Eropa Asumsi: S0 = 50; K = 35; r = 0.1; sigma = 0.3; T = 1

n a = 0.05 time(s) a = 0.01 time(s)

R1 15.9127 0.1339 15.9210 0.3652

R2 15.9340 1.3475 15.9282 2.7775

CMR 15.9221 0.7108

HW 15.9221 0.0802

MC

(0.0042)

R1 15.9233 0.4251 15.9284 2.4198

R2 15.9289 3.2031 15.9251 30.9241

CMR 15.9251 8.0204

HW 15.9252 0.3625

MC

(0.0024)

R1 15.9251 1.2395 15.9262 8.5855

R2 15.9300 10.1671 15.9087 132.2382

CMR 15.9262 44.3007

HW 15.9263 0.9854

MC

(0.0021)

R1 15.9261 2.7974 15.8732 28.6781

R2 15.9305 30.1156 15.9269 390.2990

CMR 15.9267 142.0366

HW 15.9269 2.1366

MC

(0.0021)

R1 15.9271 5.3287 15.9269 59.1924

R2 15.9295 50.6932 15.9284 971.9119

CMR 15.9270 365.7963

HW 15.9273 3.8058

MC

(0.0021)

10

20

30

40

50

15.9281

15.9271

15.9268

15.9272

15.9285

Perhatikan Tabel 6, R1 adalah nilai opsi Asia Eropa untuk model binomial dipercepat tanpa ekstrapolasi Richardson, sedangkan R2 model binomial dipercepat dengan ekstrapolasi Richardson. Nilai R2 untuk timestep memberikan percepatan nilai pada model CMR dan model Hull-White untuk timestep . Galat relatif ditunjukkan oleh Tabel 7,

Tabel 7. Galat relatif

R2 a = 0.05 a = 0.01

CMR 0.044% 0.008%

HW 0.042% 0.006% Berikut merupakan hasil dari perhitungan nilai opsi Asia fixed striketipe Amerika untuk ketiga


155

model dengan asumsi harga saham awal adalah 50, strike price 40, free interest rate 10%, volatilitas 30%, serta maturity time selama 1 tahun. Model Hull-White menggunakan nilai .

Tabel 8.Asian Call Fixed Strike tipe Amerika n a = 0.05 a = 0.01

R1 12.6672 12.6804

R2 13.2493 13.2304

CMR 12.6824

HW 12.6820

R1 12.9583 12.9554

R2 13.3570 13.3440

CMR 12.9562

HW 12.9568

R1 13.0826 13.0756

R2 13.4106 13.3937

CMR 13.0756

HW 13.0783

R1 13.1577 13.1497

R2 13.4366 13.4146

CMR 13.1416

HW 13.1533

R1 13.2104 13.1987

R2 13.1124 13.3524

CMR 13.1986

HW 13.2029

40

50

10

20

30

Perhatikan Tabel 8, R1 adalah nilai opsi Asia Eropa untuk model binomial dipercepat tanpa ekstrapolasi Richardson, sedangkan R2 model binomial dipercepat dengan ekstrapolasi Richardson. Nilai R2 untuk timestep memberikan percepatan nilai pada model CMR dan model Hull-White untuk timestep . Galat relatif ditunjukkan oleh Tabel 9,

Tabel 9. Galat relatif

R2 a = 0.05 a = 0.01

CMR 0.383% 0.240%

HW 0.350% 0.208% C. Perbandingan Opsi Asia Ketiga Model

Tabel 10. Perbandingan Model Lattice

Model Kelebihan Kekurangan Hull-White

Waktu perhitungan tidak lama dikarenakan rata-rata 155epresentative model ini adalah sama untuk setiap node di setiap timestepnya. Model ini mampu menghitung sampai timestep 450(*)

Pemilihan nilai yang berbeda berakibat titik konvergensinya juga berbeda (Rahmi, 2011).

CMR Rata-rata 155epresentative berbeda di tiap node berbeda memungkinkan untuk mewakili rata-rata sebenarnya di setiap node yang

Tidak mampu menghitung timestep (*).

berbeda pada tiap timestep berbeda pula.

ABA Rata-rata 155epresentative berbeda di tiap node berbeda memungkinkan untuk mewakili rata-rata sebenarnya di setiap node yang berbeda pada tiap timestep berbeda pula. Bahkan untuk dapat mewakili rata-rata sebenarnya dengan lebih baik. Nilai untuk ekstrapolasi ( ) memberikan hasil yang lebih cepat konvergen terhadap timestep yang lebih besar.

Semakin kecil nilai , waktu perhitungan pun semakin lama. Serta untuk hanya mampu menghitung sampai dengan timestep (*).

(*) Komputer PC dengan spesifikasi processor Core i3 RAM 2GB softwareplatform MATLAB

IV. KESIMPULAN

Model lattice pertama kali dikembangkan oleh Hull-White, yang kemudian dimodifikasi oleh T.S. Klassen serta Costabile et al (CMR).Kerangka kerja ketiga model ini berdasar pada model binomial CRR untuk pergerakan harga sahamnya. Mula-mula dicari terlebih dahulu rata-rata representatif yang dapat mewakili rata-rata sebenarnya, kemudian dengan backwardrecursion akan diperoleh harga opsi Asia saat . Letak perbedaan ketiga model ini ada pada teknik pemilihan rata-rata representatif yang digunakan untuk menghitung harga opsi.Hasil yang diperoleh menyatakan bahwa binomial dipercepat yang dikembangkan oleh Klassen memberikan hasil untuk timestep sedikit, lebih cepat konvergen terhadap timestep besar. Hal ini dikarenakan, pada binomial dipercepat dilakukan juga ekstrapolasi harga opsi untuk mengkoreksi faktor ( ) . Model binomial dipercepat juga dapat memberikan rata-rata representatif yang dapat mewakili lebih baik rata-rata sebenarnya, memperbaiki rata-rata representatif model Hull-White. Hasil yang diperoleh kemudian dibandingkan dengan metode Monte Carlo teknik kontrol variat reduksi varians.

Karena ketiga model berfokus pada pemilihan rata-rata representatif, untuk penelitian selanjutnya, dapat dilakukan dengan mencari bentuk rata-rata representatif yang lebih baik lagi baik dari segi efektivitas maupun efisiensi.Efisiensi dapat diperoleh dengan algoritma pemrograman yang lebih baik.Program dapat dibuat pada platform


156

C++, yang mungkin dapat mengurangi waktu perhitungan.

DAFTAR PUSTAKA

Basri, M Satriawan. 2012,Penentuan Nilai Opsi Saham Karyawan Indonesia dengan Metode Binomial, Tesis Program Magister.Institut Teknologi Bandung.(pustaka dari skripsi atau thesis)

Burden RL, Faires JD.2001,Numerical Analysis.Seventh Edition.Thomson Brooks/Cole, Canada.(pustaka dari buku)

Chance DM. 2008,Convergence of The Binomial to The Black-Scholes Model.Teaching Note 00-08, Louisiana State University.(pustaka dari catatan kuliah)

Higham DJ. 2004,An Introduction to Financial Option

Valuation. Cambridge University Press, New York. (pustaka dari buku)

Hull JC.2002,Options, Futures and Other Derivatives.Fifth Edition.Prentice Hall International Editions, Upper Saddle Rider, New Jersey. (pustaka dari buku)

Hull JC, White A. 1993,Efficient procedures for valuing European and American path-dependent options,Journal of Derivatives1: 21-31. (pustaka dari jurnal)

Klassen TR. 2001,Simple, fast and flexible pricing of an asian options.Journal of Computational Finance4: 89-124. (pustaka dari jurnal)

Rahmi E. 2011,Penentuan Harga Opsi Asia dengan Model Binomial yang Dimodofikasi, Tesis Program Magister, Institut Teknologi Bandung. (pustaka dari skripsi atau thesis)

seminar nasional matematika dan aplikasinya 2013

Documents