sdc/2 stmik mi, si & ti/ statistik dasar hw/ terapan, dan mempelajari perilaku dari faktor...

7/27/2015

~~ Statistik Probabilitas~~ 1

1

present futurepast

probabilitas,peluang bisnis,cita-cita & harapanplanning,pengembangan,mau nikah,kredit motor, dll

sejarah,masa lalu,

data time series,Succes Story

Ada ketidakpastian, dg ilmu

peluang positipOptimisme

Kita sekarang menjaga kesehatan,untuk lebih sehat di masa datang

sdc/2 STMIK MI, SI & TI/_Statistik Dasar HW/

Manfaat : jarang lupa, tidak terkejut, Antisipatif,Ber-alternatif, Improvisasi, Kreatif & Inovatif

Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Teori Probabilitas Teori Probabilitas merup. Cabang dari Ilmu

Matematika Terapan, dan mempelajari perilakudari faktor untung-untung-an

Dipengaruhi :

pemikiran teoritis & hasil observasi perjudian

cara pemecahan : harapan matematis

2Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

7/27/2015


Perumusan Probabilitas Mis. ada 10 bola merah & 10 bola putih yg identik (kec.

warnanya), dimasukkan ke wadah tertutup. Bila diambil 1bola maka : terambil BOLA MERAH atau BOLA PUTIH

Ada 2 macam kondisi : Kondisi yang diketahui bola identik, kecuali warnanya ; bolanya

ada 10 MERAH & 10 PUTIH

Kondisi yang tidak diketahui posisi/kedudukan bola-2 tsb ;tindakan pemilihan berdasarkan kemauan saja, tanpamerencanakan ttg yg akan dipilih


Kondisi yang diketahui

tergantung dari OBYEK-nya, mis. pada obyeksederhana DADU, KARTU, MATA UANG.Obyek yang lebih komplek merk sepedamotor, merk mie instan, jumlah penduduksuatu wilayah, dll.

harus diketahui terlebih dulu, bila perlu harussurvai atau sensus.


7/27/2015


Kondisi yang tidak diketahui tergantung dari proses eksperimen bisa ditentukan dg perhitungan tidak dapat diduga dg PASTI, tapi dapat

dianalisa atas dasar logika ilmiah Teori Probabilitas memberikan cara

pengukuran KUANTITATIF ttg terjadinyasuatu peristiwa


Ada 3 Konsep Probabilitas1. Pendekatan Klasik2. Pendekatan Frekuensi Relatif

a) Newbold, P. (1995) dan Anderson(2002)

b) Walpole, RE. (1982)

3. Pendekatan Subyektif


7/27/2015


KONSEP PROBABILITA1. Pendekatan Klasik : berbasis obyek-nya

Pendekatan ini menggunakan asumsi jika suatu percobaanmemiliki n kemungkinan hasil, maka peluang masing-masingkejadian adalah 1/n.

Contoh: Pelemparan sebuah dadu bermata 6

Percobaan : Pelemparan sebuah dadu

Ruang Sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Probabilita : Masing-masing kejadian munculnya matadadu memiliki peluang sama, yaitu 1/6


KONSEP PROBABILITA2. Pendekatan Frekuensi Relatif : eksperimen

a. Newbold, P. (1995) dan Anderson (2002):

Jika NA merupakan banyaknya kejadian A munculdalam suatu percobaan berulang sebanyak N, makadengan konsep relative frequency, peluang bahwa Aakan terjadi adalah

N

NAP A)(


7/27/2015


KONSEP PROBABILITA2. Pendekatan Frekuensi Relatif: (Lanjutan)

b. Walpole, RE. (1982):

Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaanyg berbeda, dan masing-masing mempunyaikemungkinan yg sama untuk terjadi, dan bila tepat ndiantara hasil percobaan itu menyusun suatukejadian A, maka peluang kejadian A adalah

9

n

mEpatau

N

nAP

n lim)()(


Pada pelemparan dadu 1000 kali, m/n akan memilikitendensi/kecenderungan ke suatu NILAI KONSTAN (1/6)

p(E) Probabilitas Statistik /Probabilitas Empiris.

Bila n maka Probabilitas empiris akan mendekatiprobabilitas teoritis

10

n

mEp

n lim)(

x 1 2 3 4 5 6

m 166 169 165 167 169 164

m/n 166/1000 169/1000 165/1000 167/1000 169/1000 164/1000


7/27/2015


KONSEP PROBABILITA3. Pendekatan Subyektif

Contoh:Pemilihan calon Manajer Pemasaran di sebuahperusahaan berdasarkan keputusan Pimpinanperusahaan, umumnya menggunakan pendekatanini. Misalkan A yang memiliki pengalaman danprestasi kerja yang lebih baik daripada B, maka Aakan diberikan peluang yang lebih besardibandingkan B.


Jadi, ...

Probabilitas dirumuskansebagai RASIO atau

PROPORSI atauPERBANDINGAN


7/27/2015


Variabel Random : Variation + able = berbeda/bervariasi + dapat, lawannya =

konstanta

Variabel yg nilainya merup. suatu bilangan yg ditentukanoleh terjadinya hasil suatu percobaan

Variabel yg secara teoritis dapat menerima sembarang nilai

Terdiri atas :

Variabel Diskrit bil. bulat, pencacahan, { 1, 2, 3 }

Variabel Kontinu bil. pecahan, pengukuran, { 1 x 3 }


Diagram Venn & Ruang Sampel

Azas-azas Teori Kelompok :

Perumusan ttg Probabilitas Matematik menggunakanistilah & pengertian ttg Teori Kelompok = Teori Himpunan= Set Theory

Kelompok = set :

Kumpulan dari obyek, benda atau simbol yg dapatdibedakan dan diberi batasan/rumusan/definisi yg tegas

Definisi : Dorce, Mr. X


7/27/2015


Diagram Venn & Ruang Sampel Tiap obyek secara kolektif membentuk suatu kelompok

dinamakan UNSUR (ELEMENT). Sehingga tiap unsurmerup. anggota dari kelompok tsb.

Jika a merup. suatu obyek, sedangkan S adalah suatuKelompok, maka :

a S a merup. satu unsur dari kel. S

a S a bukan merup. satu unsur dari kel. S


Diagram Venn & Ruang SampelAda 3 jenis kelompok :

1. Kelompok yg TERBATAS / Finite Set, jikasusunannya tertentu, dari awal sd akhir

2. Kelompok yg TIDAK TERBATAS / Infinite Set,jika susunannya tidak terbatas

3. Kelompok KOSONG/empty set/null set, jika

tidak memiliki unsur atau16Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

7/27/2015


Diagram Venn & Ruang SampelPerincian ttg KELOMPOK Cara DAFTAR, semua unsur diuraikan.

mis. mata dadu S = { 1,2,3,4,5,6 } Cara KAEDAH, dg menuliskan definisi atau

syaratnya.mis. mata dadu S = { x : x adalah bil. bulat dan1 x 6 }


Diagram Venn & Ruang SampelContoh

Bila S = { 1,2,3,4,5,6 } dan N merup, kelompok ygterdiri dari angka-angka kuadrat dari rumus S, maka

N = { 1,4,9,16,25,36 } atau

N = { x2 : x merup. unsur dari S }

Jika HH = { a,i,u,e,o } maka

HH = { x : x ialah huruf hidup/vokal dari 26 abjad }18Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

7/27/2015


Diagram Venn & Ruang SampelKelompok & Sub-Kelompok :

Keseluruhan obyek yg membentuk kelompokyg besar dan tetap = kelompok universil /universal set / populasi = disebut KELOMPOKsaja

Kelompok yg dipilih dan dibentuk darikelompok universil = sub kelompok / sampel


Diagram Venn & Ruang SampelKelompok & Sub-Kelompok :

Kelompok A merup. sub-kelompok B, bila setiap unsur dari Ajuga merupakan unsur dari B, dan dinyatakan sbg A B danKelompok Kosong sbg sub-kelompok dari tiap kelompok

Mis.

{ 2,4 } { 1,2,4 }

{ 1,3 } { x : x 1 }

{ 1,5 } { 1,5 } kelompok dpt merup. sub-kelompok daridirinya sendiri. Bila kelompok A = kelompok B, maka A Bdan B A = kelompok identik


7/27/2015


Unsur Sub-kelompok Bila n merup. bil. bulat positip, maka suatu

kelompok dg unsur sebanyak n, akan memiliki2n sub-kelompok yg berbeda

n=1 21 = 2 {a}, {} n=2 22 = 4 {a}, {b}, {a,b}, {} n=3 23 = 8 {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},

{a,b,c}, {}


Diagram Venn & Ruang Sampel

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok :

1. Komplemen atau yg bukan kel. tsb

2. Interseksi/Irisan

3. Gabungan/Union

4. Mutually Exclusive Events22Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

7/27/2015


Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok1. Komplemen suatu kejadian

Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S(semesta) adalah himpunan semua anggota S yangbukan anggota A, dilambangkan dengan Ac.

Diagram Venn berikut mengilustrasikan Ac.

23

}:{ AxUxAA C Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

2. Interseksi/Irisan dari 2 atau lebih kejadian

Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A B, adalah kejadian yang mengandung semua unsurpersekutuan kejadian A dan B.

Diagram Venn berikut mengilustrasikan A B.

24

A B

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok

}:{ BxdanAxxBA Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

7/27/2015


Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok3. Union/Gabungan dari 2 atau lebih kejadian

Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkandengan A B, adalah kejadian yang mencakupsemua unsur anggota A atau B atau keduanya.

Diagram Venn berikut mengilustrasikan A B.

25

}:{ BxatauAxxBA Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok

4. Kejadian yang saling meniadakan (Mutually ExclusiveEvents)

adalah suatu kejadian yang meniadakan kejadianlain untuk muncul dalam suatu ruang contoh.

26

BAS

BAHaryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

7/27/2015



Contoh : Jika U = 26 abjad alfabet, A = sub-kelompok huruf

vokal { a,i,u,e,o }, dan B = sub-kelompok 3 hurufpertama dari alfabet { a,b,c }.

Tentukan : Ac

Bc

A B =

A B =

28

A B


7/27/2015


Contoh : Jika U = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3 },

B = { 2,4,6 } & C = { 1,3,5,7 } Tentukan :

Ac

Bc

Cc

A B = A B =

29

A

C

B


Contoh : Sebuah perusahaan industri menggolongkan

pegawai A, B & C.

Gol. A = pegawai yg rajin

Gol. B = pegawai yg sehat

Gol. C = pegawai yg berpendidikan

dan mungkin saja seorang pegawai rajin, sehatdan berpendidikan. Dengan survei 100 orang.

Berapa orang yang harus di PHK ? PHK =tidak rajin, tidak sehat & tidak berpendidikan.


7/27/2015


Contoh : Hasil survei :

31

Golongan Jumlah pegawai

A 50

B 52

C 40

A dan B 20

A dan C 13

B dan C 15

A dan B dan C 5

A

C

B

ABC

CBA

BCA

ABC

CAB CBA

CAB

BCA5

1522

?17

8 10

22

Diagram Venn menggambarkan secara sistimatisjumlah pegawai yg termasuk ke dalam suatu

golongan saja TANPA pencatatan rangkap


Solusi :

1. = 5

2. = AB = 20 5 = 15

3. = AC = 13 5 = 8

4. = BC = 15 5 = 10

5. = A ( + + )

6. = 50 ( 5 + 15 + 8 ) = 22

7. = B ( + + )

8. = 52 ( 5 + 15 + 10 ) = 22

9. = C ( + + )

10. = 40 ( 5 + 8 + 10 ) = 17 32

Golongan Jumlah pegawai

A 50

B 52

C 40

A dan B 20

A dan C 13

B dan C 15

A dan B dan C 5

A

C

B

ABC

CBA

BCA

ABC

CAB CBA

CABBCA5

1522

?17

8 10

22

ABC

CAB ABC

CBA ABC

BCA ABC

BCA CABABC CBA

CBA ABC CAB BCA

ABC CBA BCA

ABC CAB

Solusi :


7/27/2015


Ruang Sampel Bila tiap hasil suatu percobaan sesuai dg

salah satu unsur suatu kelompok, makakelompok tsb Ruang Sampel

Atau, semua kemungkinan hasil percobaan

Termasuk, dalam KONDISI YG DIKETAHUI

Harus ditentukan terlebih dahulu, sebelummenentukan nilai probabilitas


Ruang Sampel Sebuah ruang sampel S merup. sebuah

kelompok yg : tiap unsur dari S menyatakan satu hasil

percobaan Tiap hasil percobaan harus sesuai dg satu dan

hanya satu dari unsur S

Ruang sampel sangat khas, tergantung dariobyek yang akan ditentukan nilaiprobabilitasnya


7/27/2015


Ruang SampelObyek Ruang Sampel :

Uang Logam, bersisi 2 2keping K=kepala,E=ekor

1 keping RS = 21 = 2 {K, E}

2 keping RS = 22 = 4 {KK, KE, EK, EE}

3 keping RS = 23 = 8 {KKK, KKE, KEK,KEE, EKK, EKE, EEK, EEE}

4 keping RS = 24 = 16 .........


Ruang Sampel


7/27/2015


Ruang Sampel : 52 kartu bridge


Ruang SampelObyek Ruang Sampel : Dadu, bersisi 6 6keping

1 dadu RS = 61 = 6

2 dadu RS = 62 = 36

3 dadu RS = 63 = 216

Bila dadu MERAH & dadu PUTIH dilempar bersama, maka JUMLAHMATA DADU-nya mempunyai Ruang Sampel

S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

38

x , y 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )

2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )

3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )


7/27/2015


Ruang Sampel Ruang Sampel pelemparan 2 dadu tsb bisa ditulis :

S = { (x,y) | 1 x 6 ; 1 y 6 }

Maka :

Ruang Sampel terdiri atas 36 titik sampel

Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel = 1/36

Contoh :

Buktikan probabilitas x = y sebesar 1/6

Buktikan probabilitas y x + 3 sebesar 1/6

39

x , y 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )

2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )

3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )


RS ATURAN PENGHITUNGAN Bila obyek masih sederhana (bisa diuraikan unsur-2-

nya), maka Ruang Sampel bisa di tentukan darimenguraikan unsur-2 Ruang Sampel-nya. Obyeksederhana, misal. mata uang & dadu

Bila obyeknya lebih KOMPLEK, maka digunakan :ATURAN PENGHITUNGAN (COUNTING RULES)Terdiri :

Kaidah penggandaan (Multiplication rule) Permutasi (seluruhnya, sebagian & berbeda) Kombinasi


7/27/2015


ATURAN PENGHITUNGAN1. Kaidah penggandaan (Multiplication rule).

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bilauntuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan

dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yangpertama operasi ketiga bisa dilakukan dalam n3 cara, dandemikian seterusnya, maka k operasi dalam urutantersebut dapat dilakukan dalam n1n2nk cara.

Dapat dijabarkan secara mudah dengan bantuandiagram pohon (tree diagram)


ATURAN PENGHITUNGANCONTOH: INVESTASI BRADLEY Bradley menginvestasikan uangnya pada 2 saham, yaitu Markley Oil dan

Collins Mining. Bradley telah menghitung kemungkinan hasilnya selama3 bulan dari sekarang. Berikut kemungkinannya :

Keuntungan (+)/kerugian () investasi dalam 3 bulan ($000)Markley Oil Collins Mining

10 8

5 -2

0

-20


7/27/2015


ATURAN PENGHITUNGAN Diagram Pohon

Markley Oil Collins Mining Hasil(Stage 1) (Stage 2) Percobaan

U ntung 5U ntung 5

U ntung 8U ntung 8

U ntung 10U ntung 10

R ugi 20R ug iR ug i 20

R ug i 2R ug i 2

Im pasIm pas

(10, 8 )(10, 8 ) U n tungU ntung $18 ,000$18 ,000

(10,(10, --2)2) U n tungU ntung $8,000$8,000

(5 , 8)(5 , 8) U n tungU ntung $13 ,000$13 ,000

(5 ,(5 , --2 )2) U n tungU ntung $3,000$3,000

(0 , 8)(0 , 8) U n tungU ntung $8,000$8,000

(0 ,(0 , --2 )2) R ug iR ug i $2,000$2,000

(( --20 , 8)20, 8) R ug iR ug i $12 ,000$12 ,000

(( --20 ,20, --2 )2 ) R ug iR ug i $22 ,000$22 ,000

U ntung 8U ntung 8

U ntung 8U ntung 8

U ntung 8U ntung 8R ugi 2R ugi 2

R ug i 2R ug i 2

R ug i 2R ug i 2

U ntung 5U ntung 5

U ntung 8U ntung 8

U ntung 10U ntung 10

R ugi 20R ug iR ug i 20

R ug i 2R ug i 2

Im pasIm pas

(10, 8 )(10, 8 ) U n tungU ntung $18 ,000$18 ,000

(10,(10, --2)2) U n tungU ntung $8,000$8,000

(5 , 8)(5 , 8) U n tungU ntung $13 ,000$13 ,000

(5 ,(5 , --2 )2) U n tungU ntung $3,000$3,000

(0 , 8)(0 , 8) U n tungU ntung $8,000$8,000

(0 ,(0 , --2 )2) R ug iR ug i $2,000$2,000

(( --20 , 8)20, 8) R ug iR ug i $12 ,000$12 ,000

(( --20 ,20, --2 )2 ) R ug iR ug i $22 ,000$22 ,000

U ntung 8U ntung 8

U ntung 8U ntung 8

U ntung 8U ntung 8R ugi 2R ugi 2

R ug i 2R ug i 2

R ug i 2R ug i 2


ATURAN PENGHITUNGAN2. Permutasi (berbeda sama & berbeda n & r-nya) :

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari nbenda yang berbeda adalah

dimana n! = n.(n-1).(n-2) (2).(1)

(n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2) (2).(1)

0! = 1

)!(

!

rn

nPrn


7/27/2015


ATURAN PENGHITUNGANContoh :

Permutasi Seluruhnya : bila n = r

Dalam berapa cara 3 buku A, B & C yg berbeda dapat diletakkan secarateratur di rak buku ? ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA

Permutasi Sebagian : bila n > r

Dalam berapa carakah 2 huruf yg berbeda dari kata l a u t dapat diaturatau dipilih dalam suatu urutan tertentu ? {l,a}, {l,u}, {l,t}, {a,l}, {a,u},{a,t}, {u,l}, {u,a}, {u,t}, {t,l}, {t,a} & {t,u}

45

61

3.2.1

!0

!3

)!33(

!333

P

12!2

4.3!.2

!2

!4

)!24(

!424

P


Contoh :

Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untukmenentukan hadiah pertama dan kedua, makabanyaknya titik contoh [ruang sampel / samplespace] adalah

46

38020.19!18

20.19!.18

!18

!20

)!220(

!20

)!(

!220

rn

nP


ATURAN PENGHITUNGAN

7/27/2015


ATURAN PENGHITUNGAN3. Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1

diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, , nkberjenis ke-k adalah

Contoh:

Banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuatsebuah rangkaian lampu hias yang terdiri dari 3 lampumerah, 4 kuning, dan 2 biru adalah

!!...!

)!...(

!!...!

)!(

21

21

2 k

k

ki

i

nnn

nnn

nnn

n

47

1260!2!4!3

!9

!2.!4.!3

)!243(


ATURAN PENGHITUNGAN4. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda

adalah

Contoh:

Jika dari 4 orang anggota partai X akan dipilih 2 oranguntuk menjadi anggota suatu tim Pansus, makabanyaknya kombinasi adalah

)!(!

!

rnr

nC

r

nrn

48

62

12

2!.2

4.3!.2

!2!.2

!4

)!24!.(2

!4

2

424

C


7/27/2015


ATURAN PENGHITUNGANContoh:

Berapa jumlah kombinasi sebanyak 3 unsur yg diambil darikelompok {a,b,c,d,e} ?

{a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e},{c,d,e}

Probabilitas untuk memilih sebuah sampel yg terdiri dari 3 orangdari populasi yg terdiri 30 orang adalah :

49

102

20

2.1!.3

5.4!.3

!2!.3

!5

)!35!.(3

!5

3

535

C

4060

1

3.2.1

30.29.28

1

!27.3.2.1

30.29.28!.27

1

!27.!3

!30

1

)!330!.(3

!30

11)3(

330

C

orangp


Perhitungan dalam Probabilitas

1.Probabilitas suatu Peristiwa :

Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n (ruangsampel) hasil yg berbeda & memiliki kesempatan terwujudyg sama (var. random), dan bila m (suatu kejadian tertentu)dari hasil diatas merup. peristiwa A, maka Probabilitasperistiwa A adalah :

Probabilitas peristiwa bukan A adalah :

50

sampelruang

tertentukejadian

kejadianseluruh

tertentukejadian

n

mAp )(

n

mnApAp

)(1)(


7/27/2015


Perhitungan dalam Probabilitas1.Probabilitas suatu Peristiwa :Contoh : Sebutir dadu empat sisinya dicat MERAH, dua sisinya dicat PUTIH.

Bila dadu dilempar sekali, maka : berapakah probabilitas muncul sisi MERAH ? berapakah probabilitas muncul sisi PUTIH ?

Jawab : Prob (Merah) :

Prob (Putih) :

atau

51

667,03

2

6

4)(

n

mmerahp merah

333,03

1

6

2)(

n

mputihp

putih

3

1

3

21)(1)(1)( merahpputihpputihp



2.Peristiwa yg Eksklusif : tidak ada yg sama satu sama lain Bila A & B EKSKLUSIF secara Bersama dan merup. peristiwa,

dalam sebuah ruang sampel terbatas, maka :

dimana A B = dan p (A B) = 0 Mis. Sebutir dadu dilempar sekali,

Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU mata dadu 5?Jawab : p (A B) = p (A) + p(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU 3 ATAU 5ATAU 6 ? 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

52

)()()( BpApBAp


7/27/2015



3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : ada yg sama/kembar Bila peristiwa A & B merup. suatu gabungan (union) dan TIDAK

EKSKLUSIF secara bersama dan terdapat pada sebuah ruangsampel terbatas, maka :

Contoh :Kelompok brigade tempur sukarela, -nya adalahSUKARELAWAN & -nya adalah SUKARELAWATI. 20% dariSUKARELAWATI adalah MAHASISWI, dan 60% dariSUKARELAWAN adalah MAHASISWA.Bila dipilih secara random seorang dari brigade tsb, berapakahprobabilitas seorang WANITA atau seorang Mahasiswa terpilih ?

53

)()()()( BApBpApBAp


Perhitungan dalam Probabilitas3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif :

Bila digambar Diagram Pohon-nya (Tree Diagram) :

54

N

NSukarelawan

60%Mahasiswa

40% bukanMahasiswa

NSukarelawati

20%Mahasiswi

80% bukanMahasiswi

mahasiswaHaryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

7/27/2015



3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif :Jawab : Bila A = peristiwa WANITA terpilih = 0,5 SUKARELAWATI Pengertian Mahasiswa PEREMPUAN & LAKI-LAKI.

Bila B = peristiwa MAHASISWA terpilih ada 2 asal MAHASISWA = ygPerempuan + yg Laki-laki = (20% x ) + (60% x ) = 10% + 30% = 40%= 0,4

Yang RANGKAP = p (AB) = 20% x = 0,1 ada mahasiswi yg WANITAsekaligus Kuliah (mahasiswa).

Maka :p (A B) = p (A) + p(B) - p (A B)

= 0,5 + 0,4 0,1= 0,8 N.

55

0,4 0,3

A

B

S0,1



4.Peristiwa yg KOMPLIMENTER :

Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa A dalamsebuah ruang sampel yg sama dan bila A meliputisemua unsur kecuali A, maka A merup. peristiwaKOMPLIMENTER bagi A

Notasi : p (A) = 1 p(A)

Contoh lihat Perhitungan no. 1

56

_

__

_


_

7/27/2015




Perhitungan dalam Probabilitas5.Peristiwa yg INDEPENDEN :

Bila dan hanya bila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa PERTAMA,tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya peristiwa KEDUA.Peristiwa Pertama TIDAK TERKAIT dengan peristiwa Kedua.

Notasi : p (A B) = p (A) . p(B)

Contoh :

Pada pelemparan dua butir dadu MERAH & PUTIH, tentukan probabilitasDADU MERAH X 3 dan DADU PUTIH Y 5 !

Jawab :

Siapkan Ruang Sampelnya

tentukan P(X 3)

tentukan P(Y 5)


7/27/2015


Perhitungan dalam Probabilitas5.Peristiwa yg INDEPENDEN :

Probabilitas dadu MERAH X 3 = 18/36 = 1/2

Probabilitas dadu PUTIH Y 5 = 12/36 = 1/3

p (A B) = p (A) . p(B) = 1/2 . 1/3 = 1/6

59

x , y 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )

2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )

3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )


Perhitungan dalam Probabilitas6.Probabilitas BERSYARAT :

Probabilitas mengenai sebagian dari ruang sampel TERKADANG lebihpenting dibandingkan seluruh dari ruang sampelMempersempit RuangSampel

Misal :

Penderita JANTUNG KOTA BANDUNG RS HS.

Daerah rawan KEBAKARAN KOTA BANDUNG Padat penduduk &industri

Terdapat perbedaan pengertian antara probabilitas peristiwa dlm SUB-KELOMPOK & probabilitas ruang sampel ASAL (kelompok) diperlukansyarat tambahan

Probabilitas yg berhubungan dg peristiwa dalam sub-kelompok dinamakanPROBABILITAS BERSYARAT.


7/27/2015



6.Probabilitas BERSYARAT :

Pada pelemparan dadu MERAH (x) & PUTIH (y), bila x + y < 4,berapakah probabilitas x = 1 ?

1. Hasil x + y < 4 B = {(1,1), (1,2), (2,1)} dari RS semula 36,dipersempit menjadi 3 saja. Dari RS = 3, hanya 2 dari 3 ygmemenuhi x = 1 prob. x = 1 dengan syarat x + y < 4 = p(B) =2/3.

2. Bila prob. x = 1 TANPA SYARAT x + y < 4 A = {(1,1), (1,2), (1,3),(1,4), (1,5), (1,6)} p(A) = 6/36 = 1/6

3. Interseksi (yg rangkap) antara peristiwa A & B = A B :p(A) = 1/6 & p(B) = 3/36 p (A B) = 2/36



6.Probabilitas BERSYARAT :

4. Bila prob. peristiwa x = 1 dengan syarat peristiwa x+y

7/27/2015


Variabel Random

Definisi :

Variabel = variatif + able = dapat bervariasi

Random = acak, tidak beraturan, tidak diketahui

Variabel yg nilainya merupakan suatu bilanganyg ditentukan oleh terjadinya hasil suatupercobaan

Or, Outcomes of an experiment expressednumerically


Variabel RandomTerdiri :

V.R. diskrit/discrete :

dinyatakan dg nilai-nilai atau harga-harga yg terbatasjumlahnya, atau dinyatakan dg bilangan bulat {-2, -1,0, 1, 2}

V.R. kontinu/continous :

dinyatakan dg sembarang nilai atau harga-harga ygterdapat dalam suatu interval atau kelompok intervaltertentu, atau dinyatakan dg bilangan pecahan {-2 x 2}


7/27/2015


Variabel Random DISKRITMis. :

Histogram distribusi frekuensi relatif dari hasilpengukuran/observasi variabel random X yg DISKRITdalam suatu percobaan sebanyak 100 kali, yg jugamerup. DISTRIBUSI EMPIRIS

Apa bedanya percobaan 100 dg 1000 kali ?

Bila n=100 ukuran histogram renggang

Bila n=1000 ukuran histogram lebih rapat

Bila n=mendekati kurva kontinu distribusiteoritis 65Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

66Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitasboredom = boring = bosan = jenuh

7/27/2015



Variabel Random DISKRITContoh :

Distribusi frekuensi timbulnyaJUMLAH MATA DADU sebagaihasil percobaan sebanyak 100kali EKSPERIMEN

Bagaimana bila dibandingkandg frekuensi relatif TEORITIS kalau yg TEORITISdirumuskan dari RUANGSAMPEL yg memenuhi.


7/27/2015




Metode Eksperimen/Empiris

7/27/2015


Variabel Random DISKRIT Meskipun histogram frekuensi relatif TEORITIS tidak sama dg

yg EMPIRIS (eksperimen), tapi jika percobaan diulang sampaiTAK HINGGA, maka frekuensi relatif EMPIRIS akan mendekatihistogram TEORITIS-nya.

Ada dua jenis Fungsi Probabilitas :

f (x) = p (X = x) ; f (x) 0 ; f (x) = 1

F (x) = p (X x) ; lim F(x) = 1 untuk x ; lim F(x) = 0 untuk x - Distribusi Kumulatif.


Variabel Random DISKRITDari Ruang Sampel : Pelemparan 2 dadu

Ruang Sampel di atas : S = { (x,y) | 1 x 6 ; 1 y 6 }

Fungsi probabilitas Jumlah Mata Dadu, X= 2, 3, ..., 12.

72

x , y 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )

2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )

3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )


7/27/2015


VR Diskrit Jika X menyatakan variabel random yang harganya bagi

sembarang unsur dalam S (ruang sampel) ialah JUMLAH matadadu dari sepasang dadu dalam percobaan maka fungsiprobabilitas f(x) adalah :

f(x) = p( X = x ) ; f(x) 0 ; f(x) = 1. Dalam pengambilan keputusan, selain X = x, juga probabilitas X

x atau X x. Maka probabilitas untuk X 100 atau X 100dinyatakan dg :

F(100) = p( X 100 ) atau F(100) = p( X 100 ). F (x) = fungsi probabilitas kumulatif


Variabel Random DISKRIT

Tentukan : ada perbedaan antara f(x) & F(x) f(5) = f(7) = F(3) = F(6) =


7/27/2015




Metode Teoritis



7/27/2015




78

Rata-rata & Standart Deviasi untuk VR Diskrit


7/27/2015



Contoh : Tentukan Rata-rata & Standart Deviasi untuk Jumlah Mata Dadu

yg timbul sebagai hasil pelemparan sepasang dadu.

7


7/27/2015


Contoh : () :

= (2 7)

.

+ (3 7).

+ (4 7).

+

(5 7).

+ (6 7).

+ (7 7).

+ (8 7).

+

(9 7).

+ (10 7).

+ (11 7).

+ (12 7).

= 5.833

Maka, Standart Deviasi = = VAR = (5.833) = 2.415

81

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Jumlah

f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

Xi . f(xi) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 1 6/36 1 4/36 1 30/36 22/36 12/36 7

(Xi - m)2 . f(xi) 0.694 0.889 0.750 0.444 0.139 0 0.139 0.444 0.750 0.889 0.694 5.833


Contoh :Jika 4 (empat) keping uang logam dilempar, berapakah rata-rata & standardeviasi munculnya K (kepala) ? Uang Logam mempunyai

2 sisi (Kepala & Ekor) Fungsi Probabilitas :

= 2.00 = 1.00 Maka, Standart Deviasi = = VAR = (1.00) = 1.00

82

KKKK KEKK EKKK EEKK

KKKE KEKE EKKE EEKE

KKEK KEEK EKEK EEEK

KKEE KEEE EKEE EEEE

Xi 0 1 2 3 4 Jumlah

f(xi) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 1.00

Xi . f(xi) 0 4/16 12/16 12/16 4/16 2.00

(Xi - m)2 . f(xi) 0.250 0.250 0 0.250 0.250 1.00


7/27/2015


Harapan Matematis Bila peristiwa A1, A2, A3, ..., Ak merupakan peristiwa

independen yg lengkap terbatas, sedangkan p1, p2, p3, ..., pkmerupakan probabilitas terjadinya masing-2 peristiwa diatas. Maka, andaikan seseorang memenangkan sejumlahuang U1 bila peristiwa A1 , uang U2 bila peristiwa A2 , dst.terjadi maka :

Harapan Matematis memperoleh kemenangan A(U) :

A(U) = U1.p1 + U2.p2 + ... + Uk.pk Diterapkan dalam pertaruhan (konsep judi) & asuransi


Harapan Matematis [contoh]Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2(dua) uang logam dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerimasejumlah uang dari Y. X akan menerima :

Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.

Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.

Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K).

Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiappermainan agar taruhan dikatakan seimbang ?


7/27/2015


Harapan Matematis [contoh]Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2 (dua) uang logamdilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima sejumlah uang dari Y. X akanmenerima :

Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.

Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.

Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K).

Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap permainan agar taruhandikatakan seimbang ?

Soal di atas memiliki 3 peristiwa :

85

Pelemparan 2 keping Uang Logam :

KK 2K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 1,000,-

KE 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4

EK 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4

EE 0K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 0,- (kalah)

--> Rp 500,-


Harapan Matematis [contoh]Soal di atas memiliki 3 peristiwa :

Kemenangan rata-rata tiap permainan (nilai taruhantiap pengundian) :

A(U) = U1.p1 + U2.p2 + U3.p3 = Rp. 500,-86

Pelemparan 2 keping Uang Logam :

Xi 0 1 2 Jumlah

f(xi) = pk 1/4 2/4 1/4 1

Uk 0 500 1000 1500

Uk . pk 0 250 250 500


7/27/2015


Harapan Matematis [contoh]Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia 25tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yang berartiprobabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000). Bilaperusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25 tahununtuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah keuntungandari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesar Rp 1,000,000,-

Ada 2 peristiwa : [Prob.Kecil x UangBesar] vs [Prob.Besar x UangKecil]

Peristiwa pertama/meninggal dalam setahun p1 = 0.008

Peristiwa kedua/tidak meninggal dalam setahun p2 = 0.992

Peristiwa pertama mengeluarkan uang U1 = - (1,000,000-10,000) = -990,000

Peristiwa kedua menerima uang U2 = + 10,000


Harapan Matematis [contoh]Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia25 tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yangberarti probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000).Bila perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25tahun untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakahkeuntungan dari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesarRp 1,000,000,-

Maka harapan matematisnya :

A(U) = U1.p1 + U2.p2 = [- 990,000 x 0.008 ] + [10,000 x 0,992]

= 2,000,-

dan selama positip, pihak asuransi masihmemperoleh keuntungan.


7/27/2015


Konsep Integral


Konsep Integral


7/27/2015


Konsep Integral


Variabel Random Kontinu Pengukuran-2 berat badan, panjang, diameter, dsb,

dinyatakan dg variabel kontinu. Variabel kontinumenyatakan sembarang nilai dalam suatu interval.Fungsinya dinamakan Fungsi Kepadatan Probabilitas(probability density function).

Jika X merupakan variabel random kontinu yg bernilai - ~s/d + ~ maka Fungsi Kepadatan yang menggambarkanprobabilitas X dalam interval a s/d b dimana a b ialah :


7/27/2015


V.R. Kontinu Contoh #1Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. :

.

Jika x = 2 dan x = 3, berapakah p( x < X < x ) atau berapakah p ( a

sdc/2 stmik mi, si & ti/ statistik dasar hw/ terapan, dan mempelajari perilaku dari faktor...

Documents