Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -III”

2

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

Permutasi dan Kombinasi

4

Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponenyang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap kelompok

urutan komponen diperhatikan

Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya

terdiri dari 2 huruf

Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah

BAAB dan diperoleh 2 kelompok

Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B

Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B

Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A

5

1. Permutasi

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:

ACB

ABC

BCA

BAC

CBA

CAB diperoleh 6 kelompok

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamatinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua

maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga

Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah

6123

6

Jumlah kemungkinan komponen yang

menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan komponen yang

menempati posisi kedua

Jumlah kemungkinan komponen yang

menempati posisi ketiga

Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf

ada 24 kelompok

Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1

7

ABCD BACD CDAB DABCABDC BADC CDBA DACBACBD BCAD CABD DBCAACDB BCDA CADB DBACADCB BDAC CBAD DCABADBC BDCA CBDA DCBA

jumlah kelompok yang mungkin dibentuk

4321=24 kelompokyaitu:

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun dari n komponen

yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah

!1.........)2()1( nnnn

8

Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!dan kita tuliskan

!nPnn Kita baca : n fakultet

Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,

tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n

knP

Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan

Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah

123424 P

9

Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.

Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.

Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan

1212

123424

P

Secara Umum:

)!(

!

kn

nPkn

Contoh:

30561234

123456

)!26(

!626

P

Contoh:

360345612

123456

)!46(

!646

P

10

Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponen yang mungkin dilakukan tanpa mempedulikan urutannya

11

Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu

ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA

namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu

ABC

karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan

ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA

2. Kombinasi

Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan

jumlah permutasi nPk

dibagi dengan permutasi k

Kombinasi k dari sejumlah n komponen dituliskan sebagai nCk

Jadi! )!(

!

! kkn

n

k

PC knkn

12

Contoh:

Berapakah kombinasi dua-dua dari empat hurufA, B, C, dan D

61212

1234

!2)!24(

!4

!224

24

P

C

13

yaitu:

Jawab:

AB

AC

AD

BC

BD

CD

Distribusi Maxwell-Boltzman

Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja

dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi

Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut

dst. 321 EEE

14

Contoh Aplikasi

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada

dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah

dst.

elektron terdapat di

elektron terdapat di

elektron terdapat di

33

22

11

nE

nE

nE

maka jumlah cara penempatan elektron di E1 merupakan permutasi n1 dari N yaitu

)!(

!

11 1 nN

NPP Nn

15

Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari (Nn1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1

)!(

)!(

21

1)(2 12 nnN

nNPP nNn

)!(

)!(

321

21)(3 213 nnnN

nnNPP nnNn

dst.

Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari (Nn1n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2

16

Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara

satu elektron dengan elektron yang lain

Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N yaitu

!)!(

!

!n

1111

1

nnN

NPC Nn

Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.

!)!(

)!(

!)!(

221

1

21

)(2

12

nnnN

nN

nN-n

PC nNn

!)!(

)!(

!)!(

3321

21

3331

)(3

213

nnnnN

nnN

nnnnN

PC nnNn

dst.

17

Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability

Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.maka probabilitas tingkat-tingkat energi

dst.

elektron ditempati

elektron ditempati

elektron ditempati

33

22

11

nE

nE

nE

adalah

dst.

333

222

111

3

2

1

CgF

CgF

CgF

n

n

n

Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah:

!.....!!

............... ....

321

321321321321

321

321

nnn

gggCCCgggFFFF

nnnnnn

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann

18

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e

“Mengenal Sifat Material”

19

TkEii

BiegZ

Nn /

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann

Jumlah elektron pada tingkat energi Ei

temperatur

konstanta Boltzmann

tingkat energi ke-i

probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i

fungsi partisi

i

Ei

iegZ

20

Distribusi Fermi-Dirac

Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut

dst. 321 EEE

Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum

dan tidak lebih dari dua elektron berada pada status yang sama.

Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat

energi yang bersangkutan

Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu

tingkat energi

21

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,

yaitu

dst.

elektron terdapat di

elektron terdapat di

elektron terdapat di

33

22

11

nE

nE

nE

22

Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut

permutasi dan kombinasi

Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst

!)!(

!

111 nnN

NC

!)!(

)!(

221

12 nnnN

nNC

!)!(

)!(

3321

213 nnnnN

nnNC

dst.

Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi

)!(!

!

111

11 ngn

gF

!)!(

!

222

22 nng

gF

!)!(

!

333

33 nng

gF

dst.

i iii

ii ngn

gFFFFF

)!(!

!...321

23

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e

“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di blog ini juga

24

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac

1/)(

TkEEi

iBFie

gn

Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T 0

0)(untuk

0)(untuk 0lim /)(

0

Fi

FiTkEE

T

EE

EEe BFi

Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat

elektron di atas EF

EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.

25

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika III

Sesi 4

Sudaryatno Sudirham

26