Download - Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
1
Kuliah terbuka kali ini berjudul
“Pilihan Topik Matematika -I”
2
Dalam Sesi-4 ini kita akan membahas
Bangun Geometris
4
Nilai Peubah
Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan
Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks
Contoh: 122 xy21 xy
Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0 y = akar bilangan negatif
11 yKarena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
11 xDalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
sehingga y bernilai nyata.
5
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
Contoh:
122 xy
Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1]
xy = 1
Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
6
Asimptot
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun kurva itu tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot dari kurva tersebut.
Contoh:
10)( 222 xxxy)1(
102
xx
xy
tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0
haruslah x < 0 atau x > 1
Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva
-4
0
4
-4 0 4
y
x
7
Jarak Antara Dua Titik
Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka
22 )()(PQ qpqp yyxx
Contoh:
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
[1,4]
[3,8]
20)48()13(PQ 22
8
Parabola Bentuk kurva 2kxy disebut parabola
[0,0]
y
x
y=kx2
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-yy1 = p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y1
ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR
Q disebut titik fokus parabola Garis y1 disebut direktrik
Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya
xppyy
xpy
xp
222
22
22
2
)(
)2PR(PQ
py )(PR
pyxppyy 222 2p
xy
4
2
pk
41
k
p41
241
xp
y
P[x,y]
Q[0,p]
R[x,p]
9
y1
PQ=PR
Persamaan parabola Titik fokus:
k41,0Q
Contoh:
Parabola 25,0 xy
Direktrik: 5,0 py
Titik fokus: Q[0,p]
10
5,0k
Q[0,(0,5)]
5,05,04
141
k
p
Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran
Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r
22 yxr 222 ryx
persamaan lingkaran berjari-jari r
berpusat di [0.0]
222 )()( rbyax Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-xdan sejauh b ke arah sumbu-y
Persamaan umum lingkaranberjari-jari r berpusat di (a,b)
11
-1
1
-1 1
0,5
0,5[0,0] x
y
r = 1
122 yx
r
222 )5,0()5,0( ryx
Contoh:
12
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips
• X[x,y]
• P[-c, 0]
• Q[c, 0] x
y22)(XP ycx
22)(XQ ycx
2XQXP a
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
2222 )(2)( ycxaycx
kwadratkan
13
P dan Q dua titik tertentu, dan X sebuah titikdi bidang xy.
Jika XP+XQ konstan, X mengikuti kurva elips
aycxycx 2)()( 2222
kita misalkan
14
22)( ycxxac
a
22222
22 22 yccxxx
ac
cxa
1 22
2
2
2
cay
ax
kwadratkan
sederhanakan
22
2 2XQXP :PXQ segitiga di
ca
ca
12
2
2
2
b
y
a
x
222 :Sebutlah cab
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
2222222 )(4)(4)( ycxaycxaycx
• P[-c, 0]
• Q[c, 0] x
y• X[x,y]
222222 )( acyxac
12
2
2
2
b
y
a
x
15
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x
y[a,0] [a,0]
[0,b]
[0,b]
sumbu panjang = 2a
sumbu pendek = 2b
16
Elips tergeser 1
)()(2
2
2
2
bqy
apx
122 aa
5,012 bb1
-1
0-1 0 1 2x
y
15,0
)25,0(1
)5,0(2
2
2
2
yx
5,0p
25,0q
Contoh:
Persamaan elips:
Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih
jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
X(x,y)
P[-c,0] Q[c,0]
y
x
22)(XP ycx 22)(XQ ycx
aycxycxXQXP 2)()( 2222
2222 )(2)( ycxaycx
17
kwadratkan
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
18
Dalam segitiga PXQ (XPXQ) < PQ
2c < 2a sebut c2 a2 = b2
12
2
2
2
by
ax
persamaan hiperbola
22)()/( ycxaxac
1 22
2
2
2
acy
ax
sederhanakan
kwadratkan
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
222222 )(2)/( ycxacxxac
X(x,y)
P[-c,0] Q[c,0]
y
x
12
2
2
2
by
ax
+
X(x,y)
-c c
y
x
[-a,0] [a,0]
Kurva tidak memotong sumbu-y
Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a
19
axaxy 0Untuk 22
Kurva Berderajat Dua bentuk khusus
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah
022 FEyDxCyBxyAx
Persamaan parabola: pEAFDCB 4 ;1 ;0
Lingkaran: ;1 ;1 ;0 CAEDB F = 1
Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas.
Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
20
Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x
aayaxayax 2)()()()( 2222
22 )()( ayaxayx 22 axy
Mempertukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,
2222 )()(2)()( ayaxaayax
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x. -5
0
5
-5 0 x
y
P[-a,-a]
Q[a,a]
y
x
X[x,y]
21
Selisih jarak X ke P dan X ke Q :
Kuliah Terbuka
Pilihan Topik MatematikaSesi 3
Sudaryatno Sudirham
22