rotasi (putaran)

mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

PUTARAN (ROTASI)

Definisi : Sebuah sudut berarah adalah suatu sudut yang salah satu kakinya ditentukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai kaki akhir.

Lambang ABC adalah untuk sudut berarah dengan kaki awal dan kaki akhir .

Untuk melambangkan besarnya sebuah sudut berarah kita tentukan hal-hal berikut :

m ( ABC) = m (ABC) apabila orientasi ganda (BAC) adalah positif

m ( ABC) = - m (ABC) apabila orientasi ganda (BAC) adalah negatif

Apabila ABC sebuah sudut, maka ABC = CBA sehingga m ( ABC) = m ( CBA).

Tetapi untuk sebuah sudut berarah ABC, berlaku m ( ABC) = - m ( CBA). Ini

disebabkan orientasi ganda (BAC) selalu lawan orientasi ganda (BCA).

Apabila ada dua garis berpotongan yang tidak tegak lurus, sudut antara dua garis itu kita

pilih sudut lancip. Sebab ada dua pasang sudut bertolak belakang, satu pasang lancip dan

satu pasang tumpul.

Pada gambar 11.2 besarnya sudut antara garis s dan garis t adalah 70 sedangkan

besarnya sudut antara s dan u adalah 80.

Kita sekarang akan lebih merinci sudut antara dua garis sebagai berikut. Andaikan garis

s dan garis t berpotongan dititik A (gambar 11.3). andaikan P sebuah titik pada s

sedangkan B dan C dua titik t sehingga A terletak antara B dan C. Jika PAB lancip, maka

C

B

A

m ( ABC) = 45

C

A B

m ( CBA) = - 45

G

H I

m ( GHI) = 150

u t

s 70

30

Gambar 11.2

C

A

P

B

Gambar 11.3



dikatakan bahwa sudut dari s ke t adalah PAB. Jika PAB tumpul, maka sudut dari s ke

t adalah PAC.

Pada gambar 11.3 jika m( PAB) = 150, maka besarnya sudut dari s ke t adalah m( PAC)

= -30 sedangkan besarnya sudut dari t ke s adalah m( CAP)= 30.

Pada gambar 11.4 anda dapat melihat bahwa :

1. Sudut dari s ke t : m( APB) = 70

2. Sudut dari s ke u : m( DPC) = -80

3. Sudut dari u ke t : m( CPB) = -30

Sehingga dapat dikatakan bahwa sudut berarah dari satu garis ke garis lain dapat

berkisar antara -90 hingga 90. Sedangkan sudut antara dua garis dapat berkisar antara 0

dan 90.

Dengan didasari oleh sudut-sudut berarah diatas kita sekarang dapat menyelidiki lebih

lanjut hasilkali reflexi-reflexi yang sumbu-sumbunya tidak saling tegak lurus dan juga

tidak sejajar. Sifat ini dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema 11.1 : Andaikan s dan t dua garis yang tidak saling tegak lurus dan yang berpotongan di titik A. Andaikan P dan Q dua titik yang berlainan dengan A, maka m(

PAP) = m( QAQ) dengan P = MtMs (P) dan Q = MtMs (Q)

Bukti :

Kasus 1 . Andaikan P dan K terletak pada garis s (gambar 11.5.a)

maka MtMs (A) = A. Sebut peta ini A, jadi A = A, oleh karena MtMs sebuah isometri, maka

P, K dan A = A terletak pada satu garis yang melalui A. sehingga m( PAP) = m (

KAK).

Kasus 2. Apabila P s dan karena besar sudut-sudut tidak berubah terhadap isometri

maka m( PAK) = m( PAK)

u t

D

C B P

s A

F E

70

30

Gambar 11.4



Oleh karena komposit dua refleksi garis adalah sebuah isometri langsung maka orientasi

ganda (APK) sama dengan orientasi ganda (APK)

Jadi m ( PAK) = m( PAK).

Apabila kedudukan P seperti dalam gambar 11.5.b maka m( PAP) = m(PAK) + m(

KAP). Sedangkan m( KAK) = m( KAP) + m(PAK). Sehingga m( PAP) = m(

KAK)

Kasus 3. Dengan cara yang serupa untuk kedudukan P seperti pada gambar 11.5.c, dapat

pula dibuktikan bahwa m( PAP) = m( KAK)

Jadi dapat disimpulkan bahwa :

Untuk setiap titik P A kita peroleh : m( PAP) = m( KAK)

Begitu pulan untuk titik Q : m( QAQ) = m( KAK)

Sehingga m( QAQ) = m( PAP)

Jadi oleh transformasi MtMs setiap titik terputar dengan sudut berarah yang sama

mengelilingi titik yang sama.

Definisi 2 : Andaikan A sebuah titik dan sebuah bilangan yang memenuhi -180 < < 180. Sebuah rotasi mengelilingi A adalah sebuah padanan RA : V V yang ditentukan

sebagai berikut :

1. RA (A) = A

2. Jika P A maka RA (P) = P sehingga m( PAP) = dan AP = AP.

Teorema 11.2 : Jika s dan t dua garis yang tidak tegak lurus dan yang berpotongan di A dan jika sudut antara garis s ke garis t adalah , maka RA = MtMs

Bukti :

Andaikan sebuah titik P A dan titik K A pada s. andaikan K = MtMs (K) maka m(

KAK) = 2 x = . Jika P = MtMs (P) maka menurut teorema 11.1 m( PAP) = m(

KAK) sehingga m( PAP) =

Berhubung A = MtMs (A) = A dan berhubung MtMs sebuah isometri maka PA = PA atau

PA = PA. menurut ketentuan maka MtMs = RA .

Menurut teorema diatas, komposit dua refleksi terhadap dua garis yang berpotongan

tidak tegak lurus adalah sebuah rotasi dengan titik potong kedua garis itu sebagai pusat.



Jika kaki-kaki sudut dan membentuk dua sinar yang berlawanan arah, sehingga

misalnya (CBA), kita juga dapat mengatakan bahwa adalah ABC dengan

ukuran 180.

Kita dapat pula menulis m( ABC) = 180 atau m( ABC) = -180.

Dengan perluasan konsep sudut ini, kita juga dapat mendefinisikan rotasi dengan sudut

berukuran 180 atau 180. Maka rotasi demikian tidak lain suatu setengah putaran.

Sehingga dapat dikatakan bahwa

Akibat 1 : Hasilkali dua refleksi pada 2 garis adalah suatu rotasi atau suatu translasi. Oleh

karena setiap rotasi dapat diuraikan sebagai dua refleksi garis maka,

Akibat 2 : Setiap rotasi adalah suatu isometri langsung.

Contoh : Jika RA sebuah rotasi yang memetakan P pada P, tentukanlah dua pasang garis

yang dapat digunakan sebagai sumbu-sumbu refleksi sehingga komposit refleksi-refleksi

ini adalah rotasi yang diketahui.

Penyelesaian:

1. Andaikan s = , t adalah garis bagi PAP. Andaikan besarnya sudut dari s ke t

adalah maka RA = MtMs

2. Andaikan u = dan v sebuah garis yang melalui A sehingga besarnya sudut dari

u ke v adalah q maka juga RAQ = MvMu.

Komposisi (hasilkali) putaran

Teorema 11.3 : Hasilkali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.

Bukti :

Andaikan ada rotasi RA,1 dan rotasi RB,z . Tarik garis s = , Jika m( XAY) = m( XAZ)

= , maka RA,1 = MsMt dan RB,z = MuMg. Jadi RB,z RA,1 = (MuMg)( MsMt ) = MuMt

Apabila u//t maka RB,2 RA,1adalah suatu geseran. Kalau u dan t berpotongan di C maka

MuMt adalah suatu rotasi yang berpusat di C.

Andaikan RC = RB,2 RA,1 hubungan apakah yang terdapat antara , 1 dan 2 ?

Dari gambar 11.10 kita lihat bahwa m( ABC) = 2 sedangkan m( BAC) = 1

Dengan demikian m( PCB) = (1 + 2 ) . Ini berarti bahwa sudut dari t ke u adalah

(1 + Z ), sehingga 2 = 1 + 2 .

Jika 1 + 2 > 180 maka = (1 + 2 ) 360

Sebagai gambaran, andaikan 2 = 140 dan 1 = 60. Dalam hal ini m( ACB) = 80 dan

m( PCB) = 100. Oleh karena m( ACB) = - 80 maka sudut dari t ke u adalah -80; jadi

= -160. Perhatikan bahwa -160 = (1 + 2 ) 360.



KOMPOSISI (HasilKali) PUTARAN

Hasilkali atau komposisi dua putaran dengan satu pusat adalah sebuah putaran

dengan pusat yang sama disebut transformasi identitas. Transformasi identitas ini dapat

dianggap sebagai sebuah putaran pula dengan sudut putar sebesar 0. Jadi dapat

dikatakan bahwa himpunan putaran-putaran mengelilingi titik yang sama adalah

tertutup terhadap komposisi.

Teorema 11.3 : Hasilkali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.

Pembuktian:

Andaikan terdapat rotasi ,1 dan rotasi , . Tarik garis s = , jika m( XAY) = m(

XAZ) = 2 maka ,1 = dan , = . Jadi , ,1 = ()( ) =

.

Apabila u//t maka adalah suatu rotasi yang berpusat di C. Andaikan , =

,2,1 . hubungan apakah yang terdapat antara 2 2 ?

Dari gambar 11.10 kita lihat bahwa m( ABC) = 2 sedangkan m( BAC) = 1 .

dengan demikian m( PCB) = (1 + 2). Ii berarti bahwa sudut dari t ke u adalah

(1 + Z). sehingga 2 = 1 + 2 .

Jika 1 + 2 > 180 maka = (1 + 2 ) 360.

Sebagai gambaran, andaikan 2 = 140 dan 1 = 60. Dalam hal ini m(< ACB) = 80 dan

m(< PCB) = 100. Oleh karena m( ACB) = - 80 maka sudut dari t ke u adalah 80. Jadi,

= - 160. Sehingga 160 = (1 + 2 ) 360

rotasi (putaran)

Documents