X

P

P’

Y

O

x’ = x cos Ѳ - y sin Ѳ y’ = x sin Ѳ + y cos Ѳ

Contoh :

Sebuah segitiga PQR dengan P ( 5,4 ), Q ( 2,3 ), dan R ( 5,2 ) diberikan rotasi sebesar 30° dengan pusat O ( 0,0 ).Tentukan bayangan segitiga PQR !

Jawab :P’ → x’=5 cos 30° - 4 sin 30° = 5 . ½√3 - 4. ½ = 4,3 – 2 = 2,3

P’→y’= 5 sin 30°+ 4 cos 30°= 5. ½ + 4. ½√3= 2,5 + 3,4= 5,9

R’ →x’=5 cos 30°- 2 sin 30°= 5. ½√3 - 2. ½ = 4,3 - 1= 3,3

R’ →y’=5 sin 30° + 2 cos 30°=5. ½ + 2. ½√3= 2,5+ 1,7 = 4,2

Jadi bayangan PQR adalah

P’ ( 2,3 , 5,9 ), Q’ ( 0,2 , 3,6 ), R’ ( 3,3 , 4,2 ).

P’→y’= 5 sin 30°+ 4 cos 30°= 5. ½ + 4. ½√3= 2,5 + 3,4= 5,9

Q’→x’= 2 cos 30°-3 sin 30° = 2. ½√3 - 3. ½= 1,7-1,5 = 0,2

Q’→y’= 2 sin 30°+ 3 cos 30°=2 . ½ + 3. ½√3= 1 + 2,6 = 3,6

Rotasi pada Sudut Istimewa

x’ = x cos 90 - y sin 90 = - yy’ = x sin 90 + y cos 90 = x

P ( x , y ) R (0,90°) P’( -y , x )P ( x , y ) R (0,-90°) P’( y , -x )

P ( x , y ) R (0,180°) P’( -x , -y )

x’ = x cos Ѳ - y sin Ѳy’ = x sin Ѳ + y cos Ѳ

Ѳ = 90

Ѳ = -90

Ѳ = 180

x’ = x cos (-90) - y sin (-90) = yy’ = x sin (-90) + y cos (-90) = -x

x’ = x cos 180 - y sin 180 = - xy’ = x sin 180 + y cos 180 = - y

Contoh :

Carilah bayangan setelah rotasi 90°, rotasi -90°, dan rotasi 180° untuk titik A ( -2,8 )

A(x,y ) R (0,90°)A’(-y,x) A(x,y) R (0,-90°)A’(y,-x )A(x,y) R (0,180°)A’(-x,-y)

A(-2,8 ) R (0,90°)A’(-8,-2) A(-2,8) R (0,-90°)A’(8,-2)A(-2,8) R (0,180°)A’(2,-8)

Contoh 1Tentukan persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +90o

Pembahasan

R+90o berarti: x’ = -y → y = -x’

y’ = x → x = y’

disubstitusi ke: x + y = 6

y’ + (-x’) = 6

y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = - 6

Jadi bayangannya: x – y = -6

Contoh 2

Tentukan persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran -90o

R-90o berarti: x’ = y → y = x’

y’ = -x → x = -y’

disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0

2(-y’) - x’ + 6 = 0

-2y’ – x’ + 6 = 0

x’ + 2y’ – 6 = 0

Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0

Contoh

Tentukan Persamaan bayangan parabola

y = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +180o

Pembahasan

H berarti: x’ = -x → x = -x’

y’ = -y → y = -y’

disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1

-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1 -y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)

Jadi bayangannya: y = -3x2 – 6x - 1

Rotasi terhadap pusat A(a,b) sebesar ϑ

Jika titik P(x, y) dirotasikan dengan pusat A(a, b)sebesar ϑ berlawanan arah perputaran jarum jam (ϑ positif), bayangannya adalah P’(x’, y’)dengan

x’ – a = (x - a) cos ϑϑ - (y - b) sin - (y - b) sin ϑϑy’ – b = (x - a) sin y’ – b = (x - a) sin ϑϑ + (y - b) cos + (y - b) cos ϑϑ

•Rotasi dengan Pusat (a,b)

0

P (x,y)

P’(x’,y’)

x

Y

r

r

(a,b)A

AP’ = AP = r

B C

AC = x – a = r Cos

PC = y – b = r Sin

AB = r cos ( + )

P’B = r sin ( + )

F

E

X’ – a = AB

y’ – b = P’B

X’ – a = AB y’ – b = P’B

X’ – a = r Cos(+)

Y’ – b = r sin (+)

X’ – a = r (Cos Cos - sin sin )

X’ – a = r Cos Cos - r sin sin

X’ – a = (x - a) Cos - (y - b) sin

Y’ – b = r ( sin Cos + cos sin )

Y’ – b = r sin Cos + r cos sin

Y’ – b = (y - b) Cos + (x - a) sin

Diketahui titik P(8, 6) Jika titik P diputar π radian dengan pusat (2, 3). Tentukan bayangan titik tsb.

Contoh :

x’ – a = (x - a)cos α – (y – b ) sin α x’ – 2 = (8 - 2)cos π – (6 - 3)sin π x’ = -6 - 0 + 2 = - 4

y’ – b = (x - a) sin α + (y - b) cos α y’ – 3 = (8 - 2) sin π + (6 - 3) cos π y’ = 0 - 3 + 3 = 0

jadi bayangan titik akibat perputaran adalah P’(-4, 0 )

Pertanyaan

• Tentukan bayangan titik(10, 5) karena rotasi yang berpusat di titik A(6,5) sebesar 3π!

jawab

X’ – a = (X - a)cos α – (Y – b ) sin α X’ – 6 = (10 - 6)cos 3π – (5 - 5)sin 3π X’ = 0 - 0 + 6 X’ = 6

Y’ – b = (X - a) sin α + (Y - b) cos α Y’ – 5 = (10 - 6) sin 3π + (5 - 5) cos 3π Y’ = -4 + 0 + 5 Y’ = 1

jadi bayangan titik (10, 5) karena rotasi sebesar 3π berpusat di titik A(6, 5) adalah (6, 1)

x’ = x cos (α+β) - y sin (α+β)y’ = x sin (α+β) + y cos (α+β)

Contoh :

Sebuah segitiga FGH dengan F = ( 1,1 ), G ( 4,1 ), dan H ( 1,5 ) dirotasikan sebesar 37° dan kemudian dirotasikan lagi sebesar 53°, carilah titik bayangan yang terbentuk !!

Jawab :

F’ → x’ = 1 cos (37+53)° - 1 sin (37+53)°= 1 cos 90° - 1 sin 90°= 1 . 0 - 1 . 1= -1

F’ → x’ = 1 sin (37+53)° + 1 cos (37+53)°= 1 sin 90° + 1 cos 90°= 1 . 1 - 1 . 0= 1

G’ → x’ = 4 cos (37+53)° - 1 sin (37+53)°= 4 cos 90° - 1 sin 90°= 4 . 0 - 1 . 1= -1

G’ → x’ = 4 sin (37+53)° + 1 cos (37+53)°= 4 sin 90° + 1 cos 90°= 4 . 1 - 1 . 0= 4

H’ → x’ = 1 cos (37+53)° - 5 sin (37+53)°= 1 cos 90° - 5 sin 90°= 1 . 0 - 5 . 1= -5

H’ → x’ = 1 sin (37+53)° + 5 cos (37+53)°= 1 sin 90° + 5 cos 90°= 1 . 1 - 5 . 0= 1

Jadi, titik bayangan segitiga FGH yang terbentuk adalah F’ ( -1,1 ), G’ ( -1,4 ) dan G’ ( -5,1 ).