0

RUANG VEKTOR UMUM

Dosen Pengampu :

Darmadi S.Si M.Pd

Disusun oleh :

1. Agung Dwi Cahyono (08411.056)

2. Ardie Kusuma (08411.073)

3. Heri Cahyono (08411.145)

4. Lingga Nico Pradana (08411.180)

5. Yudha Sofyan Mahmudi (08411.293)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI MADIUN

2010

1

RRuuaanngg VVeekkttoorr UUmmuumm

A. Difinisi

Sebarang himpunan benda yang dimisalkan dengan V, yang dua operasinya kita

definisikan yakni penambahan dan perkalian skalar (bilangan riil).

Operasi penjumlahan (addition) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang

mengasosiakan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u+v, yang

disebut jumlah u dan v.

Operasi perkalian skalar (scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan

yang mengasosiakan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu objek ku,

yang disebut kelipatan skalar (scalar multiple) dari u oleh k.

Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh

semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor (vector space) dan

benda-benda pada V kita namakan vektor.

Aksioma-aksioma tersebut adalah sebagai berikut :

1) Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u+v berada di V.

2) uvvu

3) wvuwvu

4) Ada sebuah benda 0 di V sehingga uuu 00 untuk semua u di V.

5) untuk setiap u di V, ada sebuah benda u di V yang kita namakan negatif u sehingga

0 uuuu .

6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V.

7) kvkuvuk

8) lukuulk

9) uklluk

10) uu 1

Skalar dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, tergantung pada

aplikasinya. Ruang vektor dimana skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks disebut

ruang vektor kompleks (complex vector space), dan ruang vektor dimana skalar-

skalarnya merupakan bilangan real disebut ruang vektor real (ruang vektor real).

2

Definisi dari suatu ruang vektor tidak menyebutkan sifat dan vektor maupun

operasinya. Objek apa saja dapat menjadi suatu vektor dan operasi penjumlahan dan

perkalian skalar kemungkinan tidak memiliki hubungan atau kemiripan apapun dengan

operasi-operasi vektor standar pada nR , asalkan kesepuluh aksioma ruang vektor

terpenuhi.

Contoh berikut akan memberikan gambaran mengenai kemungkinan keragaman

vektor tersebut. Pada setiap contoh, akan diberikan suatu himpunan V tak kosong dan

dua operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Kemudian akan dibuktikan bahwa

kesepuluh aksioma ruang vektor terpenuhi, sehingga V dapat disebut sebagai suatu ruang

vektor dengan melakukan operasi-operasi yang telah ditentukan.

Contoh soal :

Ruang vektor matriks 3x2

1. M = {semua matriks berordo 3x2}. Operasi penjumlahan pada M adalah operasi

penjumlahan matriks. Operasi perkaliannya adalah perkalian skalar dari F dengan

anggota-anggota M. Apakah M merupakan ruang vektor ?

Penyelesaian :

Misalkan matrik A, matrik B, dan matrik C adalah elemen dari M.

3231

2221

1211

aa

aa

aa

A ,

3231

2221

1211

bb

bb

bb

B ,

3231

2221

1211

cc

cc

cc

C

Aksioma 1:

32323131

22222121

12121111

3231

2221

1211

3231

2221

1211

baba

baba

baba

bb

bb

bb

aa

aa

aa

BA

Maka aksioma 1 terbukti karena A+B adalah matrik berordo 3x2.

3

Aksioma 2:

AB

aa

aa

aa

bb

bb

bb

bb

bb

bb

aa

aa

aa

BA

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

Maka Aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3:

Maka aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4:

A

aa

aa

aa

aa

aa

aa

A

3231

2221

1211

3231

2221

1211

00

00

00

0

Maka aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5:

0

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

AA

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

AA

Maka aksioma 5 terpenuhi:

Aksioma 6:

3231

2221

1211

3231

2221

1211

kaka

kaka

kaka

aa

aa

aa

kkA

Maka aksioma 6 terpenuhi karena kA adalah matrik berordo 3x2 yang merupakan

objek di M.

CBAcc

cc

cc

bb

bb

bb

aa

aa

aa

cc

cc

cc

bb

bb

bb

aa

aa

aa

CBA

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

4

Aksioma 7 :

kBkAbb

bb

bb

k

aa

aa

aa

k

bb

bb

bb

aa

aa

aa

kBAk

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

Maka aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8:

lAkAaa

aa

aa

l

aa

aa

aa

k

aa

aa

aa

lkAlk

3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

Maka aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9:

Aklaa

aa

aa

kl

aa

aa

aa

lklAk

3231

2221

1211

3231

2221

1211

Maka aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10:

A

aa

aa

aa

aa

aa

aa

A

3231

2221

1211

3231

2221

1211

11

Maka aksioma 10 terpenuhi.

Karena kesepuluh aksioma terpenuhi maka himpunan M merupakan suatu ruang

vektor.

5

Ruang Vektor Nol

Misalkan V terdiri dari suatu objek tunggal, yang dinotasikan dengan 0, dan

didefinisikan 0+0=0 dan k0=0 untuk semua skalar k. Apakah V merupakan ruang

vektor?

Pemeriksaan untuk mengetahui apakah semua aksioma ruang vektor telah terpenuhi

dapat dilakukan dengan mudah. Maka ruang vektor ini disebut sebagai ruang vektor

nol (zero vector space).

B. Beberapa Sifat Vektor

Teorema 3. Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k

sebuah skalar maka :

a) 00 u

b) 00 k

c) uu 1

d) Jika ku=0, maka k=0 atau u=0

Bukti :

a. Perhatikan bahwa :

0u+0u =(0+0)u [aksioma 8]

=0u [sifat bilangan 0]

Berdasarkan aksioma 5, vektor 0u memiliki bentuk negatif, -0u. Dengan

menambahkan negatifnya pada kedua ruas diatas, maka akan menghasilkan :

(0u+0u)+(-0u)=0u+(-0u)

0u+[0u+(-0u)]= 0u+(-0u) [aksioma 3]

0u+0 = 0 [aksioma 5]

0u = 0 [aksioma 4]

Maka terbukti 00 u .

6

b. Akan dibuktikan 00 k .

Untuk membuktikannya, maka kita gunakan persamaan 0+0=0.

0+0=0

k(0+0)=k0 [kedua ruas di kalikan k, dimana k adalah skalar]

k0+ k0 = k0 [Aksioma 7]

k0+ k0+(-k0)= k0+(-k0) [kedua ruas ditambahkan (-k0)]

k0+0=0 [Aksioma 5]

k0=0 [Aksioma 4]

Terbukti bahwa 00 k .

c. Untuk menunjukkan uu 1 , diperlihatkan bahwa 01 uu .

uu 1 ` [Aksioma 10]

[Aksioma 8]

[Sifat dari bilangan]

[Teorema 3a]

d. Akan dibuktikan jika ku=0, maka k=0 atau u=0.

ku=ku

ku+k0+0u+0=ku+k0+0u+0 [kedua ruas ditambah k0, 0u, 0]

(k+0)(u+0)= ku+k0+0u+0 [dibuat bentuk perkalian]

(k+0)(u+0)=0+0+0+0 [Diketahui, Teorema 3b, Teorema 3a]

(k+0)(u+0)=0 [Sifat dari bilangan]

k=0 atau u=0

maka terbukti bahwa jika ku=0, maka k=0 atau u=0.

0

0

11

11

u

u

uu

7

DAFTAR PUSTAKA

Purwanto, dkk. 2005 .Aljabar Linier. Jakarta: PT. ERCONTARA RAJAWALI.

Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier Elementer. Jakarta : Erlangga.