rencana pelaksanaan pembelajaran · 2013. 10. 25. · guru meminta siswa untuk mendiskusikan soal...

50

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Nama Sekolah : SMK PGRI 2 Salatiga

Program keahlian : Akuntansi

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/ Semester : XI/ 3

Materi Pokok : Barisan dan Deret

Alokasi Waktu : 4 x 45 menit (2 x pertemuan)

A. Standar Kompetensi 7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar 7.1 Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan.

C. Indikator 7.1.1 Pola bilangan, barisan dan deret diidentifikasi berdasarkan ciri–

cirinya. 7.1.2 Notasi sigma digunakan untuk menyederhanakan suatu deret.

D. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat mengidentifikasi pola bilangan, barisan dan deret berdasarkan ciri-cirinya.

2. Siswa dapat menggunakan notasi sigma untuk menyederhanakan suatu deret.

E. Materi a. Pola Bilangan

Pernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya. Noktah-noktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6. Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu sebenarnya telah digunakan manusia pada zaman dahulu.Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.

51

1. Pola Garis Lurus Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya: a. mewakili bilangan 2. b. mewakili bilangan 3. c. mewakili bilangan 4. d. mewakili bilangan 5.

2. Pola Persegipanjang

Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupa ibentuk persegipanjang. Misalnya: a. mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6.

b. mewakili bilangan 8, yaitu 2 x 4 = 8.

c. mewakili bilangan 6, yaitu 3 x 2 = 6.

3. Pola Persegi Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut. a. mewakili bilangan 1, yaitu 1 x 1 = 1.

b. mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4.

4. Pola Segitiga Selain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini. a. mewakili bilangan 1.

b. mewakili bilangan 3.

52

c. mewakili bilangan 6.

5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap Bilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya memiliki selisih dua angka antara bilangan yang satu dengan bilangan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut. a. Pola Bilangan Ganjil

Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut. 1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal. 2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan

sebelumnya. Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini. 1 3 5 7 9 11 13

+2 +2 +2 +2 +2 +2

b. Pola Bilangan Genap Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut. 1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal. 2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan

sebelumnya. Perhatikan pola bilangan genap berikut ini. 2 4 6 8 10 12 14

+2 +2 +2 +2 +2 +2

6. Pola Segitiga Pascal Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut. a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak. b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal

dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1. c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan.

Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut.

d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta.

53

Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut. 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

4 4 4

dan seterusnya

b. Barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut. a. 2, 4, 6, 8, … b. 1, 3, 5, 7, … c. 3, 6, 9, 12, 15, … Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu. Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, … diperoleh U1 = suku ke-1 = 2 U2 = suku ke-2 = 4 U3 = suku ke-3 = 6 U4 = suku ke-4 = 8 Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8, … memiliki 4 buah suku.

c. Deret Bilangan Jika suku-suku suatu barisan dijumlahkan maka akan terbentuk sebuah deret. Misalkan: Barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, . . . deret bilangan asli : 1 + 2 + 3 + 4 + . . . Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, . . . deret bilangan ganjil : 1 + 3 + 5 + . . . Untuk menyatakan jumlah dari suatu deret biasanya dilambangkan dengan huruf S, misalkan: Jumlah satu suku (dari ) yang pertama dilambangkan dengan S1 Jumlah dua suku yang pertama dilambangkan dengan S2. Jumlah tiga suku yang pertama dilambangkan dengan S3, Jumlah n suku yang pertama dilambangkan dengan Sn

54

Contoh: Dari deret: 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + . . . Tentukan jumlah 1 suku yang pertama, jumlah 2 suku yang pertama dan suku ke-2 Jawab: Jumlah 1 suku yang pertama: S1 = 1, Jumlah 2 suku yang pertama: S2 = 1 + 5 = 6, suku ke-2: U2 = 5 diperoleh hubungan U2 = S2 – S1 Dari jawaban contoh diatas dapat diambil kesimpulan bahwa: suku ke-n = selisih antara jumlah n suku yang pertama dengan jumlah (n – 1) suku yang pertama.

Un = Sn – S(n – 1) dengan syarat n > 1

d. Notasi Sigma Matematika merupakan salah satu ilmu yang banyak menggunakan simbol atau lambang untuk menyatakan suatu pernyataan atau ungkapan yang panjang. Misalkan notasi faktorial dengan lambang ! digunakan untuk menyatakan perkalian berurutan mulai dari 1, notasi sigma dengan lambang ∑ digunakan untuk menyatakan suatu penjumlahan yang berurutan, dan masih banyak lambang-lambang lainnya. Notasi Sigma adalah suatu Notasi yang dipakai untuk menuliskan secara singkat penjumlahan n suku. Simbol ini diambil dari huruf kapital Yunani yang berarti Sum atau penjumlahan dan pertama kali dikenalkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18. Secara umum notasi sigma didefinisikan dengan:

∑ 푈 = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un o k = 1 disebut batas bawah penjumlahan. Untuk menyatakan

batas bawah penjumlahan, bukan hanya dimulai dari 1, dapat juga dimulai dari angka bulat berapa saja dan huruf k dapat diganti huruf apa saja, yang sama dengan notasi didepannya.

o Uk merupakan suatu polinom dalam variabel k. Jika Ux maka polinomnya bervariabel x dan seterusnya. Polinom dapat berupa konstanta, berderajat 1, berderajat 2 dan lainnya.

o n merupakan bilangan bulat dan disebut batas atas benjumlahan. n ≥ batas bawah penjumlahan.

Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.

1.

n

k 1

ak = a1 + a2 + a3 + … + an

2.

n

mk

(ak + bk) =

n

mk

ak +

n

mk

bk

3.

n

mk

cak = c

n

mk

ak

55

4.

n

mk

ak =

pn

pmkak – p

5.

n

mk

c = (n – m + 1)c

6.

1p

mkak +

n

pkak =

n

mk

ak

7.

1m

mk

ak = 0

8.

n

mk

(ak + bk)2 =

n

mk

ak2 + 2

n

mk

ak bk +

n

mk

bk2

F. Media

Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan buah dan pola susunan bola biliar

G. Model Pembelajaran Model Pembelajaran : Pembelajaran Matematika Realistik

H. Kegiatan Pembelajaran

PERTEMUAN PERTAMA Pendahuluan

1. Guru menjelaskan tentang pembelajaran matematika realistik 2. Guru menjelaskan tentang tujuan pembelajaran 3. Guru mengingatkan kembali tentang bilangan 4. Guru memberikan motivasi kepada siswa yaitu guru menjelaskan

tentang manfaat mempelajari pola bilangan Kegiatan Inti

1. Guru menjelaskan tentang bilangan-bilangan penyusun barisan bilangan

2. Guru membagi siswa kedalam beberapa kelompok yang setiap kelompok terdiri dari 4-5 siswa yang telah dipilih sebelumnya

3. Guru memberikan modul untuk diskusi, setiap kelompok 1 lembar (lampiran 1)

4. Guru meminta siswa untuk mendiskusikan soal yang telah diberikan sampai semua anggota kelompok mengerti tentang apa yang didiskusikan

5. Guru bersama siswa menbahas soal/ lembar diskusi 6. Guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan (lampiran 2)

56

Penutup 1. Guru bersama siswa membuat rangkuman/ kesimpulan tentang materi

yang telah diberikan 2. Guru memberi tau tentang materi yang akan di bahas pada pertemuan

selanjutnya (deret dan notasi sigma)

PERTEMUAN KEDUA Pendahuluan

1. Guru menjelaskan tentang tujuan pembelajaran 2. Guru sedikit mengingatkan kembali tentang materi pada pertemuan

pertama 3. Guru memberikan motivasi kepada siswa yaitu guru menjelaskan

tentang manfaat mempelajari deret bilangan Kegiatan Inti

1. Guru menjelaskan tentang deret dan notasi sigma 2. Guru membagi siswa kedalam beberapa kelompok yang setiap

kelompok terdiri dari 4-5 siswa yang telah dipilih sebelumnya pada pertemuan pertama

3. Guru memberikan modul untuk diskusi, setiap kelompok 1 lembar (lampiran 3)

4. Guru meminta siswa untuk mendiskusikan soal yang telah diberikan sampai semua anggota kelompok mengerti tentang apa yang didiskusikan

5. Guru bersama siswa menbahas soal/ lembar diskusi 6. Guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan (lampiran 4)

Penutup 1. Guru bersama siswa membuat rangkuman/ kesimpulan tentang materi

yang telah diberikan

I. Penilaian Jenis Soal Essay : dipentingkan/ dititikberatkan tentang :

1) Pemilihan/ penerapan rumus-rumus yang sesuai dengan permintaan oleh soal

2) Proses/perhitungan sesuai dengan kaidah mekanisme kerja 3) Teliti dan kecermatan dalam menghitung

Teknik : Tes tertulis Bentuk instrumen : Tes Uraian Contoh Instrumen : LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 8, 6, 4, 2, ... 2. Tentukan lima suku pertama dari rumus barisan bilangan : Un = 4n - 1 3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 1, 4, 7, 10, ... 4. Tentukan lima suku pertama dari rumus barisan bilangan : Un = 2n + 3

57

PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN NO JAWABAN SKOR

1. 8, 6, 4, 2, ... U1 = 8 = - 2(1) + 10 U2 = 6 = - 2(2) + 10 U3 = 4 = - 2(3) + 10 U4 = 2 = - 2(4) + 10 . . . Un = - 2(n) + 10

5 5 5 5 5

2.

Un = 4n – 1 U1 = 4(1) – 1 = 3 U2 = 4(2) – 1 = 7 U3 = 4(3) – 1 = 11 U4 = 4(4) – 1 = 15 U5 = 4(5) – 1 = 19

5 5 5 5 5

TOTAL SKOR 50

3. 1, 4, 7, 10, ... U1 = 1 = 3(1) - 2 U2 = 4 = 3(2) - 2 U3 = 7 = 3(3) - 2 U4 = 10 = 3(4) - 2 . . . Un = 3(n) – 2

5 5 5 5 5

4.

Un = 2n + 3 U1 = 2(1) + 3 = 5 U2 = 2(2) + 3 = 7 U3 = 2(3) + 3 = 9 U4 = 2(4) + 3 = 11 U5 = 2(5) + 3 = 13

5 5 5 5 5

TOTAL SKOR 50

LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA

1. - Tulislah deretnya jika barisannya : 3, 7, 11, 15, 19,... - Tentukan jumlah 4 suku pertamanya

2. Tentukan jumlah 5 suku yang pertama, jika diketahui rumus suku ke- n berikut ini : Un = 2n + 1

58

3. Tulislah barisan bilangan berikut ini dalam bentuk notasi sigma : 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25

4. Hitunglah hasil notasi sigma berikut ini.

(5푖 − 3)

PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN

NO JAWABAN SKOR 1. - 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ...

- S4 = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 JUMLAH

5 10 15

2.

Un = 2n + 1 U1 = 2(1) + 1 = 3 U2 = 2(2) + 1 = 5 U3 = 2(3) + 1 = 7 U4 = 2(4) + 1 = 9 U5 = 2(5) + 1 = 11 S5 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5

= 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35 JUMLAH

6 6 6 6 6 15 45

3. 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 U1 = 1 = 4(1) – 3 U2 = 5 = 4(2) – 3 U3 = 9 = 4(3) – 3 . . . Un = 4n – 3 1 + 5 + 9 + 13 + 17 = ∑ 4푖 − 3 JUMLAH

5 5 5 5 5 25

4.

(5푖 − 3) = (5.1− 3) + (5.2− 3) + (5.3− 3)

+ (5.4− 3) + (5.5− 3)

= 2 + 7 + 12 + 17 + 22 = 60 JUMLAH

5 5 5 15

TOTAL SKOR 100

59

J. Sumber Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008

61









B. Kompetensi Dasar 7.2 Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika.

C. Indikator 7.2.1 Nilai suku ke–n suatu barisan aritmatika ditentukan menggunakan

rumus. 7.2.2 Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus.

D. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika

dengan menggunakan rumus. 2. Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika

dengan menggunakan rumus. E. Materi

a. Barisan Aritmatika Pola : barisan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu Beda : Selisih antara dua suku yang berurutan Diberikan barisan bilangan:

Sekarang Coba pikirkan!

1 4 7 10 , , , , ...

Suku ke-1 Suku ke-2 Suku ke-3 Suku ke-4

62

Bilangan-bilangan penyusun dari barisan bilangan disebut suku dan dilambangkan dengan Un untuk suku ke-n. Nah sekarang Perhatikan barisan bilangan berikut.

1, 4, 7, 10,...

Berapakah nilai U2 – U1, U3 – U2, U4 – U3? Apakah nilainya sama? Apa yang terbesit dalam pikiranmu tentang selisih dua bilangan

berurutan tersebut? Terlihat bahwa selisih antara dua suku berurutan adalah tetap. Barisan yang memenuhi kriteria tersebut dinamakan barisan aritmatika. Suatu barisan bilangan U1, U2, U3, . . .,Un dinamakan barisan aritmatika jika diantara dua suku yang berurutan mempunyai beda yang tetap.

Dari barisan bilangan diatas tentukan suku kesepuluh = U10 dan suku keseratus = U100. Untuk mencari U10, dengan mudah kalian dapat mendaftar bilangan-bilangan selanjutnya. Bagaimana dengan nilai U100? Apakah kalian juga akan mendaftarnya?

Nilai U100 dapat ditentukan dengan rumus dari pola bilangan yang menyusun barisan tersebut. Sehingga tidak perlu mendaftar semua bilangan sampai suku keseratus. Bagaimana merumuskanya?

Diberikan suatu barisan aritmatika

U1, U2, U3, . . ., Un-1, Un

Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah U1 = a dan selisih dua suku berurutan adalah b, maka rumus untuk mencari suku ke-n dapat ditentukan.

Terlihat bahwa:

U2 = U1 + b

U3 = U2 + b = U1 + b + b = U1 +2b

U4 = U3 + b = U1 + 2b +b = U1 + 3b

.

.

Un-1 = Un-2 + b = U1 + ( n – 3 ) b + b = U1 + ( n – 2 ) b

Un = Un-1 + b = U1 + ( n – 2 ) b + b = U1 + ( n – 1 ) b

63

Rumus terakhir inilah yang merupakan rumus suku ke-n barisan aritmatika. Sedangkan beda (b) dirumuskan sebagai berikut.

b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = . . . = Un – Un-1

Kesimpulan:

Diberikan barisan aritmatika: U1, U2, U3, . . ., Un. Jika suku pertamanya U1 = a dan bedanya b, maka rumus suku ke-n ( Un ) adalah:

Un = a + ( n – 1 ) b , dengan b = Un – Un-1

b. Deret Aritmatika

Jika jumlah dari n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn, maka:

Sn = U1 + U2 + U3 + ...+ Un

Bila U1 = a

U2 = a + b

U3 = a + 2b

.

.

Un-1 = a + (n - 2)b

Un = a + (n - 1)b

Persamaan diatas menjadi:

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + a + (n - 2)b + a + (n – 1)b

Menentukan rumus jumlah n suku pertama (Sn) Sn = a + (a + b) + ... + a + (n - 2)b + (a + (n – 1)b)

Sn = (a + (n - 1)b) + ( a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a +

2Sn = 2a + (n - 1)b + 2a + (n - 1)b + ... + 2a + (n - 1)b + 2a + (n - 1)b

n suku

2Sn = n (2a + (n – 1)b)

64

Sn = n/2 (2a + (n – 1)b) atau Sn = n/2 (a + Un)

F. Media Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan bola biliar.


H. Kegiatan Pembelajaran PERTEMUAN PERTAMA Pendahuluan

1. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran 2. Apersepsi

Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya 3. Motiasi

Pernahkah kalian bermain atau melihat permainan Biliar ( bola sodok ) ? Pada permulaan permainan 15 bola disusun menjadi 5 baris. Baris pertama 1 bola, baris kedua 2 bola, baris ketiga 3 bola, baris keempat 4 bola, dan baris kelima 5 bola. Setelah bola disusun, kemudian pemain menyodoknya sehingga kelimabelas bola tersebut menggelinding kesegala arah Perhatikan barisan bola sewaktu pertama kali disusun

Bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 mengikuti pola bilangan tertentu yaitu bertambah satu dari bilangan sebelumnya. Dengan pola diatas jika dikehendaki bola dapat disusun sampai baris yang lebih banyak

Kegiatan Inti 1. Guru menjelaskan bilangan-bilangan penyusun barisan bilangan 2. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok

terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang) 3. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk

menjadi bahan diskusi (lampiran 1) 4. Guru membimbing jalannya diskusi 5. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil

diskusinya

Baris kelima 5 bola

Baris keempat 4 bola

Baris ketiga 3 bola

Baris kedua 2 bola

Baris pertama 1 bola

65

6. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau dimengerti

7. Siswa menarik kesimpulan (siswa dibimbing guru) Penutup

1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 2) 2. Guru memberi tahu tentang materi yang akan dibahas pada

pertemuan selanjutnya (deret aritmatika)



Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya Kegiatan Inti

1. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang)

2. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk menjadi bahan diskusi (lampiran 3)

3. Guru membimbing jalannya diskusi 4. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil

diskusinya 5. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi

pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau dimengerti


1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 4)




Teknik : Tes tertulis Bentuk instrumen : Tes Uraian Contoh Instrumen : LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA 1. Diketahui barisan bilangan 2, 6, 10, . . . . Tentukan:

a. Suku awal b. Beda c. Rumus suku ke-n d. Suku ke-20 2. Diketahui barisan bilangan 20, 15, 10, . . . . Tentukan:

a. Suku awal b. Beda c. Rumus suku ke-n d. Suku ke-4

66

3. Suku ke-9 dan suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 79 dan 135, tentukan: a. Suku pertama dan bedanya b. Rumus suku ke-n c. Suku ke-150

4. Tentukan suku tengah dan suku keberapa dari suku tengah tersebut jika ada, dari barisan aritmatika di bawah ini!

a. 4, 8, 12, ...., 48 b. 5, 8, 11, ..., 53


1. Diketahui barisan bilangan 2, 6, 10, . . . . Tentukan: a. Suku awal ( a ) = 2 b. Beda ( b ) = U1- U2 = 6 - 2 = 4 c. Rumus suku ke-n

Un = a + ( n – 1 ) b = 2 + ( n – 1 ) 4 = 2 + 4n – 4 = 4n – 2 Suku ke-20 U20 = 4n – 2 = 4.20 – 2 = 72 JUMLAH

1 2 3 2 2 1 2 1 14

2.

Diketahui barisan bilangan 20, 15, 10, . . . . Tentukan: Suku awal ( a ) = 20 Beda ( b ) = U1- U2 = 15 – 20 = - 5 Rumus suku ke-n Un = a + ( n – 1 ) b = 20 + ( n – 1 ) ( -5 ) = 20 – 5n + 5 = 25 – 5n Suku ke-4 U4 = 25 – 5n = 25 – 5.4 = 5 JUMLAH

1 2 3 2 2 1 2 1 14

3. a. Suku ke-n barisan aritmatika: Un = a + (n – 1)b U9 = a + (9 – 1)b 79 = a + 8b . . . 1) U16 = a + (16 – 1)b 135 = a + 15b . . . 2) Dari eleminasi a atau b persamaan 1) dan 2) diperoleh a = 15 dan b = 8

3 4 4 10

67

b. Rumus suku ke-n: Un = a+ (n – 1)b Un = 15+ (n – 1)8 = 8n + 7

c. Suku ke-150: U150 = 8 (150) + 7 = 1207 JUMLAH

3 5 5 34

4.

a. 4, 8, 12, ...., 48 Un = a + (n - 1)b 48 = 4 + (n – 1)(4) 48 = 4+ 4n – 4 48 = 4n n = 12 karena banyaknya suku genap yaitu 12 maka tidak terdapat suku tengah

b. 5, 8, 11, ..., 53 Un = a + (n - 1)b 53 = 5 + (n - 1)3 53 = 5 + 3n-3 53 = 3n + 2 3n = 51 n = 17 karena banyaknya suku ganjil yaitu 17 maka terdapat suku tengah suku tengah yaitu suku ke –t dimana 2t - 1 = 17, jadi t = 9 Suku tengah : Ut = a + (t – 1)b Ut = 5 + (9 – 1)3 = 29 atau Suku tengah : 푈 = (푈 − 푈 ) =

(5 + 53) = 29

JUMLAH

3 2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 10 38

TOTAL SKOR 100

LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA 1. Tentukan nilai dari deret aritmatika di bawah ini :

a. 2 + 8 + 14 + 20 + . . . (sampai 25 suku) b. 3 + 10 + 17 + 24 + 31 + . . . + 262

2. Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika ditentukan oleh rumus : 푆 = 3푛 − 2푛 Tentukan lima suku yang pertama!

3. Produksi barang suatu pabrik bertambah setiap minggu dengan jumlah yang sama. Bila jumlah produksi sampai minggu ke-6 adalah 1425 unit dan jumlah produksi sampai minggu ke-10 adalah 2875 unit. Tentukan jumlah produksi sampai minggu ke-52 !

68


1. a. Dik : Suku pertama (a) = 2

beda (b) = 6 banyaknya suku (n) = 25

Dit : S25 = ? Jawab :

푆 = (2푎 + (푛 − 1)푏)

푆 = (2.2 + (25− 1)6)

푆 = (4 + (24)6)

푆 = (4 + 144)

푆 = (148)

푆 = 1850

JUMLAH

b.Dik : Suku pertama (a) = 3\ beda (b) = 7 suku terakhir (Un) = 262

Jawab : Un = a + (n - 1)b 262 = 3 + (n – 1)7 262 = 3 + 7n – 7 262 = 7n – 4 266 = 7n n = 38 푆 = (2푎 + (푛 − 1)푏)

푆 = (2.3 + (38− 1)7)

푆 = (6 + (37)7)

푆 = (6 + 259)

푆 = (265)

푆 = 5035 JUMLAH

10 10 10 5 5 10 50 5 2 3 2 3 5 5 5 5 5 5 5 50

TOTAL NILAI 100

69

2.

푆 = 3푛 − 2푛 푈 = 푆 = 3푛 − 2푛 = 3(1) − 2(1) = 3 − 2 = 1 푈 = 푆 − 푆 = 3(2) − 2(2) − [3(1) − 2(1)] = 8 −1 = 7 푈 = 푆 − 푆 = 3(3) − 2(3) − [3(2) − 2(2)] = 21 −8 = 13 푈 = 푆 − 푆 = 3(4) − 2(4) − [3(3) − 2(3)] = 40 −21 = 19 푈 = 푆 − 푆 = 3(5) − 2(5) − [3(4) − 2(4)] = 65 −40 = 25 JUMLAH

20 20 20 20 20 100

TOTAL NILAI 100 3. Dik : S6 = 1425

S10 = 2875 Dit : S52

푆 = (2푎 + (푛 − 1)푏)

푆 = (2푎 + (6 − 1)푏) 1425 = 3(2푎 + 5푏) 2a + 5b = 475 …1)

푆 = (2푎 + (푛 − 1)푏)

푆 = (2푎 + (10 − 1)푏)

2875 = 5 (2a + 9b) 2a + 9b = 575 ….2) Eliminasi persamaan 1) dan 2)

2a + 5b = 475 2a + 9b = 575 -

- 4b = - 100 b = 25

subtitusikan b = 25 ke 1)

2a + 5b = 475 2a + 5(25) = 475 2a + 125 = 475 2a = 350 a = 175

Jumlah produksi sampai minggu ke- 52 adalah : 푆 = (2푎 + (푛 − 1)푏)

푆 = (2(175) + (52 − 1)25) 푆 = 26(350 + (51)25)

5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 5 5

70

푆 = 26(350 + 1275) 푆 = 26(1625) 푆 = 42250

JUMLAH

5 5 10 100

TOTAL NILAI 100

J. Sumber Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008

72









B. Kompetensi Dasar 7.3 Menerapkan konsep barisan dan deret geometri.

C. Indikator 7.2.3 Nilai suku ke–n suatu barisan geometri ditentukan menggunakan

rumus. 7.2.4 Jumlah n suku suatu deret geometri ditentukan dengan rumus.

D. Tujuan Pembelajaran 1) Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan geometri

dengan menggunakan rumus. 2) Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret geometri

dengan menggunakan rumus. E. Materi

a. Barisan Geometri

Melipat kertas

Aktivitas siswa : perkelompok Bahan : selembar kertas berbentuk persegi

(Luas kertas 1 satuan luas)

73

Urutan kegiatan : Kegiatan Luas hasil lipatan

1. Lipat keempat sudutnya ke tengah-tengah

2. Lipat lagi keempat sudutnya ke tengah-tengah

3. Ulangi lagi proses diatas


21

satuan luas

41

satuan luas

81

satuan luas

161

satuan luas

Sebelum dilipat

1 satuan luas

Sesudah dilipat

Lipatan 1 Lipatan 2 Lipatan 3 Lipatan 4

21

satuan luas 41

satuan luas 81

satuan luas 161

satuan luas

Jika 161,

81,

41,

21

adalah empat suku pertama suatu barisan geometri

74

Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : U1, U2, U3, U4, ... ,Un merupakan barisan geometri

jika:

1

...34

23

12

n

n

UU

UU

UU

UU

= konstanta

Konstanta tersebut dinamakan rasio ( r ) dan Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama ( U1 ) a dan rasio ( r ) dapat ditentukan sebagai berikut ini.

U1 = a

U2 = ar

U3 = ar2

:

:

1 nn arU

b. Deret Geometri

Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Secara umum dapat dinyatakan bahwa:

Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka:

U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret geometri, dengan 1 nn arU

Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un, maka:

Sn = 푎 + 푎푟 + 푎푟 + ... + 푎푟 + 푎푟

Kalikan Sn dengan r

75

rSn = 푎푟 + 푎푟 + 푎푟 +... + 푎푟 + 푎푟 + 푎푟

Kurangkan Sn dengan rSn

Sn = 푎 + 푎푟 + 푎푟 + ... + 푎푟 + 푎푟

rSn = 푎푟 + 푎푟 + ... + 푎푟 + 푎푟 + 푎푟 -

Sn – rSn = 푎 − 푎푟

Sn (1 - r) = 푎(1 − 푟 )

r

raSn

n

11

F. Media

Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan bola biliar.


H. Kegiatan Pembelajaran PERTEMUAN PERTAMA Pendahuluan

o Apersepsi: Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya ( barisan dan deret aritmatika )

o Motivasi: Pernahkah kalian melipat kertas? Bentuk apa saja yang bisa kalian buat dari lipatan kertas tersebut? Apakah kalian dalam melipat kertas menggunakan aturan pola tertentu?

Kegiatan Inti

o Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok terdiri dari 5 orang ( jumlah siswa 37 orang )

o Guru membagikan kertas lipat kepada setiap siswa ( 1 siswa 1 lembar )

o Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk menjadi bahan diskusi ( Lampiran 1 )

o Guru membimbing jalannya diskusi o Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil

diskusinya

76

o Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau dimengerti

o Siswa menarik kesimpulan ( siswa dibimbing guru ) Penutup

o Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 2) o Guru memberi tahu tentang materi yang akan dibahas pada

pertemuan selanjutnya (deret geometri)



Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya Kegiatan Inti

1. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang)

2. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk menjadi bahan diskusi (lampiran 3)

3. Guru membimbing jalannya diskusi 4. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil

diskusinya 5. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi

pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau dimengerti


1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 4)




Teknik : Tes tertulis Bentuk instrumen : Tes Uraian Contoh Instrumen :

77

LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA

Membuat Barisan Geometri

Langkah – Langkah:

1. Susunlah sebuah deret geometri sampai 4 suku yang pertama, menggunakan angka-angka yang telah disediakan

2. Tempel pada kertas yang telah disediakan 3. Jawablah pertanyaan berikut: a. Tentukan nilai a ?

b. Carilah rasio ( r ) ? c. Tentukan 푈 ?

1 3 9 27 2 4 8

16 4 64 256

PENILAIAN DAN KUNCI JAWABAN No KUNCI JAWABAN SKOR

a

b

c

Misalkan barisan geometri tersebut adalah 2 4 8 16 Nilai a = U1 = 2

푟 =

=

=

= 2

푈 = 푎. 푟 푈 = 2. 2 푈 = 2. 2

푈 = 2. 64 푈 = 128 Jumlah skor nilai

10

2

3 3

2 2 2 2 2 2

30

LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA 1) Tentukan rasio, suku ke 13 dan jumlah 13 suku pertama barisan

geometri berikut 1 + 2 + 4 + 8 + …

78

2) Sebuah bola dijatuhkan di atas lantai dengan ketinggian 120 m. setiap

kali memantul ke lantai mencapai ketinggian kali tinggi sebelumnya .

Tentukan jarak saat bola dijatuhkan hingga bola berhenti ?

PENILAIAN DAN KUNCI JAWABAN No Jawaban Skor

1. 1 + 2 + 4 + 8 + … a = 1

푟 = 2 1

= 2

푈 = 푎. 푟 푈 = 푎. 푟 = 1. 2 = 4096

푆 = 푎( 푟 − 1)( 푟 − 1)

푆 = 1( 2 − 1)( 2 − 1)

푆 =( 2 − 1)( 2 − 1)

푆 = 2 − 1 = 8192 – 1 = 8191

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2. Saat naik: 80 + + + …

Maka a = 80; 푟 = = =

푆 =푎

1− 푟

= 80

1− 23

=

5

4

2

79

= 80 푥 3 = 240 saat turun: 120 + 80 + +…

maka a = 120; 푟 = =

푆 =푎

1− 푟

= 120

1− 23

= 120

13

= 120 푥 3 = 360 Jarak saat bola dijatuhkan hingga bola berhenti adalah 240 m + 360m = 600m JUMLAH

2

1

1

2

5

4

2

1

1

1

2

50

J. Sumber

Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008

81

Ulangan Harian 1

Pola, Barisan dan Deret Bilangan

Jawablah soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan rumus umum dari dari barisan bilangan berikut! a. 5, 8, 11, 14, . . . b. 3, 7, 11, 15, 19, . . . c. 17, 12, 7, 2, . . .

2. Diketahui rumus barisan bilangan Un = 3n – 7. Tentukan: a. Lima suku pertamanya ! b. Suku ke-25 nya !

3. Diketahui rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika 푆 = 3푛 − 2푛, tentukan : a. Jumlah 5 suku yang pertama b. U1, U2, U3, U4, U5

4. Tentukan jumlah lima suku yang pertama, jika diketahui rumus suku ke n berikut ini. a. 푈 = 2푛 + 1

b. 푈 =

5. Uraikan dalam bentuk penjumlahan notasi sigma di bawah ini, dan tentukan nilainya:

풂. (ퟑ풊 + ퟏ)ퟓ

풊 ퟏ

풃. (풏ퟐퟒ

풏 ퟏ

− ퟏ)

풄. ퟑퟏퟎ

풊 ퟏ

6. Pada tahun pertama seorang karyawan mendapat gaji pokok Rp.100.000,00 sebulan. Jika setiap bulan gaji pokoknya dinaikkan sebesar Rp. 5.000,00 maka jumlah gaji pokok karyawan tersebut selama 6 bulan pertama adalah . . .

82


2. a. 5, 8, 11, 14, . . . U1 = 5 = 3(1) + 2 U2 = 8 = 3(2) + 2 U3 = 11 = 3(3) + 2 U4 = 14 = 3(4) + 2 . . . Un = 3(n) + 2

b. 3, 7, 11, 15, . . . U1 = 3 = 4(1) - 1 U2 = 7 = 4(2) - 1 U3 = 11 = 4(3) - 1 U4 = 15 = 4(4) - 1 . . . Un = 4(n) - 1

c. 17, 12, 7, 2, . . . U1 = 17 = - 5(1) + 22 U2 = 12 = - 5(2) + 22 U3 = 7 = -5(3) + 22 U4 = 2 = -5(4) + 22 . . . Un = -5(n) + 22

JUMLAH

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 30

2.

a. Un = 3n – 7 U1 = 3(1) – 7 = -4 U2 = 3(2) – 7 = -1 U3 = 3(3) – 7 = 2 U4 = 3(4) – 7 = 5 U5 = 3(5) – 7 = 8

b. U25 = 3(25) – 7 = 68

JUMLAH

1 1 1 1 1 3 8

3. 푆 = 3푛 − 2푛 푎. 푆 = 3(5) − 2(5) = 75− 10 = 65 b. U = S = 3. 1 − 2.1 = 3 − 2 = 1 U = S − S = (3. 2 − 2.2)− (3. 1 − 2.1) = 8− 1 =7 U = S − S = (3. 3 − 2.3)− (3. 2 − 2.2) = 21−

3 3 3

83

8 = 13 U = S − S = (3. 4 − 2.4)− (3. 3 − 2.3) = 40−21 = 19 U = S − S = (3. 5 − 2.5)− (3. 4 − 2.4) = 65−40 = 25 JUMLAH

3 3 3 18

4. a. 푈 = 2푛 + 1 푆 = 푈 +푈 + 푈 +푈 +푈 푆 = (2. 1 + 1) + (2. 2 + 1) + (2. 3 + 1) +(2. 4 1) + (2. 5 + 1)

= (2 + 1) + (8 + 1) + (18 + 1) + (32 + 1) +(50 + 1)

= 3 + 9 + 19 + 33 + 51 = 115

b. 푈 =

푆 = 푈 +푈 + 푈 +푈 +푈

푆 =1 + 1

3 +2 + 1

3 +3 + 1

3 +4 + 1

3 +5 + 1

3

=23 +

53 +

103 +

173 +

263

=603

= 20 JUMLAH

3 2 2 2 1 3 3 2 1 1 20

5.

푎. (3푖 + 1)

= (3.1 + 1) + (3.2 + 1) + (3.3 + 1) + (3.4 + 1)+ (3.5 + 1)

= 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 50

푏. (푛 − 1)

= (1 − 1) + (2 − 1) + (3 − 1) + (4 − 1) = 0 + 3 + 8 + 15 = 26

푐. 3

= 10.3 = 30

JUMLAH

4 3 2 9

84

6. 푈 = 100.000 푈 = 100.000 + 5.000 = 105.000 푈 = 105.000 + 5.000 = 110.000 푈 = 110.000 + 5.000 = 115.000 푈 = 115.000 + 5.000 = 120.000 푈 = 120.000 + 5.000 = 125.000 푆 = 푈 + 푈 +푈 +푈 + 푈 +푈 = 105.000 + 110.000 + 115.000 + 120.000 +125.000 = 575.000 JUMLAH

11 4 15

TOTAL SKOR 100

86

Ulangan Harian 2

Barisan dan Deret Aritmatika

Jawablah soal-soal berikut dengan jelas dan benar !

1. Dari barisan di bawah ini, manakah yang termasuk barisan aritmatika. a. 1 , 6, 11, 16, 21, . . .

b. 40, 37, 34, 31, 29, . . .

c. 3, 6, 12, 24, 48, . . .

2. Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, …Tentukan :

1. Suku awal 2. Beda 3. Rumus suku ke – n 4. Suku ke-10

3. Suku ke-9 dan suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 79 dan 135, tentukan : a. Suku pertama dan bedanya b. Rumus suku ke – n c. Suku ke -5

4. Tentukan suku tengah (jika ada) dari barisan aritmatika di bawah ini! a. 8, 14, 20, 26, …, 224 b. 4, 8, 12,…,48

5. Pada tahun pertama seorang karyawan mendapat gaji pokok Rp. 300.000,00. Jika setiap tahun gaji pokoknya dinaikkan seesar Rp. 25.000,00 maka jumlah gaji pokok karyawan tersebut selama 10 tahun pertama adalah…

87

PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN

No Jawaban Skor

1. a. 1, 6, 11, 16, 21, . . . merupakan barisan aritmatika sebab beda antara suku-suku yang berurutannya tetap, yaitu beda(b) = 6 – 1 = 11 – 6 = . . . = 5

b. 40, 37, 34, 31, 29, . . . merupakan barisan aritmatika sebab beda

antara suku-suku yang berurutannya tetap, yaitu beda(b) = 37 – 40 = 34 – 37 = . . . = -3

c. 3, 6, 12, 24, 48, . . .bukan merupakan barisan aritmatika sebab

beda antara suku-suku yang berurutan tidak tetap, yaitu 6 – 3 ≠ 12 – 6 ≠ 24 – 12 ≠ . . .

JUMLAH

4 4 4 12

2. Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, . . ., Tentukan : a. Suku awal ( a ) = 1 b. Beda ( b ) = U2- U1 = 3 - 1 = 2 c. Rumus suku ke-n

Un = a + ( n – 1 ) b =1 + ( n – 1 ) 2 = 1 + 2n – 2 = 2n - 1

d. Suku ke-20 U20 = 2n – 2 = 2.20 – 2 = 38

JUMLAH

2 2 5 3 12

88

3. a. Suku ke-n barisan aritmatika:

Un = a + (n – 1)b U9 = a + (9 – 1)b = a + 8b = 79 U16 = a + (16 – 1)b = a + 15b = 135 - - 7b = - 56 푏 =

b = 8 b = 8 , sehingga U9 = a + 8b 79 = a + 8.8 79 = a + 64 15 = a

b. Rumus suku ke-n: Un = a+ (n – 1)b Un = 15+ (n – 1)8 = 8n + 7

c. Suku ke-5: U5 = 8 (5) + 7 = 47 JUMLAH

2 2 2 3 5 2 2 2 2 22

4. Tentukan suku tengah (jika ada) dari barisan aritmatika di bawah ini!

a. 8, 14, 20, 26, …, 224 Beda b = 6, suku pertama a = 8 dan suku terakhir 224 Un = a + (n - 1)b 224 = 8 + (n - 1)6 224 = 6n + 2 222 = 6n n = 37 karena banyaknya suku ganjil yaitu 37 maka terdapat suku tengah suku tengah yaitu suku ke –t dimana, 2t - 1 = 37, jadi t = 19 Suku tengah : Ut = a + (t – 1)b Ut = 8 + (19 – 1)6 = 116 atau Suku tengah : 푈 = (푈 − 푈 ) = (8 +224) = 116

b. 4, 8, 12,…,48 Un = a + (n - 1)b 48 = 4 + (n – 1)(4) 48 = 4+ 4n - 4 48 = 4n n = 12 karena banyaknya suku genap yaitu 12 maka tidak terdapat suku tengah

JUMLAH

2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4 34

89

TOTAL NILAI = 100

5. U1 = Rp. 300.000,00 U2 = Rp. 300.000,00 + Rp. 25.000,00 = Rp. 325.000,00 U3 = Rp. 325.000,00 + Rp. 25.000,00 = Rp. 350.000,00 dst 푆 = (2푎 + (푛 − 1)푏)

푆 = (2(300.000) + (10− 1)25.000) 푆 = 5(600.000 + (9)25.000) 푆 = 5(600.000 + 225.000) 푆 = 5(825.000) 푆 = 4.125.000

JUMLAH

2 2 2 4 2 2 2 2 2 20

91

TES 3

Materi Barisan dan Deret Geometri

1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan di bawah ini:

a. 1, 4, 16, 64, . . .

b. 5, 10, 20, 40, 80,. . .

c. 9, 27, 81, 243, . . .

2. Tentukan rasio dan suku pertama barisan geometri di bawah ini:

a. Suku ke-4 = 81 dan suku ke-6 = 729

b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162

c. Suku ke-3 = 10 dan suku ke-6 = 1,25

3. Selesaikan soal barisan geometri di bawah ini:

a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 = 243, tentukan suku ke-8

b. Suku ke-2 = 100 dan suku ke-6 = 10-2, tentukan suku ke-9

c. Suku ke-2 = 2√2 dan suku ke-5 = 8, tentukan suku ke-10

4. Tentukan jumlah dari deret geometri di bawah ini:

a. 1 + 2 + 4 + 8 + . . . (sampai 10 suku)

b. 54 + 18 + 6 + 2 + . . . (sampai 9 suku)

c. 5 – 15 + 45 – 135 + . (sampai 8 suku)

d. 3 – 6 + 12 – 24 + . . . (sampai 10 suku)

5. Tentukan nilai x dari deret geometri : 2 + 4 + 8 + . . . + 2x = 2.046

93

LAMPIRAN 1 Pola bilangan Untuk mendalami pola bilangan lakukan kegiatan berikut ini. Bahan : Satu lembar kertas. 1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegi) sehingga menjadi 2 bagian

yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas?

2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? Catatlah banyaknya potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah.

3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali. Banyaknya lipatan kertas 1 2 3 4 5 6 Banyaknya potongan kertas 2 4 8 … … …

Diskusi 1

Diskusikan untuk menjawab pertanyaan berikut ini.

a. Apakah banyaknya lembaran kertas yang terjadi mempunyai keteraturan? Jika ya, jelaskan keteraturannya!

b. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas? Berapakah banyaknya lembar kertas itu? Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas membentuk pola. 2, 4, 8, ... merupakan salah satu contoh pola bilangan. Isilah tiga bilangan berikutnya dan tanda titik tiga

Diskusi 2

1. Perhatikan tiga rangkaian pola berikut.

a. Gambarlah rangkaian keempat dan kelima. b. Berapakah banyaknya persegi pada rangkaian keempat dan kelima? c. Bayangkan rangkaian keenam. Jelaskan rancangan itu menurut

kalimatmu. Kamu dapat membentuk pola bilangan dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, . . .

94

1 merupakan suku pertama, 5 merupakan suku kedua, 9 merupakan suku ketiga, dan seterusnya. Uuntuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu aturan yang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya.

2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8, . . . Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya! Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya?

Barisan Pada setiap hari Senin pagi, sekolah-sekolah tingkat SD, SMP maupun SMA selalu mengadakan upacara bendera. Siswa-siswa kelas VII, VIII, dan IX secara teratur membentuk barisan tersendiri. Pernahkah kalian mengatur barisan saat upacara bendera?

Carilah lima temanmu yang mempunyai tinggi badan berbeda-beda. Bagaimana kamu mengatur kelima temanmu itu dalam satu barisan? 1. Siapakah yang terletak pada urutan pertama, kedua, ketiga, keempat dan

kelima? 2. Mengapa urutannya kamu buat demikian? 3. Apakah aturan pengurutan tersebut? 4. Bila bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi dari kelima temanmu kamu

urutkan maka akan membentuk barisan bilangan. Bilangan-bilangan itu berkorespodensi satu-satu dengan kelima temanmu yang kamu susun menjadi satu barisan.

Tulislah urutan tinggi temanmu. Tinggi : ........... , ........... , ............, .............., .............

Nama : ..........., ............., ............, ............., .............. Apakah urutan bilangan-bilangan di atas membentuk pola? Bila ya, apakah aturannya? Ingatkah kamu bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Contohnya adalah barisan bilangan ganjil dan barisan bilangan genap.

95

Barisan bilangan sembarang Bila kamu menjumpai lima temanmu (misalkan namanya diwakili oleh huruf-huruf A, B, C, D, dan E) yang tingginya masing-masing 125 cm, 130 cm, 140 cm, 100 cm dan 170 cm. Apakah bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi kelima temanmu tadi membentuk suatu barisan bilangan? Jelaskan. Tinggi : 125 , 130 , 140 , 100 , 170

Nama : ….A....., …..B...., ........C...., ......D...., .....E....... Apakah tingginya membentuk pola? Barisan bilangan yang dibentuk dari bilangan-bilangan yang tidak diurutkan dengan pola (aturan) tertentu disebut barisan bilangan sembarang.

96

LAMPIRAN 3 Deret Setiap minggu Dira selalu memberikan hadiah berupa kartu bergambar kepada adiknya, yaitu Reni. Minggu pertama Dira memberi Reni 3 kartu bergambar, minggu kedua Dira memberi 6 kartu bergambar kepada Reni. Minggu ketiga Dira memberi 9 kartu bergambar pada Reni. a. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada

adiknya pada minggu ke-4? b. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada

adiknya pada minggu ke-5? c. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada

adiknya pada minggu ke - n? d. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 3

minggu? e. Bagaimanakah caramu menentukan hasil pada (d)? Jelaskan! f. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 4

minggu? g. Bagaimanakah caramu menentukan hasi pada (f)?Jelaskan! h. Nyatakan (f) dengan melibatkan (d). i. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 5

minggu? j. Bagaimanakah caramu menentukan (i)? Sebutkan! k. Nyatakan (j) dengan melibatkan (g). l. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama n

minggu? m. Bagaimanakah caramu menentukan (l)? Sebutkan!

Deret arimetika dinyatakan dengan menjumlahkan suku-suku pada barisan aritamatika. Untuk menyatakan jumlah n suku yang pertama pada barisan aritmatika digunakan simbol Sn. Notasi sigma Matematika merupakan salah satu ilmu yang banyak menggunakan simbol atau lambang untuk menyatakan suatu pernyataan atau ungkapan yang panjang. Misalkan notasi faktorial dengan lambang ! digunakan untuk menyatakan perkalian berurutan mulai dari 1, notasi sigma dengan lambang ∑ digunakan untuk menyatakan suatu penjumlahan yang berurutan, dan masih banyak lambang-lambang lainnya. Notasi Sigma adalah suatu Notasi yang dipakai untuk menuliskan secara singkat penjumlahan n suku. Simbol ini diambil dari huruf kapital Yunani yang berarti Sum atau penjumlahan dan pertama kali dikenalkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18. Secara umum notasi sigma didefinisikan dengan:

∑ 푈 = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un

97

o k = 1 disebut batas bawah penjumlahan. Untuk menyatakan batas bawah penjumlahan, bukan hanya dimulai dari 1, dapat juga dimulai dari angka bulat berapa saja dan huruf k dapat diganti huruf apa saja, yang sama dengan notasi didepannya.

o Uk merupakan suatu polinom dalam variabel k. Jika Ux maka polinomnya bervariabel x dan seterusnya. Polinom dapat berupa konstanta, berderajat 1, berderajat 2 dan lainnya.

o n merupakan bilangan bulat dan disebut batas atas benjumlahan. n ≥ batas bawah penjumlahan.

Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.

1.

n

k 1

ak = a1 + a2 + a3 + … + an

2.

n

mk(ak + bk) =

n

mk ak +

n

mkbk

3.

n

mkcak = c

n

mkak

4.

n

mkak =

pn

pmkak – p

5.

n

mkc = (n – m + 1)c

6.

1p

mkak +

n

pkak =

n

mkak

7.

1m

mkak = 0

8.

n

mk(ak + bk)

2 =

n

mkak

2 + 2

n

mkak bk +

n

mkbk

2

99

Modul Pertemuan Pertama

Standar Kompetensi : 7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 7.1 Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan.

Nama Kelompok : ..........................

Anggota kelompok :

1. ................... 2. ................... 3. ................... 4. ................... 5. ...................

100

LAMPIRAN 1

Kegiatan Pertemuan Pertama

Bahan : foto pola susunan bola biliar dan alat tulis

Gambarlah pola susunan bola biliar di atas ke kertas yang telah disediakan!

101

Dari gambar susunan bola biliar di atas didapat:

... , ... , ... , ... , ...

suku ke-1 suku ke-2 suku ke-3 suku ke-4 suku ke-5

Sekarang Coba pikirkan!

Bilangan-bilangan penyusun dari barisan bilangan disebut suku dan dilambangkan dengan Un untuk suku ke-n. Nah sekarang Perhatikan barisan bilangan di atas.

Berapakah nilai U2 – U1, U3 – U2, U4 – U3? Apakah nilainya sama? Apa yang terbesit dalam pikiranmu tentang selisih dua bilangan berurutan

tersebut?

Dari barisan bilangan diatas tentukan suku kesepuluh = U10 dan suku keseratus = U100. Untuk mencari U10, dengan mudah kalian dapat mendaftar bilangan-bilangan selanjutnya. Bagaimana dengan nilai U100? Apakah kalian juga akan mendaftarnya?

Nilai U100 dapat ditentukan dengan rumus dari pola bilangan yang menyusun barisan tersebut. Sehingga tidak perlu mendaftar semua bilangan sampai suku keseratus. Bagaimana merumuskanya?

Diberikan suatu barisan aritmatika:

U1, U2, U3, . . ., Un-1, Un

Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah U1 = a dan selisih dua suku berurutan adalah b (beda), maka rumus untuk mencari suku ke-n dapat ditentukan.

Terlihat bahwa:

U2 = U1 + b

U3 = ...

U4 = ...

102

:

:

Un-1 = ...

Un = ...

Rumus terakhir inilah yang merupakan rumus suku ke-n barisan aritmatika. Sedangkan beda (b) dirumuskan sebagai berikut.

b = ...

= ...

= ...

= ...

NB: Beda adalah selisih antara dua suku yang berurutan

Kesimpulan:

Diberikan barisan aritmatika: U1, U2, U3, . . ., Un. Jika suku pertamanya U1 = a dan bedanya b, maka rumus suku ke-n ( Un ) adalah:

Un = ...

dengan b =

103

LAMPIRAN 3

Jika jumlah dari n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn, maka:

Sn = U1 + U2 + U3 + ...+ Un

Sehingga U1 = a

U2 =

U3 =

.

.

Un-1 =

Un =

Persamaan diatas menjadi:

Sn = a + ... + ... + ... + … + …

Berapakan hasilnya jika Sn (pertama) + Sn (kedua), dimana Sn yang kedua adalah urutan barisan kebalikan dari Sn pertama atau urutan barisan Sn pertama yang di urutkan dari belakang.

Sn = a + … + ... + … + …

Sn = ... + ... + ... + ... + ... +

... = ... + ... + ... + ... + ...

Ada berapa suku .... suku

... = ...

Sehingga,

Sn = ...

105

LAMPIRAN 1

BARISAN GEOMETRI

Kegitan:

Melipat kertas

Aktivitas siswa : perkelompok Bahan : selembar kertas berbentuk persegi

(Luas kertas 1 satuan luas)

Urutan kegiatan : Kegiatan Luas hasil lipatan

1. Lipat keempat sudutnya ke tengah-tengah

2. Lipat lagi keempat sudutnya ke tengah-tengah



… satuan luas

...... satuan luas

...... satuan luas

...... satuan luas

Sebelum dilipat

1 satuan luas

106

Sesudah dilipat

Lipatan 1 Lipatan 2 Lipatan 3 Lipatan 4

… satuan luas ...... satuan luas ...... satuan luas ....... satuan luas

Jika … , ... , ... , ... , ... adalah empat suku pertama suatu barisan geometri

Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : U1, U2, U3, U4, ... ,Un merupakan barisan geometri

jika:

1

...34

23

12

n

n

UU

UU

UU

UU

= konstanta

Konstanta tersebut dinamakan rasio ( r ) dan Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama ( U1 ) a dan rasio ( r ) dapat ditentukan sebagai berikut ini.

U1 = a

U2 = ...

U3 = ...

U4 = ...

:

:

Un = ...

107

LAMPIRAN 3

DERET GEOMETRI

Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Secara umum dapat dinyatakan bahwa:

Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka:

U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret geometri, dengan 1 nn arU

Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un, maka:

Sn = 푎 + … + ... + ... + ... + 푎푟

Kalikan Sn dengan r

rSn = 푎푟 + ... + ... +... + ... + ... + 푎푟

Kurangkan Sn dengan rSn

Sn = 푎 + … + ... + ... + ... + 푎푟

rSn = 푎푟 + ... + ... + ... + ... + 푎푟 -

... = …

... = ...

Jadi runus Sn adalah = ......

109

DAFTAR NILAI TES KELAS XI-A AKUNTANSI SEMESTER I

TAHUN AJARAN 2011/2012

SMK PGRI 2 SALATIGA

NO NAMA NILAI

NILAI AKHIR TES 1 TES 2 TES 3

1 ACNESIA NIDRIA MELATI PUTRI

80 91 80 83.67

2 ADI SAPUTRO 96 53 85 78.00

3 AGUNG MULYA PRASETYO

100 82 78 86.67

4 AINUR ROIS SETYAWAN 96 77 76 83.00

5 ANDYTA MERDIYANA 92 95 76 87.67

6 ARNITA NOVIANTI 96 100 85 93.67

7 ASTRINI 96 100 92 96.00

8 ATHTHOHAROH SITI NURUL LATIFAH

72 95 74 80.33

9 AVRIYANI SETYANINGSIH 84 95 74 84.33

10 CHISWATUN KHASANAH 92 75 90 85.67

11 DARIYATI 92 95 76 87.67

12 DEASY AGUSTIN 64 87 85 78.67

13 DEVINDA NENGTIYAS 76 85 76 79.00

14 DEWI CITA NARINDRATI 96 100 92 96.00

15 EVA YULIANA 72 95 75 80.67

16 EVI PUSPITASARI 72 100 74 82.00

17 FENITA BUDIYANTI 92 100 89 93.67

18 HERLINDA KARINIA LUPITASARI

84 95 78 85.67

19 HILDA ELINA 100 100 85 95.00

20 INDAH EKA STYANINGSIH 92 100 80 90.67

21 KRISMIYATI 98 100 80 92.67

22 KUSNANTO 100 85 85 90.00

23 LIA SUMILAH 88 100 80 89.33

24 MILKHATUN NIKMAH 76 93 80 83.00

25 NITA ARIANI PUSPADEWI 84 93 78 85.00

26 NURI WIDAYANINGSIH 72 100 80 84.00

27 PUPUT CAHYANI 92 95 80 89.00

110

28 PUTRIANA WULANINGRUM

72 96 85 84.33

29 RATIH PALUPI 96 96 85 92.33

30 RISKA SOLEQHA HANDAYANI

88 95 80 87.67

31 SITI ISTIQOMAH 96 87 90 91.00

32 SITI WAHYU APRIYATI 92 98 80 90.00

33 SUGIARTI 84 87 76 82.33

34 ULUL MASRUROH 72 100 80 84.00

35 UMI FAJRIYAH 72 100 80 84.00

36 UMI KHOLIFAH 68 87 85 80.00

37 YULIS SUGESTI 96 96 85 92.33

JUMLAH 3190 3428 3009

RATA-RATA KELAS 86.22 92.65 81.32

rencana pelaksanaan pembelajaran · 2013. 10. 25. · guru meminta siswa untuk mendiskusikan soal...

Documents