Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -I”

2

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

Dalam Sesi-4 ini kita akan membahas

Bangun Geometris

4

Nilai Peubah

Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan

Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks

Contoh: 122 xy21 xy

Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0 y = akar bilangan negatif

11 yKarena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

11 xDalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

sehingga y bernilai nyata.

5

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

Contoh:

122 xy

Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1]

xy = 1

Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

6

Asimptot

Suatu garis yang didekati oleh kurva namun kurva itu tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot dari kurva tersebut.

Contoh:

10)( 222 xxxy)1(

102

xx

xy

tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0

haruslah x < 0 atau x > 1

Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva

-4

0

4

-4 0 4

y

x

7

Jarak Antara Dua Titik

Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

22 )()(PQ qpqp yyxx

Contoh:

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

[1,4]

[3,8]

20)48()13(PQ 22

8

Parabola Bentuk kurva 2kxy disebut parabola

[0,0]

y

x

y=kx2

P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-yy1 = p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y1

ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR

Q disebut titik fokus parabola Garis y1 disebut direktrik

Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

xppyy

xpy

xp

222

22

22

2

)(

)2PR(PQ

py )(PR

pyxppyy 222 2p

xy

4

2

pk

41

k

p41

241

xp

y

P[x,y]

Q[0,p]

R[x,p]

9

y1

PQ=PR

Persamaan parabola Titik fokus:

k41,0Q

Contoh:

Parabola 25,0 xy

Direktrik: 5,0 py

Titik fokus: Q[0,p]

10

5,0k

Q[0,(0,5)]

5,05,04

141

k

p

Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran

Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

22 yxr 222 ryx

persamaan lingkaran berjari-jari r

berpusat di [0.0]

222 )()( rbyax Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-xdan sejauh b ke arah sumbu-y

Persamaan umum lingkaranberjari-jari r berpusat di (a,b)

11

-1

1

-1 1

0,5

0,5[0,0] x

y

r = 1

122 yx

r

222 )5,0()5,0( ryx

Contoh:

12

Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

• X[x,y]

• P[-c, 0]

• Q[c, 0] x

y22)(XP ycx

22)(XQ ycx

2XQXP a

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

2222 )(2)( ycxaycx

kwadratkan

13

P dan Q dua titik tertentu, dan X sebuah titikdi bidang xy.

Jika XP+XQ konstan, X mengikuti kurva elips

aycxycx 2)()( 2222

kita misalkan

14

22)( ycxxac

a

22222

22 22 yccxxx

ac

cxa

1 22

2

2

2

cay

ax

kwadratkan

sederhanakan

22

2 2XQXP :PXQ segitiga di

ca

ca

12

2

2

2

b

y

a

x

222 :Sebutlah cab

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

2222222 )(4)(4)( ycxaycxaycx

• P[-c, 0]

• Q[c, 0] x

y• X[x,y]

222222 )( acyxac

12

2

2

2

b

y

a

x

15

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

y[a,0] [a,0]

[0,b]

[0,b]

sumbu panjang = 2a

sumbu pendek = 2b

16

Elips tergeser 1

)()(2

2

2

2

bqy

apx

122 aa

5,012 bb1

-1

0-1 0 1 2x

y

15,0

)25,0(1

)5,0(2

2

2

2

yx

5,0p

25,0q

Contoh:

Persamaan elips:

Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih

jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

y

x

22)(XP ycx 22)(XQ ycx

aycxycxXQXP 2)()( 2222

2222 )(2)( ycxaycx

17

kwadratkan

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

18

Dalam segitiga PXQ (XPXQ) < PQ

2c < 2a sebut c2 a2 = b2

12

2

2

2

by

ax

persamaan hiperbola

22)()/( ycxaxac

1 22

2

2

2

acy

ax

sederhanakan

kwadratkan

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

222222 )(2)/( ycxacxxac

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

y

x

12

2

2

2

by

ax

+

X(x,y)

-c c

y

x

[-a,0] [a,0]

Kurva tidak memotong sumbu-y

Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a

19

axaxy 0Untuk 22

Kurva Berderajat Dua bentuk khusus

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

022 FEyDxCyBxyAx

Persamaan parabola: pEAFDCB 4 ;1 ;0

Lingkaran: ;1 ;1 ;0 CAEDB F = 1

Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas.

Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

20

Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x

aayaxayax 2)()()()( 2222

22 )()( ayaxayx 22 axy

Mempertukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,

2222 )()(2)()( ayaxaayax

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x. -5

0

5

-5 0 x

y

P[-a,-a]

Q[a,a]

y

x

X[x,y]

21

Selisih jarak X ke P dan X ke Q :

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik MatematikaSesi 3

Sudaryatno Sudirham

22