relaciones integrales para un volumen de control

Dr. Javier Naranjo FIME-UT-UAdeC

Relaciones integrales para un volumen de controlFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA, UNIDAD TORREÓNUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE COAHUILA

Mecánica de fluidos


Leyes de la mecánica

Las leyes de la mecánica están escritas para la interacción del sistema con los alrededores. Como se ha mencionado las leyes de la mecánica también son cumplidas por la mecánica de fluidos. Conservación de masa Relación de momentum lineal Relación de momentum angular Conservación de la energía Entropía


Flujo volumétrico

Entonces la cantidad de fluido que pasa por dA en un determinado tiempo es el volumen de un paralelepípedo.

La integral de dV/dt es el flujo volumétrico a través de la superficie S:


Flujo de masa

Si la densidad y la velocidad son constantes sobre toda la superficie S, se reduce a una simple expresión de una aproximación unidimensional.


Teorema de transporte de Reynolds


Teorema de transporte de Reynolds

Ahora proponemos una propiedad cualquiera B de un fluido y β=dB/dm es la propiedad intensiva asociada en una pequeña porción de fluido. La cantidad total B en el volumen de control es entonces

Donde ρdV es una masa diferencial del fluido. Se quiere relacionar la razón de cambio de BCV a la relación de cambio de la cantidad de B en el sistema 2 que coincide con el volumen de control en un tiempo t. La derivada temporal de BCV está definida por el límite del cálculo


Los tres términos quieren decir físicamente: La razón de cambio de B a través del volumen de control El flujo de B hacia afuera del volumen de control El flujo de B hacia adentro del volumen de control


Para un volumen de control arbitrario


Este el teorema de transporte de Reynolds para un volumen de control arbitrario. La propiedad B puede tomar cualquier propiedad conocida masa, momentum lineal, energía, etc. De forma elegante y compacta el teorema de Reynolds puede escribirse así:


Aproximación unidimensional

En muchas situaciones, el cruza las fronteras del volumen de control solo por una simple entrada y salida que se aproxima unidimensional. La integral de superficie se reduce a la suma de productos positivos (salidas) y negativas (entrada) para cada sección.


Conservación de masa

Para la conservación de masa se sustituirá la propiedad B por la masa, es decir, B=m y β=dm/dm. Entonces la ecuación del teorema de transporte de Reynolds queda:

Si el volumen de control sólo tiene entradas y salidas unidimensionales se puede escribir como sigue:


Cuando el flujo a través del volumen de control es estable, la ecuación se reduce a lo siguiente:

Para las entradas y salidas unidimensionales se puede escribir como sigue:

o de forma reducida

Para un fluido incompresible, se reduce a una conservación del flujo volumétrico.


Conservación de momentum lineal

En la segunda ley de Newton la propiedad diferenciada es el momentum lineal mV. Entonces la propiedad B=mV y β=dB/dm =V, y aplicamos el teorema de transporte de Reynolds.

El término V es la velocidad relativa del fluido a un sistema coordenado inercial.

El término ΣF es la suma vectorial de todas las fuerza externas actuando sobre el sistema considerando las fuerzas de superficie y de cuerpo. Actuando sobre la masa a través del volumen de control.

La ecuación entera es una relación vectorial. Por lo tanto, la ecuación tiene 3 componentes, en las direcciones x,y, y z.


Conservación de momentum lineal

Para el caso unidimensional en las entradas y salidas, la ecuación de momentum lineal se puede escribir como:


Teorema de momentum angular

La variable B se sustituye por el vector del momentum angular H. Sin embargo, el fluido es un grupo de partículas no rígidas y el concepto de momento de inercia de masa no es de ayuda, entonces se tiene que calcular el momentum angular instantáneo por integración de todos los diferenciales de masa dm. Si O es el punto instantáneo acerca del cual el momento es deseado, entonces el momento angular está dado por

Donde r es el vector posición desde O al elemento de masa dm y V es la velocidad del elemento. La cantidad de momentum angular por unidad de masa es entonces

El teorema de transporte de Reynolds queda


Ecuación de la energía

Entonces, al aplicar la conservación de la energía al teorema de transporte de Reynolds la variable B es sustituida por la energía E y β=dE/dm=e.

La energía puede ser la suma de todas las energías en particular la suma de la energía interna, cinética, potencial y otras energías. Se despreciaran las otras energías, entonces



La transferencia de calor dQ/dt son por efectos de conducción, convección o radiación. El trabajo puede ser de causas externas o debido a las fuerza de cuerpo o fuerzas superficiales. En este caso podemos escribir el trabajo como la suma de estos trabajos.

Definimos las fuerzas superficiales debido a la presión y los esfuerzos viscosos como siguen:

El trabajo neto resultante será entonces



Entonces la ecuación de la energía para un volumen de control queda:

Definiendo la entalpía como la suma de la energía interna y la energía de flujo. Finalmente, la ecuación de la energía se escribe como:

Para los términos unidimensionales el término de la integral de superficie puede sustituirse por sumatorias de entradas y salidas.


Estado estable y aplicaciones en la ingeniería

Para el estado estable y con una sola entrada y una sola salida

Esta última ecuación es muy utilizada e aplicaciones de ingeniería con las consideraciones de mantener hacer las energía en forma de columnas.


Ecuación de Bernoulli

Cercanamente relacionado con la ecuación de energía en estado estable es una relación entre la presión, la velocidad y la elevación en flujo sin fricción y sin presencia de otras energías como bombas o turbinas, es nombrada la ecuación de Bernoulli. Llamada así en honor de Daniel Bernoulli. La ecuación de Bernoulli tuvo un completo desarrollo por Leonhard Euler. Esta ecuación es ampliamente usada en la hidráulica y condiciones donde el flujo se considera inviscoso. Esta ecuación es presentada a continuación


Principio de Bernoulli

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